Este documento presenta una tesis para obtener el grado de Magíster en Matemáticas. El objetivo principal es estudiar teoremas de densidad, ergodicidad y rigidez de subgrupos de aplicaciones holomorfas propuestos por Y. Iliashenko. También analiza el comportamiento topológico de un germen parabólico según un teorema de C. Camacho. La tesis contiene cinco capítulos donde se definen conceptos y resultados necesarios, y se demuestran los objetivos planteados.
El documento resume conceptos fundamentales del cálculo de variaciones. 1) Explica brevemente el origen histórico del cálculo de variaciones y algunos problemas clásicos como el de la braquistocrona. 2) Señala que en estos problemas la variable independiente es una función en lugar de un vector finito-dimensional. 3) Menciona que también existen problemas donde la variable independiente involucra múltiples funciones, como en el problema isoperimétrico.
El documento presenta una serie de preguntas psicotécnicas con diferentes temáticas como razonamiento lógico, secuencias numéricas, operaciones matemáticas y ordenamiento de información. Cada pregunta viene acompañada de su resolución donde se explica el análisis y procedimiento para llegar a la respuesta correcta.
El documento resume los conceptos básicos de infinitésimos e infinitos en matemáticas. Introduce las nociones de orden de infinitésimo y infinitésimos equivalentes, y presenta teoremas sobre las equivalencias entre infinitésimos como x ~ senx ~ tanx, 1 - cosx ~ x2, ln(1+x) ~ x, y ex - 1 ~ x cuando x tiende a cero. Incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento describe un proyecto para ampliar el concepto de ecuaciones asociando variables no solo a números sino también a palabras. El objetivo es hacer ecuaciones operativas en todas las asignaturas y motivar a los estudiantes aplicando sus conocimientos de forma creativa. Se presentan ejemplos de "ecuaciones con palabras" en diversas materias y cómo captaron el interés de profesores y estudiantes en la escuela donde se presentó el proyecto.
El documento presenta definiciones y métodos para resolver ecuaciones en diferencias lineales de primer y segundo orden con coeficientes constantes. Explica que una ecuación en diferencias es una expresión que involucra valores de una sucesión en diferentes períodos de tiempo. Luego, detalla los pasos para encontrar la solución general y particular de ecuaciones lineales de primer orden, como determinar los parámetros basados en condiciones iniciales. Igualmente, explica cómo resolver ecuaciones lineales de segundo orden obteniendo la ecuación característica y sus raíces para hallar
POLINOMIOS CICLOTÓMICOS EN CUERPOS K[X] Y RAICES PRIMITIVAS MÓDULO NWALTER YSIQUE
Este documento trata sobre polinomios ciclotómicos y raíces primitivas módulo n. En el capítulo 1 presenta definiciones básicas sobre grupos y cuerpos necesarias para los capítulos siguientes. El capítulo 2 define el polinomio ciclotómico Φn(x) y da varias formas equivalentes, además de caracterizar polinomios ciclotómicos con coeficientes impares. El capítulo 3 estudia las condiciones para la existencia de raíces primitivas módulo n y
Cálculo Numérico Asistido con el Software Matemático MatLab.WALTER YSIQUE
Este documento presenta una breve guía para encontrar soluciones numéricas a problemas matemáticos usando el software MatLab. Explica funciones aritméticas y predefinidas, cómo representar polinomios, hallar ceros de funciones, operaciones con matrices, y resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.
El documento resume conceptos fundamentales del cálculo de variaciones. 1) Explica brevemente el origen histórico del cálculo de variaciones y algunos problemas clásicos como el de la braquistocrona. 2) Señala que en estos problemas la variable independiente es una función en lugar de un vector finito-dimensional. 3) Menciona que también existen problemas donde la variable independiente involucra múltiples funciones, como en el problema isoperimétrico.
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El documento resume los conceptos básicos de infinitésimos e infinitos en matemáticas. Introduce las nociones de orden de infinitésimo y infinitésimos equivalentes, y presenta teoremas sobre las equivalencias entre infinitésimos como x ~ senx ~ tanx, 1 - cosx ~ x2, ln(1+x) ~ x, y ex - 1 ~ x cuando x tiende a cero. Incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento describe un proyecto para ampliar el concepto de ecuaciones asociando variables no solo a números sino también a palabras. El objetivo es hacer ecuaciones operativas en todas las asignaturas y motivar a los estudiantes aplicando sus conocimientos de forma creativa. Se presentan ejemplos de "ecuaciones con palabras" en diversas materias y cómo captaron el interés de profesores y estudiantes en la escuela donde se presentó el proyecto.
El documento presenta definiciones y métodos para resolver ecuaciones en diferencias lineales de primer y segundo orden con coeficientes constantes. Explica que una ecuación en diferencias es una expresión que involucra valores de una sucesión en diferentes períodos de tiempo. Luego, detalla los pasos para encontrar la solución general y particular de ecuaciones lineales de primer orden, como determinar los parámetros basados en condiciones iniciales. Igualmente, explica cómo resolver ecuaciones lineales de segundo orden obteniendo la ecuación característica y sus raíces para hallar
POLINOMIOS CICLOTÓMICOS EN CUERPOS K[X] Y RAICES PRIMITIVAS MÓDULO NWALTER YSIQUE
Este documento trata sobre polinomios ciclotómicos y raíces primitivas módulo n. En el capítulo 1 presenta definiciones básicas sobre grupos y cuerpos necesarias para los capítulos siguientes. El capítulo 2 define el polinomio ciclotómico Φn(x) y da varias formas equivalentes, además de caracterizar polinomios ciclotómicos con coeficientes impares. El capítulo 3 estudia las condiciones para la existencia de raíces primitivas módulo n y
Cálculo Numérico Asistido con el Software Matemático MatLab.WALTER YSIQUE
Este documento presenta una breve guía para encontrar soluciones numéricas a problemas matemáticos usando el software MatLab. Explica funciones aritméticas y predefinidas, cómo representar polinomios, hallar ceros de funciones, operaciones con matrices, y resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.
Este documento discute la motivación y desarrollo de la cohomología p-ádica de De Rham y su versión logarítmica. Explica que la cohomología de De Rham ordinaria no es adecuada para estudiar variedades definidas sobre campos finitos debido a que tiene coeficientes en el campo base. Luego describe varias teorías cohomológicas p-ádicas propuestas y finalmente se enfoca en la cohomología p-ádica de De Rham desarrollada por Mebkhout y Arabia, la cual
Este documento presenta una introducción al estudio de la cohomología de De Rham p-ádica propuesta por Zoghman Mebkhout y Alberto Arabia. Explica que su objetivo es entender mejor la construcción de esta cohomología para variedades en característica p y cómo es diferente a otras cohomologías p-ádicas existentes. Finalmente, introduce la motivación de estudiar soluciones de ecuaciones sobre campos finitos y las conjeturas de Weil sobre la función Z de una variedad, las cuales la cohomología de De Rham p-
Este documento trata sobre el concepto de derivada en matemáticas. Explica que la derivada mide la tasa de cambio de una función cuando su variable independiente cambia. Luego discute el origen de las derivadas en los trabajos de Newton y Leibniz en el siglo XVII. Finalmente, presenta las aplicaciones de las derivadas en áreas como cálculo, física y ingeniería.
La tesis presenta un modelo para resolver numéricamente la ecuación de Poisson-Boltzmann en dos dimensiones para geometría cilíndrica utilizando el método de elementos finitos. En el capítulo 1 se introduce la ecuación de Poisson-Boltzmann y su aplicación a sistemas cilíndricos. En el capítulo 2 se explica la técnica de elementos finitos para resolver ecuaciones diferenciales bidimensionales. En el capítulo 3 se presentan los resultados al aplicar este método a la distribución de iones alrededor de un cilindro carg
Este documento presenta diversos métodos para calcular el número phi, incluyendo la proporción áurea, métodos geométricos, algebraicos y funcionales. También describe cómo el número phi se ha encontrado en la ciencia, el arte, la religión y otros campos, como en la estructura del ADN, el crecimiento de plantas y animales, obras de arte famosas y edificaciones religiosas y antiguas. El objetivo es mostrar la presencia y aplicaciones de este número a través de la historia para hacer que las matemáticas sean más acces
Este documento introduce los conceptos fundamentales de los grupos de homotopía equivariantes. Comienza definiendo las nociones básicas de parejas de espacios topológicos y aplicaciones entre ellas. Luego introduce los grupos de homotopía clásicos como conjuntos de clases de homotopía de aplicaciones entre espacios. Finalmente, establece las bases para generalizar esta construcción a acciones de grupos, definiendo los grupos de homotopía equivariantes que serán el objeto principal de estudio del trabajo.
Este documento presenta una tesis sobre el teorema de Darboux. En la introducción, se explica brevemente la topología y las variedades diferenciables. Luego, la tesis se divide en tres partes: 1) estudia propiedades de variedades diferenciables y formas diferenciales, 2) introduce estructuras simplécticas y subvariedades lagrangianas, y 3) demuestra versiones del teorema de Moser y luego el teorema de Darboux, el cual establece que variedades simplécticas son indistinguibles localmente. El objetivo es entender
Este documento presenta una tesis doctoral sobre extensiones microtonales del contrapunto. En la introducción, se define brevemente el contrapunto como la composición polifónica de dos o más voces independientes que se conjuntan armónicamente de manera racional. Se describe el modelo matemático de contrapunto propuesto por Guerino Mazzola que inspira esta tesis. El objetivo es extender el contrapunto a afinaciones microtonales y variar el modelo para explorar nuevas posibilidades.
07.wolfgang strobl, universidad de navarra, el principio de complementariedad...MARA12
El documento describe el principio de complementariedad propuesto por Niels Bohr y su significado en la física. Explica que la complementariedad surge de las relaciones de incertidumbre de Heisenberg, las cuales establecen que ciertos parámetros físicos como la posición y el momento lineal de una partícula no pueden determinarse simultáneamente con precisión absoluta. El principio de complementariedad afirma que estos parámetros son complementarios entre sí.
Este documento presenta y analiza varias paradojas matemáticas que han influido en el desarrollo del pensamiento matemático. Describe siete paradojas, incluyendo las paradojas de Zenón sobre el movimiento y la paradoja de Galileo. Las clasifica en dos grupos: paradojas semánticas, relacionadas con el significado de conceptos como infinito, y paradojas lógicas, que contradicen el principio del tercer excluido. El documento muestra cómo estas paradojas llevaron a cuestionar conceptos como igual
Funciones en varias variables, una introduccioneecoronado
Este documento introduce conceptos básicos sobre funciones en varias variables como:
1) Define el espacio vectorial Rn y sus propiedades como suma y producto escalar de vectores.
2) Explica conceptos geométricos como distancia, ortogonalidad y representaciones gráficas en Rn.
3) Presenta definiciones topológicas como rectas, hiperplanos, vecindades y conjuntos convexos.
4) Introduce los conceptos de límite, continuidad y diferenciabilidad de funciones f: D⊆Rn→R.
MODELO MATEMÁTICO - DEFLEXIÓN DE UNA VIGA UNIFORME (Expansión de Funciones Pr...Diego Trucios
Trabajo de Investigación de la Universidad Nacional de Ingeniería, basado en Modelos Matemáticos en el tema de Funciones y Valores Propios, aplicado al tema de la construcción como Deflexión de una Viga Uniforme
Este documento presenta una introducción a los vocabularios específicos de las diferentes ciencias. Explica las ramas de las ciencias naturales, formales y sociales, y proporciona ejemplos de términos derivados del griego usados en cada campo. También incluye una tabla con las letras del alfabeto griego y sus usos en ciencia, y un resumen de los primeros filósofos presocráticos y sus teorías sobre el origen del universo.
Este documento introduce la teoría de la homotopía. Primero, define varios espacios topológicos como esferas, espacios euclidianos y superficies. Luego, explica las nociones de deformación continua y homotopía entre funciones y espacios. Finalmente, presenta algunos problemas típicos en teoría de la homotopía como clasificación, extensión y levantamiento de funciones.
Este documento discute tres problemas matemáticos complejos que aún no tienen solución: la conjetura de Hodge, la hipótesis de Poincaré y las ecuaciones de Navier-Stokes. La conjetura de Hodge involucra la topología algebraica de variedades algebraicas complejas. La hipótesis de Poincaré afirma que la única variedad tridimensional cerrada y simplemente conexa es la esfera tridimensional. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de fluidos pero son difíciles de resolver.
