Este documento explica el concepto de límite matemático. Define límite como el valor al que se acerca una función cuando la variable independiente se acerca a un valor particular. Explica cómo usar δ y ε para probar formalmente que el límite de una función existe y es igual a un valor determinado. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar este proceso de prueba. Finalmente, introduce el concepto de límites laterales y cómo evaluarlos completando tablas de valores.

1. Propósito del tema
• Al finalizar el tema el estudiante estará en la
capacidad definir limite, demostrar limite y
evaluar limite.

2. Límite
l1 Línea real o imaginaria que marca un territorio
y lo separa de otros.
2 Fin o grado máximo de una cosa que no se
puede o no se debe superar: la paciencia de su
padre estaba llegando a su límite; estaba al límite
de sus fuerzas; en algunos países no hay límite de
velocidad en las autopistas.

3. Concepto de limite de una función
•
• Informalmente, decimos que el límite de una
función f ( x ) es un numero L
cuando x tiende a ya sea por la derecha o por
la izquierda.
Lim f(x) = L
• X a

4. Delta y epsilon
• Tenemos que elegir dos valores para ser más
pequeños que ellos:
• para que |x-a| sea más pequeño que él δ para
que |f(x)-L| sea más pequeño que él ε (Nota:
estas dos letras griegas, δ llamada "delta" y ε
llamada "epsilon", se suelen
usar para esto, de aquí sale la frase "delta-
epsilon")
• Y tenemos:
• " |x-a|< δ cuando |f(x)-L|< ε "

5. Ejemplo
Vamos a intentar probar que:
lim 2x + 4 = 10
X 3
• Cómo vamos de:
(Nota: a=3, y L=10)
• 0<|x-3|< a |(2x+4)-10
•
.

6. Paso 1: juega con el límite hasta que encuentres una
fórmula que podría funcionar
Empieza con: |(2x+4)-10|< ε
• Simplifica: |2x-6|< ε
• Saca el 2: 2|x-3|< ε
• Pasa el 2 al otro lado: |x-3|< ε /2
• Aquí podemos adivinar que δ = ε /2 puede
funcionar

7. Paso 2: comprueba a ver si la fórmula
funciona
• Entonces, ¿ cómo vamos de |x-3|< δ a
|(2x+4)-10|< ε? A ver...
• Empieza con: |x-3|< δ
• Sustituye : |x-3|< ε /2
• Pasa el 2 al otro lado: 2|x-3|< ε
• Pon el 2 dentro: 2x-6|< ε
¡Sí! Podemos ir de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|<
eligiendo δ = ε /2

8. Introducción a límite
• Si
Lim f(x) = x2 + 1
• x 3

9. • a) ¿A qué valor se acercan los valores de f(x)
mientras x se aproxima a 3 por la izquierda?
(Completa la tabla y observa los valores de f(x)
para contestar.)
x f(x)
2.9
2.99
2.999
2.9999

10. • b) ¿A qué valor se acercan los valores de f(x)
mientras x se aproxima a 3 por la derecha?
(Completa la tabla y observa los valores de f(x)
para contestar.)
x F(x)
3.1
3.01
3.001
3.0001

11. • Ahora vamos a tu libro y busquemos los
ejercicios.
• Gracias por la atención prestada.