Tipos de taptanas

1. I
REPÚBLICA DEL ECUADOR
INSTITUTO SUPERIOR PEDAGÓGICO
INTERCULTURAL BILINGÜE
“QUILLOAC”
FORMACIÓN DOCENTE
TEMA:
“ESTUDIO Y MANEJO DEL MATERIAL DIDÁCTICO QUE INFLUYE EN EL
APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA EN LOS ESTUDIANTES DEL 4to, NIVEL
EN EL CECIB DE LA COMUNIDAD EL TEJAR, PARROQUIA QUINGEO,
CANTÓN CUENCA, PROVINCIA DEL AZUAY DURANTE EL AÑO LECTIVO
2010 – 2011”.
TESINA PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE PROFESOR EN EDUCACIÓN
GENERAL BÁSICA INTERCULTURAL BILINGÜE
AUTOR:
SEGUNDO HERIBERTO CHIMBORAZO ZHAU
TUTOR:
MSc. RAFAEL ALULEMA PICHASACA
AÑO LECTIVO: 2010 - 2011
QUILLOAC – CAÑAR - ECUADOR

2. 13
CERTIFICACIÓN
Yo, Rafael Alulema, MSc. Tutor del Proyecto de Tesina, cuyo título: ESTUDIO Y MANEJO
DEL MATERIAL DIDÁCTICO QUE INFLUYE EN EL APRENDIZAJE DE LA
MATEMÁTICA EN LOS ESTUDIANTES DEL 4to
, NIVEL EN EL CECIB DE LA
COMUNIDAD EL TEJAR, DE LA PARROQUIA QUINGEO DEL CANTÓN CUENCA,
PROVINCIA DEL AZUAY DURANTE EL AÑO LECTIVO 2010 - 2011.
Certifico, haber revisado prolijamente el presente Proyecto de Tesina que se ajusta a las
normas establecidas de investigación y doy fe que el maestro rural Segundo Chimborazo
hizo todas las correcciones pertinentes.
En tal virtud autorizo su presentación para los fines legales consiguientes.
Quilloac, junio del 2011.
M.Sc. Rafael Alulema
TUTOR

3. 14
RURAK
Yuyaykuna, shunku yuyaykuna, yuyayninakuna, imakaykuna; kay taripay llankaypi
churashkakunaka killkakpa paktachiy rurashkami.
……………………………………………………………..
SEGUNDO HERIBERTO CHIMBORAZO ZHAU
C. I...............................................................

4. 15
CALIFICACIÓN Y APROBACIÓN
Trabajo escrito, sustento teórico investigativo…………………………………………………10
Sustentación del trabajo investigativo…………………………………………………….........10
Calificación total………………………………………………………………………….............20

5. 16
KARAY
Kay llankay rurashkataka tukuy shunkuwanmi punta pachapika
PACHAKAMAKTA, yupaychani ñukaman yuyayta kushkamanta,
kipaka ñuka tayta, mamakunaman mana kay pachapi kakpipash,
kawsakushparaka yachakuypi kallarimanta yanaparkakunami;
paykunapa yuyaykunawanmi kay pacha, shamuk pachakunapish allí
kawsayta charisha.
Yallikari ñukapak aylluman ñuka warmi DOLORES, ñuka kimsa
wawakunaman VICTOR, BEATRIZ, PACHA paykunami kushi, llaki
pachapi haykapi ñukata mana kunkarishpa yanaparkakuna. Kunanka
kushillami kani ñukapa yachakuyta paktachiskamanta.
SEGUNDO

6. 17
YUPAYCHAY
Yupaychasha munani tukuy ñukapak mashikunata kay kimsa wata
yachakuypi llakipi kushipi yanapashkamanta, shinallatak pikunami
kay taripay llankayta rurankapa yanaparkakuna yachachik Rafael
Alulema, Carmen Sanchez paykunami kay yachachina kallari
watapi tukuy shunkuwan yanaparkakuna.
Instituto Superior Pedagógico Intercultural Bilingüe “Quilloac”
yachachikkunatapish shunkumantami yupaychani paykunapa tukuy
allí shunkuwan yuyaykunata karashkamanta; ñukaman kay
yachachina ñanta paskash churashkamanta.
Ñukapa sumaychay, yupaychay ISPEDIB “QUILLOAC” mana
kunkarishachu.
RURAK

7. 18
RESUMEN
Tema: Estudio y manejo del material didáctico que influye en el aprendizaje de la
matemática en los estudiantes del 4to
, nivel en el CECIB de la comunidad el tejar, de
la parroquia Quingeo del cantón cuenca, provincia del Azuay durante el año lectivo
2010 - 2011.
Objetivo general: Analizar los procesos de enseñanza-aprendizaje y la aplicación del
material didáctico en el área de matemática, en el 4to
nivel en el CECIB de la comunidad
El Tejar.
Variables: En esta investigación los elementos e indicadores que se tomaron en cuenta
para dar el valor a la hipótesis general y dar alternativas de solución al problema del
proyecto de investigación se ha verificado que los conocimientos matemáticos utilizados
(metodología) en el proceso de la enseñanza – aprendizaje está en un 77%, la deficiente
utilización del material didáctico 67%, tipo de trato afectivo que reciben los niños 100%.
Resultados: Después de aplicar las encuestas se obtendrá la información de los actores
involucrados en este presente trabajo investigativo que al realizar la tabulación respectiva
los resultados de las variables serán analizados e interpretados en forma gráfica y con la
interpretación pertinente.
Conclusión: Después de haber investigado y analizado se ha verificado que el problema
de estudio y manejo de material didáctico, es un factor que afecta negativamente en el
rendimiento de los niño/as debido al manejo inadecuado de los materiales didácticos de
matemática y la falta de capacitación de los docentes.
Recomendaciones: Que los docentes debemos poner mayor atención con los niño/as
en la didáctica de la matemática debido a que es un área científica que les servirá en todo
el trayecto de sus estudios y porque está presente en el vivir diario de la persona.
El costo total de este proyecto está calculado en $ 241,00 dólares financiado por el
investigador.

8. 19
INTRODUCCIÓN
La elaboración del presente trabajo: ESTUDIO Y MANEJO DEL MATERIAL DIDÁCTICO
QUE INFLUYE EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA, obedece a la necesidad de
sistematizar el conocimiento en el aspecto práctico y teórico que facilite a los estudiantes
el estudio de esta importante asignatura en su formación.
Siendo estudiante maestro del Instituto Superior Pedagógico Intercultural Bilingüe
“Quilloac” y al realizar las prácticas del ASERO, consideré un reto y una satisfacción, al
extraer en el presente trabajo una serie de investigaciones en lo concerniente al tema a
tratarse y poder aportar con el CECIB de práctica docente; una herramienta escrita con
claridad didáctica de un futuro docente profesional intercultural bilingüe. Este esfuerzo
investigativo se justifica; pues considero que los temas que a lo largo del trabajo se
abordan son de mucha importancia para la formación de los estudiantes.
En conclusión, espero que los contenidos de este proyecto ayuden a mejorar en parte la
crítica situación educativa en el aula con enseñanzas docentes que se niegan a dejar
viejos hábitos tradicionales y se constituyan por el contrario en una guía para conseguir lo
que la Nueva Reforma Curricular Educativa persigue: Hacer que el estudiante sea el
constructor de sus propios conocimientos. Creo que con la utilización pedagógica y
didáctica adecuada y oportuna por parte de los docentes en la enseñanza-aprendizaje,
los estudiantes serán cada vez más independientes de sus profesores, donde éste ya no
sea el siempre transmisor de conocimientos, sino el compañero, facilitador, guía durante
el proceso de inter-aprendizaje.

9. 20
ÍNDICE
Carátula…………………………………………………………..…………………………………..i
Certificacion…………………………………………………..……..………………………...........ii
Rurak………………………………………………………….……………………………………..iii
Calificación y aprobación………………………………………………………………………….iv
Yuyay…………..………………………………….……………………………….………………..v
Karay………………………………………………………………………………………………...vi
Resumen……………………………………………………………………………….................vii
Introducción……………………………………………………………………….......................viii
Índice………………………………………………………………………………………………..ix
1. CAPÍTULO I: MARCO CONTEXTUAL.
1.1. Planteamiento del problema…………..………………………………………………13
1.2. Justificación…………………………………..………………………………………….13
1.3. Objetivos………………………………………………………………………………….14
1.3.1. Objetivo general…………………………………………………………………………14
1.3.2. Objetivos específicos………….………………………………………………………..14
1.4. Hipótesis………………………………………………………………………………….15
1.4.1. Hipótesis general………………………………………………………………………..15
1.4.2. Hipótesis específicos……………………………………………………………………15
2. CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO.
2.1. SHUK NIKI YACHAY: TEJAR AYLLULLAKTAPA ALLPAMAMAKAMAY,
WIÑAYKAWSAY………………………………………………………………………….16
2.1.1. Tejar ayllullaktapa wiñaykawsay………………………………………………………16
2.1.2. Yachana wasipa wiñaykawsay………………………………………………………...16
2.1.3. Tejar allpamamapi rikuchi………………………………………………………………17
Ayllullaktapa saywa……………………………………………………………………..17
Chirikunuy pacha………………………………………………………………………..17

10. 21
2.1.4. Ayllullaktapa tantanakuy kawsay………………………………………………………18
Tantanakuy kawsay……………………………………………………………………..18
Waki kullki kamay kawsay……………………………………………………………...18
Waki kapak kawsay……………………………………………………………………..18
Ñawpa yachay…………………………………………………………………………...18
Shimi……………………………….…..………………………………………………....19
Apunchikamay…………………………………………………………………………...19
Pachamama muyuntin. ……………………………..………………………………….19
Churanakuna……………………………………………………………………………..19
Ayllullaktapa tiksiyay mutsuykuna……………………………………………………...20
2.2. UNIDAD DOS: MATEMÁTICA, HISTORIA, IMPORTANCIA, PASOS PARA
LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA.
2.2.1. Historia de la matemática………………………………………………………………..20
2.2.2. La matemática como ciencia……………………………………………………………..21
2.2.3. Importancia de las matemáticas…………………………………………………………21
2.2.4. Las cuatro operaciones fundamentales…………………………………………………23
Suma………………………………………………………………………………………..23
Resta……………………………………………………………………………………......23
Multiplicación………………………………………………………………………...........23
División…………………………………………………………………………………......23
2.2.5. Pasos para la enseñanza de la matemática……………………………………………24
Matemáticas………………………………………………………………………………..25
Los conocimientos matemáticos…………………………………………………………26
2.2.6. Criterios metodológicos y prácticos……………………………………………………..26
Sistema de numeración y escritura……………………………………………………...26
Sistema de cálculos y tipo de operaciones……………………………………………..28
El cálculo mental…………………………………………………………………………..28
El cálculo al graneo……………………………………………………………………….30
Sistema de medidas………………………………………………………………………30
2.2.7. Metodología de la matemática…………………………………………………………...31
La enseñanza de la suma y la resta…………………………………………………….31
La enseñanza de la multiplicación y de la división…………………………………….32

11. 22
2.3. UNIDAD TRES: MATERIAL DIDÁCTICO, IMPORTANCIA, USO Y MANEJO.
2.3.1. Definición…………………………………………………………………………………...34
2.3.2. Importancia…………………………………………………………………………………34
2.3.3. Base diez…………………………………………………………………………………...37
Relación de pertenencia………………………………………………………………….41
Relaciones de equivalencia………………………………………………………………42
Composición y descomposición de números…………………………………………..42
2.3.4. Tabla pitagórica……………………………………………………………………………42
2.3.5. Unidad de longitud: el metro……………………………………………………………..43
Los múltiplos del metro…………………………………………………………………...44
Los submúltiplos del metro……………………………………………………………….44
2.3.6. Geoplano…………………………………………………………………………………...45
Resolviendo problemas con el geoplano……………………………………………….47
2.3.7. Las taptanas……………………………………………………………………………….47
Taptana nikichik…………………………………………………………………………….48
Taptana Cañari…………………………………………………………………………….53
Taptana ambidiestra (ullkatalpaku)……………………………………………………...59
3. CAPÍTULO III: METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN.
3.1. Métodos y técnicas utilizadas en la investigación………………………………………..64
3.2. Construcción metodológica de la investigación………………………………………….64
3.3. Elaboración del marco teórico……………………………………………….....................65
3.4. Recolección de la información……………………………………………………………..65
3.5. Procedimiento para la recolección de datos……………………………………………...66
3.6. Técnicas de análisis…………………………………………………………………………67
3.7. Operacionalización de las variables……………………………………………………….68
4. CAPÍTULO IV: PRESENTACIÓN, ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE
RESULTADOS.
4.1. Enunciado de la hipótesis…………………………………………………………………..69
4.2. Descripción, análisis e interpretación de resultados…………………………………….70
4.3. Comprobación de la hipótesis……………………………………………………………...87

