1. El documento describe las desigualdades y las inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo sus formas generales, teoremas fundamentales y métodos de resolución. 2. Se proporcionan ejemplos de resolución de inecuaciones lineales y cuadráticas, haciendo uso de intervalos, puntos críticos y variación de signos. 3. También se explica el valor absoluto, sus propiedades y cómo resolver ecuaciones y inecuaciones que lo involucren.

1. TEMA: DESIGUALDADES
DESIGUALDADES E INECUACIONES
DESIGUALDAD: Es aquella relación que se establece entre 2
números reales y que nos indica que tienen diferente valor.
NOMENCLATURA:
> : mayor que
< : menor que
 : mayor o igual que
 : menor o igual que
TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LAS DESIGUALDADES:
1.- a > b y m  R  a  m > b  m
2.- a > b y m > 0  a.m > b.m
y
a
b
>
b
m
3.- a > b y m<0  a.m< b.m
y
a
m
<
b
m
4.- a > b y m # impar R


m mm m
a b y a b 
5.- a > b y m # par R


m mm m
a b y a b  a; b R

 
6.-
1 1
a b
a b
  
7.-
x y
b 1 b b x y    
8.-
x y
a b 1 b b x y     
INTERVALO: Es aquel subconjunto de los números reales
definiéndoseles como aquel conjunto de valores comprendido
entre dos limites, llamado límite superior o supremo y límite
inferior o infimo.
CLASES DE INTERVALOS:
1.- INTERVALO ABIERTO:Se caracteriza porque es unintervalo en
el cual no se considera a los extremos se representa:
  ó
x  a , b  a < x < b
2.- INTERVALO CERRADO:Es aquel intervaloenel cual se considera
a los extremos y se representa  
x  [a,b]  a  x  b
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Forma general:
ax + b > 0 ó ax + b < 0
Para resolver una ecuación lineal se transforma para todos los
términos que contiene a la variable “x” al primer miembro y las
constantes al segundo miembro yluego en la recta numérica se
identifica el intervalo al cual pertenece la variable.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Forma general:
ax2+bx+c>0 ó ax2+bx+c<0
CRITERIOS A SEGUIR PARA RESOLVER ESTE TIPO DE
INECUACIONES
1.- El coeficiente principal debe ser positivo y la inecuación debe
estar reducida de modoque el segundo miembro figure el cero.
2.- La expresión debe estar factorizada para luego igualar cada
factor a cero.
3.- Se ubican dichos valores sobre la recta numérica (puntos
críticos).
4.- Se empieza por asignar el signo(+) enel últimointervaloyluego
en los demás intervalos de variación se alternanlos signos (-), (+), (-
), (+),.... de derecha a izquierda.
5.- La solución de la inecuación estará dada por las zonas positivas
si el sentidode la desigualdades (>) o por laszonas negativas si el
sentido de la desigualdad es (<).
Recordar:
JENA o 
(+) > 
(–) < 
EJERCICIOS
01. Resolver:
2x 1
5

+
3x 2
6

>
2x 1
2

+
2
3
a) ,17 b) , 17  c) ,15 d) 17,32 e) 17, 
02. Resolver
3x 1
5

>
x 1
2

+
7 x
7

a) x < –7 b) x < 7 c) x > –7 d) x > 7 e) –7 < x < 7
03. La inecuación:2x2-5x-3  0 tiene por solución el intervalo:
[UNSAAC2001-I]
a)
1
,3
2
 
  
b)
1
,3
2
 
  
c)
3
2,
2
 
  
d)
1
,3
2
 
  
e)
1
,3
2
 
  
04. Resolver la siguiente inecuación:[UNSAAC99-II]
x2 –10x + 21 > 0
a) x ,3 7,   
b) x ,2 10,   
c) x , 7 3,    
d) x , 3 7,    
e)  x 3,7
05. Determinar el conjunto solución de:
x2 – x – 6 < 0
x
-
∞
+
∞
a b
x
-
∞
+
∞
a b