Este documento discute tres problemas matemáticos complejos que aún no tienen solución: la conjetura de Hodge, la hipótesis de Poincaré y las ecuaciones de Navier-Stokes. La conjetura de Hodge involucra la topología algebraica de variedades algebraicas complejas. La hipótesis de Poincaré establece que la única variedad tridimensional cerrada y simplemente conexa es la esfera tridimensional. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de fluidos pero son difíciles de resolver.
Este documento presenta un resumen de un trabajo de investigación sobre los límites matemáticos. El trabajo consta de una introducción, dos capítulos y una conclusión. En la introducción se define brevemente el concepto de límite y el objetivo del trabajo. El capítulo 1 explora la historia, definición, importancia y precursores de los límites. El capítulo 2 presenta un ejemplo de aplicación de los límites para resolver un problema físico. La conclusión resume las ideas clave discutidas en el trabajo.
Este documento presenta una breve historia de las ecuaciones lineales desde los antiguos egipcios hasta el siglo XVIII. Los egipcios resolvían problemas matemáticos que hoy se pueden clasificar como ecuaciones lineales de la forma x + ax = b. Más tarde, los griegos desarrollaron un álgebra geométrica para resolver ecuaciones algebraicas. En el siglo XVI, la notación algebraica moderna introducida por Viète permitió el desarrollo del álgebra como ciencia de los cálculos simbólicos y las
Este documento resume la historia del desarrollo de las series de Fourier y su importancia en el análisis de funciones y la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. Señala que las series de Fourier surgieron de los intentos pioneros de Euler, Bernouilli y d'Alembert por resolver el problema de la cuerda vibrante en el siglo XVIII. Posteriormente, Fourier desarrolló el análisis armónico y estableció que cualquier función periódica puede expresarse como una serie de Fourier, lo que tuvo gran influencia en las mate
Este documento discute la motivación y desarrollo de la cohomología p-ádica de De Rham y su versión logarítmica. Explica que la cohomología de De Rham ordinaria no es adecuada para estudiar variedades definidas sobre campos finitos debido a que tiene coeficientes en el campo base. Luego describe varias teorías cohomológicas p-ádicas propuestas y finalmente se enfoca en la cohomología p-ádica de De Rham desarrollada por Mebkhout y Arabia, la cual
Este documento presenta una introducción al estudio de la cohomología de De Rham p-ádica propuesta por Zoghman Mebkhout y Alberto Arabia. Explica que su objetivo es entender mejor la construcción de esta cohomología para variedades en característica p y cómo es diferente a otras cohomologías p-ádicas existentes. Finalmente, introduce la motivación de estudiar soluciones de ecuaciones sobre campos finitos y las conjeturas de Weil sobre la función Z de una variedad, las cuales la cohomología de De Rham p-
Este documento trata sobre el concepto de derivada en matemáticas. Explica que la derivada mide la tasa de cambio de una función cuando su variable independiente cambia. Luego discute el origen de las derivadas en los trabajos de Newton y Leibniz en el siglo XVII. Finalmente, presenta las aplicaciones de las derivadas en áreas como cálculo, física y ingeniería.
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Este documento presenta una tesis sobre el teorema de Darboux. En la introducción, se explica brevemente la topología y las variedades diferenciables. Luego, la tesis se divide en tres partes: 1) estudia propiedades de variedades diferenciables y formas diferenciales, 2) introduce estructuras simplécticas y subvariedades lagrangianas, y 3) demuestra versiones del teorema de Moser y luego el teorema de Darboux, el cual establece que variedades simplécticas son indistinguibles localmente. El objetivo es entender
Este documento presenta una tesis doctoral sobre extensiones microtonales del contrapunto. En la introducción, se define brevemente el contrapunto como la composición polifónica de dos o más voces independientes que se conjuntan armónicamente de manera racional. Se describe el modelo matemático de contrapunto propuesto por Guerino Mazzola que inspira esta tesis. El objetivo es extender el contrapunto a afinaciones microtonales y variar el modelo para explorar nuevas posibilidades.
07.wolfgang strobl, universidad de navarra, el principio de complementariedad...MARA12
El documento describe el principio de complementariedad propuesto por Niels Bohr y su significado en la física. Explica que la complementariedad surge de las relaciones de incertidumbre de Heisenberg, las cuales establecen que ciertos parámetros físicos como la posición y el momento lineal de una partícula no pueden determinarse simultáneamente con precisión absoluta. El principio de complementariedad afirma que estos parámetros son complementarios entre sí.
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1) Define el espacio vectorial Rn y sus propiedades como suma y producto escalar de vectores.
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3) Presenta definiciones topológicas como rectas, hiperplanos, vecindades y conjuntos convexos.
4) Introduce los conceptos de límite, continuidad y diferenciabilidad de funciones f: D⊆Rn→R.
MODELO MATEMÁTICO - DEFLEXIÓN DE UNA VIGA UNIFORME (Expansión de Funciones Pr...Diego Trucios
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Este documento presenta una introducción a los vocabularios específicos de las diferentes ciencias. Explica las ramas de las ciencias naturales, formales y sociales, y proporciona ejemplos de términos derivados del griego usados en cada campo. También incluye una tabla con las letras del alfabeto griego y sus usos en ciencia, y un resumen de los primeros filósofos presocráticos y sus teorías sobre el origen del universo.
Este documento introduce la teoría de la homotopía. Primero, define varios espacios topológicos como esferas, espacios euclidianos y superficies. Luego, explica las nociones de deformación continua y homotopía entre funciones y espacios. Finalmente, presenta algunos problemas típicos en teoría de la homotopía como clasificación, extensión y levantamiento de funciones.
Este documento discute tres problemas matemáticos complejos que aún no tienen solución: la conjetura de Hodge, la hipótesis de Poincaré y las ecuaciones de Navier-Stokes. La conjetura de Hodge involucra la topología algebraica de variedades algebraicas complejas. La hipótesis de Poincaré afirma que la única variedad tridimensional cerrada y simplemente conexa es la esfera tridimensional. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de fluidos pero son difíciles de resolver.
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Similar a ERGODICIDAD, RIGIDEZ Y TOPOLOGÍA DE SUBGRUPOS DE BIHo(C) (20)
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
ERGODICIDAD, RIGIDEZ Y TOPOLOGÍA DE SUBGRUPOS DE BIHo(C)
1. ´ ´
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU
ESCUELA DE GRADUADOS
Ergodicidad, Rigidez y Topolog´
ıa
de Subgrupos de Bih0(C)
TESIS
para obtener el grado de
MAG´
ISTER EN MATEMATICAS´
presentada por
´ WALTER YSIQUE QUESQUEN
JOSE ´
Bajo la orientaci´n del Doctor
o
´
PERCY FERNANDEZ SANCHEZ ´
Miembros del Jurado
Dr. ROLAND RABANAL MONTOYA
Dr. ROGER METZGER ALVAN ´
Noviembre del 2009
Lima-Per´
u
2. A mis padres:
Carlos Walter y
Mar´ Encarnaci´n,
ıa o
a mis hermanos y sobrinos;
ellos son mi inspiraci´n en
o
la busqueda de nuevas metas.
A la Familia Calcina Isique,
mi eterna gratitud.
A Liliana, por existir
y representar una etapa
especial de mi vida.
3. Agradecimiento:
Al Dr. Percy Fern´ndez S´nchez, por su tiempo y dedicaci´n en el
a a o
asesoramiento para la elaboraci´n de la presente tesis; a los miembros
o
del jurado Dr. Roland Rabanal Montoya y Dr. Roger Metzger Alv´n, a
por sus valiosos aportes que me permitieron mejorar la versi´n final de
o
la misma.
A mis profesores de la Secci´n Matem´ticas-PUCP que de una u otra
o a
manera con su necesario apoyo han contribuido en el logro de mis
objetivos profesionales.
Una menci´n especial al Dr. C´sar Carranza Saravia, por su constante
o e
apoyo a los que venimos de las diferentes provincias del Per´ a realizar
u
estudios de Postgrado en la Pontificia Universidad Cat´lica del Per´ .
o u
4. Resumen
La presente tesis basa su contenido en temas de din´mica compleja, tiene como
a
primer objetivo el estudio de los teoremas de densidad, ergodicidad y rigidez de
Y. Iliashenko [I2; I3]; y como segundo objetivo se estudia un teorema debido a C.
Camacho [Ca1], el cual analiza el comportamiento topol´gico de un germen del
o
tipo par´bolico.
a
Para lograr los objetivos planteados introducimos las definiciones y resultados
necesarios, los cuales buscamos expresarlos de tal modo que sean accesibles al
lector y poder asi de alguna manera que lo tratado en esta tesis se constituya en
material de consulta y aplicaci´n en otras ´reas de la matem´tica.
o a a
5. Introducci´n
o
El estudio de la din´mica de una aplicaci´n holomorfa en alguna vecindad
a o
de un punto fijo (teor´ local), es una herramienta fundamental para una mejor
ıa
comprenci´n de la din´mica global. Esto fue estudiado durante cientos de a˜ os por
o a n
varios matem´ticos de los cuales podemos citar a E. Schr¨der [Sch], G. Kœnigs
a o
[Kœ], L. Leau [Le], L. E. B¨ttcher [B¨], P. Fatou [Fa1; Fa2; Fa3], G. Julia [Ju], H.
o o
´
Cremer [Cr1], C. L. Siegel [Si; SM], T. M. Cherry [Ch], A. D. Bryuno [Br1], J. Ecalle
´
[Ec1], M. Herman [He1; He2; He3], J. -C. Yoccoz [Y1; Y2; Y3; Y4] y R. Perez-Marco
[P1; P2]. En particular, el matem´tico sovi´tico Y. Iliashenko tambi´n ha hecho
a e e
importantes contribuciones en el estudio de la din´mica holomorfa [I1; I2; I3]. En
a
la presente tesis nos planteamos como un primer objetivo el estudio de los teoremas
de densidad, ergodicidad y rigidez de Y. Iliashenko [I2; I3], para lo cual tomamos
como referencia los trabajos realizados por X. Gomez-Mont y L. Ortiz-Bobadilla
[GO].
Sea f (z) una aplicaci´n holomorfa en una variable de la siguiente forma
o
∞
f (z) = λz + am z m ,
m=2
definida en una vecindad del 0, el cual es un punto fijo de f (i.e. f (0) = 0). Si
0 < |λ| < 1 , entonces existe una vecindad V de 0 tal que f (V ) ⊂ V y existe una
aplicaci´n holomorfa inyectiva ψ(z), la cual est´ definida en V y satisfe la siguiente
o a
ecuaci´n de Schr¨der
o o
ψ(f (z)) = λψ(z).
Esto quiere decir que f (z) es linealizable en una vecindad del origen 0. Este
resultado fue probado por E. Schr¨der [Sch] y luego por G. Kœnigs [Kœ]. Si λ
o
no cumple tal condici´n, el problema de la linealizaci´n se torna complicado, como
o o
lo observ´ A. D. Bryuno [Br1] al dar una soluci´n parcial; la soluci´n completa fue
o o o
hecha hace pocos a˜ os con los trabajos de J. -C. Yoccoz [Y2; Y4] y R. Perez-Marco
n
[P2].
Un biholomorfismo es una aplicaci´n holomorfa con inversa holomorfa. Al grupo
o
de g´rmenes de biholomorfismos de C que fijan el 0, lo denotamos por Bih0 (C).
e
En cuanto a la linealizaci´n, damos un criterio para que toda aplicaci´n lineal
o o
(expresada en un conveniente sistema de coordenadas) sea aproximada por los
elementos de un grupo especial de aplicaciones holomorfas.
El siguiente resultado fue originalmente probado por Iliashenko y Sina´ [I2]:
ı
II
6. Sea Γ ⊂ Bih0 (C) un subgrupo con r generadores f1 , f2 , · · ·, fr ; tal que
D0 Γ ⊂ C∗ el grupo generado por sus partes lineales f1 (0), f2 (0), ···, fr (0)
′ ′ ′
es denso en C∗ , entonces Γ es erg´dico.
o
La prueba que presentamos toma como referencia [GO], en la cual se usa el teorema
de Koebe sugerida por E. Ghys.