12. 23
5. CAPÍTULO V: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
5.1. Conclusiones………………………….. ……………………………………………………88
5.2. Recomendaciones…………………………………………………………………………..89
6. Bibliografía……………………………………………………………………………………90
6.1. Anexos……………………………………………………………………………………......91

13. 24
CAPÍTULO I: MARCO CONTEXTUAL
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El presente proyecto está planteado en base a la escases de los materiales didácticos
apropiados para el proceso de inter-aprendizaje de los niños/as en el CECIB,”SIN
NOMBRE” de la comunidad El Tejar; igualmente existe el uso inapropiado de los
materiales didácticos por parte de los docentes lo que conlleva a que los estudiantes
terminen la educación primaria con escasos conocimientos de la matemática.
La influencia del uso inapropiado de los materiales didácticos en el área de matemática en
el ámbito educativo es considerada como una de las mayores causas del bajo rendimiento
académico hecho que ha contribuido que los niños/as no se encuentren en las mejores
condiciones para aprender, frente a esta realidad el presente trabajo de investigación
pretende analizar los efectos que causan por las formas inapropiadas de utilizar los
materiales didácticos por parte de los docentes; y sobre todo proponer alternativas de
solución a este problema.
El presente trabajo investigativo se enmarca dentro del plan educativo y se denomina:
ESTUDIO Y MANEJO DEL MATERIAL DIDÁCTICO QUE INFLUYE EN EL
APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA EN LOS ESTUDIANTES DEL 4to
, NIVEL EN EL
CECIB DE LA COMUNIDAD EL TEJAR, DE LA PARROQUIA QUINGEO DEL CANTÓN
CUENCA, PROVINCIA DEL AZUAY DURANTE EL AÑO LECTIVO 2010 - 2011.
1.2. JUSTIFICACIÓN
En calidad de estudiante del Instituto Superior Pedagógico Intercultural Bilingüe “Quilloac”
(ISPEDIB “Q”), estoy cumpliendo con el Año de Servicio Educativo Rural Obligatorio
(ASERO) por lo que, tengo la obligación de desarrollar el trabajo de investigación
educativa, por medio de la presente investigación determinaré la deficiencia en el
aprendizaje comprensivo de la matemática por los niños/as del 4to
nivel en el CECIB de la
comunidad El Tejar, y buscar alternativas de solución.

14. 25
Uno de los mayores problemas en el proceso de inter-aprendizaje en el área de
matemática en algunos Centros Educativos Comunitarios Interculturales Bilingües
(CECIBs), deriva del deficiente uso y manejo de los materiales didácticos apropiados, lo
que nos conlleva con esta investigación a buscar estrategias, metodologías y el uso
apropiado de los materiales didácticos de matemática.
Por otra parte, en la actualidad existe poca unidad de criterio entre los CECIBs, sobre el
manejo específico y concreto de los materiales didácticos, hecho que ha conllevado a que
los estudiantes reciban instrucción cognoscitiva de forma abstracta, dejando a lado los
pasos primordiales: concreto, gráfico y simbólico, que permiten el razonamiento de los
niños/as en la solución de los problemas.
Con estos antecedentes es importante y necesario abordar este trabajo investigativo que
se expresará a través de una propuesta consolidada ya que los beneficiarios directos
serán los estudiantes del 4to
Nivel del CECIB de la comunidad El Tejar e indirectamente
los docentes y los padres de familia de la dicha comunidad.
1.3. OBJETIVOS
1.3.1. Objetivo General:
 Analizar los procesos de enseñanza-aprendizaje y la aplicación del material
didáctico en el área de matemática, en el 4to
nivel en el CECIB de la comunidad El
Tejar.
1.3.2. Objetivos Específicos:
 Registrar y clasificar los materiales didácticos de las matemáticas existentes en el
CECIB, según su categoría. (abstractos y concretos)
 Identificar los métodos pertinentes para el área de matemática y su proceso.

15. 26
 Identificar los principales limitantes en la comprensión y resolución de problemas
matemáticos.
 Investigar en fuentes bibliográficas métodos y estrategias alternativas para el
aprendizaje de las matemáticas.
1.4. HIPÓTESIS.
1.4.1. Hipótesis general
La deficiente capacitación de los docentes y falta de materiales didácticos de matemática
incide en el bajo rendimiento de los estudiantes en el CECIB S/N de la comunidad El
Tejar.
1.4.2. Hipótesis específicas
1.4.2.1. La metodología, el material didáctico, es deficiente en los docentes del CECIB s/n
de la comunidad El Tejar.
1.4.2.3. El maltrato físico y psicológico con los niños/as eleva el porcentaje de
estudiantes con escasa comprensión en el aprendizaje de la matemática, como también
la utilización inadecuada del material didáctico por los docentes.
1.4.2.4. El desconocimiento y la falta de control de los padres de familia en el
cumplimiento de las tareas, son los factores que inciden en el rendimiento académico de
sus hijos/as.

16. 27
CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO
2.1. SHUK NIKI YACHAY: TEJAR AYLLULLAKTAPA ALLPAMAMAKAMAY,
WIÑAYKAWSAY
2.1.1. Ayllullaktapa wiñaykawsay. (Historia de la comunidad)
Wiñaykawsay kashnami parlan, kunan kay Tejar ayllullaktapa allpakunaka ñawpa
pachapika chayuk runa amukunapallami kashka; kaykunami kaypi kawsakkunataka allí
kamishpa sinchita llankachik kashkakuna. Tukuymashnami amuta kasushpa kawsak
karkakuna sañuta tikata rurashpa chaymantami kay ayllullakta Tejar shutiwan sakirishka.
Chakrakamay llankaytapish rurak kashkakunami
Siwarata, trikuta, sarata, alwita, papata tarpushpa; tukuy pukushka murukunatami
amuman kuna karka paykunaka ashallawanmi sakiri karkakuna. Shinallata
PACHAKAMAKPA shimita chaskishpa yachakunami karka pikunami chunka pusak yalli
watata charikkunari apuncikwasita yanapanami karka paykunapa llankashka hapishka
kullkita chunka rakipi rakishpa.
Waranka iskun pasak pichka chunka (1950) watamantami runakunapa hatun sinchi
hatarikuna tiyashka yachakuymanta, allpamanta, runakunapa hayñikunamanta;
kipamanka REFORMA AGRARIA yanapaywan runakunaka tantanakuypi sinchiyankuna
kuskapi, ayllullaktakunapi tantarishpa ima shinami kunan pachakama Kan.
2.1.2. Yachana wasipa wiñaykawsay. (Historia del CECIB)
Ñawpa pachapika kay ayllullaktaka mana yachana wasitaka charirkakunachu shinashpami
kikin yachana wasita charinata wiñari mutsuriypi yuyarishkakuna wawakuna shuk
ayllullaltapi yachana wasiman yachakuyman chayankapa achka maklluy purinata
charishkamanta. Tukuy kay llakikuna rikurikpimi Azuay Markapa Ishkay Shimi
KawsaypuraYachayta Pushakkamay tantanakuyman (DIPEIB-A) yanapayta mañanata
yuyarinkuna. Chay pachapika Lcda. Nieves Morocho mashimi DIPEIB-A tantanakuypa
pushakka kashka.

17. 28
CECIB S/N El Tejar yachana wasika ishkay chunka kanchis kuski killa ishkay waranka
kanchis watapimi wiñarishka (27 de septiembre del año 2007) DIPEIB-A, sinallatak
Quingeo kitilli tantanakuy, uyaywa yachachik María Carmen Sanchez Sicha, ayllullakta
pushakkunawan, apuk Pedro Suconota Comité Promejoras El Tejar pushak tukuy shunku
munay mañay rurashka yanapaykunawan. Yachana wasi wiñarishkamanta pacha
wawakunawan yachayta kallarishkami, ayllullaktapa tantanakuy kikinruray kawsay ama
chinkarichun yuyashpa, shinallata ayllullakta minkaykunawan, Quingeo tantanakuy
kitilliwan, ETAPA tantanakuywan, Ministerio de Obras Públicas yanapaykunawan
llankayhillay yachana wasita, yachakuna wasita, muya yachana wasitapish charinkunami
sumak allí kawsayta mashkashpa.
2.1.3. Tejar allpamamapi rikuchi. (Ubicación geográfica)
Tejar ayllullaktaka Azuay markaman, Cuenca kitiman, Quingeo kitillimanmi paypachik.
Kay ayllullaktamanka Cuenca kiti Loja markaman rina hatun ñantami yaykunalla Cumbe
kitillita yaykushpa; kaykamanka chunka chusku warankatatkimi (14 k.) Kay Cumbe
kitillimantaka Quingeo kitillimanmi antawata hapina Caspicorral ayllullaktapi sakirishpa
Tejar ayllullaktamanka chayanallami.
Ayllullaktapa Saywa. (Límites)
Tejar ayllullaktapa saywaka kashnami kan:
Chinchaysuyu: Caspicorral ayllullaktawan.
Kullasuyu: Jabaspamba ayllullaktawan.
Antisuyu: Totoras mayu, Yungapamba ayllullaktawampash.
Kuntisuyu: Pillachiquir mayu, Pillachquir ayllullaktawampash
Chirikunuy pacha. (Clima)
Tejar ayllullaktaka ishkay waranka pusak pasak hawa shinapimi kan (2800 msnm);
shinashpami chirikunuy pachata charin. kaypika chakrakamay llankaytami rurankuna;
chakrakamaypika kay murukunallatami tarpunkuna: papa, alwita, sara, shuktakunapash;
shinallatak muru yurakunapish tiyanmi: chilku, pera, manzana, shuktak murukunapash;
wakrakamayka asha ashallami kan, kaykuna: wakrakuna, wiwikakuna, kuchikuna,
chitakuna.

18. 29
2.1.4. Ayllullaktapa tantanakuy kawsay. (Aspecto organizativo, económico y cultural
de la comunidad)
Tantanakuy kawsay. (Organización)
Tejar ayllullaktapika chusku chunka pusak ayllukunami (48 f.) kawsankuna
tukuymashnaka ishkay pasak sukta chunkami (260 h.) kankuna (pasak kimsa karikuna,
pasak pichka chunka kanchis warmikuna); paykunaka kichwa kawsaymarka Azuay
llaktamanmi paypachik; kay runakunaka apunchikkamay, pukllaykunapi, raymikunapi
tantarishpallami kawsankuna Kawsankuna.
Waki kullkikamay kawsay. (Aspecto socio-económico)
Tejar wakika chakrakamaywanmi kawsankuna: Siwarata, trikuta, sarata, purututa, alwita,
papata, shuk murukunatapash chapu tarpuy rurashpa. Kay murukunaka wasi uku
ayllukunawan mikunkapallami mutsunkuna mana katunkunachu; Wiwakamaypika kaypi
kawsakkunaka hatun uchilla wiwakunatami asha ashalla wiñachinkuna paykunapa wasi
uku llankaykunapi, raymikunapi, wawa shutichikunapi, sawarikunapi, ima ruraykunapipish
mutsunkapa. Tawka waynakuna, pasñakuna, shunkuyukkunaka, Cuenca
hatunllaktamanmi llankanaman llukshinkuna ayllupa allí kayta mashkashpa.
Waki kapak kawsay. (Aspecto político)
Tejar ayllullaktapa tawka kapak tantanakuyka kaykunami kan: Comité Promejora El Tejar,
pukllay tantanakuy, warmikuna tantanakuy, PACHAKAMAK shimita kati tantanakuy,
kawsay killkay kamay tantanakuy, kitilli tantanakuy, kitilli apuk, hampi wasi tantanakuy; kay
tantanakuykunami Quingeo kitilli, shinallatak ayllullaktakunata allí kawsachun rikunkuna.
Ñawpa yachay. (Sabiduría ancestral)
Kay ayllullaktapika ñawpa taytakunapa hampina yachaykunata mutsunkunarami: tukuy
sami paykunapa riksishka sachakunawan, wiwakunawan; wachachik warmikunapish
paykunapa yachaywan yanapankunami; Shinallata wiwakamaypi, chakrakamaypi, wasi
uku ruraykunapi llankaykunata rurankapa PACHAMAMATA, killata kuyaywan
sumaychaywan rikuytapish yachankunami.