2. TEMA: DESIGUALDADES
a) [-2,3] b) [ -2,3[ c) ]-2,3[ d) [-2, +[
e) ]-, -3]U[2, 
06. La solución de la inecuación es:
19x – 15  6x2
a)
3 5
,
2 3
b)
3
,
2
 c)
5
,
3
 d)
5
,
3

e)
3 5
, ,
2 3
 
    
07. Resolver la inecuación:
(x-5) (x-1)2 (x+3) > 0
a) , 3 5,    b) 3,5 c) , 5 
d) , 5 3,    e)  3, 5
NOTA: Cuando un factor esta elevadoa un exponente “par” los
signos de los intervalos no son alternados (se repite el mismo
signo)
08. Resolver:
(x-2)2(x+1)3(x+3)  0
a) ]-,-1] U [-3,+[ b)  , 3 1,    
c)  ,1 3,   d) [-1,-3] e) [-3,1]
NOTA: Cuando unfactor esta elevado a un exponente impar los
signos en los intervalos no se alteran.
09. Resolver:
5x(x-3)5(2-x)(5x-1)2  0
a) [2] b)  0,2 [3,  c) ,2 3,  
d) [0,3] e) ,0 [2,5] 
10. Resolver:
x 6
x(x 4)


 0
a) [-6,-4] U [0,  b) [-6, 4 U 0, c) 6,0
d) , 6] 4,0[    e) [ 6,0
NOTA: Los puntos criticos obtenidos del denominador siempre
son “ABIERTOS”.
11. Resolver: [UNSAAC99-II]
2
x 4x 4
0
(x 3)(7 x)
 

 
a)  ,3 7,   b)  3,7 c) ,3 7,  
d)  ,7 10,   e)  2,0 7,  
12. La solución de la inecuación;es:2x –
10
x
 1
a)
5
2, 0 0,
2
  b)
5
, 2 0,
2
  
c)  5
2,0 ,
2

  
d)
5
,0 ,
2
  
e)
5
2,
2

 
13. Resolver:
x 2 – 3 < 0
a) ,11 b) 2, c) 2,11
d) ,2 e)  ,2 11,  
14. x 5 + x > 5 ; la soluciones:
a) 0,7 b) 4, c) 0,4
d) , 4  e) ,4
15. Resolver:
3 3
x 7 x 1  
a) 1,2 b) 0,3 c) 2,2 d) 1,2 e) 1,4
16. Resolver:
x-2 x
x 3
8
16(2 )
2


a) 1,8 b) ,2 c) 1,2 d)  1,4
e) , 1 2,   
17. Resolver:    
x 3 x 2
4 5
4 8
0,8 0,64
 

a) x > 7 b) x > 8 c) x < 7 d) x < –7 e) x > 10
VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN: El valor absoluto de unnúmero real “x” denotadopor
|x| ; se define de la siguiente manera:
x; si : x 0
| x | 0; si : x 0
x; si : x 0


 
 
EXAMPLES:
 |3| = 3
 |–5| = – (–5)  5
Conclusión:El valor absolutode un número real cualquiera será
siempre positivo ó cero.
PROPIEDADES:
1. |x|  0
 x  R
2. |x|2 = x2  x  R
3. |x| = |–x|  x  R
4. |x.y| = |x|.|y|  x,y  R
5.
x x
y y
  x,y  R y  0
6. | x y | | x | | y |   Desigualdad
triangular.
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
1. |x| = 0  x = 0
2. |x| = a 
a 0
x a y x a


  
NOTA: Si:|x| = –a;la ecuación es incompatible, es decir no tiene
solución.