El homeomorfismo h, que conjuga a los elementos de dos subgrupos Γ1 , Γ2 ⊂
Bih0 (C), conjuga a su vez a los g´rmenes de las partes lineales de dichos elementos
e
(expresados en una adecuada carta coordenada). Este resultado nos permite
expresar expl´
ıcitamente al homeomorfismo h, luego bajo ciertas condiciones h
es un biholomorfismo. Es decir:
se establecen las condiciones bajo las cuales, la equivalencia topol´gica
o
entre dos subgrupos de Bih0 (C) implica la equivalencia anal´ ıtica de
los mismos.
Este hecho es llamado rigidez absoluta de subgrupos de Bih0 (C).
P. Fatou ([Fa2], pp. 191-221) y G. Julia [Ju] discutieron extensamente el caso
cuando λn = 1 para alg´ n n ∈ N {0}, amparados en el an´lisis inicial
u a
para el caso λ = 1 hecha por L. Leau [Le]. Posteriormente, C. Camacho
[Ca1] (de manera independiente A. A. Shcherbakov) trata la din´mica sobre
a
la conjugaci´n topol´gica, lo cual se establece en el siguiente resultado cuya
o o
demostraci´n constituye el segundo objetivo de nuestra tesis.
o
Sea f una aplicaci´n holomorfa local, f (z) = λz + a2 z 2 + a3 z 3 + · · ·,
o
con λ = 1 para alg´n n ∈ N, si n > 1 asumir λm = 1 para
n
u
1 ≤ m < n. Entonces -la n-´sima iteraci´n f n es la identidad; o
e o
existe un homeomorfismo local h, con h(0) = 0, y un entero k ≥ 1,
tal que h ◦ f ◦ h−1 (z) = fk,n (z) = λz(1 + z kn ).
Una vez presentado el contexto en el cual est´ enmarcada la presente tesis,
a
pasamos a describir como se encuentra estructurada:
• El Cap´ ıtulo 1 es preliminar y est´ dedicado a la presentaci´n de definiciones y
a o
resultados generales que necesitaremos a lo largo de este trabajo.
• En el Cap´ ıtulo 2 se presenta la linealizaci´n de g´rmenes para el caso |λ| = 1.
o e
Tambi´n damos los criterios generales para que la acci´n de grupos de aplicaciones
e o
holomorfas act´ e densa y erg´dicamente en una vecindad de 0 ∈ C.
u o
• El Cap´ ıtulo 3 est´ orientado a establecer bajo qu´ condiciones, la equivalencia
a e
topol´gica entre dos subgrupos de Bih0 (C) implica la equivalencia anal´
o ıtica de
los mismos.
• El Cap´ ıtulo 4 est´ constituido exclusivamente por la demostraci´n del Teorema
a o
de la Flor en su versi´n topol´gica.
o o
• Finalmente, en el Cap´ ıtulo 5 se presentan las conclusiones de la tesis.
III
7. ´
Indice general
1. Definiciones y Resultados Previos. 1
1.1. Topolog´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . 1
1.2. Superficie de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Homeomorfismo que Preserva Orientaci´n. . . . . . . . .
o . . . . . . 6
1.4. Algunas Definiciones de Teor´ de Medida. . . . . . . . .
ıa . . . . . . 10
´
1.4.1. Medida - Area de la imagen de un Conjunto. . . . . . . . . . 11
1.5. El Espacio Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6. Punto de Densidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7. Serie de Fourier en Tn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8. Resultados de An´lisis Real. . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . 15
1.9. Algunos Resultados Incluyendo Aplicaciones Holomorfas. . . . . . . 16
2. Teoremas de Densidad y Ergodicidad. 17
2.1. Linealizaci´n y G´rmenes en Bih0 (C). . . . . . . . . . . . . . . .
o e . 17
2.1.1. Linealizaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 17
2.1.2. Familia anal´ıtica de g´rmenes biholomorfos de (C, 0). . . .
e . 21
2.2. Aproximaci´n por Elementos de un Grupo Especial de Aplicaciones
o
Holomorfas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Densidad en Subgrupos de Bih0 (C). . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4. Ergodicidad en Subgrupos de Bih0 (C). . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Grupos de G´rmenes de Aplicaciones Holomorfas: Equivalencia
e
Topol´gica y Anal´
o ıtica. 43
3.0.1. Grupo de G´rmenes de Homeomorfismos de C en el 0. . . .
e 43
3.1. Conjugaci´n de Dos Subgrupos de Bih0 (C). . . . . . . . . . . . . .
o 47
3.1.1. Espacio de recubrimiento de Ω∗ . . . . . . . . . . . . . . . .
m 51
3.1.2. Conclusi´n de la demostraci´n del Teorema 3.3: . . . . . . .
o o 59
3.2. De Equivalencia Topol´gica a Equivalencia Anal´
o ıtica. . . . . . . . . 60
3.3. Conclusi´n: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 65
4. Teorema de la Flor: Versi´n Topol´gica.
o o 68
4.1. Aplicaciones Holomorfas de tipo Parab´lico. . . . . . . . . . . . . . 70
o
IV
9. Cap´
ıtulo 1
Definiciones y Resultados Previos.
El objetivo de este cap´
ıtulo es introducir aquellas definiciones y resultados que
nos servir´n para el desarrollo de los cap´
a ıtulos siguientes.
1.1. Topolog´
ıa
Recordemos que, dado un conjunto X y una colecci´n T de subconjuntos, que
o
llamaremos los abiertos de X, y que cumplen las siguientes condiciones:
a)El conjunto vacio y el mismo X pertenecen a T ,
b) Si Vi ∈ T para i= 1,...,n ; entonces n Vi ∈ T ,
i=1
c) Si {Vα } es una colecci´n arbitraria de elementos de T , entonces α Vα ∈ T ;
o
decimos que T es una topolog´ definida en X. El par (X, T ) es llamado un espacio
ıa
topol´gico.
o
Se dice que un espacio topol´gico (X, T ) tiene la propiedad de Hausdorff, si
o
para cada par de puntos distintos x; y ∈ X existen abiertos V (x), V (y) ∈ T tales
que V (x) ∩ V (y) = φ. Por ejemplo:
(a) El toro como subconjunto de R3 con aquella topolog´ inducida por conjuntos
ıa
2
abiertos (rect´ngulos) de R , es Hausdorff.
a
(b) En el conjunto de los n´ meros reales, R, se define T como aquella topolog´
u ıa
tal que sus abiertos son φ, R y todos los subconjuntos de R cuyo
complemento tenga un n´ mero finito de elementos. El espacio topol´gico
u o
(R, T ) no es de Hausdorff.
Un espacio topol´gico X se llama conexo cuando los unicos subconjuntos
o ´
abiertos y cerrados simult´neamente son el conjunto vac´ y el mismo X.
a ıo
Por ejemplo, el subconjunto de R2 (con la topolog´ usual) definido como
ıa
S = {(x, y) ∈ R : x > 0, y = sen(1/x)} ∪ {(x, y) ∈ R2 : x = 0, y ∈ [−1, 1]}
2
1
10. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
es conexo.
Un espacio topol´gico X es conexo si solamente si, no puede ser expresado
o
como reuni´n de dos subconjuntos abiertos, disjuntos y no vac´ Intuitivamente,
o ıos.
un espacio conexo es constituido de “ un s´lo pedazo”.
o
Un espacio topol´gico es simplemente conexo si y solo si toda trayectoria
o
cerrada en X es contr´ctil a un punto, esto es, para toda f : [0, 1] −→ X
a
con f (0) = f (1) ∈ X (luego denotada por f0 (x)), existe una aplicaci´n continua
o
F : X ×[0, 1] −→ {f (0) = f (1)} tal que F (x, 0) = f0 (x) y F (x, 1) = f (0) = f (1).
Figura 1.1:
Podemos citar como ejemplo de espacio simplemente conexo al R2 , y al (R2 − {0})
como ejemplo de un espacio el cual no es simplemente conexo.
Un espacio topol´gico X es arco conexo o conexo por caminos si para
o
cualesquiera dos puntos a, b ∈ X, estos pueden ser unidos por una curva. Un
espacio arco conexo es tambi´n conexo. Un espacio topol´gico es localmente arco
e o
conexo si todo punto tiene una base de vecindades arco conexas.
Definici´n 1.1. [Espacio de Cubrimiento-Cubrimiento Universal]. Sean X
o
y X espacios topol´gicos conexos . El par (X, π), es llamado un espacio de
o
cubrimiento de X si existe una aplicaci´n π : X −→ X tal que:
o
1. La aplicaci´n π es sobreyectiva.
o
2. Para cada x ∈ X, existe un subconjunto abierto conexo U ⊂ X con
x ∈ U, tal que π −1 (U) es una uni´n disjunta de conjuntos abiertos en X,
o
cada uno de los cuales es enviado de forma homeomorfa sobre U mediante
π.
En particular si X es simplemente conexo, (X, π) es llamado el espacio de
recubrimiento universal de X.
Ejemplo 1.2. La aplicaci´n R → S 1 dada por t → e2πit es una aplicaci´n
o o
cubriente con un n´mero infinito de hojas.
u
2
11. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
Ejemplo 1.3. La aplicaci´n S 1 → S 1 dada por z → z n para un entero positivo
o
fijo n, es una aplicaci´n cubriente con n hojas.
o
Definici´n 1.4. [Levantamiento de una aplicaci´n]. Sean X, Y y Z espacios
o o
topol´gicos , p : Y −→ X y f : Z −→ X aplicaciones continuas. Entonces un
o
levantamiento de f con respecto a p es una aplicaci´n continua g : Z −→ Y tal
o
que f = p ◦ g, es decir, el siguiente diagrama conmuta.
y<<
Y
g yy
yy p
yy
yy f
Z // X
(Ver [Fr], p.22).
Teorema 1.5. [Existencia de un levantamiento]. Sean X e Y espacios de
Hausdorff y p : Y → X una aplicaci´n cubriente. Sea Z un espacio topol´gico
o o
simplemente conexo, arco conexo y localmante arco conexo, y f : Z → X una
aplicaci´n continua. Entonces para cualquier elecci´n de puntos z0 ∈ Z y y0 ∈ Y
o o
ˆ ˆ
con f (z0 ) = p(y0 ) existe un unico levantamiento f : Z → Y tal que f (z0 ) = y0 .
´
(Ver [Fr], p.26).
Sea X un espacio topol´gico, y p un punto fijo de X. A una aplicaci´n continua
o o
γ : I = [0, 1] → X que verifica la condici´n γ(0) = γ(1) = p se llama un lazo
o
basado en p.
El producto de dos lazos α y β denotado por α ∗ β, se define por
α(2t), 0 ≤ t ≤ 1/2;
(α ∗ β)(t) = (1.1)
β(2t − 1), 1/2≤ t ≤ 1.
Esto indica que, primero se recorre el lazo α pero a doble velocidad y luego β
tambi´n a doble velocidad.
e
Dos lazos α, β : I = [0, 1] → X basados en un punto com´ n p son homot´picos
u o
si existe una aplicaci´n continua F : I × I → X tal que F (s, 0) = α(s) y
o
F (s, 1) = β(s), F (0, t) = p = F (1, t).
Las clases de homotop´ son las clases de equivalencia bajo la relaci´n de ser
ıa o
homot´picas. Intuitivamente una clase de homotop´ representa un paquete de
o ıa
curvas que se deforman entre si.
El producto de dos clases de homotop´ [f ] y [g] se define por [f ] ∗ [g] = [f ∗ g],
ıa
tal definici´n es independiente de la elecci´n de los representantes. Este producto
o o
permite obtener una estructura de grupo, donde el elemento neutro ser´ la clase
a
3
12. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
del lazo definido por γ(t) = p para todo t y el elemento inverso de la clase del lazo
f ser´ la clase del lazo f −1 , definido por f −1 (t) = f (1 − t).
a
Definici´n 1.6. [Grupo Fundamental]. El grupo fundamental de un espacio
o
topol´gico X basado en un punto p de X, denotado por Π1 (X, p), es el conjunto
o
de clases de homotop´ de curvas cerradas con la operaci´n ∗.
