Este documento presenta diversos métodos para calcular el número phi, incluyendo la proporción áurea, métodos geométricos, algebraicos y funcionales. También describe cómo el número phi se ha encontrado en la ciencia, el arte, la religión y otros campos, como en la estructura del ADN, el crecimiento de plantas y animales, obras de arte famosas y edificaciones religiosas y antiguas. El objetivo es mostrar la presencia y aplicaciones de este número a través de la historia para hacer que las matemáticas sean más acces

1. Memorias del Quinto Congreso Internacional sobre la Enseñanza y Aplicación de las Matemáticas 1
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS[Escriba
una cita
del
CONGRESO INTERNACIONAL SOBRE LA ENSEÑANZA Y APLICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
6, 7 Y 8 DE MAYO DE 2013
VALORACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS A TRAVÉS DEL NÚMERO
PHI, UN ACERCAMIENTO A LA CIENCIA, ARTE Y FE
Víctor Alfonso López Alcaraz1
CASIO Educación, Montecito 38, 42-17 WTC, Col. Nápoles C. P. 03810, México D. F.
EA-VD-61
Resumen
Existen tres números de especiales características que dan sustento a grandes desarrollos de la
matemática, estos son el número (relación entre el diámetro y la circunferencia), el número e (base
de los logaritmos naturales) y el número (phi). La presencia del número phi en la ciencia, el arte y la
fe ha asombrado a cuantos medianamente instruidos en las matemáticas la perciben. En momentos
donde el estudio de la ciencia necesita mayores adeptos, es conveniente retirar lo abstruso de las
matemáticas y valorar las habilidades del pensamiento complejo. Durante el desarrollo del trabajo, se
presentará y demostrará la obtención del número phi con apoyo de la ClassPad 330 y su vínculo con
los descubrimientos e implicaciones que hacen de este número un puente a gratas experiencias con
las matemáticas.
Palabras clave: Razón aurea, phi, proporción, arte, número dorado, ciencias.
1. Introducción
La Matemática ha representado para la humanidad un gran apoyo en el desarrollo de
las civilizaciones, su estudio implica aceptar al método cuantitativo como motor para
describir e inferir la realidad y más allá de ésta (Kline, 1972). Valorar sus bondades a
temprana edad puede representar el factor por el que un estudiante opte por
continuar en la ciencia. Actualmente en México, sólo el 2% de la población
universitaria se forma en ciencias exactas vs 49.8% que lo hace en ciencias sociales
y administrativas (SEP, 2010). Ante este panorama, resulta necesario ofrecer
experiencias exitosas con las matemáticas, como lo es el estudio del número phi.
El número phi ( ), equivale a
√
, si bien sus cifras no fueron conocidas a claridad
por los primeros aportadores, sí se tiene registro de su apreciación geométrica en
culturas como la griega clásica. Phi recibió el nombre de proporción áurea por Platón
y Euclides, el tesoro de la geometría por Kepler y el número de oro por Leonardo da
Vinci (Corbalán, 2010). A diferencia de ó e, cuya utilidad ha favorecido el
entendimiento de las matemáticas, phi ha mostrado mejores usos en áreas de la
estética, biología, las artes y la religión, funcionando como el resultado de la armonía
entre las partes.
¿Cómo se obtiene este número? Existen variados y multiformes métodos por los
cuales resulta phi, siendo ello parte de la humildad del número. A continuación
mostraré diversos métodos para su cálculo, finalmente se mencionarán lugares en
los que se ha comprobado su presencia.
1
Víctor Alfonso López Alcaraz vlopez@casiomexico.com.mx
Tel. 9000 2071 ext 127
ISBN: 978-607-02-4199-4

