Este documento resume la historia del desarrollo de las series de Fourier y su importancia en el análisis de funciones y la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. Señala que las series de Fourier surgieron de los intentos pioneros de Euler, Bernouilli y d'Alembert por resolver el problema de la cuerda vibrante en el siglo XVIII. Posteriormente, Fourier desarrolló el análisis armónico y estableció que cualquier función periódica puede expresarse como una serie de Fourier, lo que tuvo gran influencia en las mate

1. Series de Fourier y fen´meno de Gibbs
o
Roberto Rodr´ ıguez-del-R´ & Enrique Zuazua
ıo
Departamento de Matem´tica Aplicada
a
Universidad Complutense de Madrid
28040 Madrid, Espa˜a
n
e-mail: rr delrio@mat.ucm.es; zuazua@eucmax.sim.ucm.es
Resumen
En este trabajo describimos la g´nesis de las series de Fourier a
e
trav´s de los trabajos pioneros de finales del siglo XVIII y principios
e
del XIX en la resoluci´n de dos de las Ecuaciones en Derivadas Par-
o
ciales (EDP) m´s importantes: la ecuaci´n de ondas y la del calor.
a o
Las series de Fourier han generado un gran n´mero de trabajos de
u
investigaci´n y han dado nombre a una de las ´reas m´s importantes
o a a
del An´lisis Matem´tico, el An´lisis de Fourier o An´lisis Arm´nico.
a a a a o
Son muchas las cuestiones matem´ticas b´sicas y atractivas que las
a a
series de Fourier plantean. Entre ellas cabe destacar el fen´meno de
o
Gibbs, a cuyo an´lisis dedicamos parte de este trabajo. Por ultimo, co-
a ´
mo apoyo a la lectura del art´
ıculo, se describen varios programas para
el asistente matem´tico Matlab que permiten estudiar gr´ficamente
a a
estas cuestiones.
1. Introducci´n
o
En cualquier curso introductorio de Ecuaciones en Derivadas Parciales
(EDP) siempre podemos encontrar dos importantes ejemplos: la ecuaci´n de
o
ondas que, en su versi´n m´s elemental, describe las vibraciones de una cuer-
o a
da fija en dos extremos y; la ecuaci´n del calor que describe c´mo fluct´a el
o o u
calor a lo largo del tiempo a trav´s de un s´lido. Sin embargo, no siempre se
e o
pone de manifiesto la importancia e influencia reales que estos dos problemas
1

2. han tenido en el desarrollo posterior de t´cnicas y teor´ que han enrique-
e ıas,
cido, y lo siguen haciendo hoy en d´ a la Matem´tica y sus aplicaciones.
ıa, a
Entre estas, cabe citar el desarrollo de las series trigonom´tricas y el An´lisis
e a
de Fourier, que iremos estudiando, en parte, a lo largo del art´ ıculo.
El trabajo est´ estructurado de la forma siguiente:
a
En la secci´n 2, se ha hecho un peque˜o recorrido hist´rico de la g´nesis
o n o e
del An´lisis de Fourier, a partir de los primeros estudios relacionados con los
a
intentos de resolver el problema de la cuerda vibrante hasta llegar al fen´meno
o
de Gibbs.
En la secci´n 3, se analizan los dos problemas cl´sicos de Ecuaciones en
o a
Derivadas Parciales que dieron lugar al An´lisis de Fourier : la ecuaci´n de
a o
ondas y la del calor.
En la secci´n 4, se estudian algunos aspectos cl´sicos del fen´meno de
o a o
Gibbs.
Por ultimo, en la secci´n 5, se incluyen los c´digos de algunos programas
´ o o
realizados en Matlab para la elaboraci´n de las gr´ficas que aparecen en el
o a
ıculo, con una intenci´n claramente did´ctica.
art´ o a
Respecto de la bibliograf´ aunque no se ha pretendido que sea exhausti-
ıa,
va, s´ que se ha incluido una importante cantidad de las referencias hist´ricas
ı o
originales, de manera que el lector interesado, pueda recorrer por s´ mismo
ı
los pasos seguidos por los protagonistas del desarrollo de las cuestiones ma-
tem´ticas mencionadas aqu´
a ı.
2. Notas hist´ricas
o
2.1. Los precursores
Una serie trigonom´trica es una expresi´n de la forma
e o
∞
a0
+ [ak cos(kx) + bk sin(kx)] (2.1)
2 k=1
donde ak y bk con k = 0, 1, 2, . . . son constantes. Si tal serie converge para todo
x tal que −∞ < x < +∞, en alg´n sentido que precisaremos m´s adelante,
u a
entonces representar´ una funci´n peri´dica de per´
a o o ıodo 2π y bastar´ por
a
tanto estudiar su restricci´n al intervalo [−π, π]
o
La cuesti´n de si una funci´n arbitraria f (x) (con x ∈ [−π, π]), puede
o o
expresarse como una expansi´n del tipo (2.1) aparece a mediados del siglo
o
2

3. XVIII asociada a los estudios de L. Euler (1701-1783) y de D. Bernouilli
(1700-1782) sobre el problema de la cuerda vibrante, comentado en el apar-
tado 3.1.
Bernouilli llega al punto de plantearse la soluci´n del problema de la
o
cuerda vibrante en forma de serie trigonom´trica a partir de consideraciones
e
de tipo f´
ısico, que le llevan a pensar que la cuerda oscila involucrando varias
frecuencias al mismo tiempo, cuyas amplitudes respectivas dependen de la
forma inicial de la vibraci´n, es decir, del modo en que se haya empezado a
o
mover la cuerda. Esta posibilidad, descubierta por Bernouilli, es lo que hoy
llamamos principio de superposici´n y ha resultado ser un principio de gran
o
importancia en muchas ramas de la F´ ısica matem´tica.
a
Sin embargo, Euler entiende que esta idea de Bernouilli lleva a un resul-
tado aparentemente parad´jico, de acuerdo con algunos conceptos matem´ti-
o a
cos de su tiempo. A saber, el hecho de que una funci´n “arbitraria”pueda
o
ser expresada en forma de serie trigonom´trica. Hay que tener en cuenta,
e
que para los matem´ticos contempor´neos de Euler, las curvas se divid´
a a ıan
en dos clases: curvas “continuas curvas “geom´tricas”. En contraste con la
2
e
terminolog´ adoptada hoy en d´ una curva se dec´ “continua”si sus orde-
ıa ıa, ıa
nadas y sus abscisas pod´ conectarse mediante alguna f´rmula y = f (x).
ıan o
Por otra parte una curva se denominaba “geom´trica”si pod´ dibujarse de
e ıa
alguna forma con trazos continuos o discontinuos. Pensaban por tanto, que
la segunda categor´ de curvas era m´s amplia que la primera, ya que lo que
ıa a
nosotros denominamos como una funci´n continua a trozos, puede dibujarse,
o
pero no puede expresarse si no es con varias f´rmulas (sobre el desarrollo del
o
concepto de funci´n, puede consultarse [Lu].) As´ si una funci´n “arbitra-
o ı, o
ria”pod´ expresarse, por ejemplo, como una serie de senos (es decir, como
ıa
(2.1), pero con ak = 0 para k = 0, 1, 2, . . .), esto significar´ que cualquier
ıa
curva “geom´trica”ser´ tambi´n una curva “continua”, lo cual, para Euler
e ıa e
y sus contempor´neos, era simplemente incre´
a ıble.
Por otra parte, para contribuir m´s a´n a este debate, la soluci´n al pro-
a u o
blema de la cuerda vibrante de Bernouilli compite con otra aportada por
J.R. d’Alembert (1717-1783) en forma de una onda que avanza y otra que
retrocede, que se determinan a partir de la posici´n y velocidad iniciales de
o
la cuerda. En particular, d’Alembert consideraba que la manera m´s natural
a
de hacer que una cuerda empezase a vibrar era desplazarla de su posici´n o
de equilibrio tirando de alg´n punto de ella. Esto hace que su posici´n ini-
u o
cial se pueda representar mediante dos rectas que forman un determinado
angulo (ver figura 1). Para d’Alembert la naturaleza de esta curva hac´ im-
´ ıa
3

