Tomo 3

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN.
NIVELACIÓN GENERAL
Desarrollo del Pensamiento
Tomo 3
Parte 1: Solución de Problemas
Parte 2: Creatividad.
Alfredo Sánchez Amestoy, PhD

La presente publicación ha sido elaborada a partir del documento
Desarrollo del pensamiento. Solución de problemas – 5to nivel, y
Desarrollo del pensamiento. Creatividad – 6to. Nivel del autor Alfredo
Sánchez Amestoy, PhD
© CENTRO DIPCI S.A. 2012
Desarrollo del Pensamiento, Tomo 3.
Parte1: Solución de Problemas.
Parte 2: Creatividad.
Primera edición – junio 2012
SENESCYT
Whymper E7 – 37 y Alpallana
Quito, Ecuador
Teléfonos (593 2) 250- 5656 / 256 – 4773 / 250 - 5660
(593 2) 250- 5661 / 250 – 5655 / 250 - 5658
www.senescyt.gob.ec
www.snna.gob.ec
ISBN: 978 – 9978 – 339 – 04 – 6
Derecho de autor: GYE – 002939, GYE – 002938 de septiembre de 2012
Diseño y arte final
Miguel Dávila
Henrry Ruales
Impresión
Imprenta Mariscal
Resuelto por:
Jackeline Arizaga.
Adrián Alcívar.
Richard Guzmán.
Diego Orellana.

CONTENIDOS TOMO II
CONTENIDO ___________________________________________________________3
PÁGINA INICIAL PARTE 1_________________________________________________5
IMFOMORMACIÓN GENERAL ACERCA DEL CURSO __________________________6
I INTRODUCCIÓN A LASOLUCIÓN DE PROBLEMAS___________________________8
Justificación y objetivos de la Unidad________________________________________8
1 Características de un problema __________________________________________9
2 Procedimiento para solución de un problema _______________________________17
II PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE________________________25
Justificación y Objetivos de la Unidad _______________________________________25
3 Problemas de Relacion Parte-todo y familiares ______________________________26
4 Problemas sobre relaciones de orden _____________________________________36
II PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES ______________________46
Justificación y objetivos de la Unidad________________________________________46
5 Problemas de tablas numéricas __________________________________________47
6 Problemas de tablas lógicas_____________________________________________57
7 Problemas de tablas conceptuales o semánticas_____________________________68
IV PROBLEAS RELATIVOS A EVENTOS DINAMICOS__________________________79
Justificación de la unidad _______________________________________________79
Objetivos de la unidad __________________________________________________80
8 Problemas de simulación concreta y abstracta _______________________________81
9 Problemas con diagrama de flujo e intercambio ______________________________87
10 Problemas dinámicos estrategia medios-fines ______________________________96
V SOLUCIONES POR BÚSQUEDA EXHAUTIVA _____________________________106
Justificación y objetivos de la Unidad _______________________________________106
11 Problemas de tanteo sistemáticos por acotación del error ____________________107
12 Problemas de construcción sistemática de soluciones _______________________113
13 Problemas de búsqueda exhaustiva .Ejercicios de consolidación_______________124

Alfredo Sánchez Amestoy,Ph.D.
Alfredo Sánchez Amestoy, PhD.
Profesor Titular
Universidad Simón Bolívar
Director del centro para desarrollo e
Investigación del Pensamiento
Caracas, Venezuela
Dirección electrónica:
alfredosancheza@hotmail.com
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TOMO III, PARTE 1
Solución de Problemas
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TOMO III PARTE 1
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
© Queda prohibida la reproducción total o
parcial de esta obra por cualquier medio

INFORMACION GENERAL ACERCA DEL CURSO
ORGANIZACIÓN DE LAS LECCIONES
El curso comprende trece lecciones agrupadas en cinco unidades sobre la temática de la
solución de problemas:
 La primera unidad es una introducción a la solución de problemas
 Las cuatro unidades siguientes están dedicadas a estrategias específicas para la
solución de problemas basadas en aplicación de un procedimiento general para
la solución de cualquier problema.
Las unidades están divididas en lecciones y cada una costa de:
Introducción
Cuerpo
Cierre
ENFOQUE Y ESTRATEGIA
¿Cuál es el enfoque?
El enfoque obedece a nuestro lema: aprender haciendo y construyendo; aprender a
aprender, con una visión sistemática, humana e integral de la persona, el aprendizaje y la
vida.
La base operativa de esta concepción del aprendizaje, se sustenta en la metodología de
procesos, el desarrollo de las habilidades del pensamiento, la transferencia de procesos al
aprendizaje, el constructivismo y el aprendizaje significativo.
¿Cuál es la estrategia?
En cuanto a logros: monitorear el aprendizaje y estimular el desarrollo autónomo, para la
conceptualización, el logro de imágenes mentales claras y diferenciadas; aplicar el hábito de
aplicar y extender cada proceso; es decir, se trabaja para alcanzar las competencias
necesarias, para utilizar los procesos espontáneamente, con acierto y efectividad.
El aprendizaje se lograra:
 Mediante la mediación y el monitoreo del docente, para lograr el desarrollo
progresivo de la autonomía del alumno, para aprender continuamente hasta
lograr su independencia intelectual para pensar, optimizar, crear y actuar.
 Mediante la aplicación de los avances de la ciencia cognitiva, el constructivismo,
el enfoque sistemático, la mejora continua, el aprendizaje significativo u el
desarrollo integral y humano.
- ¿Qué conocemos acerca del tema?
- ¿Qué vamos a aprender?
- Construyamos el conocimiento.
- Organizamos el conocimiento proceso o concepto.
- Le damos sentido al conocimiento.
- Aplicamos el conocimiento.
- Extendemos, transferimos y generalizamos el
conocimiento, y reflexionamos sobre su aprendizaje y
aplicación.
- Concientizamos: Reflexionamos sobre lo aprendido, su utilidad
y los valores y actitudes asociados al aprendizaje y a la vida.