19. 30
Shimi. (Idioma)
Paykunapa ñawpa taytakunapa rimashka shimika kichwa shimimi karka, kunan
pachakunapika ashallami kay shimita chanikkunaka kankuna, shina yallishpami
paykunapa shimitaka chinkachishka llaktamanta llukshirishpa, kawsay chinkariy
kushkamanta. Kipa wiñay wamrakunaka (kuytsa, wayna, wawa) kay shimitaka
hamutankunallami mana rimarish ninkunachu.
Apunchikamay. (Religión)
Llaktaykuka católica apunchikkamaytami sumaychaywan, tukuy shunkuwan katinkuna;
shinashpami tukuy ayllukuna tantarishpa ayllullaktapi hatun raymita rurankapa
allichirinkuna. Kay raymitaka tukuymashna kushiyarishpami watanta watanta paykunapa
ama Virgen del Cisnetami (Churonita) yallinkuna chunka pichka karwa killlapi. Shinallatak
ayllullakta ukupika shukta raymikunapika kikinruraytaka mana chinkachinkunachu: kapak
raymipi, wata tukuri raymipi, Pawkar raymipi (pukara pukllaytami pukllankuna),
mamakunapa punchapi, shukta raymikunapipash. Paykunaka mamallaktapa kapak
takitami uyankuna, tushunkunapish; rumpawan pukllanatapish ushankunami.
Pachamama muyuntin. (Entorno natural)
Ayllullaktaka waylla pampakunata, tarpunkapa allpakunata, muya ayllukunata, muya
yachana wasikunata charinmi; Pillachiquir, Totoras ishkay mayukunapa chawpipimi
Sakirin, kay mayukunami wiwakunata, yurakunata, runakunata, kawsayta kun. Shinallatak
ETAPA tantanakuy yanapaywanmi taririn Pachamamata kamankapa, Pachamama
yachakuy hawa wawakunaman, yaya mamakunaman yachayta karan, Pushakkamay
runakunapa hampi tantanakuytapish Hampina wasi kawsaypura yanapanmi wawakunata
yachachishpa, hampikunawan, muya ayllukunawanpish.
Churanakuna. (Vestimenta)
Ayllullaktapa kawsay kikinyariy churanakunaka shinami kan,warmipaka: sumaymana
allichishka saya, yurak talpa, uksha muchiku, makana; karikunapa mutsuypa
churanakunaka: millma yakaylla, wara, kunka mayturi, yurak ukuchurana, shinami Azuay

20. 31
llakta runakuna kashkata kikinyariykuna. Kunan pachakunaka churarinapika yalli Iñaki
rikurishkami kawsay chinkariy kushkamanta.
Ayllullaktapa tiksiyay mutsuykuna. (Servicios básicos de la comunidad)
Ayllullaktaka kay tiksiyay mutsuykunatami charin:
Achikkuk.- kay tiksiyay mutsuytaka tukuy llaktaykukunami charinkuna
Yaku.- Ayllullakta llaktaykuka mana chuya upiana yakutaka charinkunachu, sapalla
mirmipi shamuk yakullatami upinkuna, shinaka tukuymashnami ukkupa allikay maklluyta
kallpankuna.
Tiksiyay chuyayarina. (Servicios higiénicos)
Kay ayllullaktaka tukuy llaktayku kawsakkunaman ishkay tiksiyay chuyayarinatami charin,
yachana wasipish kimsa kawsaypachakamay tiksiyay chuyayarinatami charin.
UNIDAD DOS: MATEMÁTICA, HISTORIA, IMPORTANCIA, PASOS PARA LA
ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA.
2.2.1. Historia de la matemática.
La evolución de la matemática puede ser considerada como el resultado de un incremento
de la capacidad de abstracción del hombre o como una expansión de la materia
estudiada. Los primeros conceptos abstractos utilizados por el hombre, aunque también
por muchos animales,[10]
fueron probablemente los números. Esta noción nació de la
necesidad de contar los objetos que los rodeaban.
Desde el comienzo de la historia, las principales disciplinas matemáticas surgieron de la
necesidad del hombre de hacer cálculos con el fin de controlar los impuestos y el
comercio, comprender las relaciones entre los números, la medición de terrenos y la
predicción de los eventos astronómicos. Estas necesidades están estrechamente
relacionadas con las principales propiedades que estudian las matemáticas la cantidad, la
estructura, el espacio y el cambio. Desde entonces, las matemáticas han tenido un largo
desarrollo y se ha producido una fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia,
en beneficio de ambas. Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo
de la historia y se continúan produciendo en la actualidad.

21. 32
2.2.2. La matemática como ciencia.
Se expone el objeto de estudio de la matemática como ciencia y el comportamiento del
mismo en el transcurso del desarrollo de las matemáticas. Se estudia el surgimiento y
desarrollo de las matemáticas, su relación con otras ciencias y se plantea una
periodización de la historia de las matemáticas. Palabras claves: matemáticas, historia,
ciencia.
La ciencia, como una de las formas de la conciencia social y como reflejo de la realidad,
es un sistema de conocimientos objetivos, verificados por la práctica y generalizados en
conceptos, principios, leyes y categorías. Es también actividad científica y como tal, forma
parte de la cultura del hombre.
Su contenido tiene un carácter objetivo, ya que la misma es un reflejo objetivo de la
realidad, pero al mismo tiempo, al ser una forma de la conciencia social, es decir, como
actividad del sujeto, del hombre, tiene también un carácter subjetivo, pues es el hombre
quien hace interpretaciones de esa realidad, de ahí que la Ciencia no es verdad absoluta,
sino que se enriquece y se valida con la práctica que la confirma.
Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del griego μαθηματικά,
derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, partiendo de axiomas y siguiendo
el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes
abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Mediante las matemáticas
conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos
buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática
mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las
definiciones apropiados para dicho fin.
2.2.3. Importancia de la Matemática
Parece natural que la mayoría de la población desconozca casi todo sobre las
matemáticas y que su relación con ellas se limite a las cuatro reglas. Este distanciamiento
contrasta con la importancia que las matemáticas tienen hoy en la sociedad.

22. 33
Las matemáticas están en el centro de nuestra cultura y su historia se confunde, a
menudo, con la de la filosofía. De igual modo que las teorías cosmológicas y de la
evolución han ejercido notable influencia en la concepción que los humanos tenemos de
nosotros mismos, las geometrías no euclídeas han permitido nuevas ideas sobre el
universo y los teoremas de la lógica matemática han puesto de manifiesto las limitaciones
del método deductivo. También en el arte hay matemáticas. Desde que Pitágoras, el
matemático más célebre, descubriera razones numéricas en la armonía musical hasta
ahora la relación de las matemáticas con el arte ha sido permanente. Estos aspectos de
las matemáticas las convierten en puente entre las humanidades y las ciencias de la
naturaleza, entre las dos culturas de las que hablaba Snow.
Las matemáticas las utilizamos en la vida cotidiana y son necesarias para comprender y
analizar la abundante información que nos llega. Pero su uso va mucho más allá: en
prácticamente todas las ramas del saber humano se recurre a modelos matemáticos, y no
sólo en la física, sino que gracias a los ordenadores las matemáticas se aplican a todas
las disciplinas, de modo que están en la base de las ingenierías, de las tecnologías más
avanzadas, como las de los vuelos espaciales, de las modernas técnicas de diagnóstico
médico, como la tomografía axial computadorizada, de la meteorología, de los estudios
financieros, de la ingeniería genética.
Pero las matemáticas son una ciencia pura, cuyos problemas por sí mismos suponen un
reto desnudo para la inteligencia; Jacobo pensaba que la finalidad única de las
matemáticas era rendir honor al espíritu humano. Su lenguaje universal las convierte en
herramienta eficaz para la cooperación entre países más y menos desarrollados,
favorecer un ámbito de colaboración que mejore la convivencia y fomentar la paz entre los
pueblos.
Las matemáticas tienen, desde hace veinticinco siglos, un papel relevante en la educación
intelectual de la juventud. Las matemáticas son lógica, precisión, rigor, abstracción,
formalización y belleza, y se espera que a través de esas cualidades se alcancen la
capacidad de discernir lo esencial de lo accesorio, el aprecio por la obra intelectualmente
bella y la valoración del potencial de la ciencia. Todas las materias escolares deben
contribuir al cultivo y desarrollo de la inteligencia, los sentimientos y la personalidad, pero
a las matemáticas corresponde un lugar destacado en la formación de la inteligencia ya

23. 34
que, como señaló Aristóteles, los jóvenes pueden hacerse matemáticos muy hábiles, pero
no pueden ser sabios en otras ciencias.
2.2.4. Las cuatro operaciones fundamentales
Suma.
En la suma o adición de números se presentan los siguientes casos: sumar dos números
con igual signo, sumar dos números de signo diferente y suma de varios números de
signos diferentes.
Resta.
La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata
de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una
parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia.
Multiplicación.
La multiplicación es una operación binaria en el conjunto de los números naturales. Sus
términos son factor y producto. La multiplicación es una operación aritmética de
composición que consiste en sumar reiteradamente un mismo valor la cantidad de veces
indicada por un segundo valor. Así, 4·3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o,
simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo
(4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.
División.
La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar
cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La
división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa
de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.
La división es una operación inversa a la multiplicación que permite averiguar cuantas
veces una cantidad está contenida en otra.

24. 35
2.2.5. Pasos para la enseñanza de la matemática.
El aprestamiento
Poner en condiciones mejorables al estudiante para el nuevo aprendizaje es un paso que
el profesor debe ejecutar con mucha dedicación; de no hacerlo los conceptos
fundamentales de la matemática no encontrarán campo propicio para su enraizamiento.
La visualización
Un proceso matemático tiene lógica cuando interviene el sentido de la vista como un
seguro vehículo que interioriza los conceptos tomando las formas que presentan los
dibujos, los gráficos, los carteles, etc. Por lo que este paso es de suma importancia
porque asocia lo abstracto con lo concreto.
La manipulación
Si viendo se aprende, que diremos del estudiante que maneja los objetos presentados por
su maestro. Estos objetos de ninguna manera tienen que ser sofisticados ni ser mucho
valor económico. Al contrario, tiene que ser de fácil construcción a lo mejor con la
participación de los niños, especialmente, en la recolección de semillas, de piedritas, etc.
Abstracción
Este paso es el de mayor dificultad y sin embargo es el que se da con menos cuidado. Si
el niño ha manejado su material, es fácil ir representando con números y luego con
operaciones.
La generalización
Si el maestro ha venido siendo solo un orientador en el trabajo, el propio estudiante será
el descubridor de los conceptos, fórmulas, reglas y de los principios que rige un
determinado hecho matemático.

25. 36
Aplicación
Si los contenidos matemáticos no sirven para responder a los problemas de la familia, no
será del interés del estudiante y su razonamiento será nulo. Por eso el maestro no debe
llenar la pizarra de operaciones, sino debe proponer la solución de problemas de compra,
venta, reparto, etc.
Mantenimiento
Generalmente, un maestro que trató un tema lo olvida hasta que llega el día del examen;
no importa que haya pasado 1, 2 o 3 meses, por lo que el estudiante no responda como
desea. Para evitar esta situación es de gran valor mantener vigentes los conocimientos,
dando a los estudiantes la oportunidad de recurrir frecuentemente a ellos, en procura de
solucionar problemas de su realidad.
Fijación de aprendizaje a través de ejercicios
El profesor debe procurar por hacer de la ejercitación una tarea amena, alegre y
estimuladora para los niños. Debe ser una actividad que le incite a pensar, y a desarrollar
su capacidad de razonamiento; ensayando nuevos procesos de trabajo que lleven a una
profunda reflexión y comprensión de los procesos numéricos. (Quizhpi F, 2010)
Matemáticas
Dado que las matemáticas son una ciencia que, debido a los erróneos procedimientos de
enseñanza ha perdido los referentes sociales, en este programa se pretende partir de las
necesidades personales y sociales de uso y aplicación del número, pasar al aprendizaje
de los conceptos lógico-matemáticos y luego a su aplicación para solucionar los
problemas con los que se enfrenta la población en la vida cotidiana.
Desde este punto de vista, no se requiere que el niño - ni el adulto, se centren en el
estudio de teorías matemáticas memorizantes que poco aportan para la comprensión de
esta ciencia. Este tipo de situaciones ha dado lugar a que una gran cantidad de población
nacional sienta aversión por esta ciencia y desconozca aún los procedimientos más
elementales de cálculo.