3. TEMA: DESIGUALDADES
3. Si: |x|=|y|  x = y ó x = –y
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
1. |x|  y  y  0  –y  x  y
2. |x|  y  x  y ó x  –y
3. |x|  |y|  (x+y)(x–y)  0
4. |x|  |y| (x+y)(x–y)  0
EJERCICIOS
18. Al resolver la ecuación:
|x – 8| = 3x ; el valor de “x” es:
a) 0 b) –1 c) 2 d) –4 y 2 e) –4
19. La suma de las soluciones de la ecuación
|2 – 3x| = 2x + 1; es:
a)
2
5
b)
2
5
 c)
16
5
d)
4
5
 e)
14
5
20. El conjunto soluciónde: |2x–13|=|x–5|;es:
a) {6} b) {8} c) {–6} d) {6,8} e) {–6,8}
21. El cuadradodel productode lasraícesde
|x – 2| = |2x + 3| ; es:
a)
25
16
b)
25
9
c)
9
4
d)
16
9
e)
25
4
22. El cuadradode la suma de las raíces de la ecuación
3 |2x – 3| = 5 + |4x – 6| ; es:
a) 10 b) 11 c) 8 d) 6 e) 9
23. La soluciónde |2x – 3|  1 ; es:
a) ] ,1 [ b) ,1] U [2,  c) [2, d) {2}
e) [1,2]
24. La soluciónde
x
2 3
2
 
   
; es:
a) ,10 b) [ 2, 10]  c) 2,10 d) 2, 10 
e) 2,10]
25. La solución de: |x – 2| < 2x + 1 ; es:
a)
1
3,
3



b)
1
3,
3
 c)
1
,
3


d)
1
,
3

e) , 3 
26. Dar el conjunto soluciónde:
|3 – x|  |3x – 5| [UNSAAC 2001-I (CBU)]
a) [1,2] b) ,1] [2,   c) 1,2
d) ,1 2,   e) 1,2]
27. Resolver: x2 – 2 |x| – 3 = 0
a) {3} b) {–3,3} c) {–1} d) {6,–3} e) {8,3}
28. La suma de lasraíces de la ecuación:
(x – 4)2 – 5 |x – 4| + 6 = 0 ; es:
a) 15 b) 14 c) 12 d) 13 e) 16
29. Resolver:
|–x| + |2x – 1| – 3 = |x| + 1 ; dar la suma de las solcuciones:
a)
3
2
b)
5
2
c) 1 d) –1 e) –2
30. Resolver:
    2
| x | 1 | x | 1 2x x 1     
a) ,2 8,   b) 1,0 c) , 1 0,    d) 1,5
e) , 2 2,   
31. El conjuntosoluciónde la inecuación:
|2x – 6| + 2 |–x| > |–4| + |2x| ; es:
a) , 1 5,     b) 5, c) ,1 5,  
d) 1,5 e) ,1 5,  
32. esolver: 11 – 3/2 x < 1/3 (5x + 14) > 9/5(2 + x)
a) < – , 2 > b) [ 2 , 6 ]c) [ 1 , 7 ]
d) < 2 , 8 ] e) [ 8 ,  >
33. Sean los conjuntos: A = { x  R / x2 – x – 20 > 0 } y
B = { x  R / x2 – 4x – 5 > 0 }
Hallar:A  B
a) [ –1 , 5 ] b) < – , –4 ] c) [ 5 ,  >
d) [–1 ,  > e) < – , –4 ]  [ 5 , +  >
34. Resolver:8(x – 1)2 > 8 – (x – 4)2
a) R b)  c) R – { 1/2 }
d) R – { 4/3 } e) { 4/8 }
35. Resolver: 2
3
1



x
x
, indicandounode los intervalos del
conjunto solución.
a) < – , –3 > b) < 5/3 ,  > c) < – , 3 ]
d) < –3 , –5/3 ] e) [ –3 , –5/3 >
36. Resolver: x
x
x
27
3
313



a) x < 8 b) R c) 
d) x > 3 e) { 3 }
37. Al resolver: 0
23
32
2
23



xx
xxx , el conjunto soluciónes de la
forma [ a , b >  < c ,  >.
Hallar:
a
cb
E 




 