ıa o
Ejemplo 1.7. Denotemos por D ∗ (0, ρ) al disco con centro en 0 y radio ρ al
cual le quitamos el 0. El grupo fundamental de D ∗ (0, ρ) es isomorfo Z el grupo
aditivo de los n´meros enteros.
u
En efecto:
Definimos la aplicaci´n φ(D ∗ (0, ρ)) → Z como φ([f ]) = n, donde [f ] es la clase
o
de lazos que dan n vueltas alrededor de 0. Probaremos que φ es un isomorfismo.
1. φ es inyectiva: para [f ] y [g] en φ(D ∗ (0, ρ)), por definici´n de φ, si [f ] = [g]
o
implica que φ([f ]) = φ([g]).
2. φ es sobreyectiva: por definici´n de φ, para todo n ∈ Z es posible encontrar
o
∗
una clase [f ] en φ(D (0, ρ)) tal que φ([f ]) = n.
3. φ es un homomorfismo: sea [f ] y [g] en φ(D ∗(0, ρ)) tal que φ([f ]) = n y
φ([g]) = m. Se sabe que [f ] ∗ [g] = [f ∗ g], luego φ([f ] ∗ [g]) = φ([f ∗ g]) =
m + n = φ([f ]) ∗ φ([g]).
Por lo tanto φ es un isomorfismo.
Teorema 1.8. Si h : X → Y es un homeomorfismo, con h(x0 ) = y0 . Entonces
la aplicaci´n h∗ : Π1 (X, x0 ) −→ Π1 (Y, y0) definida por la ecuaci´n h∗ ([f ]) = [h◦f ],
o o
es un isomorfismo inducido por h.
(Ver [Mu], p.380).
1.2. Superficie de Riemann.
Definici´n 1.9. [Variedad n-dimensional]. Una variedad n-dimensional es un
o
espacio topol´gico de Hausdorff X tal que todo punto a ∈ X tiene una vecindad
o
abierta la cual es homeomorfa a un subconjunto abierto de Rn .
(Ver [Fr], p.2).
Ejemplo 1.10. [El n-Toro Tn ]. El n-Toro Tn es el cubo [0, 1]n con los
puntos opuestos identificados. As´ los puntos (x1 , ···, 0, ···, xn) y (x1 , ···, 1, ···, xn)
ı,
son identificados siempre que 0 y 1 est´n en la misma coordenada. Una mejor
e
definici´n puede ser dada como sigue: para x, y ∈ Rn , decimos que
o
x≡y , (1.2)
4
13. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
si x − y ∈ Zn . Por lo tanto Zn es un subgrupo aditivo de Rn . Si la Relaci´n o
(1.2) se cumple, entonces escribimos x = y(mod)1. La relaci´n ≡ es una
o
relaci´n de equivalencia que particiona Rn en clases de equivalencia. Por lo
o
tanto el n − T oro Tn es definido como el conjunto Rn /Zn de todas las clases
de equivalencia.
Cuando n=2, la identificaci´n junta los lados derecho e izquierdo del cuadrado
o
2
[0, 1] as´ como los lados superior e inferior del mismo. Esto produce la siguiente
ı
figura que es una variedad bidimensional incrustada en R3 semejante a una dona.
Figura 1.2:
Definici´n 1.11. Sea X una variedad bidimensional. Una carta compleja
o
sobre X es un homeomorfismo ϕ : U −→ V de un subconjunto abierto U ⊂ X
sobre un subconjunto abierto V ⊂ C. Dos cartas complejas ϕi : Ui −→ Vi , i=1,2;
son holomorfas compatibles si la aplicaci´n
o
ϕ2 ◦ ϕ−1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) −→ ϕ2 (U1 ∩ U2 )
1
es un biholomorfismo.
Figura 1.3:
5
14. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
Un atlas complejo en X es un sistema U = {ϕi : Ui −→ Vi , i ∈ I} de cartas las
cuales son holomorfas compatibles y cubren X, es decir, ∪i∈I Ui = X.
Dos atlas complejos U y U ′ en X son llamados analit´ ıcamente equivalentes si
toda carta de U es holomorfa compatible con toda carta de U ′ .
(Ver [Fr], p.2).
Definici´n 1.12. Una estructura compleja en una variedad bidimensional X
o
, es la clase de equivalencia de atlas anal´
ıticamente equivalentes en X.
(Ver [Fr], p.2).
Definici´n 1.13. [Superficie de Riemann] . Una superficie de Riemann es un
o
par (X, Σ), donde X es una variedad bidimensional conexa y Σ es una estructura
compleja en X.
Uno usualmente escribe X en vez de (X, Σ), o tambi´n se escribe (X, U) donde
e
U es un representante de Σ.
(Ver [Fr], p.3).
Ejemplo 1.14. El plano complejo C es una superficie de Riemann. Su
estructura compleja es definida por el atlas cuya unica carta es la aplicaci´n
´ o
identidad id : C −→ C.
1.3. Homeomorfismo que Preserva Orientaci´n.
o
Definici´n 1.15. Un homeomorfismo f : S 1 → S 1 preserva orientaci´n, si
o o
1
x, y ∈ S con x y se tiene que f (x) f (y), considerando el orden natural
de la circunferencia.
Proposici´n 1.16. Sea F un levantamiento de f : S 1 → S 1 , el homeomorfismo
o
que preserva orientaci´n. Entonces F (x + 1) = F (x) + 1 para cualquier x ∈ R.
o
(Ver [Ar], p.7).
Prueba: Por ser F un levantamiento de f , se tiene el siguiente diagrama
conmutativo:
F
R // R
p=e2πi p=e2πi
f
S 1 // S 1 ,
(1.3)
tal que :
f ◦p=p◦F . (1.4)
6
15. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
a) Afirmaci´n: la aplicaci´n k(x) = F (x + 1) − F (x) es un n´ mero entero.
o o u
En efecto:
Se cumple que f ◦ p(x) = f ◦ p(x + 1), usando (1.4) en ambos miembros de esta
ultima igualdad, obtenemos p ◦ F (x) = p ◦ F (x + 1) , esto es e2πiF (x) = e2πiF (x+1) ,
´
luego F (x + 1) = F (x) + k(x), donde k : R −→ Z. Como F es continua,
entonces k(x) = F (x + 1) − F (x) tambi´n lo es.
e
La imagen de un conjunto conexo por una aplicaci´n continua es conexo, as´ k(R)
o ı
es un subconjunto conexo no nulo de Z. Los unicos tales subconjuntos son
´
unitarios, as´ k es constante. Por lo tanto F (x + 1) y F (x) se diferencian en
ı
un n´ mero entero. Es decir k(x) ≡ k ∈ Z. Esto prueba a) .
u
b) Demostraremos que k = 1.
b1) Afirmaci´n k ≤ 1.
o
En efecto:
Supongamos que k ≥ 2, esto es F (x+1)−F (x) ≥ 2. Considere x y x+1
tal que por ejemplo F (x) = 1, F (y) = 2 y F (x + 1) = 3. De la conmutatividad
del diagrama 1.3, puesto que |x − y| 1, x e y son llevados por p = e2πi
a dos puntos diferentes en S 1 , como f es inyectiva lleva a p(x) y p(y) en
dos puntos diferentes en S 1 , estos puntos son los mismos que se deben obtener
si usamos la v´ p ◦ F . Pero F (x) y F (y) se diferencian en 1, as´ ambos son
ıa ı
llevados por p al mismo punto en S 1 lo cual es una contradicci´n. Por lo tanto
o
F (x + 1) − F (x) = k ≤ 1 . Esto prueba b1) .
b2) Afirmaci´n k = 0.
o
En efecto:
Si k = 0, para x y x + 1 se puede presentar por ejemplo:
F (y) = F (x) = F (x + 1). Usando la v´ f ◦ p obtenemos dos puntos en S 1 ,
ıa
mientras que si usamos la v´ p ◦ F obtenemos un s´lo punto en S 1 , lo cual es
ıa o
una contradicci´n a la inyectividad de f . Esto prueba b2) .
o
b3) Afirmaci´n: El n´ mero entero k no es negativo.
o u
En efecto:
Si k es un n´ mero entero negativo, para x y x + 1 se puede presentar
u
por ejemplo: F (x) = 2,8; F (y) = 1,5 y F (x + 1) = 0,8. En este caso la
unica posibilidad para que se cumpla la conmutatividad del diagrama 1.3 es que
´
el homeomorfismo f invierta la orientaci´n, esto contradice a la hip´tesis que el
o o
homeomorfismo f preserva orientaci´n. Esto prueba b3) .
o
Por lo tanto, F (x + 1) = F (x) + 1. La prueba de la proposici´n termin´.
o o
Corolario 1.17. Sea F : R → R el levantamiento de un homeomorfismo que
preserva orientaci´n. Entonces para cada x ∈ R, F (x + n) = F (x) + n, para todo
o
n ∈ Z.
7
16. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
Prueba: Por la Proposici´n 1.16, como F es el levantamiento de un
o
homeomorfismo que preserva orientaci´n, se tiene que F (x + 1) = F (x) + 1 para
o
todo x ∈ R.
Para n 0, aplicamos inducci´n sobre n: para n = 1, por la Proposici´n
o o
1.16, F (x + 1) = F (x) + 1; para n = h suponemos que se cumple la igualdad
F (x + h) = F (x) + h; para n = h + 1, F (x + h + 1) = F (x + h) + 1 = F (x) + h + 1.
Para n 0, tenemos que −n 0. Luego F (x) = F (x+n−n) = F (x+n)−n.
As´ F (x) + n = F (x + n).
ı,
Por lo tanto F (x + n) = F (x) + n para todo n ∈ Z. La prueba del Corolario
est´ terminada.
a
Definici´n 1.18. Sea h : D ∗ (0, ρ1 ) ⊂ C∗ −→ D ∗ (0, ρ2 ) ⊂ C∗ un
o
homeomorfismo, luego por el Teorema 1.8 se tiene que h induce un isomorfismo
h∗ entre los grupos fundamentales de D ∗ (0, ρ1 ) y D ∗ (0, ρ2 ). Tambi´n (se puede
e
considerar el Ejemplo 1.7) se tiene que el isomorfismo h∗ induce un isomorfismo
h# de Z en si mismo. Se sabe que el conjunto generador de Z es {−1, 1}.
Luego diremos que h es un homeomorfismo que preserva orientaci´n si −1 −→
o
h# (−1) = −1 y 1 −→ h# (1) = 1; e invierte orientaci´n si −1 −→ h# (−1) = 1 y
o
1 −→ h# (1) = −1.
Ejemplo 1.19. Sean a, b ∈ R, con b −1. La aplicaci´n T : C → C, de la
o
forma T (z) = Cz, donde:
1 −a
C= ,
0 (1 + b)
preserva orientaci´n.
o
ˆ
Lema 1.20. Sea h : C −→ C un levantamiento del homeomorfismo que
ˆ ˆ
preserva orientaci´n h : C∗ −→ C∗ . Entonces h(z + 1) = h(z) + 1, para todo
o
z∈C . ∗
ˆ
Prueba: Por ser h un levantamiento del homeomorfismo h, el siguiente
diagrama conmuta:
ˆ
h
C // C
e2πiz e2πiz
h
C∗ // C∗
(1.5)
8
17. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
ˆ ˆ
Sea h(z + 1) = h(z) + k, donde k ∈ Z. Consideramos la idea de la demostraci´n o
de la Proposici´n 1.16. As´ sin p´rdida de generalidad , para z ∈ C restringimos
o ı, e
ˆ
h a un segmento de recta con extremos z y z + 1, el cual denotamos por
z, (z + 1). Sean z1 y z2 dos puntos diferenes tomados en z, (z + 1) . Como
e2πiz1 y e2πiz2 son dos puntos diferentes de una c´ ırcunferencia incluida en C∗ ,
entonces por la inyectividad de h se cumple:
h(e2πiz1 ) = h(e2πiz2 ) . (1.6)
La idea de la demostraci´n se ilustra en la Figura 1.4.
o
Figura 1.4:
Notaci´n: Re(z) = parte real de z e Im(z) = parte imaginaria de z .
o
ˆ ˆ
Puesto que Im(h(z+1)) = Im(h(z)), supongamos que para los puntos elegidos z1
ˆ ˆ
y z2 se cumple que Im(h(z1 )) = Im(h(z2 )) (esto se garantiza por la continuidad
ˆ ˆ ˆ
de h). Si Re(h(z2 )) = h(z1 ) + m, con m ∈ Z y 0 |m| |k|; entonces :
ˆ ˆ
e2πih(z1 ) = e2πih(z2 ) . (1.7)
Luego, lo obtenido en (1.6) y (1.7) contradice a la conmutatividad del diagrama
1.5. Esta contradicci´n se descarta si tal m no existe, lo cual se asegura si k = 1.
o
ˆ ˆ
Por lo tanto h(z + 1) = h(z) + 1 . La prueba est´ concluida.
a
ˆ
Teorema 1.21. Sea h : C −→ C un levantamiento del homeomorfismo que
ˆ ˆ
preserva orientaci´n h : C∗ −→ C∗ . Entonces h(z + n) = h(z) + n, para todo
o
z ∈ C∗ y n ∈ N.