4. Posición inicial
0 Posición de equilibrio
Figura 1: Posici´n inicial natural seg´n d’Alembert
o u
posible pensar en que pudiese expresarse como una serie trigonom´trica, ya
e
que se trata, como se ha comentado m´s arrriba, de una curva “geom´trica”,
a e
mientras que la serie trigonom´trica ser´ una curva “continua”.
e ıa
2.2. Jean Baptiste Joseph Fourier
La chaleur p´n´tre, comme la gravit´, toutes les substances de l’univers, ses
e e e
rayons occupent toutes les parties de l’espace. Le but de notre ouvrage est
d’exposer les lois math´matiques que suit cet ´l´ment. Cette th´orie formera
e ee e
d´sormais une des branches importantes de la physique g´n´rale.
e e e
Th´orie analytique de la chaleur
e
Discours pr´liminaire. Joseph Fourier
e
Figura 2: Bar´n Jean Baptiste Joseph Fourier
o
4

5. El problema de si una funci´n cualquiera puede representarse mediante
o
una serie trigonom´trica reaparece m´s tarde con el matem´tico franc´s J.
e a a e
Fourier (1768-1830).
En una memorable sesi´n de la Academia Francesa de las Ciencias, el
o
d´ 21 de diciembre de 1807, Fourier presentaba un trabajo que iba a abrir
ıa
un nuevo cap´ ıtulo en la historia de la matem´tica: la creaci´n del An´lisis
a o a
Arm´nico o, como tambi´n se le conoce a partir de sus trabajos, el An´lisis
o e a
de Fourier.
Fourier hab´ deducido una ecuaci´n que describ´ la conducci´n del calor
ıa o ıa o
a trav´s de los cuerpos s´lidos, la ecuaci´n del calor (que analizaremos en el
e o o
apartado 3.2). Pero no s´lo la hab´ deducido, sino que hab´ desarrollado un
o ıa ıa
m´todo para resolverla, el m´todo de separaci´n de variables, procedimiento
e e o
que, en cierto modo, hab´ sido utilizado ya por Bernouilli para su soluci´n,
ıa o
aunque es Fourier quien lo empieza a usar de una manera sistem´tica en la
a
resoluci´n de Ecuaciones en Derivadas Parciales. La aplicaci´n de la t´cnica
o o e
de separaci´n de variables a la ecuaci´n del calor, le condujo a escribir la
o o
soluci´n en forma de serie trigonom´trica, e incluso llegar a afirmar que cual-
o e
quier funci´n f (x), peri´dica de periodo 2π se puede poner como una serie
o o
de la forma (2.1). Y, para ello, incluso encontr´ las f´rmulas (de Fourier )
o o
que permiten calcular los coeficientes de la serie asociada a la funci´n
o
1 π
ak = f (x) cos(kx)dx, k = 0, 1, 2, . . . (2.2)
π −π
1 π
bk = f (x) sin(kx)dx, k = 1, 2, . . . (2.3)
π −π
Aunque la representaci´n de una funci´n en serie trigonom´trica se hab´
o o e ıa
considerado antes de Fourier, como hemos visto en el apartado 2.1, nadie
antes que Fourier puso de manifiesto la correspondencia entre funci´n y co-
o
eficientes.
Sin embargo, tampoco el trabajo de Fourier fue aceptado a la primera,
m´xime teniendo como parte del auditorio a matem´ticos como J.L. Lagran-
a a
ge (1736-1813), P.S. Laplace (1749-1827) y A.M. Legendre (1752-1833), que
criticaron abiertamente la falta de rigor del tratamiento de Fourier. De he-
cho, Fourier tuvo que rehacer su trabajo ya que su memoria no fue aceptada
en un primer momento. No obstante, finalmente sus ideas fueron aceptadas
y fueron expuestas, a˜os despu´s, en su obra de 1822, Th´orie analytique de
n e e
la chaleur ([Fo]).
5

6. Hay que a˜adir que el estudio de las series de Fourier contribuy´ de ma-
n o
nera decisiva a clarificar la idea de funci´n hasta el moderno concepto de
o
nuestros d´ Todo este tratamiento posterior est´ asociado a nombres ta-
ıas. a
les como P.G.L. Dirichlet (1805-1859), B. Riemann (1826-1866), G. Cantor
(1845-1918) y H. Lebesgue (1875-1941). Para consultar el desarrollo hist´ri-
o
co posterior de las series de Fourier, hasta las aplicaciones recientes, puede
consultarse la referencia [Du].
2.3. Una protuberancia rompe la armon´
ıa
Una de las muchas derivaciones interesantes, aunque desde luego no la
m´s importante, a que ha dado lugar el an´lisis de Fourier, es el llamado
a a
fen´meno de Gibbs, que surge a mediados del siglo XIX. A ´l dedicaremos
o e
la secci´n 4. Aqu´ s´lo vamos a mencionar algunas anotaciones hist´ricas de
o ı o o
este “rinc´n del An´lisis Arm´nico”, (seg´n palabras de E. Hewitt y R.E.
o a o u
Hewitt, [HH]).
H. Wilbraham observ´ en 1848 ([W]) que, en puntos cercanos a una dis-
o
continuidad de una funci´n f , las sumas parciales de la serie de Fourier de f
o
presentaban un comportamiento oscilatorio an´malo que hac´ que las gr´fi-
o ıa a
cas de las sumas parciales excedieran en aproximadamente el 9 % del valor
del salto de la discontinuidad. Este trabajo de Wilbraham cay´ en el olvido,
o
hasta que hacia 1898 volvi´ a reaparecer en un contexto distinto. Fue de mano
o
del Premio Nobel en F´ ısica (1907) A. Michelson, cient´ıfico norteamericano,
inventor y constructor de numerosos instrumentos f´ ısicos de gran precisi´n.
o
Michelson construy´ un aparato llamado analizador arm´mico que permit´
o o ıa,
mec´nicamente, determinar hasta los 80 primeros componentes de la serie de
a
Fourier, a partir de la gr´fica de una funci´n y = f (x). Michelson observ´ que
a o o
para una funci´n de tipo salto, en las cercan´ del punto de discontinuidad,
o ıas
aparec´ una extra˜a protuberancia que no aparec´ en la funci´n original.
ıa n ıa o
En un principio crey´ que pod´ deberse a un defecto mec´nico del aparato.
o ıa a
Una vez verificado que pod´ no ser as´ escribe al f´
ıa ı, ısico-matem´tico J.W.
a
Gibbs, que investig´ y explic´ el fen´meno ([G]) bas´ndose en la no con-
o o o a
vergencia uniforme de la serie de Fourier en las cercan´ de un punto de
ıas
discontinuidad.
Para tener una visi´n m´s completa de todos los avatares hist´ricos con-
o a o
cernientes a esta singular p´gina de la Historia de las Matem´ticas, incluidas
a a
disputas y controversias sobre la prioridad del descubrimiento, pueden con-
sultarse las referencias [Go] y [HH].
6

7. Este fen´meno, que se conoce como fen´meno de Gibbs (o fen´meno de
o o o
Gibbs-Wilbraham), tiene consecuencias f´ ısicas interesantes. Por ejemplo, en
el caso de circuitos el´ctricos en los que, por medio de un conmutador, se
e
pueden crear saltos de voltage. Dado que este voltage puede sobrepasar lo
inicialmente previsto, resulta importante conocer esta desviaci´n en relaci´n
o o
con la respuesta de los componentes del circuito.
3. Ondas y calor
3.1. El problema de la cuerda vibrante
Consideremos la ecuaci´n de ondas
o

 utt − uxx = 0,
 0 < x < L, t > 0
u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0, (3.4)
u(x, 0) = u0 (x), ut (x, 0) = 0, 0 < x < L.


