Los límites de una función...

1. UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES
FACULTAD DE MEDICINA HUMANA
LIMITE DE UNA FUNCION
MATEMATICA APLICADA A LA
MEDICINA
2015

2. IDEA DEL LIMITE DE UNA FUNCION
Ejemplo 1: Veamos el comportamiento de la función f
poniendo en una tabla algunos de sus valores.
𝑓 𝑥 = 1 +
1
𝑥
𝑥 > 0
Observamos que a medida que el valor
de x crece, el valor f(x) disminuye y al
parecer se acerca al valor 1.
Con una calculadora, evaluemos f(x)
para valores muy grandes de x, y
notaremos que el valor será
prácticamente 1.
x f(x)
1 2
2 1,5
3 1,33….
4 1,250
5 1,2
10 1,1
15 1,06….
20 1,05
30 1,033..
50 1, 02

3. LIMITE DE UNA FUNCION
El limite de una función (f) cuando x tiende a x₀ es
el numero real L, y se representa por :
= L , si para cada ε > 0, existe un δ > 0,
Si se cumple que x є Df se cumple:
0 <|x-x₀|< δ y se verifica: |f(x)- L|< ε
L + ε
L
L – ε
x₀- δ x₀ x₀+δ
𝛿𝛿
𝜀
𝜀

4. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Observaciones
1. El lımite limx→xo
f(x) puede o no existir. Si el lımite
existe, esto es, L es finito se dice que f(x) converge a
L, si no existe, se dice que f(x) diverge cuando x
tiende a 𝑥 𝑜.
2. El hecho que limx→xo
f(x) = L , significa que f(x)
puede tomar valores arbitrariamente cercanos a L
siempre que x este suficientemente cerca de 𝑥 𝑜.
3. Es conveniente tener en cuenta que se ha dicho que x
esta cercano a 𝑥 𝑜, pero no es igual a 𝑥 𝑜, de hecho, no
necesariamente 𝑥 𝑜 pertenece al dominio de la función f.
(Matematica en la Salud - Veronica Poblete Oviedo)

5. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
1) Calcular el limite de f(х)= 2x² - 3x +1,cuando x tiende a
2.
Solución
= 2(2)² -3(2)+1
= 8 – 6 + 1
= 3

6. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
TEOREMAS PRINCIPALES DE LIMITES:
Sean “n” un numero positivo, “K” una constante, y f y g
funciones con limites en “c”. Entonces:
a)
b)
c)
d)
e)

7. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
f)
g)
h)
i) ;

8. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Ejercicios de Aplicación:
1. Hallar el
Solución
= 4 = 4
= 4 [-2]³
= 4. (-8)
= - 32

9. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
2. Hallar el
Solución
=
=
= 3[3]³ - 5.3
= 81 – 15
= 66

10. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
3. Hallar el
Solución
= =
=
=

11. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
4. Hallar el limh→0
2+h 3−8
h
Solución
limh→0
2+h 3−23
h
limh→0
2 + ℎ − 2 2 + ℎ 2
+ 2 ℎ + 2 + 22
h
limh→0
h 2+ℎ 2+2 ℎ+2 +4
h
limh→0[ 2 + ℎ 2+2 2 + ℎ +4]= 12

12. LIMITES LATERALES
LIMITES LATERALES
Como se hizo notar en la observación un lımite puede o
no existir. En esta sección estudiaremos un importante
criterio que nos permite concluir al respecto. Para
introducir el tema, veamos el siguiente
Consideremos la función f(x) =
𝑥
𝑥
, x ≠ 0. Nos
preguntamos . ¿Existe limx→0f 𝑥 ?
Como |x| = x para x ≥ 0 y |x| = −x para x ≤ 0 ,
La siguiente figura muestra la grafica de f,
𝑓 𝑥 =
−1, 𝑥 < 0
1, 𝑥 > 0
1
- 1

13. LIMITE LATERAL DERECHO
Sea f : A ⊂ R → R una función y 𝑥 𝑜 ∈ R.
Diremos que el lımite de f(x) cuando x tiende
a 𝑥 𝑜 por la derecha es L, si para todo ε > 0 existe
δ > 0, tal que para x ∈ A con 0 < x− 𝑥 𝑜 < δ se tiene
que |f(x) − L| < ε.
Notación: limx→xo+ f(x) = L, se lee el lımite de f(x)
cuando x tiende a 𝑥 𝑜 por la derecha es L.
L
𝑥 𝑜

14. LIMITE LATERAL IZQUIERDO
Sea f : A ⊂ R → R una función y 𝑥0 ∈ R. Diremos que
el lımite de f(x) cuando x tiende a 𝑥0 por la izquierda es M,
si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para x ∈ A con
0 < c − x < δ se tiene que :|f(x) −M| < ε.
Notacion: limx→xo− f(x) = M, se lee el lımite de f(x) cuando x
tiende a 𝑥0 por la izquierda es M.
xo
M

15. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Dados estos conceptos, podemos establecer el
siguiente criterio de convergencia de lımites.
Existe limx→xo
f(x) si y solo si existen
limx→x 𝑜+ f(x) = limx→x 𝑜− f(x)
L=M
𝑥 𝑜