 A través de la estimulación adecuada, el aprendizaje gradual y la verificación y
retroalimentación permanentes.
ACTITUDES Y VALORES REQUERIDOS PARA APRENDER A APRENDER
 Reconocer las fortalezas y debilidades que se tienen y aprovecharlas para
generar ideas, aportar soluciones, aprender del entorno y compartir con otros.
 Aceptar sugerencias y orientaciones de docentes y compañeros con interés y
humildad.
 Actuar como gestores críticos y responsables del aprendizaje y del crecimiento
personal.
 Valorar el interés de docentes, familiares y amigos, en beneficio del crecimiento
personal y social.
 Mostrar disposición para reflexionar sobre los logros alcanzados y los beneficios
de aprender y aprender a aprender.
OBJETIVOS GENERALES
A través del desarrollo del pensamiento, el estudiante logara las competencias requeridas
para aprender y aprender a aprender, para actuar como pensador analítico, crítico
constructivo y abierto al cambio, capaz de monitorear su propio desarrollo, entender y
mejorar el entorno personal, familiar, social y ecológico que le rodea. En tal sentido se
precisa:
1) Desarrollar los conocimientos, habilidades, actitudes y valores asociados a los
estilos de pensamiento convergente y divergente y al razonamiento lógico,
crítico y creativo, requeridos para desempeñarte con éxito y satisfacción en tus
ámbitos de competencia académica, familiar, social y ambiental
2) Despertar en los docentes y estudiantes, el interés y la disposición para
monitorear el crecimiento propio y de otros, con una perspectiva sistemática,
futurista, integral, dinámica, crítica, constructiva, humana y perfectible.
3) Valorar el papel que juega el pensamiento como herramienta indispensable,
para facilitar el desarrollo intelectual, social, moral y ético de las personas y para
proyectar su ámbito de influencia hacia sí mismo, la sociedad y el medio.
ESTÁNDARES DE DESEMPEÑO DE LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Se utilizara una escala de 5 niveles, para verificar el avance de los estudiantes en el
desarrollo de las competencias de curso, la cual se describe a continuación:
Nivel Desempeño
1. Tiene noción del concepto, procedimiento o actitud que va a desarrollar.
2. Realiza o demuestra el desempeño esperado, con la mediación del docente.
3. Realiza o demuestra el desempeño esperado, por su propia iniciativa.
4. Realiza o demuestra el desempeño esperado, por su cuenta y es capaz de corregir
sus propios errores.
5. Realiza todo lo anterior y además es capaz de guiar a otros, para tomar una
decisión, introducir modificaciones en su trabajo y crear nuevos escenarios o
productos.
Reconoce el valor y la utilidad de sus aprendizajes

LECCIÓN 1 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS
Veamos algunos ejemplos adicionales. Consideremos los enunciados que siguen y
responde las preguntas.
"¿Cuál es el porcentaje de ganancia de una persona que invierte 5.000 Um (unidades
monetarias) en mercancías y recauda 6.900 Um al venderla, sabiendo que sus gastos de
venta y publicidad son de 800 Um?"
¿Qué información aporta?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
¿Qué interrogante plantea?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
¿A qué conclusión podemos llegar respecto a si es o no un problema?
"La paz es una condición de vida que contribuye a mejorar las relaciones interpersonales."
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
"Las grandes ciudades son urbes superpobladas con gran diversidad de actividades
comerciales y productivas, generalmente con grandes problemas de contaminación.
¿Cuáles son las principales causas de la contaminación ambiental de las grandes
ciudades?"
UNIDAD I: INTRODUCCION A LA SOLUCION DE PROBLEMAS
Definición de problema
Un problema, es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una pregunta
que debe ser respondida.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. María no tomó en cuenta los aspectos requeridos para comprar ese traje.
2. ¿Cuáles son las alternativas que deberían tomarse en cuenta para evitar que una persona
contraiga amibiasis?
3. Debemos conocer las causas que provocan la indisciplina de los estudiantes de la
escuela de la comunidad..
4. La disciplina es producto del ambiente y aw favorece mediante la adopción de normas
que todos estén dispuestos a aceptar y respetar.
5. ¿Qué debemos hacer para evitar que Marlene cometa el mismo error siempre?
6. ¿Cuáles son las causas que dieron origen a la conducta irregular de Juana?
Enunciados que son problemas:
1. Una persona camina de la iglesia 100mts de frente, 50 mts hacia la a la derecha
¿Adistancia esta de la iglesia?
2. Los errores de los seres humanos causan daño al planeta
u
3. áles son las causas de erosión en el suelo?
Planteamiento
¿Es un problema?
Justificación
Si No
1
2
3
4
5
6
Práctica 1: ¿Cuáles de los siguientes planteamientos son problemas y cuáles no? Justifica
tu respuesta; para ello completa la tabla que sigue al listado de planteamientos.
Práctica 2: Plantea tres enunciados que sean problemas y tres que no sean problemas.