El sistema (3.4) es un modelo simple para el an´lisis de las vibraciones de
a
una cuerda de longitud L (que ocupa el intervalo espacial x ∈ (0, L)) y que
est´ fija en sus extremos x = 0, L. La inc´gnita u = u(x, t), que depende del
a o
espacio x y del tiempo t, denota la altura a la que se encuentra el punto x de la
cuerda (del intervalo (0, L)), en el instante de tiempo t (ver figura 3). Se trata
de una ecuaci´n en derivadas parciales de orden dos, complementada por dos
o
condiciones de contorno que reflejan el que la cuerda est´ fija en sus extremos.
e
Para ver su derivaci´n a partir de las correspondientes consideraciones f´
o ısicas
se puede consultar [St].
u
u(x,t)
0 x L
Figura 3: Cuerda
En la ultima ecuaci´n de (3.4) se establecen las condiciones iniciales que
´ o
la soluci´n ha de satisfacer en el instante t = 0. Al tratarse de una ecuaci´n
o o
7

8. de segundo orden en tiempo imponemos tanto la configuraci´n inicial de u,
o
u0 , como la velocidad ut (x, 0) = 0, condici´n ´sta que expresa el hecho de
o e
que la cuerda se encuentra en reposo antes de soltarla. Sin embargo, en otras
situaciones, puede tener sentido dar un valor u1 (x) para la velocidad inicial,
con lo que la condici´n quedar´ ut (x, 0) = u1 (x).
o ıa
Mediante ut (resp. ux ) denotamos la derivada parcial de u con respecto a
t (resp. x). De este modo, utt representa la derivada parcial de orden dos de
u con respecto de t dos veces. M´s adelante tambi´n utilizaremos la notaci´n
a e o
∂t (resp. ∂x ) para denotar el operador de derivaci´n parcial con respecto a t
o
2 2
(resp. x). Asimismo ∂t (resp. ∂x ), denotar´ el operador de derivaci´n parcial
a o
con respecto a t (resp. x) dos veces.
Como hemos indicado en el apartado 2.1, en 1747 d’Alembert ([D1],[D2])
propuso la siguiente expresi´n para la soluci´n general de la ecuaci´n de
o o o
ondas sin condiciones de contorno
u(x, t) = f (x + t) + g(x − t). (3.5)
Conviene observar que la expresi´n de la soluci´n u que (3.5) proporciona
o o
no es m´s que la superposici´n de dos ondas de transporte: f (x + t) que se
a o
desplaza sin deformarse a velocidad 1 en la direcci´n negativa del eje de las
o
x, mientras que g(x − t) lo hace hacia la derecha. No es dif´ comprobar que
ıcil
(3.5) proporciona la expresi´n de la soluci´n general de la ecuaci´n de ondas.
o o o
2 2
En efecto, basta observar que el operador diferencial ∂t − ∂x involucrado en
la ecuaci´n de ondas se puede factorizar como
o
2 2
∂t − ∂x = (∂t + ∂x ) (∂t − ∂x ) . (3.6)
Vemos entonces que las dos ondas de transporte en las que se descompone la
soluci´n, corresponden a las soluciones de las ecuaciones
o
(∂t + ∂x ) u = 0; (∂t − ∂x ) u = 0 (3.7)
respectivamente. En efecto, la soluci´n de la primera ecuaci´n es de la forma
o o
u = g(x − t) mientras que la de la segunda es u = f (x + t).
Posteriormente, D. Bernouilli en 1753 en [Be] obtuvo soluciones de la
ecuaci´n de la cuerda vibrante de la siguiente forma:
o
∞
kπ kπ
u= bk cos t sin x . (3.8)
k=1 L L
8

9. Si la longitud de la cuerda fuese L = π, las soluciones quedar´
ıan
∞
u= bk cos (kt) sin (kx) . (3.9)
k=1
Bernouilli hab´ llegado a esta soluci´n superponiendo soluciones de la forma
ıa o
uk = bk cos (kt) sin (kx) . (3.10)
Un simple c´lculo permite comprobar que la funci´n definida en (3.10) es
a o
soluci´n de (3.4). Obviamente, en la ´poca de D. Bernouilli el concepto de
o e
serie de funciones, o incluso el propio concepto de funci´n, no estaban aun
o
bien definidos, por lo que en este punto la serie (3.9) ha de ser interpretada
de manera forma. Sin embargo, hemos querido constatar que D. Bernouilli
entendi´ que la superposici´n de soluciones de base como (3.10) permite
o o
construir clases m´s generales de soluciones de (3.4).
a
Una primera cuesti´n importante que se plantea de manera natural es la
o
coincidencia de expresiones del tipo (3.5) y (3.9). Efectivamente, en la medida
en que para datos iniciales fijados (posici´n y velocidad inicial de la cuerda)
o
la soluci´n de (3.4) es unica, y si las dos representaciones (3.5) y (3.9) son
o ´
v´lidas, ambas han de coincidir.
a
Esto es efectivamente as´ Consideremos uno de los t´rminos involucrados
ı. e
en (3.9). Es decir, una soluci´n de la forma cos(kt) sin(kx). Utilizando las
o
f´rmulas trigonom´tricas habituales vemos que
o e
1
cos(kt) sin(kx) = [sin (k(x + t)) + sin (k(x − t))]
2
1
= [fk (x + t) + fk (x − t)]
2
donde
fk (z) = sin (kz) .
Tratando de un modo an´logo los dem´s t´rminos de (3.9) vemos que, efec-
a a e
tivamente, la funci´n desarrollada en series de Fourier (3.9) puede ser escrita
o
en la forma (3.5) como superposici´n de dos ondas de transporte.
o
Esta simple observaci´n ilustra el modo en que en un desarrollo en se-
o
rie de Fourier puede detectarse la velocidad a la que se propaga la funci´n o
representada por dicha serie. Efectivamente, tal y como mencion´bamos ante-
a
riormente, como se desprende de la f´rmula de d’Alembert (3.5), la velocidad
o
9

10. de propagaci´n en el modelo (3.4) es 1. Esto puede observarse tambi´n en
o e
el desarrollo en serie de Fourier (3.8) por el simple hecho de que a una os-
cilaci´n espacial sin (kx) le corresponda una respuesta temporal de la forma
o
bk cos(kt).
Se observa asimismo que en la ecuaci´n de ondas considerada hay una
o
ausencia de dispersi´n, entendiendo por dispersi´n el fen´meno seg´n el cual
o o o u
los diferentes componentes de Fourier se propagan a velocidades distintas, tal
y como ocurre en el cl´sico modelo de Korteweg-de Vries [K] para el avance
a
de las olas o en la ecuaci´n de Schr¨dinger.
o o
Evidentemente, los efectos dispersivos hacen que la forma de la soluci´n
o
cambie completamente en el tiempo.
Para convencerse de ´sto basta considerar la ecuaci´n de KdV linealizada:
e o
ut + uxxx = 0.
En este caso, si el dato inicial es de la forma
u(x, 0) = ak eikπx (3.11)
k≥1
la soluci´n correspondiente es
o
3 π3 t
u= ak eik eikπx . (3.12)
k≥1
Observamos entonces que las diferentes componentes de Fourier de la soluci´n o
3 3
son de la forma eik π t eikπx = fk (k 2 π 2 t + x) con fk (z) = eikπz . Por lo tanto,
cada componente de Fourier se propaga a una velocidad distinta −k 2 π 2 .
3.2. El problema de la difusi´n del calor
o
Como hemos mencionado en el apartado 2.2, Fourier analiz´ el problema
o
de la difusi´n del calor en su tratado cl´sico de 1822, ([Fo]), llegando a esta-
o a
blecer, a partir de principios f´ısicos, la ecuaci´n general que deb´ satisfacer
o ıa
la temperatura u
∂2u ∂2u ∂2u ∂u
2
+ 2+ 2 = (3.13)
∂x ∂y ∂z ∂t
que es la ecuaci´n (tridimensional) del calor.
o
10

11. La ecuaci´n (unidimensional) del calor (cuya derivaci´n se puede ver en
o o
[Si], pp. 324-325) es

 ut − uxx = 0,
 0 < x < L, t > 0
u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0, (3.14)
u(x, 0) = u0 (x) 0 < x < L.