10
a) 1/10 b) 3/10 c) 1
d) 0 e) 
38. Resolver:
9
7
3
1
3
2




x
x
a) { 3 } b) < – , 15> c) < 9 , 15 >
d) < –3 , 15 > e) { 15 }
39. Para x  [ 1/2 ; 3/2 ], sea Mel menor valor ym el mayor valor
que satisface la desigualdad.
m
x
x
M 



2
2
Hallar m – M
a) –16/3 b) 16/3 c) –7
d) –5/3 e) 5/21

4. TEMA: DESIGUALDADES
40. Indicar unode los intervalos de la solución de:
(x3 + x2 – 9x – 9)(x – 2)3 < 0
a) < –3 , –1 > b) < 2 , 3 ] c) < –1 , 2 >
d) < –3 , 3 > e) < –1 , 3 >
41. Resolver:(x3 – 1)(x3 – x2 – 4x + 4)(x – 2) < 0
a) < – , –2 > b) < – , –2 >  { 1 , 2 } c) 
d) R e) { 1 , 2 }
42. Resolver: 0
)3010)(43(
)45()5(
2
2



xxx
xx
a) [ 5/4 , 4/3 ] b) [ 5/4 , 4/3 > c) < –1 , 4/3 ]
d)  e) R
43. Hallar el valor de E. Si:
x
xx
E
114 
 , si x < 0 , 1 >
a)
x
x 25 
b)
x3
2
c)
x
x 23 
d) 5 e)
5
1
44. Hallar el conjuntosolución de:
I x2 – 4 I = 4 – 2x , indicando la suma de las soluciones.
a) –2 b) 2 c) 0
d) 1 e) –1
45. Resolver:x2 + I x I – 6 = 0, indicando la suma de las soluciones.
a) 0 b) –2 c) 2
d) –1 e) –3
46. Calcular:
x
xx
E
203205 
 si x < –3 , –2 >
a) 2 b) 1 c) 3
d) –2 e) 5
47. Las solucionesde la ecuación: I 18 – 3x – x2 I = 3 – x
a) –5 y 3 b) –7 y –5 c) –6 y 2
d) –5, –7 y 3 e) –5, –-6 y 3
48. La soluciónde la inecuación: I x3 – 1 I < x2 + x + 1
a) 1 < x < 2 b) 0 < x < 1 c) 0 < x < 2
d) –1 < x < 0 e) 0 < x < 2
49. La soluciónde la inecuación:
I x + 2 – x2 I < I x2 – 3x + 4 I es:
a) [ 1 , 3 ] b) < – , x , 1 ] c) < – , 1 > , [ 1 , 3
]
d) < – , 3 ] e) [ 3 ,  >
50. El conjuntosoluciónde I x – 4 I > –3 es:
a) x  < – , 4 > b) x  < 4 ,  > c) x  < –3 , 4 >
d)  e) R
51. Resolver:x4 – 4x3 – 3x2 + 14x – 8 > 0
a) < – , 2 ] b) < – , 2 ] [ 4 ,  >  { 1 }
c) R d) [ 4 ,  >  { 1 }
e) 
52. Hallar el complementodel conjuntosoluciónde:
1 521 3
328   
 x xx x
a) [ –1 , 1 ] b) [ –3 , 0 > c) < 0 , 3 ]
d) < – , –1 > e) < 1 ,  >
53. Hallar el mayor número enteroque verifica a la inecuación
5 6
12
4
35
)36.0()216.0(


xx
.
a) 0 b) –1 c) –2
d) 1 e) 2
54. Hallar la solución: xxx  2
224
a) < 1 , 2 ] b) < 1 , 4 ] c) < 3 , 4 ]
d) R e) < 2 , 4 ]
55. Resolver: 7310 2
 xxx
a) – 10 < x < 3 b) –2 < x < 7 c) –2 < x < 5
d) –3 < x < 5 e) 
56. Hallar la suma de todos los números enteros “x” que verifican
a la inecuación 0
1
5
2
93






x
x
x
x .
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 11