2. Memorias del Quinto Congreso Internacional sobre la Enseñanza y Aplicación de las Matemáticas 2
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS[Escriba
una cita
del
CONGRESO INTERNACIONAL SOBRE LA ENSEÑANZA Y APLICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
6, 7 Y 8 DE MAYO DE 2013
Proporción aurea
Phi es el resultado de la proporción , como se desarrolla a continuación
(Hortelano, 1990 & Postigo, 1983).
Dadas tres cantidades a, b, y (a+b), de
modo que a<b<(a+b), se dice que están
en proporción aurea (phi) si el total
(a+b) es a la parte mayor a, como la
parte mayor a es a la parte menor b.
…Ec. (1)
Sea b= 1, entonces , de donde se obtiene , sea
√
la raíz
positiva de la ecuación.
Otras obtenciones geométricas
Figura 1. División de un
segmento en phi
Sea AB es segmento original,
entonces AG/ GB es phi.
Trazo
CB=BD
BD AB
DE = DB
AE = AG
Figura 2. Ejemplo de
división de un segmento
en phi
Figura 3. Trazo del
segmento complementario
Si AD es segmento original
entonces AD / DF es phi
ABCD es un cuadrado
AE = ED
EC radio de Circunferencia E
AF prolongación AD
F intersección de
Circunferencia E con AF
Figura 4. Ejemplo del
segmento complementario
a b
a+b

3. Memorias del Quinto Congreso Internacional sobre la Enseñanza y Aplicación de las Matemáticas 3
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS[Escriba
una cita
del
CONGRESO INTERNACIONAL SOBRE LA ENSEÑANZA Y APLICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
6, 7 Y 8 DE MAYO DE 2013
Figura 5. Diagonal del
pentágono
Si ABCDE es un pentágono
regular, entonces AD / EA es
phi
Trazar el pentágono ABCDE
Unir A con D, sea AD
diagonal del pentágono.
Figura 6. Ejemplo de phi en
el pentágono
Figura 7. Hexágono y
decágono
Téngase un hexágono
inscrito en un decágono,
entonces el cociente del lado
del hexágono sobre el lado
del decágono es phi.
Trazar una circunferencia e
inscribir un hexágono y un
decágono.
Figura 8. Ejemplo de phi en
Hexágono y decágono.
DATO: Los doce vértices de un icosaedro están sobre la superficie de un cubo, la
razón entre la arista del cubo y la del icosaedro inscrito es phi.
Obtención algebraica
De la proporción
Se tiene
De donde
Si a y b son reales positivos, al resolver la
ecuación en a y tomando la raíz positiva se
tiene
√ √ √ √
√ √ √ √

4. Memorias del Quinto Congreso Internacional sobre la Enseñanza y Aplicación de las Matemáticas 4
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS[Escriba
una cita
del
CONGRESO INTERNACIONAL SOBRE LA ENSEÑANZA Y APLICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
6, 7 Y 8 DE MAYO DE 2013
√ √
√
De la ecuación
supongamos a = x y b =
1 entonces
tal que x =
Podemos decir ahora que
Tal que √
Al sustituir en el segundo miembro de la
ecuación tenemos
Figura 9. Ejemplo de cálculo el raíz
reiterada
Análogamente si
… Ec. (2)
entonces
Al dividir en ambos miembros de la
ecuación
Al sustituir en el segundo miembro de
iteradamente se tiene
Figura 10. Ejemplo de cálculo en
fracción reiterada.
Los desarrollos como valores continuos se conocen desde la Grecia clásica, sin
embargo el límite indicado se atribuye a Nathan Altshiller-Court, en un artículo
publicado en 1917 en la Universidad de Oklahoma.
Obtención Funcional