0 x
L
Figura 4: Varilla de longitud L
El modelo (3.14) describe la variaci´n de la temperatura a lo largo de
o
una varilla de longitud L (ver figura 4). Se supone que es lo suficientemente
delgada como para que en todos los puntos de cada secci´n perpendicular a
o
la varilla se puede considerar el mismo valor de la temperatura. Suponemos
asimismo, que la varilla est´ completamente aislada del exterior, de manera
a
que no pueda fluir calor a trav´s de su superficie lateral.
e
Las condiciones u(0, t) = u(L, t) = 0 son las condiciones de contorno,
que nos indican que, en los extremos, la temperatura se mantiene nula. En
la pr´ctica, frecuentemente, estas condiciones se sustituyen por otras de la
a
forma ux (0, t) = ux (L, t) = 0, en las que queda reflejado el hecho de que el
flujo de calor a trav´s de la frontera es nulo.
e
La ultima condici´n, u(x, 0) = u0 (x), es la condici´n inicial y describe,
´ o o
por medio de la funci´n u0 (x), cu´l es la distribuci´n de temperaturas que
o a o
hab´ inicialmente a lo largo de la varilla.
ıa
Como ya hemos mencionado, J. Fourier no s´lo dedujo la ecuaci´n del
o o
calor sino que estableci´ un programa sistem´tico de resoluci´n de Ecuaciones
o a o
en Derivadas Parciales, el m´todo de separaci´n de variables o m´todo de
e o e
Fourier que involucra varias etapas:
Descomposici´n de los datos del problema en series de Fourier.
o
Obtenci´n de la evoluci´n de cada coeficiente de Fourier en funci´n de
o o o
la EDP y de los datos.
11

12. Reconstrucci´n de la soluci´n como superposici´n de cada una de las
o o o
componentes de Fourier (serie de Fourier).
A diferencia del procedimiento utilizado por d’Alembert y Euler que con-
sist´ fundamentalmente en superponer soluciones elementales de la forma
ıa
(3.10), encontradas ad hoc para la ecuaci´n de ondas; Fourier ataca el pro-
o
blema de una manera m´s general.
a
En primer lugar se buscan soluciones que sean funciones con las variables
separadas,
u(x, t) = X(x)T (t) (3.15)
Esto da lugar a dos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, para X(x) e T (t),
respectivamente que, junto con las condiciones de contorno, dan lugar a dos
grupos de soluciones1
Xk (x) = sin(kx), k = 1, 2, 3, . . . (3.16)
2
Tk (t) = e−k t , k = 1, 2, 3, . . . (3.17)
(los detalles sobre la soluci´n de estos problemas pueden consultarse en cual-
o
quier texto de ecuaciones, por ejemplo, [Si] o [Zi])
Por lo tanto, las soluciones producto resultantes ser´n
a
2
uk (x, t) = e−k t sin(kx), k = 1, 2, 3, . . . (3.18)
Aplicando el principio de superposici´n, tambi´n ser´ soluci´n cualquier
o e a o
combinaci´n lineal finita de las funciones anteriores, es decir,
o
b1 u1 (x, t) + b2 u2 (x, t) + . . . + bn un (x, t) (3.19)
Sin embargo, Fourier va m´s all´ y afirma, sin preocuparse demasiado
a a
sobre los problemas de convergencia, que tambi´n la siguiente funci´n es
e o
soluci´n de la ecuaci´n del calor
o o
∞
2
u(x, t) = bk e−k t sin(kx) (3.20)
k=1
1
Estas soluciones corresponden realmente al caso en el que la longitud de la varilla es
L = π.
12

13. Y para que esto sea as´ necesita que se satisfaga la condici´n inicial u(x, 0) =
ı, o
u0 (x). Por lo tanto, necesita poder desarrollar la funci´n u0 (x) en la forma
o
∞
u(x, 0) = bk sin(kx) (3.21)
k=1
Pero, para Fourier, este problema queda resuelto en tanto en cuanto sea
posible calcular los coeficientes bk mediante la f´rmula
o
2 π
bk = f (x) sin(kx)dx (3.22)
π 0
Este es pues el punto controvertido del trabajo de Fourier y la raz´n o
por la que Lagrange, Laplace y Legendre no van a aceptar el trabajo de
Fourier sin m´s. Sin embargo, el paso del tiempo y, fundamentalmente, los
a
posteriores trabajos de Dirichlet y de Riemann sobre las condiciones para
que una serie de Fourier sea convergente, acaban dando al an´lisis de Fourier
a
la importancia que realmente tiene.
Fourier tambi´n estudia el caso estacionario (independiente del tiempo
e
t) de la ecuaci´n del calor
o
∂2u ∂2u ∂2u
+ + =0 (3.23)
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
al que aplica tambi´n su m´todo de separaci´n de variables. Esta ecuaci´n,
e e o o
que se suele llamar ecuaci´n de Laplace ha dado lugar a la rama de las
o
matem´ticas denominada Teor´ del Potencial, de suma importancia a la
a ıa
hora de estudiar fen´menos como la gravitaci´n.
o o
4. Fen´meno de Gibbs
o
Esta secci´n est´ enteramente dedicada al fen´meno de Gibbs. En pri-
o a o
mer lugar lo describiremos mediante un ejemplo concreto: la funci´n salto,
o
tambi´n veremos las gr´ficas de las sumas parciales de Fourier para la fun-
e a
ci´n delta de Dirac. Despu´s analizaremos las gr´ficas que se producen al
o e a
sumar los t´rminos de las sumas parciales de Fourier de una forma diferente:
e
el m´todo de sumaci´n de Fej´r. Adem´s compararemos las gr´ficas obteni-
e o e a a
das mediante las sumas parciales de Fourier y las sumas parciales de Fej´r,
e
observando un curioso fen´meno.
o
13

14. 4.1. Fen´meno de Gibbs en series de Fourier
o
4.1.1. La funci´n salto
o
Consideremos la funci´n salto
o
−1 ; si −π ≤ x < 0
f (x) = (4.24)
1 ; si 0 ≤ x ≤ π
La N -´sima suma parcial correspondiente a su serie de Fourier viene dada
e
por la expresi´n
o
N
a0
sN (x) = + [ak cos(kx) + bk sin(kx)] (4.25)
2 k=1
donde los coeficientes de Fourier se calculan utilizando las f´rmulas (2.2) y
o
(2.3).
Como f es una funci´n impar, ak = 0, para todo k = 0, 1, 2, . . .
o
Por otra parte, bk puede calcularse de forma expl´ıcita, obteni´ndose el
e
siguiente resultado:
2 1 − (−1)k
bk = , para k = 1, 2, . . .
π k
Por tanto, para nuestra funci´n salto, la suma parcial de Fourier queda
o
N
2 1 − (−1)k
sN (x) = sin(kx) (4.26)
k=1 π k
Por otra parte, como bk = 0 si k es par, la suma se puede escribir tambi´n
e
de la forma
n
4 1
s2n−1 (x) = sin((2r − 1)x) (4.27)
π r=1 2r − 1
4 sin(3x) sin((2n − 1)x)
= sin(x) + + ... + (4.28)
π 3 2n − 1
Con el programa para Matlab incluido en el apartado 5.1, se pueden
dibujar las gr´ficas de las sumas parciales de Fourier para la funci´n salto.
a o
14

15. Una vez guardado con el nombre sumpar.m, 2 para activarlo, basta con escri-
bir, por ejemplo, >>sumpar(30) y obtendremos la gr´fica de la suma parcial
a
de Fourier para N = 30 (ver figura 5).
Fenómeno de Gibbs
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Figura 5: Suma parcial de Fourier N = 30
Sabemos que, si f y f son continuas, salvo en un n´mero finito de puntos
u
de discontinuidas de tipo salto, las sumas parciales de Fourier convergen
puntualmente a f (x) en los puntos de continuidad de f y a la media de
los l´
ımites laterales en los puntos de discontinuidad (para una demostraci´n, o
v´ase [M]).
e
Este resultado se aplica al caso particular de la funci´n salto que estamos
o
considerando y que presenta una singularidad en x = 0: una discontinuidad
de tipo salto. En las figuras 5 apreciamos la forma en la que, efectivamente,
cuando x = 0, las series de Fourier aproximan el valor de la funci´n en x,
o
mientras que en x = 0 convergen a la media de los l´ ımites laterales, nula en
este caso puesto que [f (0−) + f (0+)]/2 = (1 − 1)/2 = 0.
En este punto de discontinuidad x = 0 se aprecia tambi´n con claridad
e
el fen´meno de Gibbs. En efecto, se observa claramente que la gr´fica de
o a
2
Para escribir el programa 5.1 se ha preferido la expresi´n (4.26) en lugar de (4.27)
o
debido a que, al ser m´s general, el programa se puede modificar f´cilmente para aplicarlo
a a
a cualquier otra funci´n.
o
15