26. 37
Para facilitar la comprensión de los conceptos y procesos matemáticos y su utilización se
sugiere la utilización de procesos que empleen los siguientes procedimientos:
Concreción, con empleo de objetos manipulables.
Semiabstracción, con el uso de maquetas, ábaco y otros recursos para la representación
de cantidades.
Abstracción, con el empleo de imágenes y la correspondiente representación numérica y
simbólica para el manejo del sistema escrito. (MOSEIB, 1992).
Los conocimientos matemáticos
En las matemáticas los estudios de los sistemas de numeración de las culturas indígenas
pueden llevar a comprender cómo fue construida esta ciencia. La dificultad de la
explicación y comprensión de las matemáticas no está tanto en las altas matemáticas sino
en las que se enseña en los primeros niveles de la escuela. (Montaluisa L, 2006).
Las primeras ideas desarrolladas en el campo matemático han sido la cantidad, la
proporción, la agrupación, el aumento, la disminución, la repetición, la distribución. A partir
de ellas, se han formado las medidas del tiempo, del espacio y de la masa.
Según las circunstancias que le ha tocado vivir a cada cultura hemos ido creando
términos para designar estos elementos de las matemáticas. (Montaluisa L, 2006).
2.2.6. Criterios metodológicos y prácticos.
Sistemas de numeración y escritura.
El sistema de numeración de los pueblos indígenas kichwas es, a no dudarlo, el decimal
(de base 10), tal como lo ha confirmado el Centro de Investigaciones de la Educación
Indígena (CIEI) basadas en el análisis de la lengua kichwa. Cada número del 1 al 9 tiene
una palabra diferente; igualmente, hay un nombre distinto para cada una de las potencias
de base diez. Así:

27. 38
1 SHUK 8 PUSAK
2 ISHKAY 9 ISKUN
3 KIMSA 10 CHUNKA
4 CHUSKU 100 PATSAK
5 PICHKA 1000 WARANKA
6 SUKTA 1000000 HUNU
7 KANCHIS
El kichwa y el español tienen, por lo tanto, similitud en cuanto al sistema de numeración
(decimal), en el que se basan. No así en cuanto al sistema de escritura de cantidades, en
el cuál la lengua kichwa carece de formas abstractas de representación simbólica de
cantidades, dado que es una cultura eminentemente oral. La interpretación de sus formas
de escritura numérica, por consiguiente, se basa en el análisis estructural de los nombres
asignados a cada número en kichwa, de donde se ha concluido que esta lengua no tiene
formas irregulares; la escritura de cualquier cantidad se basa en las 9 palabras que
representan los 9 primeros números y las palabras que representan las potencias de 10
(101
, 102
, 103
, y 104
).
En el español ocurre de manera diferente, pues encontramos formas irregulares cuyo
manejo exige el conocimiento de todo el sistema de escritura. Con un ejemplo podemos
identificar la diferencia. En kichwa, los números del 1 al 9 se basan en diez palabras que
según la posición que ocupen expresan o las unidades o las decenas. Así:
No KICHWA ESPAÑOL
PATSAKKUNA CHUNKAKUNA SHUKKUNA
6
10
16
60
100
666
SUKTA
CHUNKA
CHUNKA SUKTA
SUKTA CHUNKA
PATSAK
SUKTA PATSAK SUKTA CHUNKA SUKTA
SEIS
DIEZ
DIECISEIS
SESENTA
CIEN
SEISCIENTOS SESENTA
Y SEIS

28. 39
Pensemos finalmente en la escritura de los números 11, 12, 13, 14 y 15, cuyas formas
irregulares del castellano se evidencian fácilmente, frente a la regularidad que presentan
en el kichwa:
Número Kichwa Español
11 CHUNKA SHUK ONCE
12 CHUNKA ISHKAY DOCE
13 CHUNKA KIMSA TRECE
14 CHUNKA CHUSKU CATORCE
15 CHUNKA PICHKA QUINCE
Estas distintas construcciones lingüísticas para expresar las operaciones matemáticas
más elementales, explican las diferencias existentes entre las dos lenguas en cuanto a la
enseñanza de esta asignatura. Mientras en kichwa se facilita notablemente la enseñanza
de la escritura de los números, pues basta conocer los diez primeros y realizar con ellos
las combinaciones adecuadas de posición para escribir el resto. (Jurado C, 1993).
Sistema de cálculos y tipo de operaciones.
La investigación del Centro de Investigaciones de la Educación Indígena (CIEI) aplicada
en tres provincias del país, Imbabura, Cotopaxi y Chimborazo, a “contadores públicos”,
que son las personas encargadas de resolver los problemas de cálculo de la comunidad,
proporcionó importante información sobre las formas de cálculo de la cultura kichwa; por
un lado, tenemos el cálculo “mental”, y por otro el cálculo “al graneo”, cada una de las
cuales implica procesos operativos diferentes y grados de abstracción también
diferenciados.
Esta información es utilizada actualmente en las escuelas bilingües con ciertas
adaptaciones didácticas que faciliten el proceso de enseñanza-aprendizaje.
El cálculo mental
El cálculo es la habilidad matemática más importante. Adquirirlo requiere un esfuerzo
permanente y sistemático. Al terminar la escuela primaria, todos los niños deben poder

29. 40
realizar y aplicar oralmente y por escrito las cuatro operaciones básicas de modo seguro y
fluido. Sin embargo, el cálculo no es un fin en sí; sirve para desarrollar el pensamiento
conceptual y la solución de problemas. Por lo tanto no se debe limitar a un cálculo de
rutina, sino que debe fomentar la comprensión y el acceso a la realidad”.
“El cálculo se efectúa siempre descomponiendo los números para buscar sus
complementarios a 10 ó a 5 por ser los números básicos del sistema de cálculo mental,
como se puede ver en el ejemplo siguiente: así, si se toma 72+58, el número 72 se
descompone en 70+2 y 58 en 60-2 sumándose 60+70 anulándose automáticamente (+2 y
-2). Si se tratara de la suma 62+43, se descompondría 62 en 65-3 y 43 en 40+3 lo que
permite sumar 65+40 anulándose (-3 y +3)”.
Otra característica de este sistema de cálculo es que se comienza a sumar por las
cantidades más altas, para hacerlo al final con las unidades, es decir se procede de
izquierda a derecha y no como en el sistema convencional, en el cual se comienza por las
unidades y solo al final se operan con las cantidades más grandes.
Para la resta se comienza por la cantidad que se va a restar (sustraendo) y se la va
aproximando hasta la cantidad de la cual se va a restar (minuendo); estas aproximaciones
sucesivas se las realiza en base a 10 ó 5. Al final se suman las cantidades parciales
obtenidas en cada aproximación.
Por ejemplo, si se desea restar 17 de 43 se procede así:
1) Ubicamos el 43 arriba y el 17 en la parte inferior.
2) Comenzamos a aproximar el 17 hasta llegar al 43.
3) Anotamos las aproximaciones (datos a la derecha)
4) Finalmente sumamos las cantidades obtenidas en las aproximaciones
43 Las
aproximaciones
sumamos.
40 +3
30 +10
20 +10
17 + 3
26 43-17=26

30. 41
El cálculo al graneo
“En primer lugar, cabe indicar que el término “graneo” hace referencia, de manera
general, al empleo de elementos tales como granos de maíz, habas, frijoles, semillas,
piedrecillas, etc., para llevar a cabo distintas operaciones. En este sistema, los granos
reemplazan a los elementos reales (animales, productos agrícolas y otros), que son objeto
de cálculo, encontrándose una relación “indirecta” con los referentes que se calculan o, en
otros términos, sustituyendo la realidad objetiva por una realidad representativa. Se trata
todavía de un cálculo basado en objetos, lo que nos pone frente a un sistema semi-
abstracto equivalente al de un ábaco elemental”.
Para contar se utilizan varias clases de granos, a fin de representar con ellos las
unidades, las decenas, las centenas. El maíz, por ejemplo, representa las unidades;
luego, 10 granos de maíz se sustituyen por uno de haba que representa las decenas y 10
granos de haba por uno de frijol, el cual representa las centenas.
“Las operaciones que se llevan a cabo son: conteo, suma, resta y repartición, que es un
proceso elemental de la división; la multiplicación se resuelve mediante la suma o
agrupación de elementos contables en base a diez y sus potencias”.
Este sistema de cálculo al graneo facilita, dentro de la educación bilingüe, la adquisición
de las nociones matemáticas básicas, pues es precisamente el sistema en el que se basa
la actual Taptana empleada en las escuelas bilingües.
Sistema de medidas
Las medidas tradicionalmente utilizadas por las comunidades kichwas están
estrechamente ligadas a las medidas del cuerpo humano (cuarta, pie, brazada) y a ciertos
objetos de uso común (pilches, almudes). Para las medidas del tiempo tenemos el ciclo
agrícola, con sus épocas de siembra y de cosecha, que norman las actividades
productivas, sociales y religiosas durante el año. Sirven igualmente como medida de
tiempo el movimiento solar que marca las principales horas del día e igualmente define las
épocas de siembra y cosecha, así como las fases de la luna que determinan las
actividades específicas al interior de las épocas del ciclo agrícola ceremonial.

31. 42
Presentamos algunas medidas expresadas en los textos del proyecto EBI:
SHAYA: Altura de una persona que sirve para relacionar con otros objetos.
TATKI: Equivale a un paso; con ella miden, por ejemplo, la longitud de terrenos.
CHAKI: Equivale a un pie, para medir longitudes.
RIKRA: Equivale a dos brazos abiertos para medir longitudes y altura.
KAPA: Equivale a la medida de la mano abierta; se mide con ella superficies
planas no muy grandes.
YUKU: Palmo pequeño entre el índice y el pulgar, sirve para medir pequeñas
superficies planas y altura.
RUKA: Pulgada del dedo gordo de la mano para medir pequeñas longitudes.
(Jurado C, 1993).
2.2.7. Metodología de la matemática en el proyecto EBI.
La enseñanza de la suma y la resta.
“De acuerdo a la disposición del aprendizaje de los estudiantes de primaria, los conceptos
de suma (aumentar algo) y de resta (quitar algo), son formados en base a situaciones
reales, ilustrativas y fáciles de repetir. La suma es entendida como algo que llega
adicionalmente, algo que se junta, aumenta. La resta se experimenta como algo que se
quita, separa o disminuye”.
Para las sumas con reagrupación (llevando) se ha optado por la estrategia del casillero
adicional antes de la suma total, el mismo que permite efectuar la inversa, sin alterar el
resultado.
C D U
1 1
4 7 3
+ 2 4 8
7 2 1

32. 43
La utilización del casillero adicional es muy importante en la medida en que se separa las
unidades de las decenas, de tal forma que para obtener la suma total fácilmente se suma
unidades con unidades y decenas con decenas.
El proceso operatorio de la resta presenta una forma diferente, aunque en apariencia
similar al tradicional, pues consta de pasos que en gran medida reproducen las vivencias
del mundo indígena; para empezar, no se habla de “pedir prestado”, sino que se realiza
arreglos previos sobre la base de la cantidad que se tiene, los mismos que se ubican en
casilleros sobre el minuendo y una vez que las cantidades han quedado listas se procede
a restar, sea de izquierda a derecha o viceversa. (Jurado C,1993).
La enseñanza de la multiplicación y de la división.
Al introducir la multiplicación se la presenta como una suma abreviada, cuando el
sumando es el mismo y se repite muchas veces.
La presentación de tablas de multiplicar, por su parte, obedece a un orden específico (2-4-
8-3-6-5-10-9 y 7). Empieza por la del dos, puesto que duplicar resulta fácil para el
educando; pasa luego a la del 4 y posteriormente a la del 8. Esta no es muy fácil, pero el
dominio de la tabla del cuatro facilita al niño la duplicación para obtener la del 8. A
continuación viene la tabla del 3, la cual tampoco resulta muy difícil debido a que éste es
un número pequeño, aparte de que a esta altura el niño ha ganado en destreza. Viene la
del 6, la del 5 y la del 10, después la del 9 y finalmente la del 7. Al interior de cada tabla
se observa el mismo orden.
D U
4 13
_
5
1
3
7
3 6