ˆ ˆ
Prueba: Por el Lema 1.20 se tiene que h(z + 1) = h(z) + 1, luego como en el
Corolario 1.17 se aplica inducci´n sobre n. Esto concluye la prueba.
o
9
18. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
1.4. Algunas Definiciones de Teor´ de Medida.
ıa
Definici´n 1.22. :
o
1. Una colecci´n M de subconjuntos de un conjunto X es llamado una
o
σ-´lgebra en X si M tiene las siguientes tres propiedades:
a
X∈M
Si A ∈ M, entonces Ac ∈ M, donde Ac es el complemento de A
relativo a X .
∞
Si A = An y si An ∈ M para n=1,2,... ; entonces A ∈ M.
n=1
2. Si M es una σ-´lgebra en X, entonces X es llamado un espacio
a
medible, y los elementos de M son llamados conjuntos medibles en X.
Definici´n 1.23. Sea F una σ-´lgebra de subconjuntos de X.
o a
λ : F −→ [0, +∞]
es una medida positiva, si para toda colecci´n Ai ∈ F ,i=1,2,...; de conjuntos
o
disjuntos tal que Ai ∈ F , se cumple:
i≥1
λ Ai = λ (Ai ) .
i≥1 i≥1
Definici´n 1.24. Sea X cualquier conjunto, M cualquier σ-´lgebra de
o a
subconjuntos de X y f : X → [−∞, ∞]. Se dice que f es M-medible si para
todo t ∈ [−∞, ∞], el conjunto f −1 ([−∞, t]) pertenece a M, en otras palabras,
{x ∈ X/f (x) ≤ t} ∈ M.
En caso X = Rn y M = L, entonces decimos que una aplicaci´n L-medible
o
es Lebesgue Medible.
(Ver [Jo], p. 113 .)
Ejemplo 1.25. Sea M una σ-´lgebra de subconjuntos de X. Si A ∈ M
a
entonces la aplicaci´n XA (llamada la aplicaci´n caracter´
o o ıstica de A), definida
por:
1, si x ∈ A;
XA (x) =
0, si x ∈ Ac ,
es M-medible.
En efecto:
10
19. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
Para XA t. Si t ≥ 1 entonces el conjunto {x ∈ X : XA (x) ≤ t} = A ∪ Ac
pertenece a M. Si t 1 entonces el conjunto {x ∈ X : XA (x) ≤ t} = Ac tambi´n
e
pertenece a M.
Por lo tanto, XA es M-medible.
Ejemplo 1.26. La σ−´lgebra formada por los conjuntos abiertos de Rn es
a
llamada la clase de conjuntos de Borel.
Dado el conjunto I = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] = {x ∈ Rn : ai ≤ x ≤ bi , para 1 ≤
i ≤ n}, llamado rect´ngulo especial ; definimos la medida de I como el n´ mero real
a u
no negativo dado por λ(I) = (b1 − a1 ) × · · · × (bn − an ). Si I = φ, λ(I) = 0; si I
es un conjunto ilimitado, decimos que I tiene medida infinita.
Un pol´ıgono especial es una uni´n finita de rect´ngulos especiales, cada
o a
uno de los cuales tiene medida no nula (todos los pol´
ıgonos especiales tienen
“lados”paralelos a los ejes coordenados).
Sea G ⊂ Rn un conjunto abierto, si G = φ definimos la medida de G como
λ(G) = sup{λ(P ) : P ⊂ G, P es un pol´
ıgono especial } .
Definici´n 1.27. Sea A ⊂ Rn un conjunto arbitrario. Entonces
o
λ∗ (A) = la medida exterior de A = inf{λ(G)/A ⊂ G = conjunto abierto},
λ∗ (A) = la medida interior de A = sup{λ(K)/A ⊃ K = conjunto compacto} .
(Ver [Jo], p. 42 .)
Definici´n 1.28. Considere el conjunto L0 = {A ⊂ Rn /λ∗ (A) = λ∗ (A)
o
∞} . Sea A ⊂ Rn . Entonces A es medible (o medible de Lebesgue para enfatizar)
si para todo M ∈ L0 , A ∩ M ∈ L0 . En este caso, podemos definir la medida (o
la medida de Lebesgue) de A es
λ(A) = sup{λ(A ∩ M)/M ∈ L0 } .
Denotemos por L a la clase de todos los conjuntos medibles A ⊂ Rn . As´
ı,
A ∈ L s´ y s´lo si A ∩ M ∈ L0 para todo M ∈ L0 .
ı o
(Ver [Jo], p. 48 .)
1.4.1. ´
Medida - Area de la imagen de un Conjunto.
Definici´n 1.29. Una aplicaci´n simple de X en [−∞, +∞] es cualquier
o o
aplicaci´n la cual s´lo asume un n´mero finito de distintos valores. As´ si s es
o o u ı,
una aplicaci´n simple, puede ser representada en la forma
o
m
s= αk XAk , (1.8)
k=1
11
20. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
donde los conjuntos Ak son disjuntos y los n´meros αk ∈ [−∞, +∞] son los
u
distintos valores que toma s.
Denotemos por S a la clase de aplicaciones simples medibles s sobre Rn tal que
0 ≤ s(x) ∞ para todo x ∈ Rn .
Si s ∈ S, entoces s se puede representar en la forma (1.8), donde 0 ≤ αk ∞
y los conjuntos Ak son medibles y disjuntos. Bajo estas consideraciones se define
la integral de s, denotada por sdλ, como el n´ mero dado por:
u
m
sdλ = αk λ(Ak ).
k=1
En esta definici´n se ha usado la convenci´n 0.∞ = 0, es decir, si alg´ n αi = 0
o o u
con λ(Ai ) = ∞, entonces αi .λ(Ai ) = 0.
Definici´n 1.30. [Integral de Lebesgue]. Sea f : Rn → [0, ∞] una aplicaci´n
o o
medible. Entonces la integral de Lebesgue de f en Rn se define como:
f dλ := sup sdλ,
Rn 0≤s≤f Rn
donde s ∈ S.
(Ver [Jo], p. 123 .)
Sea B un conjunto de Borel en Rn . Definimos la integral de f sobre B como
B
f dλ = Rn XB .f dλ. De esto tenemos que B f dλ := λ(B).
Sea U un subconjunto abierto de Rn y f : U ⊂ Rn → Rn una aplicaci´n de o
clase C 1 . El Jacobiano de f , denotado por Jf , es definida por Jf (x) = det(f ′ (x)) .
Teorema 1.31. Sean U y V subconjuntos abiertos de Rn , y sea T una
aplicaci´n biyectiva de U en V tal que T y T −1 son ambas de clase C 1 . Entonces
o
cada subconjunto de Borel B de U satisface:
λ(T (B)) = |JT (x)|dλ(x) .
B
(Ver [Co], p.171).
En particular, sean E un subconjunto de R2 , y f (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) una
aplicaci´n diferenciable e inyectiva definida en un conjunto abierto conteniendo a
o
E, entonces por del Teorema 1.31 se sigue que:
λ(f (E)) = dλ(f (x, y)) = |Jf (x, y)|dλ(x, y) = |ux vy − uy vx |dλ(x, y).
f (E) E E
(1.9)
12
21. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
Sea z = x + iy tal que f (z) = u(x, y) + iv(x, y) es una aplicaci´n holomorfa e
o
inyectiva definida en un conjunto abierto conteniendo al conjunto E, entonces en
virtud de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ux vy − uy vx = |f ′ (z)|2 , luego (1.9)
se expresa como:
λ(f (E)) = |f ′(z)|2 dλ(z) . (1.10)
E
(Ver [Ah], p. 75-76).
1.5. El Espacio Lp.
El espacio Lp depende de la medida definida.
Cuando digamos “para casi todo punto” x ∈ X nos referiremos a que el
conjunto de puntos x ∈ X que no cumplen la condici´n exigida en determinado
o
momento son una cantidad bastante peque˜ a, de medida cero (o nula).
n
Definici´n 1.32. Sea X un conjunto abierto de Rn y f una aplicaci´n
o o
L-medible definida en X, se dice que f es esencialmente limitada si existe un
n´mero M tal que 0 ≤ M ∞ y |f (x)| ≤ M para casi todo punto (c.t.p)
u
x ∈ X.
||f ||∞ = inf {M/|f (x)| ≤ M para c.t.p x ∈ X} .
Definici´n 1.33. Sea G un conjunto abierto en Rn . El espacio local Lp
o
sobre G consiste de todas las aplicaciones L-medibles f definidas sobre casi todo
G tal que para todo conjunto compacto K ⊂ G la aplicaci´n f · XK tiene una
o
p
norma finita L para 1 ≤ p ≤ ∞. Esto es,
• |f (x)|p dx ∞ si 1 ≤ p ∞;
K
• f es esenciamente limitada sobre K si p = ∞ .
La colecci´n de todas tales aplicaciones f es denotada por Lp (G) .
o loc
(Ver [Jo], p. 242 .)
1.6. Punto de Densidad.
En esta secci´n definimos lo que es un “punto de densidad”, el cual ser´ una
o a
herramienta fundamental en la prueba de la Proposici´n 2.17.
o
13
22. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
Teorema 1.34. [Derivaci´n de Lebesgue]. Sea f ∈ L1 (Rn ). Entonces para
o loc
casi todo punto x ∈ R ,
n
1
l´
ım |f (y) − f (x)|dy = 0 .
r→0 λ(B(x, r)) B(x,r)
En particular, se sigue que para casi todo punto x ∈ Rn
1
l´
ım f (y)dy = f (x) .
r→0 λ(B(x, r)) B(x,r)
(Ver [Jo], p.456 .)
Sea E ⊂ Rn un conjunto medible, aplicamos el Teorema 1.34 a la aplicaci´no
ıstica XE . Notamos que para un punto fijado x ∈ R , la aplicaci´n
caracter´ n
o
XE evaluada en x, no cambia de signo. Por lo tanto podemos usar la segunda
conclusi´n en el Teorema 1.34. As´ para casi todo punto x ∈ Rn se tiene que
o ı,
1
l´
ım XE (x)dx = XE (x) . Esto es :
r→0 λ(B(x, r)) B(x,r)
λ(E ∩ B(x, r))
l´
ım = XE (x) .
r→0 λ(B(x, r))
En particular, casi todo punto x ∈ E satisface:
λ(E ∩ B(x, r))
l´
ım = 1. (1.11)
r→0 λ(B(x, r))
Definici´n 1.35. Si x satisface la (1.11), decimos que x es un punto de
o
densidad de E. As´ casi todo punto de E es un punto de densidad de E.
ı,
(Ver [Jo], p.463 .)
1.7. Serie de Fourier en Tn .
El n-Toro Tn tambi´n es pensado como el siguiente subconjunto de Cn
e
{(e2πix1 , e2πix2 , · · ·, e2πixn ) ∈ Cn : (x1 , x2 , · · ·, xn ) ∈ [0, 1]n },
de la misma manera el intervalo [0, 1] puede ser pensado como el c´
ırculo unitario
en C donde 0 y 1 son identificados.
Las aplicaciones f que satisfacen f (x + m) = f (x) para todo x en Rn y un
m en Zn , son llamadas 1-peri´dicas en cada coordenada.
o
Para x ∈ Rn , |x| denota la norma usual de x. Esto es
|x| = (x · x)1/2 = (x2 + x2 + · · · + x2 )1/2 .