16. la suma parcial de Fourier excede a la de la funci´n salto en el punto de
o
discontinuidad. Por ejemplo, a la derecha del punto x = 0 se ve c´mo la
o
gr´fica de la suma parcial de Fourier supera con nitidez a la de la funci´n
a o
salto. La gr´fica de la figura 6, donde este hecho se pone de manifiesto,
a
se ha conseguido haciendo primero >>sumpar(300), para generar la gr´ficaa
completa y despu´s, con el comando >>zoom, que permite seleccionar una
e
zona de la gr´fica, con el rat´n, para ampliarla. En la figura 7, se puede
a o
observar c´mo las gr´ficas de las sumas parciales sobresalen por debajo de la
o a
gr´fica de f (x), en las proximidades del punto (0,-1).
a
Fenómeno de Gibbs
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Figura 6: Suma parcial de Fourier N = 300, proximidades de (0,1)
En la figura 5 observamos que el fen´meno de Gibbs tambi´n se produce
o e
en los extremos x = ±π del intervalo (−π, π). Esto es debido a que la suma
parcial de Fourier aproxima a la extensi´n peri´dica de per´
o o ıodo 2π de la
funci´n salto, que presenta discontinuidades en los puntos de la forma x = kπ,
o
k∈Z I
Se puede demostrar, para esta funci´n particular (ver [Na], pp. 662-663),
o
que el m´ximo de s2n−1 (x) m´s cercano a x = 0 (por la derecha) es el punto
a a
π
x = 2n y que en este punto
π 2
l´ s2n−1 (
ım ) = Si(π) ≈ 1,1790... (4.29)
n→∞ 2n π
x sin(t)
Aqu´ y en lo sucesivo Si denota la funci´n Si(x) =
ı o dt.
0 t
16

17. Fenómeno de Gibbs
−0.8
−0.85
−0.9
−0.95
−1
−1.05
−1.1
−1.15
−1.2
−1.25
−0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2
Figura 7: Suma parcial de Fourier N = 300, proximidades de (0,-1)
(Para evaluar aproximadamente Si(π), se puede utilizar el comando de Ma-
tlab, sinint(pi)=1.8519..., ya que la primitiva de sin(t)/t, no se puede
expresar con funciones elementales.3 )
El c´lculo (4.29) nos indica que las aproximaciones que nos ofrecen las
a
sumas parciales de Fourier exceden al valor verdadero de la funci´n, a la
o
derecha, es decir, a f (0+) = 1 en 0,18, lo que supone aproximadamente un
9 % de la longitud del salto, que en este caso es 2.
En general, se puede demostrar el siguiente teorema, debido a M. Bˆcher
o
(ver [Bo], la demostraci´n puede verse tambi´n en [HH] y [C]):
o e
Teorema Sea f una funci´n real de variable real, con per´
o ıodo 2π. Supon-
gamos que f y f son ambas continuas excepto para un n´mero finito de dis-
u
continuidades de tipo salto en el intervalo [−π, π]. Sea sN (x) la suma parcial
de orden N de Fourier. Entonces, en un punto a de discontinuidad, las gr´fi-a
cas de las funciones sN (x) convergen al segmento vertical (ver figura 8) de
longitud
2
L = Si(π)|f (a+) − f (a−)| centrado en el punto (a, 1 (f (a+) + f (a−)).
2
π
La raz´n entre la longitud del segmento L (al que tienden las gr´fi-
o a
cas de las sN (x)) y la longitud del salto de la discontinuidad, es decir,
3
Curiosamente en algunas referencias cl´sicas esta constante aparece mal calculada.
a
17

18. f(a+)
Longitud del salto
1/2(f(a+)+f(a-)) L (Longitud del
segmento
vertical)
f(a-)
a X
Figura 8: Fen´meno de Gibbs en un punto de discontinuidad
o
L = |f (a+) − f (a−)|, se denomina constante de Gibbs y su valor
L 2
= Si(π) (4.30)
L π
coincide, evidentemente, con el obtenido para nuestro caso particular en
(4.29).
4.1.2. Un importante ejemplo: la “funci´n”delta de Dirac
o
En 1926, el f´
ısico ingl´s P.A.M. Dirac (1902-1984), introdujo la “fun-
e
ci´n”delta de Dirac ([Di]), (que denotaremos δ(x)) en conexi´n con sus es-
o o
tudios sobre Mec´nica Cu´ntica. Realmente no se trata de una funci´n en el
a a o
sentido ordinario del t´rmino, sino de una distribuci´n (ver [Sc]).
e o
La delta de Dirac viene caracterizada por las siguientes propiedades:
1. δ(x) = 0 si x = 0.
2. δ(0) no est´ definida.
a
3. δ(x)dx = 1, siempre que el recinto de integraci´n incluya a x = 0.
o
4. Si g(x) es una funci´n continua en I entonces
o R, g(x)δ(x)dx = g(0).
18

19. En la figura 9 representamos la delta de Dirac en un sentido figurado: la
delta de Dirac puede interpretarse como una funci´n que se anula en todos
o
los puntos salvo en en x = 0, donde toma el valor infinito.
Para a = 0, la funci´n δ(x − a), ser´ la misma funci´n o distribuci´n
o ıa o o
pero trasladada a x = a.
Y
0 X
Figura 9: Delta de Dirac, δ(x)
El concepto de la funci´n delta de Dirac, tambi´n llamada funci´n im-
o e o
pulso unitario, resulta un modelo util en situaciones en las que, por ejemplo,
´
tenemos un sistema mec´nico sobre el que act´a una fuerza externa de gran
a u
magnitud durante un breve instante de tiempo. En el caso extremo en el que
esta fuerza estuviese concentrada en un punto, vendr´ representada por la
ıa
delta de Dirac.
La delta de Dirac puede, efectivamente, entenderse como el l´ ımite de una
sucesi´n de funciones que, con masa unidad, se concentran infinitamente en
o
torno a un punto. En efecto, sea f una funci´n regular tal que
o
f (x) = 0, si |x| > 1;
f (x)dx = 1;
f (x) ≥ 0, para todo x ∈ I
R.
Consideramos ahora la sucesi´n de funciones
o
1 x
f (x) = f ( ).
19

20. Este cambio de escala no altera la masa total de la funci´n, puesto que
o
1 x
f (x)dx = f ( )dx = f (y)dy = 1.
Sin embargo, a medida que tiende a 0, el soporte de la funci´n f se contrae,
o
puesto que
f (x) → 0 si |x| > .
En el l´
ımite, cuando → 0, las funciones f , cada vez m´s concentradas,
a
convergen a la delta de Dirac, puesto que
1 x
f (x)g(x)dx = f ( )g(x)dx = f (x)g( x)dx
−→ g(0) f (x)dx = g(0) = g(x)δ(x)dx
cuando → 0, para toda funci´n g continua y acotada.
o
Vamos a calcular las sumas parciales de Fourier para la delta de Dirac.
Pero, ¿c´mo puede expresarse con una serie trigonom´trica una “funci´n”tan
o e o
singular como la delta de Dirac? Si, como hemos visto en el la secci´n 2; ya fue
o
dif´ que se aceptase, por parte de contempor´neos de Euler y Fourier, que
ıcil a
una funci´n de tipo salto se pudiera expresar a trav´s de su serie de Fourier;
o e
resulta interesante imaginar lo que habr´ pensado de quien intentase hacer
ıan
lo mismo para un objeto como la delta de Dirac.
En realidad, lo que vamos a hacer es calcular las sumas parciales de
Fourier correspondientes a una determinada combinaci´n lineal de deltas de
o
Dirac,
∆(x) = δ(x + zπ) − δ(x + zπ) (4.31)
z=par z=impar
que se obtiene al extender de manera peri´dica, con per´
o ıodo 2π la “fun-
ci´n”que coincide con la delta de Dirac δ(x) en x = 0 y con −δ(x − π)
o
en el punto x = π, es decir, con la δ trasladada y cambiada de signo, la
reflejada impar de la δ(x). Dicho de otra forma, la funci´n que hemos llama-
o
do ∆(x), est´ compuesta por: impulsos unitarios positivos en los m´ltiplos
a u
pares de π, es decir, puntos de la forma . . . , −2π, 0, 2π, 4π, . . .; e impulsos
unitarios negativos en los m´ltiplos impares de π, es decir, puntos de la for-
u
ma . . . , −3π, −π, π, 3π, . . .. La gr´fica de esta funci´n se podr´ representar
a o ıa
como en la figura 10.
20