Enunciados que no son problemas:
1. El arte es la forma en la que los seres humanos expresan sus emociones
2. Los mayas acabaron su calendario en el 2012
3.
Consideremos ahora los dos problemas que siguen:
1. ¿Cuántos diccionarios marca "YOSE" de 40 Um (unidades monetarias) vendió. María
durante el día si recaudó 800 Um por este concepto?
2. ¿Qué debemos hacer para estimular la participación de la comunidad en la solución
de sus necesidades?
¿Qué semejanza encuentras en estos dos problemas?
Tiene interrogantes a ser solucionadas
¿Qué diferencias presentan ambas situaciones?
Es un problema matemático
Es un problema social
¿Puedes resolver el primer problema? ¿Cuántos diccionarios vendió?
¿Qué ocurre con el segundo problema?
¿A qué tipos de necesidades se refiere el problema? ¿Son las mismas necesidades para
todas las comunidades?
Para un mismo tipo de necesidad, ¿Todas las comunidades deben resolverlo de la misma
manera? ¿Será que la solución depende de los recursos con que cuenta la comunidad?
¿Qué concluyes de la comparación de los dos problemas respecto a la posibilidad de
poderlos resolver directamente?
Hay problemas fáciles de resolver y difíciles de resolver.

Enunciados de problemas estructurados:
1. Se requieren 20 obreros para construir una casa en 5 días ¿Cuántos obreros se necesitaría
para construir la casa en 3 días?
2. Un auto recorre una distancia de 50km/h ¿Cuántas horas se demorara en recorrer 400km?
Enunciados de problemas no estructurados:
1. ¿Cuáles serían las soluciones para reducir el índice de embarazo adolescente?
2. ué debemos hacer para que la gente esté de acuerdo con la construcción de la cárcel de
Turi?
Práctica 3: Plantea dos problemas estructurados y dos problemas no estructurados.
Las variables y la información de un problema
Los datos de un problema, cualquiera que este sea, se expresan en términos de variables,
de los valores de estas o de características de los objetos o situaciones involucradas en el
enunciado. Podemos afirmar que los datos siempre provienen de variables. Vale recordar
que una variable es una magnitud que puede tomar valores cualitativos o cuantitativos.
Práctica 4: Completa la siguiente tabla en la cual se pide que des algunos valores posibles
de la variable a la izquierda y que identifiques el tipo de variable.

a. Un jardinero trabaja solamente los días hábiles de la semana y cobra 250Um por cada
día.
¿Cuántos días debe de trabajar la persona para ganar 1.000 Um a la semana?
Variable Días laborables
Variable Sin labor
Valores 4 días
Valores 3dias
b. Un terreno mide 6.000 m2 y se desea dividir en 2 parcelas, cuyas dimensiones sean
proporcionales a la relación 3:5.
Variable Área
Variable Numero de parcelas
Valores 6.000 m2
Valores 2
c. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20 cm3, y el mismo aumenta
progresivamente, duplicándose cada 3 horas. ¿Qué volumen ocupará al cabo de 15 horas?
Variable Volumen inicial
Variable Volumen final
Valores 20 cm3
Valores 340 cm3
d. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20 cm3, y el mismo aumenta
progresivamente, incrementándose 10 cm3 cada dos horas. ¿Qué volumen ocupará al cabo
de 16 horas?
Variable Volumen inicial
Variable Volumen final
Valores 20 cm3
Valores 100 cm3
e. María, Josefina, Patricia y Carmen son cuatro hermanas. Patricia es de menor estatura
que María, pero más alta que Carmen. La estatura de Josefina excede la de María en 5 cm.
¿Cuál hermana es la de menor estatura?
Variable Numero de hermanos Valores 4
Variable Menor hermana Valores Carmen
Práctica 5: En cada una de las siguientes situaciones identifica las variables e indica los
valores que puede asumir.

¿Qué es un problema?
Un problema es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una pregunta que debe ser
respondida
¿Cómo podemos clasificar los problemas, tomando en cuenta la información que nos dan?
Estructurados
No estructurados
¿Qué diferencias existen entre los dos tipos de problemas mencionados en clase?
En los estructurados tiene toda la información necesaria para resolver el problema así como
matemáticas, etc.
En los no estructurados se necesita de una investigación para poder resolver es decir no tiene toda la
información el problema
¿Qué papel juegan las variables en el análisis y la solución de un problema?
Para identificar las características del problema
¿Qué utilidad tiene lo aprendido en la lección?
Ayuda a revisar problemas