33. 44
Esta estrategia es de gran importancia, ya que no tiende a la simple memorización de las
tablas; por el contrario, exige un cierto proceso de razonamiento, pues implica relacionar
números para hacer las duplicaciones. (Jurado C, 1993).
Veamos un ejemplo para ilustrar la estructura de las tablas de multiplicar.
2+2+2+2=8
4 veces 2=8
2 por 4= 8
4+4+4+4+4=20
5 veces 4=20
4 por 5=20
8+8+8=24
3 veces 8=24
8 por 3=24
3+3+3+3=12
4 veces 3=12
3 por 4=12
6+6+6=18
3 veces 6=18
6 por 3=18
5+5+5+5=20
4 veces 5=20
5 por 4=20
10+10+10+10=40
4 veces 10=40
10 por 4=40
9+9+9+9=36
4 veces 9=36
9 por 4=36
7+7+7=21
3 veces 7=21
7 por 3=21
La noción de la división es una repartición en cantidades iguales, y sobre todo es una
operación inversa a la multiplicación. (EGB 2010).
A continuación, presentamos un problema que puede ser resuelto empleando la fase
gráfica: Patricio, Magali y Viviana quieren repartir 12 panes en partes iguales, ¿cuántos
panes le tocan a cada uno?
Patricio Magali Viviana

34. 45
UNIDAD TRES: MATERIAL DIDÁCTICO, IMPORTANCIA, USO Y MANEJO
2.3.1. Definición
Entre los requerimientos metodológicos de un programa de matemática, está el empleo
del material didáctico, como un instrumento que favorece el aprendizaje en las diferentes
etapas de desarrollo del niño.
El niño que llega a la escuela, según Piaget, “todavía no es capaz de razonar a partir de
puras hipótesis expresadas verbalmente y tiene necesidad, para poder relazar una
deducción coherente, de aplicar sus progresos lógicos a objetos manipulables, bien sea
en la realidad o bien sea en la imaginación”. Así, el material didáctico con que cuente la
escuela, permite establecer un nexo entre los elementos (concretos) que el niño conoce
en su vida familiar y comunitaria y los nuevos conocimientos (abstractos y semiabstractos)
que deberá adquirir en la escuela.
Por otro lado, el material didáctico tiene por objeto proporcionar las mejores condiciones
para estimular el desarrollo evolutivo del niño que, según Aebli, atraviesa tres etapas más
o menos definidas, como son la concreta, la figurativa y la simbólica. Un mismo material
puede ser utilizado para estimular cualquiera de las etapas señaladas.
En suma, cuando el niño comienza a manipular objetos concretos, no importa si son
preparados con fines didácticos (cubos de madera, regletas tablillas) o si son los que
existen en su medio de forma natural (granos, piedras, palos) tiene facilidad para
comprender conceptos matemáticos y manejar un lenguaje basado en signos y símbolos.
2.3.2. Importancia.
El éxito o fracaso en los procesos de enseñanza y aprendizajes escolares,
concretamente, de la matemática, tiene mucho que ver con la disposición de los
materiales didácticos existentes en las aulas escolares, ya que estos: “poseen una intensa
influencia en el nivel de compromiso de los estudiantes en las actividades de aprendizaje,
es causa de muy diferentes acontecimientos en el aula, algunas relacionadas con la
gestión y la conducta y otros con la amplitud y la profundidad del aprendizaje en el

35. 46
entorno” (Loughlin & Suina 1995). En esta línea, Valente (1998:83) afirma que los
materiales didácticos son el “hilo conductor en la elaboración y sistematización de los
contenidos en la dimensión tiempo – espacio de las experiencias cotidianas de los
estudiantes”. En tal sentido, los materiales didácticos deben ser accesibles para apoyar
el trabajo escolar, permitiendo el aprovechamiento de:
La realidad, el mundo que le rodea y el ambiente socio-cultural, en el cual, viven los
estudiantes es una totalidad y la van percibiendo de muchas formas.
 La participación activa en nuevas situaciones de aprendizaje, la interacción con los
materiales que rodean a los estudiantes, el lenguaje como medio de expresión y
comunicación de lo actuado desarrollan nociones básicas que permiten descubrir y
establecer:
 Relaciones espaciales y temporales,
 Relaciones de pertenencia,
 Relaciones entre conjuntos,
 Relaciones entre elementos de un conjunto, entre otros.
Al considerar, los materiales didácticos como el hilo conductor dentro de los procesos de
enseñanza y aprendizaje, ayudan a desarrollar y entender procesos y no a resolver
problemas, permitiendo el desarrollo de los aspectos: cognitivo, afectivo y psicomotriz en
los estudiantes y el desarrollo del pensamiento lógico matemático.
Piaget y Vigotski, consideran tres formas de conocer el mundo, y, ninguna de estas es
más importante la una de la otra, pues es la interrelación entre ellas la que permite al
estudiante obtener la configuración del mundo real. Para un mejor entendimiento, a
continuación, se describe a cada una de ellas.
El Conocimiento Físico, permite identificar color, formas, tamaño, densidad, entre otras;
esto se logra a través de la observación y de la experimentación.
El Conocimiento Social, es la adquisición de las formas o convivencias establecidas por
la sociedad y que es trasmitida por esta, y,
El Conocimiento Lógico – Matemático, no se adquiere a través de la apariencia de los
objetos, ni por la transmisión de los adultos, sino por la actividad mental que el estudiante
realiza.

36. 47
El conocimiento lógico matemático es básico para el desarrollo cognitivo de los
estudiantes, a través de la:
 Percepción
 Atención
 Memoria.
Los docentes deben tener en cuenta que es necesario ayudar a los estudiantes a pensar
por sí mismo, para que desarrollen sus estructuras mentales y así puedan conocer la
realidad. En la construcción del conocimiento es pertinente seguir las siguientes fases:
concreto, gráfico, simbólico y abstracto, como se sintetiza en el siguiente gráfico.
Para un mejor entendimiento es pertinente conceptuar cada una de las fases:
Fase concreta: En esta fase los estudiantes observan y manipulan los materiales
concretos en un contexto significativo para descubrir un conocimiento matemático.
Fase gráfica: A través de la representación gráfica de las situaciones vividas y
trabajadas dentro de los procesos de enseñanza y aprendizaje, los estudiantes traducen y
elaborarán los conceptos descubiertos dentro de la fase concreta a un nuevo lenguaje
para referirse a la misma situación.
Fase simbólica: En esta fase, los estudiantes están en la capacidad de manejar las
situaciones solo con símbolos, sin perder el sentido del concepto. Sin embargo, deben
tener el material concreto a su disposición; ellos solos dejarán de usarlo cuando hayan
logrado la interiorización de los conceptos.
Fase abstracta: En esta fase, los estudiantes han logrado interiorizar concepto de
manera significativa y se desenvuelven en diferentes situaciones de aprendizaje. Para
resolver problemas ya no recurren a los materiales concretos.
CONSTRUCCIÓN
DEL
CONOCIMIENTO
CONCRETO GRÁFICO SIMBÓLICO ABSTRACTO

37. 48
2.3.3. Base Diez.
Recurso educativo que permite la comprensión del sistema de numeración decimal,
reconocimiento de la unidad, decena, centena y unidad de mil. Es importante que, los
estudiantes manipulen libremente el material, luego realicen agrupaciones, clasificaciones
y relaciones de equivalencia.
Con el material base diez, se trabaja en la comprensión del valor posicional de cada cifra:
Concepto de Unidad, decena, centena y unidad de mil.
UM C D U
1 1 1 9

38. 49
 Composición de números: 10 decenas igual a una centena (100).
 Descomposición de números: Una unidad de mil igual a 10 centenas.
=
 Introducción de las operaciones aritméticas básicas de suma, resta, multiplicación,
división:
Suma: Resta:
+ = - =

39. 50
Multiplicación 4X4= División 20:4=
+ + + = =
Otra forma de realizar las operaciones aritméticas:
Suma
__________________________________________________
C D U
Manuel Rosa Sisa Carlos
324
+ 362
686

40. 51
Resta
_________________________________________
Multiplicación
_____________
Multiplicación por completación: 22 x12 = 264. Primeramente, se coloca el multiplicando
22, lado izquierdo, luego el multiplicador 12, en la base. Se inicia el proceso completando
primero los cubitos, luego las barras y finalmente las placas. Para conocer el resultado se
suma los cubitos, luego las barras y las placas. Se tiene 4 cubitos, 6 barras y 2 placas,
esto es igual a 264.
342
- 121
221
4
X 4
16

41. 52
15 cm.
15 cm.
15 cm.
15 cm.
P = L + L + L + L
P = 15+15+15+15
1515
P = 60 cm.
A = L x L.
A = 15 x 15.
A = 225 cm².
Relación de pertenencia.
 Los cubitos pertenecen a las unidades.
Ejemplo:
Las barras pertenecen a las decenas.
Ejemplo:
 Encontrar el perímetro y el área de una placa.
Ejemplo:
_
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_

42. 53
Relación de equivalencia.
Es pertinente que los estudiantes se familiaricen con las relaciones de equivalencia entre
cubito, barra, placa y cubo; conceptos fundamentales para trabajar otras actividades con
la Base Diez.
 Un cubo equivale a 1000 cubitos o 100 barra o 10 placas
 Una placa equivale a 100cubitos o 10 barras
 Una barra equivale a 10 cubitos.
 Ejemplo, tomo 25 cubitos, ¿cuántas barras se formó?
Composición y descomposición de números.
 Los alumnos descubren los conceptos de Unidad, decena, centena y Unidad de mil
(concreto; simbólico); la primera columna de la derecha corresponde a las unidades;
la segunda columna corresponde a las decenas; la tercera columna corresponde a
las centenas y la cuarta a las unidades de mil.
UNIDAD DE MIL CENTENAS DECENAS UNIDADES
2.3.4. Tabla Pitagórica.
Recurso educativo que permite básicamente la comprensión de la multiplicación. Sin
embargo, se puede trabajar los números del 1 al 100, de manera ascendente y
descendente, números pares e impares, reforzamiento de las unidades, decenas y la
formación de las centenas. También se puede trabajar la: suma, resta, multiplicación y

43. 54
la división. La tabla Pitagórica consiste en una caja con 100 divisiones, para su
identificación la tabla tiene escrita los números del 1 al 10 en la parte superior de
izquierda a derecha y al lado izquierdo de arriba hacia abajo, cada división tiene su
respectivo cuña.
 Permite la lectoescritura de los números racionales con la cantidad y el número.
 Desarrollo de la Motricidad fina.
 Se puede aplicar para reconocer las figuras geométricas: cuadrado, rectángulo,
rombo, triángulo.
 Formación de conjuntos utilizando los colores, operaciones con conjuntos.
 Combinación de colores.
 Operaciones básicas, múltiplos, pares e impares; para la multiplicación (veces)
sirve los referentes también para la división.
 Nociones de fila, columna, líneas.
 Conteo, formación de decenas y centena.
2.3.5. Unidad de longitud el metro
El metro es la unidad de longitud del Sistema Internacional de Unidades.
Más de una vez han preguntado: ¿Cuánto mides? La altura es una longitud y para medir
longitudes se usa unidades de diferentes tamaños, eligiendo en cada caso la más
adecuada. Cuando, por ejemplo, se dice la distancia que hay entre dos ciudades, no se
expresa en metros, sino en una unidad mucho mayor: en kilómetros. De la misma forma,
no se habla de los metros que mide el largo de una hormiga, sino que se utiliza una
unidad mucho menor: el milímetro.