21. Y
0 X
Figura 10: “funci´n”∆(x)
o
Aplicamos nuevamente las f´rmulas (2.2) y (2.3) teniendo en cuenta que
o
∆(x) es una funci´n par,
o
1 π 2 π
ak = ∆(x) cos(kx)dx = ∆(x) cos(kx)dx
π −π π 0
π
= (δ(x) − δ(x − π)) cos(kx)dx
0
2
= (cos(0) − cos(kπ))
π
2
= (1 − (−1)k )
π
1 π
bk = ∆(x) sin(kx)dx = 0
π −π
Por tanto, la suma parcial de Fourier para la funci´n ∆(x) queda
o
N
2
s∆,N (x) = (1 − (−1)k ) cos(kx) (4.32)
k=0 π
que se puede expresar de la siguiente forma, dado que para los valores pares
de k los sumandos se anulan:
4 n
s∆,2n−1 (x) = cos((2r − 1)x) (4.33)
π r=1
4
= [cos(x) + cos(3x) + . . . + cos((2n − 1)x)] (4.34)
π
21

22. El programa de Matlab incluido en el apartado 5.2 puede utilizarse
para representar las sumas parciales descritas mediante la f´rmula (4.32). Su
o
sintaxis es: >>deltafun(N,xmin,xmax), donde N es el n´mero de sumandos
u
y xmin y xmax son los valores del rango en el que queremos que aparezca la
gr´fica. Por ejemplo, la gr´fica de la figura 11 se ha generado con el comando
a a
>>deltafun(30,-pi,pi) y, la gr´fica de la figura 12 se ha generado con el
a
comando >>deltafun(100,-5*pi,5*pi) (comp´rense estas gr´ficas con el
a a
esquema inicial de la funci´n ∆(x) mostrado en la figura 10).
o
deltafun(30,−pi,pi)
20
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Figura 11: suma de Fourier de ∆(x), N = 30
Los c´lculos y gr´ficas obtenidas requieren algunas observaciones:
a a
En primer lugar, con toda seguridad el lector ya se ha dado cuenta,
la expresi´n obtenida en (4.33) es exactamente la derivada de la que
o
obtuvimos en (4.28) (esto explica la manera tan enrevesada en que se
defini´ la funci´n ∆(x).) Es decir,
o o
d
[s2n−1 (x)] = s∆,2n−1 (x) (4.35)
dx
Lo cual nos hace pensar que, en cierto sentido,4 la derivada de la funci´n
o
4
Este sentido no es otro que el de la Teor´ de las Distribuciones, de la cual, la delta
ıa
de Dirac no es m´s que un ejemplo, ver nuevamente [Sc].
a
22

23. deltafun(100,−5*pi,5*pi)
80
60
40
20
0
−20
−40
−60
−80
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20
Figura 12: suma de Fourier de ∆(x), N = 100
salto (4.24) debe ser la “funci´n”∆(x) (4.31).
o
A partir de la observaci´n anterior; si la derivada de las sumas parciales
o
de la funci´n salto son las sumas parciales de la delta de Dirac, entonces
o
la integral de las sumas parciales de la delta ser´n las de la funci´n salto,
a o
es decir,
x
s2n−1 (x) = s∆,2n−1 (t)dt (4.36)
0
Por otra parte, s∆,2n−1 (x) admite una expresi´n m´s c´moda:
o a o
n
4
s∆,2n−1 (x) = cos((2r − 1)x)
π r=1
n
2
= 2 sin(x) cos((2r − 1)x)
π sin(x) r=1
n
2
= [sin(2rx) − sin(2(r − 1)x)]
π sin(x) r=1
n n−1
2
= sin(2rx) − sin(2rx)
π sin(x) r=1 r=0
2 sin(2nx)
=
π sin(x)
23

24. Este hecho, junto con (4.36), proporciona la siguiente expresi´n para
o
las sumas parciales de Fourier de la funci´n salto:
o
2 x sin(2nt)
s2n−1 (x) = dt, (4.37)
π 0 sin(t)
mientras que
d 2 sin(2nx)
[s2n−1 (x)] = (4.38)
dx π sin(x)
Se puede comprobar de esta forma, que los puntos cr´ ıticos de las sumas
parciales de la funci´n salto son los ceros de las sumas parciales de
o
la delta de Dirac. Es decir, que la altura que se alcanza en el primer
m´ximo de la suma parcial de Fourier de la funci´n salto, a la derecha
a o
de x = 0, es la mitad del ´rea por debajo del arco central de la gr´fica
a a
11. Es decir,
π
π 2 2n sin(2nt)
s2n−1 ( ) = dt. (4.39)
2n π 0 sin(t)
Pasando al l´
ımite cuando n → ∞ y en virtud de (4.29), necesariamente
habremos de obtener el mismo valor. Por tanto,
π
2n sin(2nt) π sin(t)
dt −→ dt = Si(π) (4.40)
0 sin(t) 0 t
(Ver [C], pp. 300-301.)
En las gr´ficas de las figuras 11 y 12 parece observarse tambi´n algo
a e
parecido al fen´meno de Gibbs. Pero ahora es algo distinto a lo que
o
ocurr´ con la funci´n salto. En la funci´n salto ve´
ıa o o ıamos que las gr´ficas
a
de las sumas parciales (figuras 6 y 7) exced´ o quedaban por debajo,
ıan,
de la funci´n en los alrededores de los puntos de discontinuidad. Aqu´ la
o ı
situaci´n es peor, porque esto ocurre no s´lo en las cercan´ de x = 0
o o ıas
sino a lo largo de los puntos de continuidad de la funci´n original, por
o
ejemplo, en los puntos del intervalo (0, π). Adem´s esta situaci´n no
a o
cambia aunque aumentemos la cantidad de sumandos. ¿Cu´l es la raz´n
a o
de este comportamiento tan an´malo? Simplemente, ahora ni siquiera
o
tenemos convergencia puntual. En efecto, si tomamos, por ejemplo, un
punto x0 ∈ (0, π), la funci´n original valdr´ ∆(x0 ) = 0. Sin embargo,
o ıa
la sucesi´n
o
24

25. 2 sin(2nx0 )
s∆,2n−1 (x0 ) = (4.41)
π sin(x0 )
no converge cuando n → ∞. De hecho, lo que ocurre es que la gr´fica de
a
2 1
s∆,2n−1 (x) oscila entre las gr´ficas de las dos funciones y = ±
a ,
π sin(x)
que acotan superior e inferiormente a s∆,2n−1 (x), es decir,
2 sin(2nx) 2 1
≤ (4.42)
π sin(x) π | sin(x)|
En la figura 13 hemos dibujado la gr´fica de la suma parcial de la
a
delta de Dirac hasta el sumando N = 50 (que ser´ lo mismo que
ıa
n = 25, seg´n la notaci´n s∆,2n−1 (x)), en el intervalo [ −π , π ] junto con
u o 2 2
2 1
las gr´ficas de las funciones y = ±
a .
π sin(x)
deltafun(50,−pi/2,pi/2); y=+−(2/pi)(1/sin(x))
30
20
10
0
−10
−20
−30
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Figura 13: “fen´meno de Gibbs”en delta Dirac, N = 50
o
Entonces, ¿qu´ tipo de representaci´n es la que producen las sumas
e o
parciales de Fourier para la delta de Dirac en la que ni siquiera hay
convergencia puntual para los puntos de continuidad? La respuesta es
que s´ hay convergencia, pero es una convergencia especial, una con-
ı
vergencia “d´bil”: como hemos podido ver m´s arriba, en la definici´n
e a o
25

26. de la delta de Dirac, esta funci´n no se define de una manera cl´sica,
o a
dando sus valores, sino m´s bien a trav´s de sus efectos sobre otras
a e
funciones en el sentido de las distribuciones. Y en este sentido, las su-
mas parciales de Fourier de la delta producen sobre otras funciones los
mismos efectos, puesto que las oscilaciones se cancelan a trav´s de la
e
integraci´n.
o
4.2. M´todo de sumaci´n de Fej´r
e o e
En 1903, el matem´tico h´ngaro L. Fej´r (1880-1959), propuso una nueva
a u e
forma de sumar los t´rminos de la serie de Fourier. Se trata de sumar los
e
promedios de las sumas parciales y pasar al l´
ımite. Se obtiene as´ una nueva
ı
sucesi´n de funciones que produce convergencia incluso en algunos casos en
o
los que la serie original no la tiene.
Veamos c´mo se construye la suma Fej´r a partir de las sumas parciales
o e
de la serie de Fourier: dada la suma parcial de Fourier (4.25) construimos
una nueva sucesi´n con el promedio de las sumas parciales,
o
M
1 s0 (x) + s1 (x) + . . . + sM (x)
σM (x) = sN (x) = . (4.43)
M + 1 N =0 M +1
La suma de Fej´r es entonces
e
s(x) = l´ σM (x).
ım (4.44)
M →∞
En cuanto a la convergencia de la suma de Fej´r se tiene el siguiente
e
Teorema de Fej´r ([Fe]) Sea f (x) definida en el intervalo (−π, π). Si
e
f es acotada, suponemos que es integrable; si no es acotada, suponemos que
π
la integral −π f (x)dx es absolutamente convergente. Entonces, para cual-
quier punto x del intervalo las sumas parciales de Fej´r σM (x) convergen a
e
1
(f (x+) + f (x−)).
2
Y como una consecuencia del Teorema de Fej´r tenemos que,
e
Si f (x) es continua en [a, b], entonces la sucesi´n de las medias aritm´ti-
o e
cas σ0 , σ1 , σ2 , . . . converge uniformemente a f (x) en el interior del intervalo
(a, b).
26

