Este documento trata sobre ecuaciones. Explica que una ecuación indica que dos expresiones son iguales y que consta de un miembro izquierdo y uno derecho separados por el signo de igualdad. También define conceptos como variable, constante y ecuación lineal. Finalmente, detalla diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones y ecuaciones con radicales, fraccionarias o de segundo grado.

1. ECUACIONES
“Una ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales.
Las dos expresiones que forman una ecuación se denomina lados (o
miembros) y están separados por el signo =”
Ejemplo: 19X2+20X-6X2 = 3X2-7X-1
MIEMBRO IZQUIERDO
MIEMBRO DERECHO
a) X+2
b) X2+3X+2=0
c)
d) W = 7 – Z
VARIABLE
Es un símbolo que puede ser reemplazado por un número cualquiera de un
conjunto de números diferentes.
Los símbolos más comunes para variables son las últimas letras del alfabeto X,
Y, Z, W, U, T
Representar incógnitas a, b, c…….
representar datos.
OBSERVACIONES
 En consecuencia se dice que la ecuación a y c tiene las variables X y Y
 La ecuación d es una ecuación de variable W y Z
 En la ecuación x+2= 3 los números 2 y 3 se conocen como constantes
a. Y-4= 3
e.
b. W+8= 9
f.
c. Y2+4y+2= 0
d. X2+4x+2= 0
g. x= 2+y
h. y= 3+2

2. a. y+5= 2
e.
b. x+2y= 0
f.
c. Y2+2x+7= 0
d. 3z-2= 5+w
g. x-12= 8
h. x+7z-3= 4
ECUACIONES
LINEALES
“Una ecuación lineal es una variable X es una ecuación que se puede escribir
de la forma ax+b= 0 donde a y b son constantes.
Una ecuación lineal también se conoce como ecuación de primer grado o
ecuación de grado uno, puesto que la potencia más alta de la variable que
aparece en la ecuación ax+b= 0, es la primera”

(
)
(
)
Suman (-3x) a los dos miembros
Simplificando
Suman (6) a los dos miembros
Simplificando
Dividimos para dos

(

)
(
)
(
)

3. 
(
)
(
)
DANDO VALORES
A INCOGNITAS
1) X=-2
2) X=3
(
1.
(
)
(
)
)
(
(
2. .
(
)
)
)
)
)
(
(
(
(
(
( )
)
(
)
)
(
)
)
(
( )(
)
)

4. ( )
( )
ECUACIONES
FRACCIONARIAS
MCM=2
0
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
MCM=2
4

5. MCM=60
(
)
(
)
(
)
(
)
MCM=120
(
)
(
)
(
(
)
)- (
)- (
(
)
)+
MCM=60
(
)- (3X+2)- (
-
(
)
(
)+
)
(
+
)

6. 1.
(
)
(
)
(
2.
(
)
(
)
(
)
)
3.
(
(
)
(
)
)
(
)
(
)
MCM=12
X

7. ECUACIONES FRACCIONARIAS
COMPUESTAS
“Se presentan ecuaciones de esta forma donde es necesario factorar todos los
miembros de los denominadores hasta obtener un “MCM” que divide a cada
uno de los denominadores para que luego que nos sobro multiplicar por el
numerados existente.”
(
)
(
MCM= (1+X) (1-X)
)
1. 1+X= (1+X)
2. 1-X= (1-X)
3. 1-X2= (1+X) (1-X)
1.
(
)(
)
(
(
)(
)
)
MCM= (1+3X) (1-3X)
1. 1+3X= (1+3X)
2. 1-3X= (1-3X)
3. 1-9X2= (1+3X)
(1-3X)

8. MCM= 12(X+3) (X-4)
(
)
(
)
(
1. X2+7X+12= (X+3) (X+4)
2. 2X+6= 2(X+3)
3. 6X+24= 6(X+4)
)
MCM= (5X-1) (3X+2) (4X-5)
2
15X +7X-2=
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
2
20X -29X+5=
(
)
(
)
2
12X -7X-10=
(5X-1) (3X+2)
(5X-1) (4X-5)
(4X-5) (3X+2)
ECUACIONES LINEALES
“Las ecuaciones en que alguna de las constantes no están especificados pero
están representadas por letras como a, b, c, d, se llaman ecuaciones lineales
y las letras se conoce como constantes arbitrarias