1 2 n
14
23. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
Sean ω1 , ω2 ∈ C linealmente independientes sobre R, esto determina un
reticulado Γ := {nω1 + mω2 : n, m ∈ Z}, donde z1 y z2 est´n relacionados (i.e:
a
z1 ∼ z2 ) si y solo si z1 − z2 ∈ ω1 Z + ω2 Z, esta relaci´n es de equivalencia. Con esto
o
tenemos las clases de equivalencia [z], donde z es un representante cualquiera, el
conjunto de tales clases es el toro T2 = C/Γ.
Diremos que f est´ en L1 (Tn ), f ∈ L1 (Tn ), si es integrable en el sentido de
a
Lebesgue sobre el n-toro Tn .
Definici´n 1.36. [Coeficientes de Fourier]. Para una aplicaci´n compleja
o o
valuada f ∈ L1 (Tn ) y m ∈ Zn , definimos
ˆ
f (m) = f (x)e−2πim.x dx . (1.12)
Tn
ˆ
Llamamos a f (m) el m-´simo coeficiente de Fourier de f.
e
Definici´n 1.37. [Serie de Fourier]. La serie de Fourier de f en x ∈ Tn es
o
la serie
ˆ
f (m)e2πim.x . (1.13)
m∈Zn
1.8. Resultados de An´lisis Real.
a
Teorema 1.38. [“Principio de Extensi´n de Identidades”]. Sean f, g dos
o
aplicaciones continuas de un espacio m´trico E en un espacio m´trico E ′ ; si
e e
f (x) = g(x) para todos los puntos x de un subconjunto denso A en E, entonces
f = g.
(Ver [Di], p.61).
Teorema 1.39. Sea A un subconjunto denso de un espacio m´trico E, y
e
f una aplicaci´n uniformemente continua de A en un espacio m´trico completo
o e
E ′ . Entonces existe aplicaci´n continua f de E en E ′ que coincide con f
o
en A; adem´s, f es uniformemente continua.
a
(Ver [Di], p.62).
Teorema 1.40. Toda aplicaci´n continua de f : R −→ R, tal que f (x+ y) =
o
f (x) + f (y) es del tipo x −→ cx, con c ∈ R una constante.
(Ver [Di], p.83) .
Proposici´n 1.41. Sea H un subgrupo cerrado de R2 . Entonces H es
o
isomorfo a uno de los grupos Rk × Zℓ donde k, ℓ son enteros con 0 ≤ k + ℓ ≤ 2.
(Ver [Ca2], p.169).
15
24. CAP´
ITULO 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.
1.9. Algunos Resultados Incluyendo
Aplicaciones Holomorfas.
Teorema 1.42. [Un Cuarto de Koebe]. Sea f : D := D(0, 1) ⊂ C −→ C una
aplicaci´n holomorfa inyectiva tal que f (0) = 0 y f ′ (0) = 1, entonces la imagen
o
de D bajo f contiene al c´ırculo con centro en cero y radio un cuarto.
(Ver [Ru], p.288).
Como una consecuencia del Teorema 1.42 tenemos:
Corolario 1.43. Dado un disco de centro z0 y radio r denotado por D(z0 , r).
Si g : D(z0 , r) ⊂ C −→ C una aplicaci´n holomorfa e inyectiva, con g(z0 ) = ω0
o
′
y g (z0 ) = ν; entonces g(D(z0 , r)) contiene al disco de centro ω0 y radio r|ν|/4
denotado por D(ω0, r|ν|/4) .
Prueba:
g(rz + z0 ) − ω0
Definamos h(z) := . Entonces h satisface las hip´tesis del
o
r|ν|
g(rD + z0 ) − ω0
Teorema 1.42. Por lo tanto D1/4 ⊂ h(D) = . De esto se tiene,
r|ν|
D(ω0 , r|ν|/4) ⊂ g(D(z0 , r)).
Lema 1.44. [Schwarz]. Sea f una aplicaci´n holomorfa definida en el disco
o
unitario D del plano complejo C con imagen contenida en el mismo disco D
y satisfaciendo f (0) = 0, entonces |f (z)| ≤ |z| y |f ′ (0)| ≤ 1. La igualdad
f (z) = |z| con z = 0, ´ |f ′ (0)| = 1 pueden solo ocurrir para f (z) = αz con α
o
una constante de norma 1 .
(Ver [St], p.218) .
Teorema 1.45. [Uniformizaci´n de Riemann]. Sea Ω un subconjunto propio
o
y simplemente conexo de C. Si z0 ∈ Ω, entonces existe una unica aplicaci´n
´ o
holomorfa (inyectiva) f : Ω → D tal que
f (z0 ) = 0 y f ′ (z0 ) 0 .
(Ver [St], p.228).
16
25. Cap´
ıtulo 2
Teoremas de Densidad y
Ergodicidad.
En el presente cap´
ıtulo estudiamos la linealizaci´n de g´rmenes hiperb´licos.
o e o
Damos un criterio para que toda aplicaci´n lineal (expresada en un conveniente
o
sistema de coordenadas) sea aproximada por los elementos de un grupo especial
de aplicaciones holomorfas. Tambi´n damos criterios generales para que la acci´n
e o
de grupos de aplicaciones holomorfas (inyectivas) act´ e densa y erg´dicamente en
u o
una vecindad de 0 ∈ C.
2.1. Linealizaci´n y G´rmenes en Bih0(C).
o e
En est´ secci´n se estudia un importante teorema referente a linealizaci´n de
a o o
g´rmenes en Bih0 (C), y su generalizaci´n a familias anal´
e o ıticas de g´rmenes de
e
biholomorfismos.
2.1.1. Linealizaci´n.
o
Cada aplicaci´n holomorfa f : U ⊂ C → C, con f (0) = 0 y U abierto, define
o
un unico germen
´
f : (C, 0) → (C, 0)
como la clase de equivalencia de las aplicaciones holomorfas g : V → C cuya
restricci´n g|W iguale a f |W en alguna vecindad abierta del origen W ⊂ V ∩ U.
o
En particular, si tal f es un biholomorfismo (f soporta una inversa holomorfa
f −1 : f (U) → U) la composici´n de aplicaciones hace de
o
Bih0 (C) = {f : (C, 0) → (C, 0), f es biholomorfismo}
un grupo, que contiene a los g´rmenes hiperb´licos f : (C, 0) → (C, 0) que
e o
son definidos por aplicaciones cuyas derivadas en 0, λ = f ′ (0), tienen norma
diferente de 1 y las linealizaciones h : (C, 0) → (C, 0) de g´rmenes hiperb´licos
e o
f : (C, 0) → (C, 0), que son g´rmenes inducidos por una aplicaci´n holomorfa que
e o
17
26. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
es inyectiva en un abierto W que contienen al 0 y hacen conmutar el siguiente
diagrama:
f
(C, 0) // (C, 0)
h h
ψ
(C, 0) // (C, 0)
donde ψ(z) = λz.
Observamos que si h′ (0) = 0, existe W una vecindad abierta de 0 donde la
restricci´n h|W es inyectiva.
o
Teorema 2.1. [Linealizaci´n de Schr¨der-Kœnigs]. Cada germen hiperb´lico
o o o
f ∈ Bih0 (C) es linealizable. La linealizaci´n local h es unica salvo multiplicaci´n
o ´ o
por una constante diferente de 0.
Prueba: Sea :
f (z) = λz + a2 z 2 + a3 z 3 + · · · (2.1)
con |λ| = 1. Debemos encontrar un cambio holomorfo
h(z) = z + b2 z 2 + b3 z 3 + · · · (2.2)
tal que la ecuaci´n
o
h(f (z)) = ψ(h(z)) (2.3)
se cumpla.
˜
i Unicidad: Supongamos que existen h y h como en (2.2) tales que
˜ ˜
h ◦ f ◦ h−1 = ψ = h ◦ f ◦ h−1 ,
˜
entonces ψ conmuta con h ◦ h−1 :
Como
˜ ˜ ˜ ˜
(h ◦ h−1 ) ◦ (h ◦ f ◦ h−1 ) = (h ◦ h−1 ) ◦ (h ◦ f ◦ h−1 )
˜ ˜ ˜ ˜
(h ◦ h−1 ) ◦ (h ◦ f ◦ h−1 ) = h ◦ f ◦ h−1
˜ ˜ ˜ ˜
(h ◦ h−1 ) ◦ ψ = (h ◦ f ◦ h−1 ) ◦ (h ◦ h−1 )
˜ ˜
(h ◦ h−1 ) ◦ ψ = ψ ◦ (h ◦ h−1 ) ,
˜
(h ◦ h−1 ) conmuta con ψ(ω) = λω, as´
ı
˜ ˜
(h ◦ h−1 )(λ.ω) = λ.(h ◦ h−1 )(ω), para todo ω ∈ C. (2.4)
˜
M´s a´ n, si h ◦ h−1 (ω) = B1 ω + B2 ω 2 + B3 ω 3 + · · ·, se tiene
a u
B1 λ ω + B2 λ2 ω 2 + B3 λ3 ω 3 + · · · = λB1 ω + λB2 ω 2 + λB3 ω 3 + · · · .
18
27. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
De esto ultimo se deduce, que si n ≥ 2, Bn λn = λBn , es decir
´
Bn λ(λn−1 − 1) = 0 , para todo n ≥ 2 . (2.5)
Como λ = 0 y |λ| = 1, la unica posibilidad para que se cumpla (2.5) es que Bn = 0
´
, para todo n ≥ 2. Entonces
˜
h ◦ h−1 (ω) = B1 ω,
luego tenemos
˜
h(ω) = B1 h(ω) .
Observaci´n 2.2. : De (2.4) y la pen´ltima igualdad se concluye que toda
o u
aplicaci´n holomorfa que conjuga con una aplicaci´n holomorfa lineal (ψ(z) = λz)
o o
es lineal.
ii Existencia: Demostraremos que la serie formal h(z) converge en alguna vecindad
del origen. Para ver esto construyamos una aplicaci´n holomorfa h que satisface
o
(2.3) y h′ (0) = 1 .
Como |f ′ (0)| = 1, trabajaremos con |f ′(0)| 1 (si |f ′(0)| 1, se considera
f ), luego existen r 0 y 0 µ 1 tal que |z| ≤ r implica que |f ′ (z)| ≤ µ 1.
−1
a) Si |z| ≤ r entonces |f n (z)| ≤ µn 1, para todo n ∈ N ∪ {0}.
Procederemos por inducci´n sobre n.
o
z 1
f (z) = f ′ (s)ds = f ′ (tz)zdt,
0 0
1 1
|f (z)| = f ′ (tz)zdt ≤ |f ′ (tz)||z|dt,
0 0
1
|f (z)| ≤ long(f ([0, z])) = |f ′ (tz)||z|dt ≤ µ|z| ,
0
donde long es la longitud de una curva. As´ para |z| ≤ r tenemos:
ı
|f (z)| ≤ µ|z|
|f 2 (z)| = |f (f (z))| ≤ µ|f (z)| ≤ µ2 |z| ,
inductivamente:
|f n (z)| ≤ µn |z| , para todo n ≥ 0, n ∈ N,
esto prueba a) .
19
28. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
Cuando |z| ≤ r definimos la sucesi´n de aplicaciones
o
f n (z)
φn (z) = , para todo n ≥ 0 . (2.6)
λn
b) Si existe h, tal que la sucesi´n {φn }n∈N converge uniformemente a h en |z| ≤ r,
o
entonces
h ◦ f = ψ ◦ h, (2.7)
donde ψ(z) = λz.
En efecto:
f n (f (z)) f n+1(z)
h(f (z)) = l´ φn (f (z)) = l´
ım ım = λ l´
ım
n→∞ n→∞ λn n→∞ λn+1
= λ l´ φn+1 (z) = λh(z) = ψ(h(z)) ,
ım
n→∞
esto prueba b) .