LECCIÓN 2 PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Presentación del proceso
Consideremos el siguiente ejercicio:
Lo primero que debemos hacer es leer todo el enunciado. Nos preguntamos:
¿Tiene información? _____________________
¿Tiene una interrogante que debemos responder? _______________
Ya que ambas respuestas son afirmativas, podemos concluir que es un problema
¿De qué trata el problema?
_________________________________________
Variable: Cantidad de dinero inicial Característica: Desconocida
Variable: Primera compra Característica: Pantalón
Variable: Costo de la primera compra Característica: 50% del dinero inicial
Variable: Segunda compra Característica: Camisa
Variable: Costo de la segunda compra Característica: 300 Um
Variable: Dinero después de las compras Característica: 200 Um
Variable: Destino del remanente Característica: Pagar invitación a
comer
En tercer lugar debemos analizar las relaciones que podemos plantear y las operaciones que
podemos realizar. Esto es pensar en una estrategia para resolver el problema. ¿Qué relación
podemos establecer entre el costo del pantalón y el dinero inicial?
A partir de la tercera variable de la lista podemos decir:
1. "El pantalón le costó la mitad del dinero inicial (50%) o, lo que es lo mismo, que el dinero
inicial es el doble del costo del pantalón."
Otra relación que podemos establecer es:
2. "Después de comprar el pantalón le quedó una cantidad de dinero igual a la mitad del
dinero inicial."
Una tercera relación a partir de la quinta y sexta variable sería:
Ejercicio 1: Miguel necesitaba ropa y fue al Centro Comercial, para lo cual saco cierta
cantidad de dinero de su alcancía. Vio unos bonitos pantalones y gasto el 50% de los que
llevaba para adquirirlos, luego compro una camisa que le costó 300Um. Si al final le
quedaron 200 Um. Que gasto para invitar a unos amigos a comer. ¿Cuánto dinero saco de
su alcancía?

3. "Con el dinero sobrante después de comprar el pantalón se compró una camisa de
300Urn y le quedaron 200 Um que gasto en la comida."
Estas relaciones las podemos visualizar de la siguiente manera:
El cuarto paso es usar la relaciones y operaciones planteadas (usar la estrategia de solución
que hemos planteado) para resolver el problema. Veamos cómo queda esto:
De la segunda y tercera relaciones podemos sacar que:
La mitad del dinero inicial es igual a la suma de 300 Um y 200 Um, que son 500 Um
Luego, con la primera o segunda relaciones podemos plantear la siguiente operación:
La cantidad de dinero inicial es el doble de la cantidad que quedó después de comprar el
pantalón, La cual es de 500 Um. Por lo tanto, la cantidad de dinero inicial es de 1.000 Um.
El quinto paso es formular la respuesta:
La cantidad de dinero que sacó de la alcancía fue 1.000 Um.
¿Crees qué es importante tener un procedimiento para la solución de cualquier problema? ¿Por
qué?
________________________________________________________________________
¿Qué beneficio crees tiene aplicar este procedimiento?
________________________________________________________________________
Práctica del proceso
Es importante recordar que estas prácticas presentan problemas sencillos para resolver, pero
que lo importante es seguir el procedimiento. Si lo seguimos de manera deliberada y en forma
sistemática, vamos a alcanzar la automatización del proceso, y por consecuencia, el desarrollo
de la habilidad asociada al procedimiento o estrategia de resolución de problemas.
Practica 1: Luisa gasto 500 Um. En libros y 100 Um. En cuadernos. Si tenía disponibles
800 Um. Para gastos de materiales educativos, ¿Cuánto dinero le queda para el resto de
los útiles escolares?

1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?
________________________________________________________________________
2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.
Cantidad de dinero inicial ________________________
Primer artículo comprado: ________________________
Gastos de compra: ________________________
Segundo artículo comprado: ________________________
Gastos de la segunda compra: ________________________
Cantidad sobrante: ________________________
3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los
datos y de la interrogante del problema.
4) Aplica la estrategia de solución del problema
5) Formula la respuesta del problema.
6) ¿Cuál es el paso final en todos los procedimientos? Verificar el procedimiento .y el producto.
¿Seguiste todos los pasos en el orden del procedimiento? ¿Verificaste si los datos eran los
correctos o que no confundiste o intercambiaste algún número?
¿Las operaciones matemáticas están correctas?
________________________________________________
________________________________________________________________________
Cantidad de libros comprados: ________________________
Precio de cada libro: ________________________
Practica 2: María compro 50 libros y pago 100 Um. Por cada uno. La editorial le hizo un
rebaja de un 20% sobre el precio de lista de cada libro. Se pregunta:
¿Cuánto es el precio de lista?
¿Cuánto pago María por los 50 libros?
¿Cuánto gana el vendedor si logra colocar todos los libros al precio de lista?

Descuento sobre el precio de lista: ________________________
Precio de lista: ________________________
Cantidad pagado por María: ________________________
Ganancia del vendedor: ________________________
4) Aplica la estrategia de solución del problema,
5)Formula la respuesta del problema.
____________________________________________________________________________
6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el resultado?
________________________________________________
________________________________________________
Cantidad de beneficios de la herencia: ________________________
Cantidad de la herencia: ________________________
N° de divisiones de la herencia: ________________________
Parte que le corresponde a la madre: ________________________
Número de hijos: ________________________
Cantidad que recibe cada persona: ________________________
Practica 3: María, Luis y Ana son hijos de Lucia y José. José al morir deja una herencia
que alcanza a 400 mil Um., la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue:
el dinero se divide en dos partes,
½
para la madre y el resto para repartirse en partes
iguales entre los tres hijos y la madre. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona?

¿Podrías representar el reparto del dinero de la
Herencia en el gráfico que se da a la derecha?
______________________________________________________________________
¿En qué se diferencia este problema del anterior?
________________________________________________________
Numero de beneficios: ________________________
Total de la herencia: ________________________
N° de particiones de herencia: ________________________
Parte de la herencia que le corresponde a la madre: ________________________
Practica 4: María, Luis y Ana son hijos de Lucia y José. José al morir deja una herencia
que alcanza a 400mil Um., la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el
dinero se divide en dos partes ½ para la madre y el resto para repartirse entre los tres
hijos y la madre, con la condición que la hija menor, María, reciba el doble que los demás
en esta parte. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona?