27. 1
Obviamente, cuando f es continua en x, (f (x+) + f (x−)) = f (x) y,
2
por tanto, σM (x) converge a f (x).
Esta es la versi´n m´s cl´sica del teorema, utilizando la integral de Rie-
o a a
mann y su demostraci´n se puede encontrar en [C], pp. 254-258. Para ver
o
una versi´n m´s moderna, en t´rminos de la integral de Lebesgue, se puede
o a e
consultar [A], pp. 390-391.
En la secci´n 5, se ha incluido un programa para Matlab, (el programa
o
5.3) para dibujar las gr´ficas de las sumas de Fej´r para la funci´n salto. Se
a e o
trata de hacer una peque˜a modificaci´n en el programa sumpar.m, introdu-
n o
ciendo un nuevo bucle que promedie las sumas de Fourier.
Por ejemplo, haciendo >>fejer(40), se obtiene la gr´fica de la figura 14.
a
Sumación de Fejér
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Figura 14: Sumaci´n parcial de Fej´r M = 40
o e
Lo primero que se observa en la nueva gr´fica es que ahora tenemos un
a
tipo de convergencia distinta, de hecho ahora tenemos convergencia uniforme
(seg´n el teorema anterior) en el interior del intervalo (0, π) (y, por simetr´
u ıa,
en (−π, 0)). Por otra parte se puede observar que la gr´fica de la suma de
a
Fej´r cae por debajo (en el 0 < x < π, y por encima en −π < x < 0) de la
e
gr´fica de f (x). De hecho, puede probarse, (ver nuevamente el cl´sico [C], pp.
a a
308) que todas las sumas parciales de Fej´r verifican |σM (x)| < 1, es decir,
e
27

28. ahora no se produce el fen´meno de Gibbs y aunque la gr´fica sigue teniendo
o a
las mismas oscilaciones, ahora son mucho menores (de hecho, en la figura no
se aprecian, habr´ que hacer zoom para visualizarlas.)
ıa
4.3. Fourier versus Fej´r
e
Dibujemos ahora las gr´ficas de las sumas de Fourier y las de Fej´r juntas.
a e
En la figura 15, hemos dibujado, superpuestas, las gr´ficas de las sumas
a
parciales de Fourier y Fej´r hasta el sumando N = 11 en el intervalo [0, π]. En
e
la figura 16, se ha representado lo mismo, pero ahora en el intervalo [−π, π].
En ambas figuras se puede observar c´mo las sumas parciales de Fourier y las
o
de Fej´r parecen coincidir en algunos puntos cr´
e ıticos de las sumas de Fourier.
En concreto, en el intervalo [0, π], esto ocurre en los m´ ınimos y, debido a la
simetr´ impar, en el intervalo [−π, 0], ocurre en los m´ximos.
ıa a
Fourier y Féjer
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Figura 15: Fourier versus Fej´r, N = 29
e
Veamos que este curioso fen´meno no es s´lo aparente, ni debido a los
o o
errores de redondeo, sino que ocurre de hecho:
En primer lugar, si la N -´sima suma parcial de Fourier es
e
N
a0
sN (x) = + [ak cos(kx) + bk sin(kx)] (4.45)
2 k=1
28

29. Fourier y Féjer
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Figura 16: Fourier versus Fej´r, N = 11
e
entonces la N -´sima suma parcial de Fej´r, a partir de la expresi´n (4.43), se
e e o
puede escribir de la forma alternativa
N
a0
σN (x) = + βk [ak cos(kx) + bk sin(kx)] (4.46)
2 k=1
k
donde βk = 1 − N +1
.
Para el caso particular de la funci´n salto, estas expresiones se convierten
o
en n
4 1
s2n−1 (x) = sin((2r − 1)x) (4.47)
π r=1 2r − 1
y
n
4 2r − 1 1
σ2n−1 (x) = 1− sin((2r − 1)x) (4.48)
π r=1 2n 2r − 1
Los puntos en que se cortan las gr´ficas de (4.47) y (4.48), han de ser
a
soluciones de la ecuaci´n
o
s2n−1 (x) − σ2n−1 (x) = 0 (4.49)
29

30. Por otra parte, si estos puntos son m´ximos o m´
a ınimos, es decir, puntos
cr´
ıticos de la funci´n (4.47), entonces tambi´n deben verificar la ecuaci´n
o e o
d
[s2n−1 (x)] = 0 (4.50)
dx
La ecuaci´n (4.49) la podemos escribir de la forma siguiente:
o
n
4 1
s2n−1 (x) − σ2n−1 (x) = sin((2r − 1)x) = 0. (4.51)
π r=1 2n
Por tanto,
n
sin((2r − 1)x) = 0 (4.52)
r=1
que se puede transformar de la siguiente manera
n n
1
0= sin((2r − 1)x) = 2 sin((2r − 1)x) sin(x)
r=1 2 sin(x) r=1
n
1
= [cos(2(r − 1)x − cos(2x))]
2 sin(x) r=1
n−1 n
1
= cos(2rx) − cos(2rx)
2 sin(x) r=0 r=1
1 − cos(2nx)
=
2 sin(x)
Ahora bien, las soluciones de la ecuaci´n
o
1 − cos(2nx)
=0 (4.53)
2 sin(x)
en el intervalo (0, π) son los puntos de la forma
π 2π (n − 1)π
x1 = , x2 = , . . . , xn−1 = (4.54)
n n n
Y es sencillo comprobar que estos puntos son precisamente los m´
ınimos de
la funci´n s2n−1 (x), ya que sab´
o ıamos, por (4.38), que
d 2 sin(2nx)
[s2n−1 (x)] = (4.55)
dx π sin(x)
30

31. Luego, efectivamente las gr´ficas de las sumas parciales de Fourier y las
a
de Fej´r se cortan en los m´
e ınimos de las primeras, en el intervalo (0, π) y, por
la simetr´ en los m´ximos del intervalo (−π, 0) (excepto para el caso n = 1,
ıa, a
en el que no hay ning´n m´
u ınimo en (0, π).)
La primera cuesti´n que aparece de manera inmediata es: ¿ocurrir´ esto
o a
en todos los casos? La respuesta es que no. Por ejemplo, en el caso de la
funci´n delta de Dirac, que analizamos en el apartado 4.1.2, se pueden dibujar
o
conjuntamente las gr´ficas de las sumas parciales de Fourier y de Fej´r juntas,
a e
como hemos hecho en la figura 17, para observar que la gr´fica de Fej´r no
a e
pasa por los puntos cr´ıticos mencionados antes. (Para dibujar las gr´ficas de
a
las sumas de Fej´r para la delta de Dirac incluimos el programa 5.4.)
e
deltafun(30,−pi/2,pi/2);deltafej(30,−pi/2,pi/2)
20
15
10
5
0
−5
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Figura 17: Delta de Dirac: Fourier versus Fej´r, N = 30
e
Veamos no obstante, que tambi´n hay otros desarrollos en los que se da
e
esta coincidencia, como por ejemplo, en el caso de la funci´n
o
−x −
2
π
2
; si −π ≤ x < 0
f (x) = (4.56)
−x +
2
π
2
; si 0 ≤ x ≤ π
31

