Este documento trata sobre el concepto de derivada en matemáticas. Explica que la derivada mide la tasa de cambio de una función cuando su variable independiente cambia. Luego discute el origen de las derivadas en los trabajos de Newton y Leibniz en el siglo XVII. Finalmente, presenta las aplicaciones de las derivadas en áreas como cálculo, física y ingeniería.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL
La Derivada.
Autora: Gabriela Ramírez.
C.I: 30.965.019.
Asignatura: Matemática I B.
Docente de la asignatura: Jesús Gamez.
Febrero, 2022

2. Introducción.
En la matemática existen infinidad de conceptos, teoremas, ecuaciones,
ejercicios, etc, que nos ayudan a conocer y calcular infinidad de cosas, uno de
estos conceptos y función es la derivada, la cual está compuesta por notaciones y
aplicaciones, las cuales nos van a ayudar a la hora de resolver los problemas
matemáticos que se propongan. Por ende en el siguiente trabajo se hablará
brevemente del concepto de derivada, las áreas en las que se puede encontrar, su
origen e historia, su notación según Newton, Leibniz, Lagrange y Euler, y también
se presentarán las aplicaciones de esta, con el fin de adquirir conocimientos sobre
este tema para un mejor desarrollo y resolución de los problemas matemáticos
que necesiten de esta función.

3. La Derivada.
En el área de cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de
una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha
función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente, es
decir, es aquella que describe la rapidez con la que varía una función cuando sus
variables independientes varían. Esta se aplica en aquellos casos en los que es de
necesidad medir la rapidez con la que se produce un cambio de una magnitud y
situación.
Este término se encuentra en varias áreas, como lo es:
 Terminología clásica: La diferenciación manifiesta el coeficiente en que
una cantidad y cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x.
 Matemática: Coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto
objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
 Física: Coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna
fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.
Origen e Historia de las derivadas.
El origen de la derivada se da en el siglo XVII por obra de Isaac Newton; un
físico y matemático inglés, y Gottfried Leibniz; polímata, filósofo, matemático y
lógico alemán. Estos dos hombres dieron origen a las derivadas, a pesar de que
los problemas de cálculo infinitesimal se comenzaron a plantear en el siglo III a.C,
estos matemáticos encontraron los métodos sistemáticos de resolución diecinueve
siglos después.
A la derivada también le dió origen dos conceptos de tipo geométrico, los
cuales son:

4.  El problema de la tangente de una curva, también conocido como el
problema de Apolonio, el cual consiste en encontrar
las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas.
 El Teorema de los Extremos, o Teorema de Fermat, el cual nos explica
que, si una función f alcanza un máximo o mínimo local en c, y si la
derivada f’ ( c ) existe en el punto c, entonces f’ ( c ) = 0.
Newton y Gottfried son los padres del cálculo diferencial e integral, pero fue
Isaac Barrow; teólogo, profesor y matemático británico, quien demostró que el
cálculo integral y diferencial son operaciones inversas.
Notación de la derivada.
Existen varias maneras de nombrar la derivada, siendo f una función, se
escribe la derivada de f respecto al valor de x en varios modos.
 Notación de Newton: Para la diferenciación respecto al tiempo, se pone un
punto arriba de la función:
Y así sucesivamente se van agregando. Se lee de la siguiente manera: “Punto
x” o “x Punto”. En la actualidad no se suele usar mucho en el área de la
matemática pura, pero si se tiende a ser usada esta notación en el área de la
mecánica donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la
notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una
variable.
 Notación de Leibniz: Para la función derivada de f se escribe de la
siguiente manera: o tambien como:
Se lee de la siguiente manera: “Derivada de y (f o f de x) con respecto a x”