N° de hijos: ________________________
Parte que le corresponde a la hija menor: ________________________
Cantidad que recibe cada persona: ________________________
Valor de la parte de María: ________________________
datos y de la interrogante del problema. Trata de usar una representación gráfica como la usada
en el problema anterior.
____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

LECCIÓN 3 PROBLEMAS DE RELACIONES DE PARTE-TODO Y FAMILIARES
Presentación y práctica del proceso
Ejecutando los pasos de ese procedimiento garantizamos: primero, una comprensión profunda
del problema; segundo, generamos las ideas y buscamos las relaciones, operaciones y
estrategias particulares para resolver la incógnita que se nos plantea en el problema; y tercero,
la corrección de eventuales errores mediante la verificación del procedimiento y del producto del
proceso.
1) Lee todo el enunciado ¿De qué trata el problema?
__________________________________________
2) ¿Cuál es la incógnita del problema?
Reflexión
En esta lección aprendimos que la solución de los problemas debe hacerse siguiendo un
procedimiento, sin importar el tipo o naturaleza del problema. Ahora, la clave para resolver el
problema está en el paso tres donde debemos plantear relaciones, operaciones y estrategias
para tratar de responder lo que se nos pregunta.
En las próximas unidades vamos a conocer varios tipos de problema, y vamos a practicar
ese planteamiento de relaciones, operaciones y estrategias concretas para cada tipo de
problemas.
UNIDAD II: PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE
Ejercicio 1. . Con una balanza de 2 platillos y sólo 3 pesas de 1, 3, y 9 kilos respectivamente,
podrás pesar objetos cuyos pesos sean cantidades exactas entre 1 kilo hasta 13 kilos. Se trata de
identificar la pesa o grupo de pesas de las disponibles que podrían colocarse en uno o los dos
platillos para lograr un determinado equilibrio colocando el objeto en el platillo B.
Se pueden combinar las pesas como se desee. ¿Cómo se combinarían las pesas para colocarlas -
todas o algunas de ellas- en ambos platillos para pesar 2, 5, 7, 10 y 11 kilos?

3) ¿Qué relaciones o estrategias puedo derivar del enunciado del problema?,
Primera, que tenemos una balanza de platillo que se equilibra cuando ambos
platillos tiene el mismo peso.
Segunda, que cuento con 4 pesas con los valores de 1 Kg, 3Kg y 9Kg.
Tercera, que el objeto se coloca en el platillo B.
Cuarta, que tengo total libertad de colocar una o varias pesas en uno u otro platillo
para lograr el equilibrio con el objeto.
Y quinta, que el peso del objeto puede calcularse conociendo el peso total del platillo.
4) ¿Cómo podemos pesar?
Si colocamos en el platillo B objetos de 1Kg, 3Kg y 9Kg podemos equilibrado colocando en el
platillo A la pesa correspondiente al peso del objeto.
Si colocamos un objeto de 4Kg en el platillo A, ¿Cómo podemos equilibrarlo?
________________________________________________________________________
No podemos hacerlo con una sola pesa, pero si podemos hacerlo colocando en el platillo A las
pesas de 1 Kg y 3Kg juntas. De esta manera podemos pesar objetos cuyo peso sea igual a la
suma de los pesos de dos pesas. De esta manera podemos pesar objetos de 4Kg, 10Kg 12Kg.
Y si colocamos las tres pesas en el mismo platillo podemos equilibrar objetos de 13Kg.
Ya hemos completado formas de pesar objetos de 1, 3, 4, 9, 10, 12 y 13 Kg.
¿Pero cómo podemos hacer para pesar un objeto de 2Kg?
Cantidad de kg a pesar Platillo B Platillo A
1 Objeto Pesa 1kg
2 Objeto + pesa 1 kg Pesa 3kg
3 Objeto Pesa 3kg
4 Objeto Pesas 3kg y 1kg
5 Objeto + pesas 3 kg y 1kg Pesa 9 kg
6 Objeto + pesa 3 kg Pesa 9kg
7 Objeto + pesa 3 kg Pesas 9kg y 1kg
8 Objeto + pesa 1kg Pesa 9kg
9 Objeto Pesa 9kg
11 Objeto + pesa 1 kg Pesas 9kg y 3kg
13 objeto Pesas 9kg, 3kg y 1kg
5) Para formular la respuesta a la interrogante de cómo se combinan las pesas para pesar 2,
5,7, 10 y 11Kg, solamente tenemos que identificar en la tabla anterior la distribución de pesas
en cada uno de los platillos. Por ejemplo, para pesar un objeto de 2Kg. Lo colocamos en el
platillo B junto con la pesa de 1Kg, y en el platillo A colocamos la pesa de 3Kg. De la misma
manera procedemos para las demás cantidades.
6) Por último verificamos cada paso y los resultados de las operaciones.