16. LIMITES INFINITOS
Definición:
El límite de f(x) es infinito (positivo o negativo) cuando x tiende
a 𝑥 𝑜, y escribimos:
lim
𝑥→𝑥 𝑜
𝑓 𝑋 = ±∞
si podemos incrementar (o disminuir) indefinidamente los
valores de f(x), aproximando x a 𝑥 𝑜 , pero sin que x llegue a
ser igual a 𝑥 𝑜.
𝑥 𝑜
asíntota

17. LIMITES INFINITOS POR LA IZQUIERDA
Definición:
 El límite de f(x) es infinito (positivo o negativo) cuando x
tiende a 𝑥 𝑜 , y escribimos:
 lim
𝑥→𝑥 𝑜−
𝑓 𝑥 = ±∞
 si podemos incrementar (o disminuir) indefinidamente los
valores de f(x), aproximando x a 𝑥 𝑜, siendo x menor que 𝑥 𝑜.
 𝑥 𝑜

18. LIMITES INFINITOS POR LA DERECHA
Definición:
 El límite de f(x) es infinito (positivo o negativo) cuando x
tiende a 𝑥0 , y escribimos:
 lim
𝑥→𝑥 𝑜
+
𝑓 𝑥 = ±∞
 si podemos 𝑥 incrementar (o disminuir) indefinidamente los
valores de f(x), aproximando x a 𝑥 𝑜, siendo x mayor que 𝑥 𝑜
.
 𝑥 𝑜

19. LIMITES INFINITOS
Hallar el:
a) lim
𝑥→3−
𝑓 𝑥
b) lim
𝑥→3+
𝑓 𝑥
3

20. LIMITES INFINITOS
Hallar los siguientes limites:
a) lim
𝑥→3−
2
𝑥−3
b) lim
𝑥→3+
2
𝑥−3
Solución
Evaluamos a Evaluamos b
3
x f(x)
2 -2
1 -1
0 -0,66
-1 -0,5
-2 -0,25
x f (x)
4 2
5 1
6 0,66..
9 0,33..
10 0,285

21. LIMITE AL INFINITO POR LA IZQUIERDA
Definición:
Sea f una función definida en un intervalo
−∞; 𝑎
Entonces: lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 𝐿
Indica que podemos acercar tanto como queramos los
valores de f(x) a L, disminuyendo los valores de x
indefinidamente.
L
a

22. LÍMITE AL INFINITO POR LA DERECHA:
Definición
Sea f una función definida en un intervalo 𝑎; ∞ .
Entonces: lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 𝐿
Indica que podemos acercar tanto como queramos los valores
de f(x) a L, aumentando los valores de x indefinidamente.
L
a

23. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Hallar el
Solución:
=
Hallar el: lim
𝑥→−∞
3𝑥−10
𝑥−4
Solución:
lim
𝑥→−∞
3𝑥−10
𝑥 −4
= lim
𝑥→−∞
3𝑥
𝑥
−
10
𝑥
𝑥
𝑥
−
4
𝑥
= lim
𝑥→−∞
3−
10
∞
1−
4
∞
lim
𝑥→−∞
3−0
1−0
= 3

24. LIMITE AL INFINITO
Problema de aplicación:
El desarrollo de cierta epidemia se
caracteriza por tener un comportamiento
dado por la función 𝑓 𝑡 =
250
1+℮−2𝑡 que
representa la cantidad de personas que
adquieren la enfermedad en un tiempo t
medido en semanas.
¿Cuantas personas están contagiadas al
comienzo de la epidemia?
¿Que nos indica el valor limx→∞f t ?

25. LIMITE INDETERMINADOS
FORMAS INDETERMINADAS
Forma: ; para levantar esta indeterminación
tendremos en cuenta lo siguiente:
a) Si: [f₍x₎]°< [g₍x₎]° = 0
b) Si: [f₍x₎]°= [g₍x₎]° =
c) Si: [f₍x₎]° > [g₍x₎]° = ∞

26. LIMITE INDETERMINADOS
Ejemplo:
Calcular:
Solución
[f₍x₎]°< [g₍x₎]°
= 0

27. LIMITE INDETERMINADOS
Forma: ; esta forma de indeterminación se levanta
factorizando numerador y denominador para poder
cancelar los factores que generan la indeterminación.
Calcular:
Solución:
= 3

28. LIMITE INDETERMINADOS
Forma: (∞ - ∞) o ( 0 x∞); para levantar este tipo de
indeterminación se procede a efectuar las operaciones
indicadas lo cual nos lleva a las formas ya estudiadas y
aplicamos las reglas correspondientes en cada caso.
Hallar el
Solución
= ∞ - ∞

29. LIMITE INDETERMINADOS

30. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Ejercicios :
Hallar los limites de los siguientes ejercicios:
1.
2.
3.
4.
5.

31. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
Definición:
Una función f es continua en a si:
lim
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒂
Esta definición se describe más propiamente con estas tres
condiciones:
1) Que f(a) esté definida.
2) Que exista lim
𝑥→ 𝑎
𝑓 𝑥
3) Que se cumpla lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎

32. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
Es continua la función en 2:
2
2