ımite uniforme h y cumple h′ (0) = 1.
c) La sucesi´n de (2.6) posee un l´
o
En efecto:
n
φi+1 (z)
φn+1 (z) = φ1 (z). ,
i=1
φi (z)
pero
φi+1 (z) f i+1 (z) f (f i(z)) f (zi )
= = = ,
φi (z) λf i(z) λf i (z) λzi
donde zi = f i (z). Observe tambi´n que
e
f (z) a2 a3
=1+ z + z 2 + · · · = 1 + ξ(z) ,
λz λ λ
a2 a3 2 a2 a3
siendo ξ(z) = λ z + λ z + · · · = z( λ + λ z + · · ·) holomorfa, as´ continua y por
ı
tanto acotada en |z| ≤ r. Luego:
f (z)
= 1 + ξ(z) ,
λz
con |ξ(z)| ≤ α|z|, α ∈ R+ y |z| ≤ r . Luego,
n n
f (z) f (zi ) f (zi )
φn+1 (z) = = z(1 + ξ(z))
λ i=1
λzi i=1
λzi
20
29. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
n n
= z(1 + ξ(z)) (1 + ξ(zi)) = z (1 + ξ(zi )) .
i=1 i=0
0
Obs´rvese que z0 = f (z) = z .
e
Por otra parte, usando a) :
|ξ(zi)| ≤ α|zi| = α|f i (z)| ≤ α|z|µi ,
∞
puesto que µi es una serie convergente (serie geom´trica, 0 µ
e 1),
i=0
∞ n
as´ lo es α|z|
ı µi . Aplicando el Test de Weierstrass se tiene que ξ(zi )
i=0 i=0
n
es absolutamente y uniformemente convergente. Entonces (1 + ξ(zi )) es
i=0
absolutamente y uniformemente convergente. Por lo tanto, la sucesi´n de o
aplicaciones (φn ) converge uniformemente a una aplicaci´n h definida en el
o
′ ′
disco |z| ≤ r, adem´s l´ φn (z) = h (z), de esto ultimo se tiene que h′ (0) = 1.
a ım ´
n→∞
La prueba del teorema est´ concluida.
a
Ejemplo 2.3. La aplicaci´n f (z) = 3senz holomorfa en |z| ∞ con desarrollo
o
en serie de potencias
1 z 2n−1
f (z) = 3z − z 3 + · · · + 3(−1)2n−1 +···
2 (2n − 1)!
(convergente) cumple las condiciones del Teorema 2.1, entonces f (z) es
anal´
ıticamente equivalente a su parte lineal.
2.1.2. Familia anal´
ıtica de g´rmenes biholomorfos de (C, 0).
e
A continuaci´n daremos algunas definiciones previas para la generalizaci´n del
o o
Teorema 2.1.
Definici´n 2.4. [Familia anal´
o ıtica de g´rmenes biholomorfos de (C, 0)]. Sea
e
Dr = {t ∈ C : |t| r} y U ⊂ C una vecindad abierta del producto Dr × {0}
2
en Dr × C. Sea f : U ⊂ C2 −→ C una aplicaci´n holomorfa tal que f (t, 0) = 0
o
∂f
y ∂z (t, 0) = 0 para todo t ∈ Dr .
Sea ft = f (t, −) : Ut −→ C, t ∈ Dr , la restricci´n de f a Ut = U ∩ ({t} × C) .
o
El conjunto {ft }t∈Dr es una familia anal´ ıtica de g´rmenes biholomorfos
e
de (C, 0), el cual definiremos por una aplicaci´n biholomorfa F : U ⊂ Dr × C −→
o
Dr × C, en su imagen, tal que F (t, z) = (t, f (t, z)).
21
30. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
Ejemplo 2.5. : Sea U y Dr como en la Definici´n 2.4. La aplicaci´n
o o
holomorfa f : U ⊂ C2 → C, definida por f (t, z) = 2z cumple las condiciones de
la Definici´n 2.4, esto es f (t, 0) = 0 y ∂f (t, 0) = 2 = 0, para todo t ∈ Dr .
o ∂z
Definici´n 2.6. [Familia de cambio de coordenadas]. Sea F : U ⊂ Dr ×C −→
o
Dr ×C la familia anal´
ıtica definida previamente, con los mismos U, Ut , Dr . Una
familia anal´ıtica de cambio de coordenadas de la familia anal´ ıtica F es
un germen biholomorfo
Φ : (Dr × C, Dr × {0}) // (Dr × C, Dr × {0}) ,
(t, z) // Φ(t, z) = (t, φ(t, z))
donde φ(t, z) es un cambio de coordenadas para ft , con t fija.
F
Dr × {0} ⊃ U // F (U) ⊂ Dr × {0}
(Dr × C, Dr × {0}) (Dr × C, Dr × {0})
Φ Φ
Φ◦F ◦Φ−1
(Dr × C, Dr × {0}) // (Dr × C, Dr × {0})
22
31. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
Φ◦ F ◦ Φ−1 : (Dr ×C, Dr ×{0}) −→ (Dr ×C, Dr ×{0}) es el cambio de coordenadas
de F por Φ .
Teorema 2.7. [Schr¨der-Kœnigs para familias anal´
o ıticas]. Sea F una familia
de g´rmenes biholomorfos de (C, 0) parametrizados por Dr , tal que |ν(t)| =
e
∂F
∂z
(t, 0) = 1, para todo t ∈ Dr . Entonces, existe una familia anal´ ıtica de
cambios de coordenadas Φ tal que, para todo t ∈ Dr ,
Φ ◦ F ◦ Φ−1 (t, z) = (t, ν(t).z) ,
donde ν(t).z es una aplicaci´n lineal en z. Φ es unico salvo por un cambio de
o ´
coordenadas lineal para cada z fija.
Prueba: Sea F una familia anal´
ıtica como en la hip´tesis, F (t, z) se puede
o
expresar como :
F (t, z) = (t, ν(t)z + a2 (t)z 2 + a3 (t)z 3 + · · ·) ,
con |ν(t)| = 1 y ν(t) = 0 , para todo t ∈ Dr .
Objetivos:
(i) Encontrar una expresi´n formal Φ(t, ξ) = (t, φ(t, ξ)),
o
Φ(t, ξ) = (t, b1 (t)ξ + b2 (t)ξ 2 + b3 (t)ξ 3 + · · ·) ,
tal que
Φ(t, ν(t, ξ)) = F (t, φ(t, ξ)) , (2.8)
donde ν(t, ξ) = ν(t).ξ (aplicaci´n lineal de ξ).
o
(ii) Demostrar que Φ(t, ξ) converge en alguna vecindad Ut .
Parte (i):
Φ(t, ν(t, ξ)) = (t , b1 (t)ν(t)ξ + b2 (t)ν 2 (t)ξ 2 + b3 (t)ν 3 (t)ξ 3 + · · ·), y
F (t , φ(t, ξ)) = (t , ν(t)φ(t, ξ) + a2 (t)φ2 (t, ξ) + a3 (t)φ3 (t, ξ) + · · ·)
23
32. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
= (t , ν(t)(b1 (t)ξ + b2 (t)ξ 2 + b3 (t)ξ 3 + · · ·)
+a2 (t)(b1 (t)ξ + b2 (t)ξ 2 + b3 (t)ξ 3 + · · ·)2 + · · ·) .
De (2.8) tenemos que :
b1 (t)ν(t)ξ = ν(t)b1 (t)ξ , (2.9)
b2 (t)ν 2 (t)ξ 2 = (ν(t)b2 (t) + a2 (t)b2 (t))ξ 2 .
1 (2.10)
De (2.9) tenemos que la aplicaci´n holomorfa b1 (t) = 0 para todo t ∈ Dr , puede
o
ser elegida libremente, as´ elegimos b1 (t) ≡ 1 para todo t ∈ Dr .
ı
De (2.10) tenemos que :
a2 (t)b2 (t)
1
b2 (t) = . (2.11)
ν(t)[ν(t) − 1]
Como |ν(t)| = 1 y ν(t) = 0 tenemos que (2.11) est´ univocamente determinada
a
.
En (2.8); supongamos que para n 2 las aplicaciones bk (t), k = 1, 2, 3, ...n − 1
ya fueron determinadas. Luego (2.8) podemos expresarla como :
Φ(t, ν(t, ξ)) − Φ(t, ν(t).φ(t, ξ)) = F (t, φ(t, ξ)) − Φ(t, ν(t).φ(t, ξ)) ,
(I) (II)
∞ ∞
i i
(I) = t, ν(t)ξ + bi (t)ν (t)ξ − t, ν(t)φ + bi (t)ν i (t)φi
i=2 i=2
∞ ∞
i i
= 0, ν(t)ξ + bi (t)ν (t)ξ − ν(t)φ − bi (t)ν i (t)φi .
i=2 i=2
∞ ∞
i
(II) = t, ν(t)φ + ai (t)φ − t, ν(t)φ + bi (t)ν i (t)φi
i=2 i=2
∞ ∞
= 0, ai (t)φi − bi (t)ν i (t)φi .
i=2 i=2
Puesto que (I)= (II), el t´rmino
e
∞
bi (t)ν i (t)φi
i=2
se anula, as´ resulta :
ı
∞ ∞
0, ν(t)ξ + bi (t)ν i (t)ξ i − ν(t)φ = 0, ai (t)φi .
i=2 i=2
24
33. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
Entonces:
∞ ∞ ∞
i i i
0, ν(t)ξ + bi (t)ν (t)ξ − ν(t) ξ + bi (t)ξ = 0, ai (t)φi .
i=2 i=2 i=2
Finalmente:
∞ ∞
i i
0, (ν (t) − ν(t))bi (t)ξ = 0, ai (t)φi .
i=2 i=2
De esta ultima igualdad, se deduce que (ν n (t) − ν(t))bn (t) el coeficiente
´
n
de ξ es un polinomio que depende de los ak (para k = 1, ...n) y de los
bk (para k = 1, ..., n − 1) los cuales ya son conocidos (al desarrollar, observe el
lado derecho de la igualdad). Adem´s, por las condiciones para ν(ξ), se tiene que
a
bn (t) est´ un´
a ıvocamente determinado.
Parte (ii): La expresi´n (2.8) es equivalente a :
o
G ◦ H(t, ξ) = H ◦ F (t, ξ) , (2.12)
donde G(t, ξ) = (t, ν(t)ξ) y H = Φ−1 .
Demostraremos que Hn (t, ξ) converge uniformemente a un biholomorfismo
H(t, ξ) en alguna vecindad Ut ∋ 0 con t fijo. Adem´s ∂H (t, 0) = (0, 1) .
a ∂z
Sea r 0 . Escogemos una constante µ 1 tal que µ2 |ν(t)| µ .
Una vecindad Br = {z ∈ C : |z| r , (t, z) ∈ Ut , con t fijo}, adem´s podemos
a
reducir r tal que por la continuidad se cumpla que
∂F ∂f
(t, z) = (t, z) ≤ µ 1, para todo z ∈ Br .
∂z ∂z
Luego, en Br definimos la sucesi´n
o
Hn (t, ξ) = (t, An (t, ξ)) ,
donde:
An ◦ F (t, ξ) = ν(t)An+1 (t, ξ) , (2.13)
con
f (t, ξ)
A1 (t, ξ) = .
ν(t)
Note que :
f (t, ν n (t)An (t, ξ))
An+1 (t, ξ) = .
ν n+1 (t)
En efecto:
Para n =1 :
1 1
A2 (t, ξ) = A1 ◦ F (t, ξ) = A1 (t, f (t, ξ))
ν(t) ν(t)
25
34. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
1 f (t, f (t, ξ)) f (t, ν(t)A1 (t, ξ))
= = .
ν(t) ν(t) ν 2 (t)
Suponemos v´lido para n = h − 1 :
a
f (t, ν h−1 (t)Ah−1 (t, ξ))
Ah (t, ξ) = .
ν h (t)
Para n = h:
1 1
Ah+1 (t, ξ) = Ah ◦ F (t, ξ) = Ah (t, f (t, ξ))
ν(t) ν(t)
1 f (t, ν h−1 (t)Ah−1 (t, f (t, ξ)))
= (hip. inductiva)
ν(t) ν h (t)
1 f (t, ν h−1 (t).ν(t)Ah (t, ξ))
=
ν(t) ν h (t)
(la anterior igualdad se da por (2.13))
f (t, ν h (t)Ah (t, ξ)
= .