¿Qué hacemos en primer lugar?
¿Qué datos se dan?
¿De qué variable estamos hablando?
____________________________________________________________________________
¿Qué se dice acerca del precio de venta del objeto?
¿Qué se pide?
Representación del enunciado del problema:
¿Qué se extrae de este diagrama?
________________________________________________________________________
¿Qué se concluye?
________________________________________________
¿Cuánto es el valor del objeto?
________________________________________________
¿Cómo se describe el lagarto?
¿Qué datos da el enunciado del problema?
Cabeza = ________________________
Cola= ________________________
Problemas sobre relaciones parte-todo
En este tipo de problema unimos un conjunto de partes conocidas para formar diferentes cantidades y
para generar ciertos equilibrios entre las partes. Son problemas donde se relacionan partes para
formar una totalidad deseada, por esos se denominan "problemas sobre relaciones parte-todo".
Práctica 1. El .precio de venta de un objeto es 700 Um. Este precio resulta de sumar su
valor inicial, una ganancia igual a la mitad de su valor y unos gastos de manejo de 25% de
su valor. ¿Cuánto es el valor inicial del objeto?
Práctica 2. La medida de las tres secciones de un lagarto —cabeza, tronco y cola- son las
siguientes: la cabeza mide 9 centímetros, la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del
tronco, y el tronco mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola. ¿Cuántos centímetros
mide en total el lagarto?

Tronco= ________________________
¿Qué significa que la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del cuerpo?
Escribe esto en palabras y símbolos:
________________________________________________
¿Y qué se dice del cuerpo?
________________________________________________________________________
Vamos a escribir o a representar estos datos en palabras y símbolos:
Medida del tronco = Medida cabeza + medida cola
Medida del tronco = 9 cm + medida de la cola
Si colocamos lo que mide la cola obtenemos:
Medida del tronco = 9 cm + 9 cm + mitad de la medida del cuerpo
Medida del tronco = 18 cm + mitad de la medida del cuerpo
Esto lo podemos representar en un esquema para visualizar las relaciones:
Medida del tronco
Medida de medio tronco 18cm
¿Qué observamos en el esquema? ¿Cuánto mide el tronco en total?
________________________________________________________________________
Entonces, ¿Cuánto mide en total el lagarto? Para contestar esto completa el esquema que
sigue.
Cola Tronco Cabeza
¿Qué estrategias particulares utilizamos para comprender y resolver el problema?
 Identificamos en el dibujo las partes del lagarto y las medidas respectivas
 Representemos las cantidades en el esquema
Veamos otro problema de relación entre las partes y el todo.

¿Qué debemos hacer para resolver el problema?
¿Qué se pregunta?
________________________________________________
¿Qué observan en los datos? ¿Cuál es el todo y cuáles son las partes?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
¿Cómo podemos representar estos datos?
¿Cómo lo expresamos en palabras?
________________________________________________________________________
¿Qué relación existe entre el peso del hombre y la totalidad de la carga?
________________________________________________________________________
¿Cómo calculamos el peso del hombre?
¿Cuánto pesa el hombre?
________________________
¿Qué debemos hacer una vez que conocemos el resultado?
Práctica 3. Un hombre lleva sobre sus hombros un niño que pesa la mitad que él; el niño,
al mismo tiempo, lleva un perrito que pesa la mitad que él, y el perrito lleva accesorios que
pesan la mitad que él. Si el hombre con su carga pesa 120 kilos, ¿Cuánto pesa el hombre
sin carga alguna?
Problemas sobre relaciones familiares
En esta parte de la lección se presenta un tipo particular de relación referido a nexos de
parentesco entre los diferentes componentes de la familia.
Las relaciones familiares, por sus diferentes niveles, constituyen un medio útil para
desarrollar habilidades de pensamiento de alto nivel de abstracción y es esta la razón por la
cual se incluye un tema en la lección que nos ocupa.

¿Qué se plantea en el problema?
________________________________________________
¿Qué personajes figuran en el problema?
________________________________________________________________________
¿Qué relaciones podemos establecer entre estos personajes?
________________________________________________
________________________________________________
Completa las relaciones en la representación. La de suegra – yerno ya está indicada.
¿Que se observa en el diagrama con respecto a María y el señor del retrato? ¿ Que tienen en
común?
________________________________________________
¿Qué relación existe entonces entre ambas personas?
Respuesta del problema:
________________________________________________
¿Qué hicimos en este ejercicio?
Práctica 4. María muestra el retrato de un señor y dice:
"La madre de ese señor es la suegra de mi esposo."
¿Qué parentesco existe entre María y el señor del retrato?

¿Qué tipo de estrategia utilizamos?
________________________________________________
________________________________________________
¿A qué personajes se refiere el problema?
________________________________________________
¿Qué afirma la dama?
________________________________________________
¿Qué significa ser hija única?
________________________
Representación:
Respuesta:
Ella es la madre del joven
________________________________________________
Pregunta:
Representación:
Práctica 5. Un joven llego de visita a la casa de una dama; un vecino de la dama le
preguntó quién era el visitante y ella le contestó:
"La madre de ese joven es la hija única de mi madre."
¿Qué relación existe entre la dama y el joven?
Práctica 6. Un hombre dice, señalando a otro:
"No tengo hermanos ni hermanas, pero el padre de ese hombre es hijo de mi padre”
¿Qué parentesco hay entre "ese hombre" y el que habla?

Respuesta:
________________________
________________________
Pregunta:
________________________
Representación:
Respuesta:
________________________
Pregunta
________________________________________________
Representación:
Respuesta: ________________________
Práctica 7. Luis dice: "Hoy visité a la suegra de la mujer de mi hermano".
¿A quien visitó Luis?
Práctica 8. Antonio dice: "El padre del sobrino de mi tío es mi padre".
¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?

