El documento introduce los conceptos básicos de límites matemáticos, incluyendo la definición formal de límite y varios ejemplos de cálculo de límites para funciones polinomiales y racionales. También presenta propiedades clave de los límites que pueden usarse para simplificar cálculos.

1. Profr. Efraín Soto Apolinar.
Teoremas de los límites
Empezamos esta sección dando la definición de límite.
Definición
1
Límite
Sea y = f (x) una función. Si podemos formar la sucesión x1, x2, · · · , xn de valores de la variable x tales
que cada uno de los términos de esa sucesión estén en el dominio de la función, y acercándose a un valor
fijo x = a, y podemos siempre calcular yi = f (xi) para toda xi que se encuentre en la sucesión, excepto,
posiblemente en xm = a, entonces decimos que el límite de f (x) cuando x se aproxima al número a es
igual a A, y matemáticamente lo denotamos por:
lim
x→a
f (x) = A
Observa que no se requiere que f (x) esté definida para x = a.
Ejemplo 1Calcula el límite al cual se aproxima la función y = x2 cuando x se aproxima a 2.
• Necesitamos calcular a qué valor se aproximará x2 cuando x se acerca mucho a 2.
• Empezamos con una tabla:
x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1
f (x) 3.61 3.9601 3.996001 4.004001 4.0401 4.41
• Observa que conforme x se acerca a 2, por debajo, es decir, dando los valores 1.9, 1.99, 1.999,
los valores de f (x) que obtenemos se van a cercando a 4, también por debajo.
• Cuando decimos «por debajo», queremos decir que cada uno de los valores de la sucesión
son menores al valor al que tienden.
• Cuando digamos «por arriba», entonces, querrá decir que los valores de la sucesión son
mayores al valor al cual tienden.
• Cuando los valores de x se acercan por arriba a 2, los valores de f (x) se acercan a 4 también
por arriba.
• Geométricamente tenemos la siguiente situación:
Nos movemos sobre el eje x empezando en x = 1.9 (nos acercamos por la izquierda de
x = 2)
Evaluamos f (1.9) = 3.61, que en la gráfica está indicado con el punto A
Después evaluamos f (1.99) = 3.9601 (punto B)
Finalmente, f (1.999) = 3.996001
Después empezamos desde x = 2.1 acercándonos a x = 2 desde la derecha.
Evaluamos f (2.1) = 4.41 denotado por el punto F en la gráfica.
Después evaluamos f (2.1) = 4.0401 (punto E)
Finalmente evaluamos f (2.01) = 4.004001.
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x
−1 0 1 2 3
f (x)
1
2
3
4
5
6
A
B
E
F
• Conforme nos acerquemos más a x = 2 por la izquierda o por la derecha, la función (que es
una máquina que transforma números) se acerca cada vez más a y = 4.
El hecho de que los valores de f (x) = x2 conforme x se aproxima a 2 se acerquen a 4 era de
esperarse porque 22 = 4, y ya sabemos que la función y = x2 es una función contínua, dado que
es una función polinomial.
Entonces, cuando deseemos calcular el límite de una función polinomial, basta con que evaluemos
la función al cual tiende y con eso encontraremos el resultado a nuestro problema.
Ejemplo 2
Calcula:
lim
x→2
x3
− x + 1
• Como la función y = x3 − x + 1 es polinomial, basta con sustituir x = 2 y evaluar:
lim
x→2
x3
− x + 1 = 23
− 2 + 1 = 7
• Se te queda como ejercicio graficar la función, y tabular valores de x y los valores que toma
la función cuando x se acerca a 2 por la izquierda y por la derecha.
• Puedes utilizar los mismos que se utilizaron en la tabla anterior.
Sin embargo, no siempre vamos a requerir calcular límites de funciones polinomiales.
Algunas veces vamos a necesitar calcular límites de funciones racionales.
Ejemplo 3
Calcula:
lim
x→5
x2 − 25
x − 5
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• En este caso, si sustituimos x = 5 en la función obtenemos:
y =
52 − 25
5 − 5
=
0
0
⇒ no está definido.
• Entonces vamos a necesitar «transformar» la expresión racional de manera que no obteng-
amos división por cero.
• Para eso vamos a factorizar el numerador. Profesor:
Sugiera repasar
factorización
y productos
notables.
• Como en el númerador tenemos una diferencia cuadrados, la factorización nos da un pro-
ducto conjugado:
y =
x2 − 25
x − 5
=
(x + 5)(x − 5)
x − 5
• Ahora podemos simplificar la expresión, para obtener:
y =
(x + 5)(x − 5)
(x − 5)
= x + 5
• Esta simplificación es válida siempre que x = 5, porque en ese caso el denominador se hace
cero.