44. 55
En cualquier caso, el metro se considera la unidad principal de longitud; su símbolo es: m.
La utilización de este material dentro de los procesos de enseñanza y aprendizaje permite
en los estudiantes:
 Conseguir mayor autonomía intelectual mediante actividades libre y dirigidas con
el METRO,
 Descubrir por sí mismos algunos de los conocimientos de las medidas de longitud,
midiendo diferentes objetos.
 Desarrollar la creatividad a través de la composición y descomposición de las
partes del metro mediante un juego libre.
 Comparar diferentes longitudes y superficies.
 Introducir la clasificación: múltiplos y submultiplos del metro.
 Desarrollar problemas con facilidad.
Los submúltiplos del metro.
Para medir longitudes pequeñas, se utiliza unidades menores que el metro, como el
decímetro, el centímetro y el milímetro:
Los múltiplos del metro.
Para medir longitudes grandes, se utiliza unidades mayores que el metro, como el
kilómetro, el hectómetro y el decámetro:
LOS MÚLTIPLOS DEL METRO LOS SUBMÚLTIPLOS DEL METRO
1 kilómetro (1 km) = 1000 m. 1metro (1m) = 10 dm.
1 hectómetro (1hm) = 100 m. 1 decímetro (1dm) = 10 cm.
1 decámetro (1dm) = 10 m. 1 centímetro (1cm) = 10 mm.
1 metro (1m) = 1m. 1 milímetro (1mm) =

45. 56
2.3.6.Geoplano
El geoplano es un recurso didáctico que permite desarrollar en los estudiantes gran parte
de los conceptos geométricos. A través de la manipulación, los estudiantes logran una
mayor comprensión de toda una serie de términos abstractos, que muchas veces no se
entiende o se generan ideas erróneas en torno a ellos.
El geoplano consiste en un tablero cuadrado, generalmente de madera, el cuál se ha
cuadriculado y se ha introducido un clavo en cada vértice de tal manera que éstos
sobresalen de la superficie de la madera unos 2cm. El tamaño del tablero es variable y
está determinado por un número de cuadrículas; éstas pueden variar desde 25 (5 x 5)
hasta 100 (10 x 10). La madera utilizado no puede ser una plancha fina, ya que tiene que
ser lo suficientemente grueso (2cm) aproximadamente, como para poder clavar los clavos
de modo que queden firmes y que no se inclinen. Sobre esta base se colocan gomas
elásticas de colores que se sujetan en los clavos formando figuras geométricas que se
deseen.

46. 57
Con este material se consigue en los estudiantes lo siguiente:
 Representación de las figuras geométricas, antes de que el estudiante tenga la
destreza manual necesaria para dibujar.
 Desarrollar la creatividad a través de la composición y descomposición de figuras
geométricas en un contexto de juego libre.
 Conseguir autonomía intelectual en los estudiantes, a través del descubrimiento de
los conocimientos geométricos básicos.
 Reconocer las formas geométricas planas.
 Reconocer y adquirir la noción de ángulo, vértice y lado.
 Comparar diferentes longitudes y superficies; hacer las figuras más grandes
estirando las gomas a más cuadrículas.
 Introducir los movimientos en el plano; girando el geoplano se puede observar una
misma figura desde muchas posiciones, evitando el error de asociar una figura a
una posición determinada, tal es el caso del cuadrado.
De acuerdo con Gattegno (c.f. VV. AA, 2000: s/p), el geoplano es un material multivalente
(puede servir para diversos propósitos) que “permite tomar conciencia de las relaciones
geométricas”. Con los geoplanos se pueden enseñar teoremas de la geometría plana, con
algunas ventajas sobre el pizarrón, pues las figuras obtenidas son claras y no dependen
de la habilidad del maestro; como los geoplanos son pequeños, es fácil girarlos para
mostrar que las propiedades en cuestión no dependen del tipo de desplazamiento que se
realiza.
Se puede construir un geoplano con una tabla e hileras de clavos dispuestos como una
cuadrícula, de modo que se tenga un arreglo de clavos como en la siguientes figuras:

47. 58
Resolviendo problemas con el geoplano.
 Hacer una figura que se utilice 5 clavos. Luego, intenten con figuras que utilicen 4
clavos y 6 clavos.
 Hacer una figura que tenga 3 clavos en el centro.
 Hacer una figura que tenga 10 clavos.
 Hacer la línea más corta que puedan sobre su Geoplano. Hagan la línea más larga
que sea posible.
 Utilizando 2 ligas elásticas, hagan 2 líneas que se intersecan. Hagan 2 líneas que
sean perpendiculares la una a la otra.
 Hacer un triángulo que tenga una esquina “cuadrada” y dos lados de la misma
longitud.
 Hacer 2 figuras que tengan la misma forma, pero de tamaños diferentes y que no
sean cuadrados.
2.3.7. Las Taptanas.
Se afirma que el contador tallado en piedra existió en nuestro territorio antes de la
conquista incaica, ya que en tierras andinas no se han encontrado indicios de él. Luego
de varios estudios se llegó a la conclusión de que es un instrumento de cálculo.
Se desconoce el lugar exacto de su orígen, pero fue en Cañar en donde más se propagó.
Investigaciones realizadas en Chordeleg, Sigsig y Gualaceo lo confirman. Los cañaris
fuerón comerciantes por excelencia, ello podría justificar el uso del contador.
En la actualidad en círculos antropológicos linguísticos y pedagógicos se conoce al
contador con el nombre de Taptana. Según algunos autores ésta palabra proviene de un
idioma perdido, otros afirman que ese nombre ha sido tomado de los escritos del cronista
Jesús de Arriaga que se refiere a la taptana como instrumento de juego para el cálculo.
El sistema de graneo
Para utilizar la taptana nuestros antepasados crearon símbolos de diferentes tamaños,
colores y formas que se convirtieron en una especie de código social. Comparando este
código con las otras culturas como la Wao (sistema de manos y pies) y la cultura Maya

48. 59
(sistema vigesimal) se encontró que el sistema de graneo Cañari estaba mejor
sistematizado. Con el graneo se demuestra claramente las operaciones de suma, resta,
multiplicación y un proceso elemental de división.
Transmisión natural de la matemática
El niño de la sociedad kichwa como integrante del sistema de producción, maneja a través
de juegos y actividades cotidianas conceptos matemáticos y realiza operaciones.
Siendo la taptana el instrumento de mayor sistematización en el conteo al graneo, se
supone existieron ciertas fórmulas de transmisión para las personas que iban a entrar en
el mundo del mercadeo. (Jurado Cristina, 1993, pág. 100).
Taptana nikichik. (la que posiciona los valores numéricos)
Recurso educativo que permite desarrollar en los estudiantes conceptos de: cantidad,
valor posicional de unidad, decena y centena, nociones de suma, resta, multiplicación,
división, entre otros.
La taptana Nikickik Uno, está compuesta de cuatro columnas y 9 filas; las columnas
representan a las unidades, decenas, centenas y unidades de mil; cada columna tiene 9
círculos; y, un círculo grande en la parte superior, que sirve para almacenar las fichas,
canicas o granos, según la codificación hecha. La primera columna de la derecha
representa las unidades (color verde), la segunda columna representa a las decenas
(color azul), la tercera columna representa a las centenas (color rojo) y la cuarta columna
representa a las unidades de mil (color amarillo); la colocación de las cantidades se inicia
de abajo hacia arriba y de derecha hacia la izquierda de la taptana.

49. 60
Formación de Cantidades: Se trabaja de abajo hacia arriba y de derecha hacia la
izquierda. Se coloca en la columna de las unidades 6 canicas, fichas o granos según la
codificación que se haya hecho; en la columna de las decenas 3 fichas, en la columna de
las centenas cuatro fichas y en la columna de las unidades de mil una ficha. La cantidad
que se ha formado es 1.436, es decir 6 unidades, 3 decenas, 4 centenas y una unidad
de mil o viceversa.
Proceso Metodológico con las cuatro Operaciones aritméticas:
Suma
Para realizar sumas sin llevar 15+13. Se coloca el primer sumando 5 unidades y una
decena en las respetivas columnas. Con el segundo sumando se procede de la misma
forma que el primer sumando, esto es, 3 unidades y una decena. Para obtener el
resultado, se cuenta primero las unidades y luego las decenas, la cantidad que se formó
es el resultado, es decir 28.
1 4 3 6

50. 61
Resta.
Para realizar la resta 9 – 6, se procede de la siguiente manera: primero se coloca el
minuendo, es decir, 9 unidades, así.
De las 9 unidades, se retira 6 unidades (substraendo) iniciando desde arriba. La cantidad
que sobra es el resultado, o sea 3.
Multiplicación
Para realizar la multiplicación 3x2, se procede de la siguiente manera: primero se coloca
el multiplicando 3, así.

51. 62
Como el multiplicador (2), indica el número de veces que se repite el multiplicando,
entonces agregamos una vez más 3 fichas. El resultado final es 6.
Multiplicar: 25x3= 75
Paso Uno, se coloca en la taptana 2 decenas y 5 unidades (multiplicando) y se repite
según las veces que indica el 3 (multiplicador)
División
Dividir: 6:3= 2
Proceso: se coloca 6 granos, fichas, canicas o figuras geométricas en la columna de las
unidades de acuerdo a la codificación realizada, y repartimos las fichas para tres,
iniciamos desde la partes superior, distribuimos una a una, así:
1 2 3

52. 63
Dividir 22: 6 =
Colocamos 2 decenas y 2 unidades en las columnas respectivas, procedemos a repartir
en partes iguales para 6. Como sólo se tiene 2 unidades y hay que repartir para 6; se
descompone una decena en 10 unidades, transformada la decena en unidades, se
procede a repartir las fichas, una a una para los 6, en partes iguales, así:
Seguidamente, se descompone la última decena que queda en unidades y se procede a
repartir las fichas, una a una para los 6, en partes iguales, así:
2.3.8.
Resultado, 22 dividido para 6, toca a tres cada uno y resta 4.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6

53. 64
Taptana Cañari.
Recurso educativo que permite desarrollar en los estudiantes conceptos de: cantidad,
valor posicional de unidad, decena y centena, nociones de suma, resta, multiplicación,
división, entre otros. La Taptana Cañari está compuesta de dos cuadrantes divididos en
tres filas y tres columnas cada cuadrante, por lo que cada cuadrante tiene nueve
espacios; sobre el cuadrante inferior hay cinco círculos; debajo del cuadrante superior
también hay cinco círculos. En el cuadrante superior se realiza las operaciones de suma,
resta, multiplicación y división.
Para trabajar con la taptana Cañari, es pertinente codificar las fichas, se puede utilizar
figuras geométricas y de colores, canicas y fichas de colores o diferentes granos; para el
presente caso, se utilizará canicas de colores, las equivalencias son las siguientes:
= Unidad
= Decenas
= Centenas
= Unidad de Mil
En la taptana Cañari, se forma cantidades, para la formación de las mismas, se puede
utilizar los dos cuadrantes, en el cuadrante inferior derecho está representado el número
1, se sigue la flecha hasta llegar al centro del cuadrante como indica la misma.