LECCIÓN 4 PROBLEMAS SOBRE RELACIONES DE ORDEN
¿Qué debemos hacer en primer lugar?
________________________
¿A qué aspecto o variable se refiere el problema?
________________________
¿Qué tipo de variable es?
________________________
¿En qué forma se expresa la información relativa a las estaturas?
________________________________________________
¿Qué utilidad tiene esta estrategia?
_____________________________________
¿Qué papel juega la variable en estos problemas?
_____________________________________
¿En qué casos se puede usar esta estrategia?
_____________________________________
Ejercicio 1. José es más bajo que Patricio, pero más alto que Manuel. Manuel a la vez es
más bajo que José, pero más alto que Rodrigo. ¿Quién es más alto y quién le sigue en
estatura?
Representación en una dimensión
La estrategia utilizada se denomina "Representación en una dimensión" y como ustedes
observaron permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto.
Reflexión
Los problemas de esta lección involucran relaciones de orden. Dichos problemas se refieren a
una sola variable o aspecto, el cual generalmente toma valores relativos, o sea que se refieren a
comparaciones y relaciones con otros valores de la misma variable; por ejemplo cuando decirnos
"Juan es más alto que Antonio" nos estamos refiriendo a la variable o aspecto estatura y estamos
dando la estatura de Juan, pero con relación a la estatura de
Antonio; no sabemos cuánto mide Juan ni cuánto mide Antonio.
Práctica 1. En el trayecto que recorren Mercedes, Julio, Paula y José al trabajo, Mercedes
camina más que Julio. Paula camina más que José, pero menos que Julio. ¿Quién vive más
lejos y quién vive más cerca?

Variable: _____________________________________
Pregunta: _____________________________________
Representación:
Respuesta:
Lejos= _____________________________________
Cerca= _____________________________________
Variable: _____________________________________
Pregunta: _____________________________________
Representación:
Respuesta:
_____________________________________
Variable: _____________________________________
Pregunta: _____________________________________
Práctica 2. Juana, Rafaela, Carlota y María fueron de compras al mercado. Carlota gastó
menos que Rafaela, pero más que María. Juana gastó más que Carlota pero menos que
Rafaela. ¿Quién gastó más y quién gastó menos?
Práctica 3. Luisa tiene más dinero que Antonia pero menos que José. Pedro es más rico
que Luisa y menos que José. ¿Quién es el más rico y quién posee menos dinero?

Representación:
Respuesta:
Más rico= _____________________________________
Menos rico = _____________________________________
Variable: _____________________________________
Representación:
Respuesta:
Más difícil= _____________________________________
Menos difícil = _____________________________________
Variable: _____________________________________
Representación:
Respuesta:
Más triste = _____________________________________
Estrategia de postergación
Esta estrategia adicional llamada de "postergación" consiste en dejar para más tarde aquellos
datos que parezcan incompletos, hasta tanto se presente otro dato que complemente la
información y nos permita procesarlos.
Práctica 4. Mercedes está estudiando idiomas y considera que el ruso es más difícil que el
alemán. Piensa además que el italiano es más fácil que el francés y que el alemán es más
difícil que el francés. ¿Cuál es el idioma que es menos difícil para Mercedes y cuál considera el
más difícil?
Práctica 5. Roberto y Alfredo están más tristes que Tomás, mientras que Alberto está menos
triste que Roberto, pero más triste que Alfredo. ¿Quién está menos triste?

Menos triste = _____________________________________
¿A qué variable se refiere el problema?
_____________________________________
¿Que se dice acerca de la variable?
_____________________________________
¿Qué palabras lucen confusas en el enunciado?
_____________________________________
Representación:
Respuesta:
Peor desempeño = _____________________________________
Quien le sigue = _____________________________________
Casos especiales de la representación en una dimensión
Finalmente, hay un último elemento, relacionado con el lenguaje, el cual puede
Hacer parecer confuso un problema debido al uso cotidiano de ciertos vocablos o a la
redacción del mismo. En este caso se hace necesario prestar atención especial a la
variable, a los signos de puntuación y al uso de ciertas palabras presentes en el enunciado.
Práctica 6. Pedro y Ramiro son mejores que Suárez en sus habilidades para golear. La
destreza como goleador de García puede deducirse del número acumulativo de goles que
lleva durante el año, el cual es inferior al de otros miembros del equipo como Pedro que
duplica dicho número. García supera a su compañero de equipo Ramiro. ¿Quién tiene el
peor desempeño como goleador? ¿Quién le sigue en tan pobre actuación?

Variable: _____________________________________
Pregunta: _____________________________________
Representación:
Respuesta:
Más joven= _____________________________________
Más viejo = _____________________________________
¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de esta práctica?
_____________________________________
¿Qué diferencia hay si resolvemos la práctica usando como variable la "edad" o el "año de
nacimiento"?
_____________________________________
Variable: _____________________________________
Pregunta: _____________________________________
Representación:
Práctica 7. Juan nació 2 años después de Pedro. Raúl es 3 años mayor que Juan.
Francisco es 6 años menor que Raúl. Alberto nació 5 meses después que Francisco.
¿Quién es el más joven y quién es el más viejo?
Práctica 8. Daría nació 15 años después que Patricio. Said triplica la edad de Patricio.
Dinorah, aunque le lleva muchos años de diferencia a Daría, nació después que Patricio.
Alfredo, tío de Daría, es menos viejo que Said, pero mucho menos joven que Patricio.
¿Cuál de los cinco es el mayor y cuál es el menor?