5. Memorias del Quinto Congreso Internacional sobre la Enseñanza y Aplicación de las Matemáticas 5
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS[Escriba
una cita
del
CONGRESO INTERNACIONAL SOBRE LA ENSEÑANZA Y APLICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
6, 7 Y 8 DE MAYO DE 2013
Téngase una de las expresiones más simples
de función lineal, es decir, sumar la unidad a
la variable, f(x) = x+1, además la curva más
simple que es elevara al cuadrado la variable
f(x) = x2
, entonces la intercesión de las
funciones es phi y el recíproco de phi.
( ) … Ec. (3)
( ) … Ec. (4)
Entonces
El resultado quedó antes demostrado.
Figura 11. Operaciones
Figura 12. Raíz negativa
Figura 13. Raíz positiva
Obtener phi es ya un camino de heurística en sí mismo, pero no queda ahí su
importancia, a continuación menciono algunos personajes y sitios que han hecho de
phi el número áureo, de oro, divino en muchos sentidos.
Ciencia
 La razón entre el largo y ancho en un ciclo completo de la doble hélice de la
molécula de AND.
 360° dividido por phi es la apertura deseable para que una semilla germine,
garantizando luz solar a las hojas de la planta.
 El crecimiento de los cuernos de los carneros, caracoles como el nautilus, la
reproducción de los conejos, las alas de la libélula, el cuerpo de las abejas
entre otros aspectos biológicos, crecen a razón de phi (Ghyka,1977).
 La rotación de algunas galaxias así como el enfriamiento de cuerpos masivos
está vinculado a phi.
 Diversas proporciones a partir del cuerpo humano son phi, para ello baste
conocer el Hombre de Vitruvio de Da Vinci.

6. Memorias del Quinto Congreso Internacional sobre la Enseñanza y Aplicación de las Matemáticas 6
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS[Escriba
una cita
del
CONGRESO INTERNACIONAL SOBRE LA ENSEÑANZA Y APLICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
6, 7 Y 8 DE MAYO DE 2013
Arte
 El rectángulo principal del Partenón Griego, es un rectángulo áureo.
 La torre Eiffel está dividida a razón de phi, al igual que el edificio de la ONU.
 Pintores como Leonardo da Vinci, Diego de Velázquez y Salvador Dalí
utilizaron constantemente en sus obras phi como razón de distribución y
recalco de los detalles.
 El poema de Rafael Alberti “A la divina proporción” cuenta con una métrica y
alusiones claras a phi.
 De acuerdo con los trabajos de Yolanda Toledo, músicos como Mozart, Le
Corbusier, Beethoven, Bartok dividieron la escritura musical a razón de phi.
Religión
 De acuerdo con los trabajos del Dr. Hernández Illescas (1990), el sagrado
original de la virgen de Guadalupe conserva proporciones áureas.
 La Kaaba en la Meca, se encuentra situada justo en el phi del mundo, además
de contener en sí mismo mediciones relacionadas a phi.
 Pirámides de las culturas Egipcia y Teotihuacana o estructuras como
Stonehenge fueron construidas a partir de número dorado.
 Edificaciones religiosas como Borobudur, Pagoda de Yakushiji, Nôtre Damme
mantienen proporciones en phi.
El número phi mantiene gratas sorpresas sobre su presencia dentro y fuera de
nuestro planeta. No resulta difícil aceptarlo como divino ya que es precisamente en lo
más bello, estético y armónico en donde entrelaza su misterio y hermosa simetría. El
tema resulta interesante tanto para matemáticos como para medianamente
instruidos, puesto que a los primeros otorga oportunidad de demostrar y descubrir
nuevas aplicaciones, para los segundos hace de las matemáticas una ciencia más
inteligible.
Referencias
 Corbalán, F. (2010). La proporción aurea. El lenguaje matemático de la
belleza. Barcelona: RBA Libros S. A.
 Ghyka, M. (1977). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las
artes. Barcelona: Poseidón.
 Hernández, J. (1999). La Virgen de Guadalupe y la Proporción Dorada.
México: CEG.
 Hortelano, L. (1990). La sección aurea y la construcción de polígonos
regulares. [En línea] Disponible en www. revistasuma.es
 Kline, M. (1972): Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. USA:
Oxford University Press.
 Postigo, L. (1983). Matemáticas. España: Ramón Sopena.
 SEP (2010). Sistema Educativo de los Estados Unidos Mexicanos, principales
cifras. México: Autor.
 Toledo, Y. (S/A). Sección aurea en el arte, arquitectura y música. [En línea]
Disponible en de www. matematicas.uclm.es