54. 65
En la taptana que se presenta a continuación, se representa los siguientes números 5 y 9.
En el cuadrante inferior derecho está el número 5; en cambio, en el cuadrante superior
izquierdo está representado el número 9.
Para la formación de decenas, centenas y unidades de mil, se realiza con el mismo
proceso seguido para las unidades, para una mejor comprensión se plantea ejemplos de:
5 decenas, 5 centenas y 5 unidades de mil.
50 500 5000

55. 66
Proceso Metodológico en las cuatro Operaciones aritméticas:
Suma:
Para realizar sumas sin llevar 6+3. En el cuadrante superior izquierdo se coloca la
primera cantidad (primer sumando) 6, en el cuadrante inferior derecho se coloca la
segunda cantidad (segundo sumando) 3; el segundo sumando indica que hay que colocar
las tres canicas del cuadrante inferior en el cuadrante superior izquierdo, y el Resultado:
6 + 3 = 9.
Para realizar sumas con llevadas 325+28. En el cuadrante superior izquierdo se coloca la
primera cantidad (primer sumando) 325, en el cuadrante inferior derecho se coloca la
segunda cantidad (segundo sumando) 28. El segundo sumando indica que hay que
avanzar 2 decenas y 8 unidades del cuadrante inferior en el cuadrante superior izquierdo.
Resultado 353.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1

56. 67
Para realizar restas con llevadas 1763 - 46. En el cuadrante superior izquierdo se coloca
la primera cantidad (minuendo) 1763, en el cuadrante inferior derecho se coloca la
segunda cantidad (sustraendo) 46. Para obtener el resultado, se trabaja en el cuadrante
superior, se tiene que recorrer 6 unidades, en sentido contrario a las manezuelas del reloj
(antihorario); pero como sólo hay 3 unidades; entonces, se recorre un espacio en sentido
contrario a las manezuelas del reloj (antihorario), la ficha de las decenas y se
descompone en 10 unidades. Las 10 unidades se coloca en cada uno de los círculos
pequeños de la taptana, de éstas fichas se retira 6 unidades, el número de fichas que
sobran se suma al minuendo. Finalmente, se resta las decenas, se realiza el mismo
procedimiento que las unidades. Resultado 1717.
1
1
1
1

57. 68
Para realizar multiplicaciones: , se procede de la siguiente manera: En el
cuadrante superior izquierdo se coloca la primera cantidad (multiplicando) 3, en el
cuadrante inferior derecho se coloca la segunda cantidad (multiplicador) 2. Para obtener
el resultado, se trabaja en el cuadrante superior. La ficha del cuadrante inferior derecho
indica el número de veces que hay que recorrer la ficha del cuadrante superior izquierdo,
entonces, se tiene que recorrer 3 unidades, dos veces. Al colocar la primera cantidad 3
(multiplicando), significa que se tiene colocado ya una vez, entonces hay que recorrer una
vez más el 3 (multiplicando). La respuesta es 6.
Ejemplo de una multiplicación de dos cifras 264
12
22 
x . Se coloca el número 22
(multiplicando) en el cuadrante superior izquierdo. Luego 12 (multiplicador) en el
cuadrante inferior derecho.
6
2
3 
x

58. 69
Para obtener el resultado, se trabaja en el cuadrante superior. La ficha del cuadrante
inferior derecho indica el número de veces que hay que recorrer la ficha del cuadrante
superior izquierdo, entonces, se tiene que recorrer 2 unidades y 2 decenas
(multiplicando), 12 veces (multiplicador). El proceso inicia con las unidades. Hay que
recorrer 2 veces el 2 (unidades), y, 2 veces 2 decenas; se continua con las decenas, 10
veces las 2 unidades, y, 10 veces las 2 decenas. La respuesta es 264.
Para realizar divisiones: 3
3
:
9  , se procede de la siguiente manera: En el cuadrante
superior izquierdo se coloca la primera cantidad 9 (dividendo), en el cuadrante inferior
derecho se coloca la segunda cantidad 3 (divisor).

59. 70
Para obtener el resultado, se trabaja en el cuadrante superior. Se recorre la ficha de las
unidades en sentido contrario a las manizuelas del reloj (antihorario), tres espacios, se
registra en el círculo grande una vez, nuevamente se recorre tres espacios, se registra en
el círculo grande segunda vez, finalmente, se recorre tres espacios y se registra la tercera
vez. Se cuenta el número de registros en el círculo grande, y se obtiene el resultado, en
este caso tres (3).
Taptana ambidiestra. (Ullkatalpaku)
Recurso educativo que permite desarrollar en los estudiantes conceptos de: cantidad,
valor posicional de unidad, decena, centena, unidad de mil; nociones de suma, resta,
multiplicación, división; nociones de lateralidad y espacio; nociones de recta numérica,
números positivos y negativos, entre otros. Para el entendimiento de cantidad, es
pertinente que se utilice 9 semillas de la misma clase y se las coloque una semilla en
cada kulkaku, esto permitirá al estudiante conceptuar que un número tiene un espacio
determinado. Cuando ya el estudiante hay interiorizado el concepto de número y
cantidad, sólo se trabaja con dos semillas de cada clase para realizar las principales
operaciones aritmética.

60. 71
Las partes de la taptana Ambidiestra son:
 Matriz Generadora (MG), 19 silos (kulkaku), espacio en el cual, se genera los
múltiples procesos lógicos para la obtención de resultados de las operaciones
aritméticas.
 En el área del centro, se encuentran dos espacios cilíndricos, llamados
Kulkakuna que sirve para almacenar las semillas codificadas.

61. 72
 En la parte inferior se encuentra la Matriz Agregada (MA), que es la misma matriz
generadora descompuesta simétricamente hacia los dos extremos, izquierdo y
derecho de la taptana (c.f. Yantalema, 2004:45 -46)
Proceso aritmético en la taptana ambidiestra
 Codificación de las semillas (Unidades, decenas, centenas y unidades de mil).
 Noción de cantidad y conteo para ello es pertinente utilizar tantas semillas como
fuese el interés de aprendizaje de los estudiantes.
 Formación de cantidades (unidades, decenas, centenas y unidades de mil). En
cada kulkaku se puede poner varias semillas de diferente codificación)
 Desarrollo comprensivo de los procesos lógicos de suma, resta, multiplicación y
división.
Suma:
Problema: Un padre y una madre de familia, en compañía de sus hijos salieron a
cosechar papas que sembraron en su terreno; hasta la hora del almuerzo
recogieron 4 quintales de papas y por la tarde recogieron 4 quintales; ¿Cuántos
quintales cosecharon en total durante el día?
Planteo: Trabajo con la semilla que representa a las unidades. En la MG registro
los 4 quintales cosechados por la mañana y en la MA lo recogido en la tarde.
Resolución: Observo la semilla de la MA, ésta se encuentra en los silos de la MA
lado derecho, esto indica que hay que avanzar 4 espacios en sentido que giran las
manezuelas del reloj, se trabaja en la MG; el número del silito donde se detuvo por
última vez la semilla determina el resultado; es decir, el 8. El resultado se lee en
la MG.
Resta:
Problema: Un padre de familia se va la mercado con 9 dólares y compra
productos para su casa en 5 dólares, ¿Con cuántos dólares se quedó el padre de
familia?

62. 73
Primera forma de planteamiento y resolución (9-5): represento el término (9)
(minuendo), en la MG y el término (-5) (sustrayendo) en la MA, espacio izquierdo;
éste último me indica que es necesario retornar 5 silitos en sentido contrario a las
manezuelas del reloj (antihorario), entonces se toma la semilla unidad de la MG y
se retorna 5 espaciosa, la ubicación final de la semilla es el resultado de la
operación, es decir, 4. El resultado se lee en la MG.
Segunda forma de planteamiento y resolución (-5 +9): En la MG, represento la
cantidad (-5) en los silos hacia la izquierda (negativos) y en la MA la cantidad (9)
en los silos hacia la derecha, este último término indica que hay que avanzar 9
silos en sentido de las manezuelas del reloj; la ubicación final de la semilla
representa el resultado de la operación, es decir 4
9
5 

 .
Resolución de ejercicios:
1+ 8. .
8
1
2
1
2
3
1
4
7
;
164
452
;
79
167
;
63
37 











Multiplicación:
La multiplicación está entendida como una suma abreviada. Para comprender el proceso
lógico de la multiplicación, se realiza de la siguiente manera: la primera cantidad
(Multiplicando) se coloca en la MG, y la segunda cantidad (Multiplicador) en la MA espacio
derecho, la última cantidad indica el número de veces que hay que repetir en la MG el
multiplicando. El desplazamiento de las semillas se realizan en sentido horario.
Problema: 5 estudiantes trajeron 4 papas cada uno para el desayuno escolar,
¿Cuántas papas trajeron en total?.
Planteo y resolución (5x4): En la MG representamos 5 y en la MA el 4, este
último indica el número de veces que se debe desplazar la semilla unidad, es decir
20
4
5 
x
División:
Problema: Un maestro cuenta con 17 lápices, los cuales entrega equitativamente
a 4 estudiantes, como premio a su esfuerzo. ¿Cuánto lápices le toca a cada
estudiante, y cuánto le sobró al profesor?

63. 74
Planteamiento y resolución: En la MG se representa los 17 lápices, en el
cuaderno de trabajo escribo el número de estudiantes a los que se entregan los
lápices; en el silo (0) de la MA ubicamos la semilla unidad; se procede a dividir.
Se retorna a la semilla unidad 4 silos de la MG, la frecuencia se registra en la MA,
espacio derecho.

64. 75
CAPÍTULO III: METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
3.1. Métodos y técnicas utilizadas en la investigación.
Debido a que la investigación es de carácter educativo, se considera que por medio del
desarrollo cognitivo, actitudinal y de análisis se determina la clave del problema,
estableciendo las causas de la utilización inadecuada de los materiales didácticos en
matemática en el Centro Educativo Comunitario sin nombre de la comunidad El Tejar.
Se utilizó los métodos: Científico, Cualitativo y Descriptivo. La investigación bibliográfica
contenida en libros, archivos e internet, en documentos del Ministerio de Educación, texto
del Modelo del Sistema de Educación Intercultural Bilingüe, lo que permitió a tener una
visión más amplia del tema para analizar con más profundidad.
Método Científico. Este método sirvió para observar los anómalos que producía un bajo
índice de utilización de los materiales didácticos y su influencia en el inter-aprendizaje,
sirvió para plantear las hipótesis, establecer los conceptos del marco teórico, fundamentar
los conocimientos y establecer las conclusiones respectivas.
Método Cualitativo. Nos ayudó a tener una estrecha comunicación entre los docentes,
estudiantes y padres de familia con el investigador para obtener una información directa
que proporcionaron datos concretos de la realidad que son válidos y enriquecen la
presente investigación, ayudó a enriquecer el conocimiento en forma real y concreta.
Método Descriptivo. Este método permitió medir la relación existente entre las variables
de los diversos actores en un contexto determinado y como esta investigación tiene
interés educativo, su desarrollo facilitó tener una visión global del uso inapropiado de los
materiales didácticos en matemática y describir la realidad que sucede en base a los
resultados de las encuestas aplicadas.
3.2. Construcción metodológica de la investigación.
Al haber determinado el problema educativo me despertó el interés de realizar este
trabajo de investigación, para conocer cuáles son los factores que inciden en el uso

65. 76
inadecuado de los materiales didácticos en el área de matemática, con el propósito de
plantear alternativas de mejoramiento; además realizar vínculos de comunicación con los
docentes a que cumplan eficazmente con sus responsabilidades en la enseñanza-
aprendizaje.
Las estrategias que se utilizaron para la presente investigación de campo fueron estudios
y análisis organizados de hechos suscitados en el lugar elegido, el CECIB El Tejar, se
realizó una revisión de los archivos del cuadro de calificaciones existentes, se aplicó
encuestas a los docentes, estudiantes y padres de familia, recopilación de la información,
estructuración de formularios para las encuestas, observación de la participación de los
miembros de la comunidad, entre otros.
3.3. Elaboración del marco teórico.
Para la realización del marco teórico se buscó información en textos educativos,
documentos, en páginas de Internet, folletos y revistas, analizando la realidad socio-
educativa que atraviesa el CECIB. Sin nombre de la comunidad El Tejar; se elaboró un
sustento teórico que señala el interés y necesidad de realizar esta investigación.
Se consideró el análisis del problema en el cuadro de las variables e interpretación de
resultados, en el esquema de trabajo en el que se analiza algunos conceptos que se
toman en cuenta en el marco teórico, se ha determinado las siguientes categorías y
variables: Utilidades del material didáctico en clases, rendimiento escolar de los niños,
nivel de conocimiento de los docentes y niños, tipo de trato afectivo que reciben los
niños, métodos utilizados en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
El presente trabajo va dirigido a conocer la realidad de los factores que influyen en el uso
inapropiado de los materiales didácticos en el área de matemática en el Centro Educativo
El Tejar.
3.4. Recolección de la información.
La técnica utilizada en el presente trabajo de investigación se realizó con los procesos de
los métodos: Científico, Cualitativo y Descriptivo, con las técnicas de la encuesta, y
observación directa, el cuadro de variables, los factores que inciden en un inadecuado