9. EJM: x+a = 4b
a x b son constantes arbitrarias
EJM:
En la ecuación del interés simple
Despeje la tasa del interés
I = cit
Donde
i=
I = interés simple
C = capital
i = tasa del interés
T = tiempo
1.
( a + c ) x + x 2 = ( x + a )2
a x + c x + x2 = x2 + 2x + a2
ax+cx+x2–x2–2ax–a = 0
a x – c x – a2 = 0
a x – c x = a2
x ( a – c ) = a2
x=
2.
(z-a)2 – (z-b)2 = (a+b)2
Z2-2az+a2-(z2-2bz+b2) = a2+2ab+b2
-2az+2bz-2b2-2ab = 0
-2az+2bz=0
-2az+2bz=2ab+2b2
(
Z (a+b) =
X=
DEBER
(
(
)
)
)

10. 1.
( x+a ) ( x-b) = x ( x+b)
(
2.
(
)
)(
)
(
(
(
(
(
3.
)
)
)
)
)(
)

11. 4.
MCM= (bx+a)(bx-a)
(
)(
)
(
)
bx+a=bx+a
bx+a=bx-a
b2x2-a2=(bx+a)(bx-a)
ECUACIONES CON
RADICALES
“Una ecuación con radicales es aquella incógnita que aparece en un radicando.
Para resolver la ecuación con radical se eleva ambos lados a la misma
potencia para eliminar el radical.”
 √
)2
(√
 √
(√
(
)2
(√
)2
√
)2

12. (√ )22
√
√
√
√
√
(√ )
(√ )
( )
(

( √(
)
) )
)
1.
√
√
√
√

13. (√ )
(
2. √
)
√
(√
)
3. √
(√ )
√
√
√
√
(√ )
( )

14. 4. √
( √
)
))
)
)
(√(
)
(
5. (
(
( )
SISTEMA DE ECUACIONES
METODOS A UTILIZARSE
Igualación
Sustitución
Suma y Resta o Reducción
Grafica
METODO DE IGUALACION

15. 1
2
EN ECUACION 1
3
EN ECUACION 2
4
EN 3 Y 4
(
REMPLAZO EN 1
(
)
)
(
)

16. RESOLVER
1
2
EN 1
3
EN 2
4
3Y4
(
)
(

17. REMPLAZO EN 1
(
)
METODO DE
SUSTITUCION
1
sustituye 3 en 2
2
(
)
En 1
3
4
Sustituyendo en 3
(
)

18. 1. ECUACIONES
1
sustituye 3 en 2
2
(
En 1
)
3
4
Sustituyendo en 3
(
)
COMPROBACION
( )
(
)

19. 2. ECUACION
1
2
EN 1
3 EN 2
(
)
3
Sustituyendo y en 3
(
)
COMPROBACION
( )
(
)
METODO DE ECUACION O ADICION
“Se elimina una de las incógnitas y se procede a resolver la ecuación resultante con
respecto a la otra incógnita; esta eliminación de una de las incógnitas puede lograrse

20. sumando o restando las ecuaciones dadas, después de haber multiplicado, en caso
necesario por números convenientes o exactos.”
EJEMPLO
Resolver
1
( )
En 2 x
(
X
COMPROBACION
(
)
( )
)

21. 2. ECUACION
1
2 (2)
En 2
y en 1
7x-15(-1)=1
7x+15=1
7x=-14
x= -2
Y
COMPROBACION
(
)
(
)
3. ECUACION
1(-8)
2
En 1(-8)
y en 2
3x-11(
)=-14
3x-(
)=-14
213x-1342=-994
Y
213x=-348

22. 4. ECUACIONES
1
2(5)
y en 2
2x+5(
2x-(
)=-4
)=- 4
x=3
Y=-2
Y
DEBER
1. ECUACION
1(6)
2(-4)
2
/
=58
X
X en 1
MCM: 13

23. (
)
-87-52y=533
-52y=533+87
-52y=620
Y=
Y
COMPROBACION
(
)
(
)
2. ECUACIONES
1 (11)
2 (5)
2
/ =144
X

24. X en 1
COMPROBACION
( )
( )
(
)
3. ECUACION
1
2 (-5)
/
Y
X en 1
(
COMPROBACION
)
( )
(
)

25. FUNCION GRAFICA
“Sabemos que la función grafica es una ecuación con variables X y Yy es una
línea recta en esta recta están todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen
a la ecuación y solamente a ellas”
{
En 1
En 2
5x-4y=12
( )