ν h+1 (t)
Demostraremos que An (t, ξ) converge a una aplicaci´n holomorfa A(t, ξ) en Br
o
para t fijo.
f (t, ν n (t)An (t, ξ))
|An+1 (t, ξ) − An (t, ξ)| = | − An (t, ξ)|
ν n+1 (t)
1
= |f (t, ν n (t))An (t, ξ)) − ν(t)ν n (t)An (t, ξ)| .
|ν(t)n+1 |
Se sabe que |f (t, z) − ν(t)z| ≤ α|z|2 , α 0, para todo z ∈ Br .
Por lo tanto:
1
|An+1 (t, ξ) − An (t, ξ)| ≤ .α|ν n (t)An (t, ξ)|2 = α.|ν(t)|n−1 |An (t, ξ)|2 .
|ν(t)|n+1
(2.14)
En la demostraci´n del Teorema 2.1 se verifica que :
o
|f n (z)| ≤ µn |z| , n = 1, 2, ... ; |z| ≤ r .
Como en nuestro caso t es fijo, tenemos :
f (t, z) µ
|A1 (t)| = | |≤ |z| ,
ν(t) |ν(t)|
f (t, f (t, z)) µ|f (t, z)| µ2
|A2 (t)| = | |≤ ≤ |z| .
ν 2 (t) |ν(t)|2 |ν(t)|2
26
35. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
µn
As´ |An (t)| ≤ |ν(t)|n |z|, para todo z ∈ Br .
ı:
Luego, en (2.14) :
n−1 µ2n
|An+1 (t, ξ) − An (t, ξ)| ≤ α|ν(t)| 2n
|ξ|2
|ν(t)|
|ν(t)|n−1 µ2 n 2
≤ α. ( ) r
|ν(t)|n |ν(t)|
αr 2 µ2 n αr 2 n
= ( ) 2 K ,
|ν(t)| |ν(t)| µ
µ2
donde K = 1 , pues µ2 |ν(t)| µ 1 .
|ν(t)|
Dado que K n tiende a 0 cuando n tiende al infinito, entonces |An+1 (t, ξ) −
An (t, ξ)| tiende a 0 .
Por lo tanto An (t, ξ) converge uniformemente a A(t, ξ) en Br . De esto se tiene:
A ◦ F (t, ξ) = ν(t)A(t, ξ) .
Adem´s: Hn (t, ξ) converge uniformente al biholomorfismo H(t, ξ) para todo ξ
a
en Br , y t fijo .
Finalmente verificamos si se cumple (2.12):
G ◦ H(t, ξ) = G(l´ Hn (t, ξ)) = G(t, l´ An (t, ξ))
ım ım
= G(t, A(t, ξ)) = (t, ν(t)A(t, ξ)) = (t, A ◦ F (t, ξ))
= (t, A(t, f (t, ξ))) = l´
ım(t, An (t, f (t, ξ)))
= l´ Hn (t, f (t, ξ)) = l´ Hn ◦ F (t, ξ) = H ◦ F (t, ξ) .
ım ım
La prueba est´ concluida.
a
2.2. Aproximaci´n por Elementos de un Grupo
o
Especial de Aplicaciones Holomorfas.
Sea Bih0 (C) el grupo de g´rmenes de biholomorfismos que dejan fijo el 0, y
e
Ω un conjunto abierto conexo de C con 0 ∈ C, de tal manera que dado f
un representante de un germen que pertenece a Bih0 (C) se tiene que f (z) ∈ Ω.
Bajo estas consideraciones, la operaci´n de composici´n de aplicaciones define la
o o
acci´n de Bih0 (C) en Ω, (f, z) → f.z = f (z). Pues se cumplen las siguientes dos
o
condiciones:
27
36. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
1. Id.z = z, para todo z ∈ Ω, donde Id denota a la aplicaci´n identidad en
o
Bih0 (C), y
2. f.(g.z) = (f.g).z para todo z ∈ Ω y f, g ∈ Bih0 (C).
Se define la ´rbita de z ∈ Ω como el conjunto Bih0 (C).z = {f.z : para todo
o
f ∈ Bih0 (C)}.
Definici´n 2.8. Sea Γ ⊂ Bih0 (C) un subgrupo, con {f1 , f2 , ..., fr } sus
o
generadores definidos en alg´n conjunto abierto y conexo Ω0 alrededor de 0 en
u
C. Los elementos de un grupo especial de aplicaciones de holonomia P Γ son las
parejas (f, Ωf ), donde f ∈ Γ y Ωf es el dominio de definici´n de f . Para f, g ∈ Γ,
o
la operaci´n de grupo est´ dada por: (f, Ωf ) ◦ (g, Ωg ) := (f ◦ g, Ωf ◦g ).
o a
El dominio Ωf se construye como sigue: Sea
N
f= fjǫk = fjǫN ◦ ... ◦ fjǫ11 , jk ∈ {1, ..., r}, ǫk ∈ {−1, 1}
k N
(2.15)
k=1
cualquier representaci´n de f en t´rminos de los generadores. Cualquier g´rmen
o e e
n ǫk
arbitrario k=1 fjk , con n ≤ N, lo denominaremos germen intermedio (o
representaci´n intermedia) de f . Definimos ΩQf como la m´xima regi´n convexa
o a o
con centro en el punto 0, contenida en Ω0 , en la cual el g´rmen f y todos los
e
g´rmenes intermedios de la representaci´n est´n definidos y adem´s se tiene:
e o a a
n
fjǫk
k
(ΩQf ) ⊂ Ω0 .
k=1
Finalmente, Ωf es definida como la uni´n de todas las regiones ΩQf
o
correspondientes a todas las posibles representaciones de f de la forma de (2.15).
De la definici´n se tiene que cada germen f obtiene su prolongaci´n anal´
o o ıtica en
Ωf .
Observaci´n: Por construcci´n para f, g ∈ Γ, se tiene que por lo general Ωf ◦g
o o
es diferente de Ωf ∩ Ωg .
La construcci´n anterior nos permite definir la ´rbita de z bajo la acci´n del
o o o
grupo P Γ como el siguiente conjunto: PΓ (z) = {f (z) : f ∈ Γ , z ∈ Ωf } ⊂ Ωf .
El siguiente teorema nos muestra un criterio para que toda aplicaci´n lineal
o
expresada en un conveniente sistema de coordenadas (el cual detallamos en el
enunciado del mismo), sea aproximada por los elementos de un grupo especial de
aplicaciones holomorfas.
28
37. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
Teorema 2.9. Sea Γ un subgrupo de Bih0 (C) y fj (j= 1,...,n) sus
generadores definidos en una vecindad Ω0 del origen.
′
Supongamos que |f1 (0)| = 1 y sea ξ la carta que linealiza a f1 la cual
est´ definida en una vecindad U ⊂ Ω0 del 0; supongamos tambi´n que en la carta
a e
coordenada ξ, U = {q ∈ C : |ξ(q)| ρ}.
Denotemos por D0 Γ a la cerradura del subgrupo D0 Γ de C∗ generado por
las derivadas νj = fj′ (0), j = 1, ...n . Entonces, para cualquier ν ∈ D0 Γ
existe una sucesi´n de biholomorfismos Fℓ ∈ Γ la cual en coordenadas ξ converge
o
uniformemente a la aplicaci´n ξ −→ νξ en cualquier subregi´n compacta K de
o o
la regi´n
o
ρ
U ∩ ν −1 (U) = q ∈ Ω0 : |ξ(q)| min ρ, .
|ν|
En la convergencia uniforme de la sucesi´n Fℓ ∈ Γ en el compacto
o
−1
K ⊂ U ∩ ν (U), se supone que K ⊂ ΩFℓ para toda ℓ suficientemente
grande.
Prueba: Primero demostramos el caso en el que ν = f ′ (0) para alguna f ∈ Γ.
′ −1
Sea ν1 = f1 (0), con |ν1 | 1 (si |ν1 | 1 considerar f1 ) .
−ℓ ℓ ℓ −ℓ −1 −1
Definamos : Fℓ = f1 ◦ f ◦ f1 donde f1 = f1 ◦ · · · ◦ f1 y f1 = f1 ◦ · · · ◦ f1 .
ℓ veces ℓ veces
Supongamos que ξ es la carta que linealiza a f1 en U, adem´s consideremos
a
que en esta carta f y Fℓ se expresan como f (ξ) y Fℓ (ξ) respectivamente.
Si ∞
f (ξ) = νξ + ak ξ k ,
k=2
es el desarrollo en serie de potencias para f , entonces el desarrollo en serie de
potencias para Fℓ es
∞
−ℓ ℓ −ℓ ℓ −ℓ ℓ
Fℓ (ξ) = f1 ◦f ◦ f1 (ξ) = f1 ◦f ν1 ξ = f1 νν1 ξ + ak ν1 ξ k
ℓk
k=2
∞ ∞
−ℓ ℓ ℓ(k−1) k
= ν1 νν1 ξ + ak ν1 ξ k
ℓk
= νξ + ak ν1 ξ .
k=2 k=2
Afirmaci´n: Fℓ (ξ) est´ definida en U = {q ∈ C : |ξ(q)| ρ} para ℓ
o a
suficientemente grande y Fℓ (ξ)|U converge uniformemente en compactos a νξ|U .
Esto es; dado δ 0, exise L ∈ N (L = L(δ)) tal que para toda ℓ L se tiene
|Fℓ (ξ) − νξ| δ, donde ξ ∈ U, (|ξ| ρ) .
En efecto:
Sea δ 0, y supongamos que |ξ| ρ. Sea L ∈ N tal que para todo ℓ L,
29
38. CAP´
ITULO 2. TEOREMAS DE DENSIDAD Y ERGODICIDAD.
ℓ
ν1 ǫ, (ǫ = ǫ(δ) 0).
Como
∞ ∞ ∞
ℓ(k−1) k (k−1)
ak ν1 ξ ≤ ℓ
|ak | ν1 |ξ|k |ak | · ǫ(k−1) ρk .
k=2 k=2 k=2
Escogemos L grande tal que
∞
|ak | · ǫ(k−1) ρk δ, entonces |Fℓ (ξ) − νξ| δ ,
k=2
para toda ℓ L y |ξ| ρ .
Por lo tanto Fℓ (ξ) converge uniformemente a νξ en el disco |ξ| ρ .
Resta demostrar que ΩFℓ contiene a cualquier compacto K ⊂ U ∩ ν −1 (U)
para ℓ suficientemente grande.
Recordemos que ΩFℓ ha sido definida en base a Ω0 (vecindad conexa del
origen en la cual est´n definidas las transformaciones fj , j = 1, 2, · · ·, n). Sin
a
p´rdida de generalidad suponer que Ω0 coincide con U.
e
Puesto que todas las representaciones intermedias de f (ver Definici´n 2.8)
o
tienen como dominio a una regi´n V ⊂ Ω0 = U, resta demostrar que todas las
o
representaciones intermedias de Fℓ ,
m −m ℓ
gm = f1 y hm,ℓ = f1 ◦ f ◦ f1 , 0≤m≤ℓ;
est´n definidas en U y para todo compacto K ⊂ U ∩ ν −1 (U), gm (K) ⊂ U y
a
hm,ℓ (U) ⊂ U para ℓ suficientemente grande.
En efecto:
1◦ ) |gm (ξ)| = |f1 (ξ)| = |ν1 ξ| = |ν1 |m |ξ| |ξ|, pues |ν1 |m 1 .
m m
Esto es, g(U) ⊂ U; U = Ωgm .
2◦ ) Para el caso de hm,ℓ ; observe que
ım f1 (ξ) = l´+ ν1 ξ , este tiende a 0 , pues 0 = |ν1 |ℓ que tiende a 0 .
l´ ℓ
ım ℓ
ℓ→+ ∞ ℓ→ ∞
ℓ
Esto es, para ℓ suficientemente grande (ℓ L) f1 (U) toma valores complejos
ℓ
muy cercanos a cero y para ξ ∈ f1 (U),
f (ξ) − νξ = a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + · · ·
∞
|f (ξ) − νξ| ≤ |ξ| |ak ||ξ|k−1.
k=2
ℓ k−1
Puesto que para ξ ∈ f1 (U),
|ξ| tiende a cero, para todo k ≥ 2 . Tenemos
dado ǫ 0, existe δ 0 tal que |ξ| δ implica que |f (ξ) − νξ| ǫ|ξ| .
30