• Así que si suponemos que x = 5, tenemos que:
lim
x→5
x2 − 25
x − 5
= lim
x→5
(x + 5)
• Observa que si x se acerca mucho a 5, entonces x + 5 se va a acercar mucho al valor: 5 + 5 =
10
• Y es que x + 5 es una función polinomial que solamente requiere que sustituyamos x = 5
para obtener el resultado. Entonces,
lim
x→5
x2 − 25
x − 5
= lim
x→5
(x + 5) = 5 + 5 = 10
• Recuerda que en la función:
y =
x2 − 25
x − 5
x no puede ser igual a 5.
• Pero la definición de límite nos dice que «podemos siempre calcular yi = f (xi) para toda xi que
se encuentre en la sucesión que formemos, excepto, posiblemente en xm = a», que es como ocurre
en este caso.
• Se te queda como ejercicio elaborar una tabla y verificar que la función se acerca al mismo
valor por la izquierda como por la derecha cuando x se acerca mucho a 5.
• De hecho,
y =
x2 − 25
x − 5
= x + 5
para cualquier valor de x, excepto para x = 5. Verifica esto graficando ambas funciones en
un mismo sistema de coordenadas.
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En matemáticas el lenguaje es muy importante.
Cuando escribimos:
lim
x→x0
f (x) = k
lo leemos: «el límite de f (x) cuando x tiende a x0 es igual a k».
También podemos leerlo como: «el límite de f cuando x se aproxima (o se acerca) a x0 es igual a k»
Ejemplo 4
Calcula:
lim
x→3
x2 + 11
x + 1
• Empezamos sustituyendo x = 3 en la función:
f (3) =
(3)2 + 11
3 + 1
=
20
4
= 5
• En este caso no tenemos división entre cero, así que la función nos ayuda a resolver el
problema muy rápidamente.
• Esta función presenta una asíntota en x = −1.
• vamos a graficarla para valores de x 0, porque nos interesa conocer cómo se comporta
cerca de x = 3.
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f (x)
4
5
6
7
8
9
10
11
y =
x2 + 11
x + 1
• De la gráfica se hace evidente que, independientemente de que nos acerquemos a x = 3 por
la izquierda o por la derecha, obtenemos en ambos casos el mismo resultado.
Ejemplo 5
Calcula:
lim
x→100
x − 100
√
x − 10
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• Si sustituimos x = 100 en la función de nuevo obtenemos una indeterminación.
• Así que vamos a tener que simplificar de alguna manera.
• Para eso vamos a definir: u =
√
x.
• Entonces, u2 = x, y u debe acercarse a
√
100 = 10, porque u =
√
x, y x se acerca a 100.
• Esto nos permite escribir:
lim
x→100
x − 100
√
x − 10
= lim
u→10
u2 − 100
u − 10
• Ahora podemos factorizar el numerador, porque se trata de una diferencia de cuadrados:
lim
u→10
u2 − 100
u − 10
= lim
u→10
(u + 10)(u − 10)
u − 10
• Al simplificar obtenemos:
lim
u→10
(u + 10)(u − 10)
u − 10
= lim
u→10
(u + 10) = lim
x→100
√
x + 10 =
√
100 + 10 = 20
• En realidad lo que hicimos fue:
lim
x→100
x − 100
√
x − 10
= lim
x→100
√
x
2
− 100
√
x − 10
= lim
x→100
√
x + 10
√
x − 10
√
x − 10
= lim
x→100
√
x + 10
=
√
100 + 10 = 20
• El cambio de variable u =
√
x es un truco que nos permitió simplificar la expresión.
• Este artificio matemático te será de gran ayuda en los ejercicios.
• Observa que:
y =
x − 100
√
x − 10
=
√
x + 10
para cualquier valor de x, excepto para x = 100.
Los límites tienen algunas propiedades que nos ayudarán a resolver problemas de una manera
más sencilla.
Las siguientes propiedades de los límites son las más importantes.
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6. Profr. Efraín Soto Apolinar.
Definición
2
Propiedades de los límites
Si lim
x→a
f (x) = M, y lim
x→a
g(x) = N, se cumple:
I. Si f (x) = c, donde c es una constante, entonces: lim
x→x0
= c para cualquier x0.
II. lim
x→a
k · f (x) = k · lim
x→a
f (x) = k · M.
III. lim
x→a
[f (x) + g(x)] = M + N.
IV. lim
x→a
[f (x) · g(x)] = M · N.
V. lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
g(x)
=
M
N
, siempre que N = 0.
VI. lim
x→a
r
f (x) = r
√
M, siempre que r
√
M ∈ R.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es com-
partir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 01 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
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7. Profr. Efraín Soto Apolinar.
efrain@aprendematematicas.org.mx
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