26. Conclusión
La intersección de los puntos (4,2) es la solución
RESOLVER
1. ECUACION
1
2
En 1
En 2
( )

27. 2. ECUACION
1
2
En 1
En 2
x=0
( )
2(0)-4y=5
( )
2x=5
X=2.5

28. 3. ECUACION
1
2
En 1
En 2
( )
( )
4(3x)=40-0
12x=40
x=0
0-5y=25
( )

29. 1
2
En 1
En 1
(
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
)
(
)
Y=-3.33
(
3(x-2)-2(0-3)=4
(
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
)

30. APLICACIONES
1. El doble de un numero + el triple de otro es 300 hallar los números
X=·N
2. Dividir 85 en dos partes que el triple de la parte menor equivalga al doble
de la mayor
X= parte menor 3x
85-x= parte mayor
(
)

31. 3. Encontrar la solución
Pedro es padre de María, María es la sobrina de Eugenia, Eugenia es hija de Jaime
, Jaime es abuelo de Laura y Laura es hija de Pedro ¿Cuál de las siguientes
relaciones es la correcta ?
a. Eugenia es tía de Laura
b. Jaime es hijo de `Pedro
c. Laura y María son primos
d. María es sobrina de Jaime
4. A tiene 54 y B tiene 32, ambos ganaran lo mismo cantidad de dinero y la
suma de lo que tienen ambos excede a los $ 66 dólares al cuádruplo que gana
cada uno ¿Cuánto gana cada uno?
A=64
B=32
B=32
X= cada uno
)
5. Juan tiene un numero de pelotas y Andrés tiene 30¿Cuántas
pelotas tiene cada uno?
Juan= x 10
Andrés 2x 20

32. 6. José tiene un numero de pelotas y Juan tiene el doble cuádruple
de ambos tienen 60
José x
Juan 4x
7. Una clase tiene 28 alumnos a razón de chicos y chicas es de 4 a
3¿cuántos chicos hay en cada clase?
X=28
8. Manuel tiene el triple de edad de Sara ¿Cuántos años pasaron para que la
edad de Manuel sea el doble de la de Sara?
Manuel 3(12) 36

33. Años x 12
Sara 12
(
)
X=12
9. Dentro de las competencias de las empresas en el mercado I
dólares tienen un duplo y mas el triple de lo que tiene travel
cambiarían con las ganancias respectivas el cuádruplo a tiene I el
quíntuplo de lo que tiene TC todo es igual a 10 ¿Cuánto de dinero
tiene cada uno?
J= (2x+3y)
TC=5(y)
1(-2)
2
/
Y

34. Y en 1
(
MCM=11
)
( )
Conclusiones
La compañía JR tiene 3.64 y Travel conver tiene 0.91de dólares
RESOLUCION DE ECUACIONES
COMPLETAS
A
Para
resolver
ecuaciones
completas
de
segundo
grado
comúnmente, tres métodos

Por descomposición de factores

Método de completar el trinomio cuadrado perfecto

Aplicación de la formula general
Método de
descomposición
Pasos
se
emplea

35. a. Factoramos el trinomio
b. Igualamos a cero cada uno de los factores encontrados
c. Resolver la ecuación de primer grado que ha quedado en cada uno de
los factores
d. Las raíces encontradas son las raíces de cada ecuación propuesta
Ejercicios:
1. Resolver la ecuación
(
)(
)
Raíces de la ecuación que cumple son: x-8 y 3
2. Resolver la ecuación
2x
3=3
1x
-4=-8
(
)(
)
Las raíces de la ecuación que se cumplen son
3. Resolver
y

36. (
)(
)
Las raíces que se cumplen son 6 ^ -5
4.
(y+4) (y-2)
Las raíces que se cumplen son -4 ^ 2
6. Resolver
(
)(
)
^2
^
^
^
Raíces de las ecuaciones que cumplen son
METODOS POR LA FORMULA
GENERAL

37. √
Aplicaciones:
a
b
c
a=3
b=-7
c =2
√
(
)
√(
)
( )
√
√
( )( )

38. 3.
√
(
)
(
(
)(
)
)
√( )
(
)
√
√
y
4. (
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
)
√
(
)
(
)
√(
(
)
)(
)

39. √
√
y
5.
a=
b=
c=
x=
√
√( )
( )( )
(
√
√
)
(
)

40. √
√
√
^
^
^