32. que vamos a analizar utilizando una t´cnica distinta a la anterior. Esta fun-
e
ci´n extendida peri´dicamente, con per´
o o ıodo 2π, a lo largo de todo el eje real
se denomina a veces, funci´n “diente de sierra”.
o
Las sumas parciales de Fourier de esta funci´n son
o
N
1
sN (x) = sin(kx) (4.57)
k=1 k
y las sumas de Fej´r
e
N
k 1
σN (x) = 1− sin(kx) (4.58)
k=1 N +1 k
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Figura 18: “Diente de sierra”: Fourier versus Fej´r, N = 30
e
Ahora, para que las gr´ficas de (4.57) y de (4.58) se corten en los puntos
a
cr´
ıticos de (4.57) hace falta que las ecuaciones
N
1
sN (x) − σN (x) = sin(kx) = 0 (4.59)
N + 1 k=1
32

33. y
N
d
[sN (x)] = cos(kx) = 0 (4.60)
dx k=1
tengan soluciones comunes. O lo que es lo mismo, utilizando la f´rmula de
o
Euler eikx = cos(kx)+i sin(kx), que haya valores reales de x que sean soluci´n
o
de la ecuaci´n compleja
o
N N N
cos(kx) + i sin(kx) = eikx = 0. (4.61)
k=1 k=1 k=1
Sumando la progresi´n geom´trica
o e
N
eix (1 − eiN x )
eikx = = 0, (4.62)
k=1 1 − eix
la ecuaci´n se reduce a
o
1 − eiN x = 0 (4.63)
que tiene soluciones, en el intervalo (0, π)
2π 2π 2π
x1 = ; x2 = 2. ; x3 = 3. ; . . . (4.64)
N N N
(el ultimo punto en el intervalo ser´ xu = NN π o xu = NN π, dependiendo
´ ıa −2
´ −1
de que N sea par o impar, respectivamente.) Adem´s, estos puntos son los
a
m´ınimos en este intervalo.
Se han incluido dos programas m´s para Matlab en la siguiente secci´n:
a o
el programa fousin.m, 5.5 y el fejsin, 5.6; que sirven para obtener las gr´fi-
a
cas de (4.57) y (4.58), respectivamente. En la figura 18, hemos representado
las gr´ficas de las sumas de Fourier y las de Fej´r, correspondientes al va-
a e
lor N = 30 (despu´s se ha hecho una ampliaci´n para que aparezca s´lo el
e o o
intervalo (0, π).)
De hecho, se puede utilizar un argumento an´logo para demostrar que
a
n
1
cualquier desarrollo de la forma sin(ak x), en el que ak sean enteros
k=1 ak
positivos en progresi´n aritm´tica, tambi´n lo verifica. N´tese que, de esta
o e e o
n
forma, eiak x es una suma de una progresi´n geom´trica.
o e
k=1
33

34. 5. Programas para Matlab
Para la realizaci´n de este trabajo se ha utilizado, en particular para
o
la parte gr´fica, el asistente Matlab, versi´n 5.3 Release R11, licencia de
a o
campus de la Universidad Complutense de Madrid. Los c´digos de los pro-
o
gramas con los que se han obtenido las gr´ficas se incluyen a continuaci´n.
a o
Con peque˜as modificaciones se pueden adaptar a cualquier funci´n. Basta
n o
con cambiar los valores de los coeficientes.
No obstante, para algunos c´lculos y comprobaciones concretas, se ha
a
utilizado tambi´n el asistente de C´lculo Simb´lico Derive. El lector po-
e a o
dr´ consultar los comandos mediante los cuales se pueden dibujar sumas
a
parciales de Fourier y sumas de Fej´r puede verse en el trabajo de R. Ro-
e
dr´
ıguez-del-R´ ([R]). Algunas gr´ficas de sumas de Fourier y sumas de Fej´r
ıo a e
realizadas con Derive, pueden verse en el art´ ıculo de J. Duoandikoetxea
([Du]); art´
ıculo este ultimo en el que se puede encontrar un completo estu-
´
dio del desarrollo hist´rico del An´lisis de Fourier desde sus or´
o a ıgenes hasta
nuestros d´ıas.
5.1. Programa: sumpar.m
function sumpar(n)
% Sumas parciales de Fourier de la funci’on salto
% f(x)= -1 si -pi<x<0
% 1 si 0<x<pi
% n es el n’umero de sumandos
% Funci’on salto
x = -pi:0.001:pi;
f=-1*(x<0)+1*(x>0);
% sumas parciales de Fourier
s = zeros(size(x)); for k=1:n
s=s+((1-(-1)^k)/k)*sin(k*x);
end
s = 2/pi*s;
% gr’afica de las sumas parciales y de la funci’on salto
34

35. plot(x, s, ’r’, x, f, ’b’),grid;
title(’Fen´meno de Gibbs’);
o
% Fin del programa sumpar.m
5.2. Programa: deltafun.m
function deltafun(n,xmin,xmax)
% Sumas parciales de Fourier de la funci’on
% Delta(x)=
% =sum(delta(x+z*pi),z par)+sum(delta(x+z*pi),z impar)
%
% n es el n’umero de sumandos
% [xmin,xmax] es el rango de la gr’afica
dx=(xmax-xmin)/15000;
x = xmin:dx:xmax;
% sumas parciales de Fourier
s = zeros(size(x)); for k=1:n
s=s+(1-(-1)^k)*cos(k*x);
end s = 2/pi*s;
% gr’afica de las sumas parciales
plot(x, s),grid;
% Fin del programa deltafun.m
5.3. Programa: fejer.m
function fejer(m)
% Sumas de Fejer de la funci’on salto
% f(x)= -1 si -pi<x<0
% 1 si 0<x<pi
% m es el n’umero de sumandos
35

36. % Funci’on salto
x = -pi:0.001:pi;
f=-1*(x<0)+1*(x>0);
% sumas parciales de Fejer
fej=zeros(size(x)); for n=1:m
s = zeros(size(x));
for k=1:n
s=s+((1-(-1)^k)/k)*sin(k*x);
end
s = 2/pi*s;
fej=fej+s;
end
fej=fej/(m+1);
% gr’afica de las sumas de Fejer y de la funci’on salto
plot(x, fej, ’r’, x, f, ’b’),axis([-4 4 -1.5 1.5]),grid;
title(’Sumaci´n de Fej´r’);
o e
% Fin del programa fejer.m
5.4. Programa: deltafej.m
function deltafej(m,xmin,xmax)
% Sumas parciales de Fejer de
% la funci’on
% Delta(x)=
% =sum(delta(x+z*pi),z par)+sum(delta(x+z*pi),z impar)
%
% m es el n’umero de sumandos
% [xmin,xmax] es el rango de la gr’afica
dx=(xmax-xmin)/15000;
x = xmin:dx:xmax;
% sumas parciales de Fejer
fej=zeros(size(x)); for n=1:m,
36

37. s = zeros(size(x));
for k=1:n,
s=s+(1-(-1)^k)*cos(k*x);
end
s = 2/pi*s;
fej=fej+s;
end
fej=fej/(m+1);
% gr’afica de las sumas parciales
plot(x, fej),grid;
% Fin del programa deltafej.m
5.5. Programa: fousin.m
function fousin(n)
% Sumas parciales de Fourier de
% la funci’on diente de sierra
% f(x)= -x/2-pi/2 si -pi<x<0
% -x/2+pi/2 si 0<x<pi
%
% n es el n’umero de sumandos
% Funci’on sierra
x = -pi:0.001:pi;
f=(-x/2-pi/2).*(x<0)+(-x/2+pi/2).*(x>0);
% sumas parciales de Fourier
s = zeros(size(x));
for k=1:n
s=s+(1./k).*sin(k.*x);
end
% gr’afica de las sumas parciales y de la funci’on diente de sierra
plot(x, s, ’r’, x, f, ’b’),grid;
% Fin del programa fousin.m
37

38. 5.6. Programa: fejsin.m
function fejer(m)
% Sumas de Fejer de
% la funci’on diente de sierra
% f(x)= -x/2-pi/2 si -pi<x<0
% -x/2+pi/2 si 0<x<pi
%
% m es el n’umero de sumandos
% Funci’on diente de sierra
x = -pi:0.001:pi;
f=(-x/2-pi/2).*(x<0)+(-x/2+pi/2).*(x>0);
% sumas parciales de Fejer
fej=zeros(size(x));
for n=1:m
s = zeros(size(x));
for k=1:n
s=s+(1/k).*sin(k*x);
end
fej=fej+s;
end
fej=fej/(m+1);
% gr’afica de las sumas de Fejer y de la f. diente de sierra
plot(x, fej, ’r’, x, f, ’b’),axis([-4 4 -2 2]),grid;
% Fin del programa fejsin.m
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