5.  Notación de Lagrange: Esta es la notación más y actualmente usada.
Para identificar las derivadas de f en el punto a se escribe de la siguiente
manera: f’ (a) para la derivada número uno. f’’ (a) para la derivada número
dos. Así sucesivamente. La enésima derivada se escribiría de esta forma,
f(n)
(a)
Se lee como “efe prima de x” para la derivada número uno, “efe dos prima
de x” para la derivada número dos, así sucesivamente. Para la función
derivada de f en x, se escribe f’ (x) para la primera derivada, f’’ (x) para la
segunda derivada y así sucesivamente.
 Notación de Euler: Se escribe de la siguiente manera:
Se lee de la siguiente manera: “d sub x de f” y los símbolos de D y ∂ deben
entenderse como operadores diferenciales.
Aplicaciones de la Derivada.
 Derivada Parcial: La derivada parcial de una función de varias variables es
la derivada con respecto a cada una de esas variables manteniendo las
otras como constantes. Las derivadas parciales son usadas en el cálculo
vectorial y en la geometría diferencial.
La derivada de una función f (x, y, …) con respecto a variable x se puede
denotar de distintas maneras:
∂ es una “d” redondeada, conocida como “la d de Jacobi”
También se puede representar como D1f1 (x1, x2, …) que es la primera
derivada respecto a la variable x1 y así sucesivamente.

6. Ejemplo: geometría.
El Volumen V de un cono que depende de la altura del cono h y su radio r está
dado por la fórmula:
Las derivadas parciales respecto a r y h son:
Respectivamente, la primera de ellas representa la tasa a la que el volumen del
cono cambia si el radio varía y su altura se mantiene constante, la segunda de
ellas representa la tasa a la que el volumen cambia si la altura varía y su radio se
mantiene constante.
La derivada total de V con respecto a r y h son:
El volumen de un cono depende de h y r

7.  Derivada total con respecto al tiempo: La derivada con respecto al
tiempo son las formas estándares de representar las velocidades y
aceleraciones instantáneas.
 Derivada sustancial: Nos permite expresar la variación con respecto del
tiempo de una magnitud fluida intensiva, es decir, una magnitud la cual no
depende de la cantidad de materia considerada. Para una descripción
Euleriana del movimiento, la magnitud fluida viene definida como f = f
(Xo,t), por tanto la variación total de una magnitud fluida definida de tal
forma será: d f =d f /dx·dx+d f /dy·dy+…z+…t si la variación la medimos
respecto del tiempo, obtenemos que: todo igual pero multiplicado por
dx/dt…dy/dt…. Llegando a quedar lo mismo pero con multiplicado por u, v,
w, y… obtenemos un término de tres llamado variación de flujo convectivo
y otro de uno llamado variación local. Siendo = a d f /dt ·v grad ( f ) Por otro
lado decimos q el flujo convectico de una magnitud fluida extensiva, por
unidad de volumen, a través de una superficie (s) es la cantidad de esa
masa extensiva que atraviesa con el fluido dicha superficie en la unidad de
tiempo.

8. Conclusión.
Como hemos notado, la derivada está compuesta por muchos factores, los
cuales os permiten la sensibilidad que posee una variable al que otra cambie. Esta
función sirve de mucho en las áreas de la ingeniería y economía, y en las áreas de
la ciencia, está muy presente a la hora de calcular velocidades, aceleraciones,
distribuciones que dependen del tiempo o de la cantidad de materia. En
conclusión, esta función que le dio solución al cálculo infinitesismal no solo es
importante en el ámbito matemático, está presente y es de importancia como en
disciplinas de ingeniería o de administración. Ya que aportan información concreta
directa y científica acerca de nuestra propia existencia y se puede aplicar para
cosas de la vida cotidiana, como el movimiento de un auto o el vuelo de un avión,
los cuales sin la derivada y sus aplicaciones, no serían capaces de funcionar como
lo conocemos.

9. Referencias Bibliográficas.
-Concepto de derivada. Disponible en Línea:
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivadas/
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html
(Consultado 15 de febrero, 2022)
-Origen e Historia de la derivada. Disponible en Línea:
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada#Historia_de_la_derivada
https://www.studocu.com/latam/document/universidad-de-los-andes-
venezuela/fisica/derivadas-importancia/2299407
(Consultado: 16 de febrero, 2022)
-Notación de la derivada. Disponible en Línea:
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada#Notaci%C3%B3n
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html
(Consultado: 16 de febrero, 2022)
-Aplicaciones de la derivada. Disponible en Línea:
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada#Aplicaciones
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/deriv.html
https://www.wikiteka.com/apuntes/fluidos-5/