66. 77
uso de los materiales didácticos en el proceso de inter-aprendizaje, aspectos que
preocupan a la educación bilingüe.
La recolección de la información se inició con la revisión del cuadro de calificaciones de
años anteriores, observación de los niños en las actividades educativas; el desarrollo de
las actividades en el CECIB y de los docentes; luego se procedió a elaborar los
cuestionarios de las encuestas y guías de observación para aplicar, perfeccionar y
clasificar datos, al realizar el trabajo de campo se aplicó la técnica de la encuesta a,
docentes, estudiantes y padres de familia para conocer sus puntos de vistas en relación al
tema de investigación.
Entre las principales técnicas que se utilizó son las siguientes:
Encuestas: Cuestionario
Observación: Guía de observación
En esta exploración educativa no se realizó el muestreo poblacional, debido a que el
universo de estudio no representa un número excesivo, y está constituido por un total de
19 personas entre estudiantes, padres de familia de 4to
nivel, y docentes del CECIB sin
nombre de la comunidad El Tejar.
Población y universo.
Población Niveles N0
encuestados
Docentes 1ro
a 7mo
3
Niños/as 4to
8
Padres de familia 4to
8
Total 19
Para la presente investigación se utilizará el total de la población.
3.5. Procedimiento para la recolección de datos.
La recolección de datos se realizó mediante la aplicación de encuestas, entrevistas,
observación directa a los padres de familia, estudiantes y docentes, a más de estos

67. 78
medios se contó con la presencia directa del investigador desde el origen del problema
del CECIB “S/N EL TEJAR”.
3.6. Técnicas de análisis
Primero se aplicará las respectivas encuestas para la obtención de la información
concreta a los niños y padres de familia del 4to
nivel y profesores del CECIB. Después las
preguntas serán transcritas, luego se procederá a la tabulación respectiva, se
presentarán los resultados de las variables e indicadores, a continuación se demostrará
en forma gráfica y se concluirá con una interpretación final.
Luego de haber realizado la investigación de campo la misma que será beneficiada al
CECIB sin nombre de la comunidad El Tejar, procedemos a analizar e interpretar los
datos estadísticos a través de cuadros y barras mediante la cual se manifiesta las
alternativas de solución para mejorar el problema o dificultad que tienen los niños y niñas
en el inter-aprendizaje de la matemática y por ende de las demás asignaturas.

68. 79
3.7. Operacionalización de las variables.
VARIABLES CONCEPTOS INDICADORES
Matemática Ciencia que mediante diferentes
métodos estudia entes abstractos,
como: números, figuras
geométricas, etc.
Bloque de relaciones y
funciones
Bloque numérico
Bloque geométrico
Bloque de medida
Bloque de estadística
Importancia Aplicación para solucionar los
problemas con los que se
enfrenta la población en la vida
diaria.
Compra
Venta
reparto
Conocimientos
matemáticos
Primeras ideas desarrolladlas han
sido: cantidad, proporción,
agrupación, aumento,
disminución, repetición,
distribución.
Suma
Resta
Multiplicación
División
Metodología Son los métodos y técnicas
utilizados en el desarrollo del
ínter-aprendizaje de los
estudiantes.
Inductivo-Deductivo
Heurístico
Creativo
Material didáctico. Es el conjunto de materiales
didácticos visuales, y concretos
utilizados en el ínter-aprendizaje.
Concretos
Semi-concretos
Simbólicos
Abstractos
Tipo de trato
afectivo que reciben
los niños.
Cariño o simpatía hacia alguien,
cualquier estado de ánimo,
sentimiento o emoción.
Padres
Docentes

69. 80
CAPÍTULO IV: PRESENTACIÓN, ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
4.1. ENUNCIADO DE LA HIPÓTESIS.
4. 1.1. Hipótesis general
La deficiente capacitación de los docentes y falta de materiales didácticos en matemática
incide en la utilización y manejo de los materiales didácticos en el CECIB S/N de la
comunidad El Tejar.
4.1.2. Hipótesis específicas
4.1.2.1. La metodología, el material didáctico, es deficiente en los docentes del CECIB
S/N de la comunidad El Tejar.
4.1.2.2. El maltrato físico y psicológico con los niños/as eleva el porcentaje de
estudiantes con escasa comprensión en el aprendizaje de la matemática permitiendo la
utilización inadecuada del material didáctico
.4.1.2.3. El bajo nivel de comprensión y falta de control en las tareas con sus hijos por
los padres de familia son factores que inciden en la utilización y manejo de material
didáctico.

70. 81
4.2. Descripción, análisis e interpretación de resultados.
4.2.1. Encuesta a docentes
Cuadro No
1. Disponibilidad de los materiales didácticos en el CECIB S/N El Tejar
ALTERNATIVAS FRECUENCIA PORCENTAJE (%)
SI 3 100
NO 0 0
TOTAL 3 100
Fuente: Formulario de recolección de datos.
Elaborado por el autor
Gráfico No
1
En el cuadro No
1, podemos apreciar que el 100 % de los docentes encuestados
manifiestan que si disponen de suficientes materiales didácticos para la enseñanza-
aprendizaje de la matemática; lo cual facilita el trabajo y el desarrollo de destrezas en los
estudiantes.
100%
0%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
si no
D
o
c
e
n
t
e
s
Alternativas
Disponibilidad de materiales didácticos
Porcetaje

71. 82
Cuadro No
2. Importancia del material didáctico para la enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas.
ALTERNATIVAS FRECUENCIA PORCENTAJE (%)
SI 3 100
NO 0 0
TOTAL 3 100
Fuente: Formulario de recolección de datos.
Elaborado por el autor
Gráfico No
2
El 100 % de los encuestados manifestaron que es importante la utilización de material
didáctico en la enseñanza aprendizaje de los educandos, ya que el material didáctico
puede incidir en la educación valórica desde muy temprana edad y pueden también estar
enfocados a potenciar la actividad motriz de niños y niñas.
100%
0%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
si no
D
o
c
e
n
t
e
s
Alternativas
Importancia del material didáctico
Porcentaje

72. 83
Cuadro No
3. Utilización del material didáctico en la clase de matemática
ALTERNATIVAS FRECUENCIA PORCENTAJE (%)
SI 3 100
NO 0 0
TOTAL 3 100
Fuente: Formulario de recolección de datos.
Elaborado por el autor
Gráfico No
3
Según los datos de la encuesta el 100 % de docentes del CECIB “Sin Nombre” El Tejar
utilizan material didáctico a la hora de dar clase de matemáticas, ya que los materiales
didácticos ayudan en el aprendizaje activo de los alumnos.
100%
0%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
si no
D
o
c
e
n
t
e
s
Alternativas
Utilización de materiales didácticos
Porcentaje

73. 84
Cuadro No
4. Uso y Manejo adecuado de los materiales didácticos
ALTERNATIVAS FRECUENCIA PORCENTAJE (%)
SI 1 33
NO 2 67
TOTAL 3 100
Fuente: Formulario de recolección de datos.
Elaborado por el autor
Gráfico No
4
Las encuestas realizadas a los docentes del CECIB Sin Nombre de la comunidad el Tejar
indica que el 67 % de los docentes manejan a perfección los materiales didácticos
mientras que el 33 % no manejan perfectamente los materiales didácticos de área
matemáticas.
33%
67%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
si no
D
o
c
e
n
t
e
s
Alternativas
Utilización del material didáctico
Porcentaje

74. 85
Cuadro No
5. A causa de no utilización del material didáctico sea el motivo para el
problema del aprendizaje.
ALTERNATIVAS FRECUENCIA PORCENTAJE (%)
SI 3 100
NO 0 0
TOTAL 3 100
Fuente: Formulario de recolección de datos.
Elaborado por el autor
Gráfico No
5
El 100 % de los docentes piensan que el principal factor para el bajo rendimiento en el
área de matemáticas es la falta de utilización de material didáctico.
100%
0%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
si no
D
o
c
e
n
t
e
s
Alternativas
Problema del aprendizaje al no utilizar material didáctico.
Porcentaje

75. 86
Cuadro No
6. Atención de los padres de familia a sus hijos en el desarrollo de sus tareas
ALTERNATIVAS FRECUENCIA PORCENTAJE (%)
SI 3 100
NO 0 0
TOTAL 3 100
Fuente: Formulario de recolección de datos.
Elaborado por el autor
Gráfico No
6
De acuerdo a la encuesta realizada a los docentes, en este cuadro podemos mencionar
que el 100% de los docentes están de acuerdo que los padres de familia deben poner
mayor atención a sus hijos en el control de las tareas.
100%
0%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
si no
D
o
c
e
n
t
e
s
Alternativas
Control en las tareas por los padres
Porcentaje

76. 87
Cuadro No
7. Aplicación del método en el proceso de enseñanza-aprendizaje
ALTERNATIVAS FRECUENCIA PORCENTAJE
M. estimulación y juego 2 67
M. inductivo-deductivo
M. solución de problemas 1 33
M. comparativo
M. heurístico
M. creativo
TOTAL 3 100
Fuente: Formulario de recolección de datos.
Elaborado por el autor
Gráfico No
7
De la encuesta realizada a los docentes sobre el método que utilizan en la enseñanza-
aprendizaje; en este cuadro podemos apreciar que el 67% de los maestros utilizan el
método de estimulación y juego mientras que el 33% el método de solución de problemas.
67%
0%
33%
0% 0% 0%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
M. est. jueg M. ind-ded M. sol. prob M. comp M. heuríst M. creativ
D
o
c
e
n
t
e
s
Alternativas
Método utilizado en la enseñanza
Porcentaje

77. 88
4.2.2. Encuesta a estudiantes
Cuadro No
8. Comprensión de los estudiantes en la hora clase de la matemática
ALTERNATIVAS FRECUENCIA PORCENTAJE (%)
SI 8 100
NO 0 0
TOTAL 8 100
Fuente: Formulario de recolección de datos.
Elaborado por el autor
Gráfico No
8
De las encuestas aplicadas a los estudiantes sobre la comprensión de la matemática
durante la hora clase; el 100 % de alumnos encuestados sostienen que si entienden la
enseñanza inter-aprendizaje.
100%
0%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
si no
E
s
t
u
d
i
a
n
t
e
s
Alternativas
Comprensión de la matemática
Porcetaje

78. 89
Cuadro No
9. Actualización de los materiales didácticos
ALTERNATIVAS FRECUENCIA PORCENTAJE (%)
SI 8 100
NO 0 0
TOTAL 8 100
Fuente: Formulario de recolección de datos.
Elaborado por el autor
Gráfico No
9
De las encuestas aplicadas a los estudiantes del CECIB Sin Nombre de la comunidad El
Tejar el 100 % de los alumnos encuestados dicen que si existe material didáctico
actualizado para una enseñanza-aprendizaje eficiente de la matemática.
100%
0%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
si no
E
s
t
u
d
i
a
n
t
e
s
Alternativas
Materiales didácticos actualizados
Porcetaje

79. 90
Cuadro No
10. Facilidad del manejo de materiales didácticos.
ALTERNATIVAS FRECUENCIA PORCENTAJE (%)
SI 8 100
NO 0 0
TOTAL 8 100
Fuente: Formulario de recolección de datos.
Elaborado por el autor
Gráfico No
10
El 100 % de los estudiantes mencionan que si pueden utilizar los materiales didácticos de
la escuela y que gracias a ello tienen varias ventajas en el aprendizaje.
100%
0%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
si no
E
s
t
u
d
i
a
n
t
e
s
Alternativas
Maneja con facilidad los materiales didácticos
Porcetaje

80. 91
Cuadro No
11. Apoyo de los padres de familia en las tareas de matemática
ALTERNATIVAS FRECUENCIA PORCENTAJE (%)
SI 7 87
NO 1 13
TOTAL 8 100
Fuente: Formulario de recolección de datos.
Elaborado por el autor
Gráfico No
11
En base a las encuestas aplicadas a los estudiantes del CECIB Sin Nombre de la
comunidad El Tejar, el 87 % de los estudiantes manifiestan que sus padres les ayudan en
tareas o a repasar matemáticas y eso es una gran ventaja para los docentes y niños ya
que de esa forma contribuyen a una calidad educativa, se preocupan y a la vez
incentivan a sus hijos en sus estudios.
Mientras que el 13% opinaron que sus padres no les ayudan en tareas o repasando
matemáticas, situación que es preocupante.
87%
13%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
si no
E
s
t
u
d
i
a
n
t
e
s
Alternativas
Te ayudan tus padres en las tareas de matemáticas
Porcetaje