Respuesta:
Más viejo= _____________________________________
Más joven = _____________________________________
¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de esta práctica?
_____________________________________
Precisiones acerca de las tablas
En este tipo de problemas existe una variable sobre la cual se centra el mismo. Es siempre una
variable cuantitativa que sirve para plantear las relaciones de orden que vinculan dos personas,
objetos o situaciones de los incluidos en el problema. Por ejemplo, en el Ejercicio 1 de esta
lección la variable era "estatura" y José, Patricio, Manuel y Rodrigo eran los sujetos incluidos en
el problema. José, Patricio, Manuel y Rodrigo son valores de otra variable llamada "nombre". La
variable estatura "depende" de cual valor de la variable nombre he seleccionado. Por tal razón
llamamos a la variable "estatura" variable dependiente. Y por complemento, a la variable
"nombre" la llamamos variable independiente.
En cierto sentido la variable "nombre" queda fija al seleccionar los personajes del problema.
En cambio, la variable estatura depende de cual joven estamos considerando.
La pregunta o incógnita del problema se formula alrededor de la variable dependiente, por
ejemplo, en este caso la pregunta es "¿Quién es el más alto?" la cual se refiere directamente a la
variable estatura.

LECCIÓN 5 PROBLEMAS DE TABLAS NUMÉRICAS
Si Rita tiene 5 objetos y 3 son discos de música, entonces tiene 2 películas. Si Elsa tiene 8
objetos y 3 son películas, entonces tiene 5 discos de música. Si Rita y Elsa tienen 2 y 3
películas respectivamente, y el total de películas es de 6, entonces Pedro debe tener 1 película.
Haciendo esto para todas las celdas, completamos todas las celdas del recuadro, y queda como
sigue:
Ahora podemos contestar las preguntas inspeccionando el recuadro. Elsa tiene 5 discos de
música y Pedro tiene 1 película. Antes de concluir, verificamos que hemos vaciado
correctamente los datos, que las operaciones han sido correctamente realizadas y que la
inspección es la que corresponde.
Nombre
Tipo obj.
Rita Elsa Pedro Total
Discos de
música
3 5 6 14
Películas 2 3 1 6
Total 5 8 7 20
UNIDAD III: PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS
VARIABLES
Ejercicio 1. Rita, Elsa y Pedro tienen un club para compartir discos de música y películas.
Entre los tres tienen 20 objetos, de los cuales 14 son discos de música y 6 películas. Rita
tiene 3 discos de música y Elsa tiene el mismo número de películas. Elsa tiene en total
tres objetos más que Rita. ¿Cuántos objetos tipo discos de música tiene Elsa, y cuántos
objetos tipo películas tiene Pedro si Rita tiene 5 objetos en total?
Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas numéricas
Esta es la estrategia aplicada en problemas cuya variable central cuantitativa depende de
dos variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una representación gráfica
o tabular llamada "tabla numérica".

_____________________________________
¿Cuál es la pregunta?
_____________________________________
¿Cuál es la variable dependiente?
_____________________________________
¿Cuáles son las variables independientes?
_____________________________________
Representación:
Respuesta: _____________________________________
Nombre
Idiomas
Elena María Susana Total
Francés
Italiano
Alemán
Total
Práctica 1. Elena, María y Susana estudian tres idiomas (francés, italiano y alemán), y entre
las tres tienen 16 libros de consulta. De los cuatro libros de Elena, la mitad son de francés y
uno es de italiano. María tiene la misma cantidad de libros de Elena, pero solo tiene la mitad
de los libros de francés y la misma cantidad de libros de italiano que Elena. Susana tiene
tres libros de alemán, pero en cambio tiene tantos libros de italiano como libros de alemán
tiene María. ¿Cuántos libros de francés tiene Susana y cuántos libros de cada idioma tienen
entre todas?
Práctica 2. Tres muchachas Nelly, Estela y Alicia tienen en conjunto 30 prendas de vestir de
las cuales 15 son blusas y el resto son faldas y pantalones. Nelly tiene tres blusas y tres
faldas, Alicia que tiene 8 prendas de vestir tiene 4 blusas. El número de pantalones de Nelly
es igual al de blusas que tiene Alicia. Estela tiene tantos pantalones como blusas tiene Nelly.
La cantidad de pantalones que posee Alicia es la misma que la de blusas de Nelly ¿Cuántas
faldas tiene Estela?

_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Representación:
Respuesta: _____________________________________
Nombre
Prendas
Nelly Estela Alicia Total
Blusas
Faldas
Pantalones
Total
Las tablas numéricas
Las tablas numéricas son representaciones gráficas que nos permiten visualizar una variable
cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. Una consecuencia de que la
representación sea de una variable cuantitativa es que se pueden hacer totalizaciones
(Sumas) de columnas y filas. Este hecho enriquece considerablemente el problema porque
abre la posibilidad de generar, adicionalmente, representaciones de una dimensión entre
cualquiera de las dos variables cualitativas y la variable cuantitativa. También a deducir
valores faltantes usando operaciones aritméticas.

_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Representación:
Respuesta: Clara tiene 1 pulsera y Belinda 5. En total ambas tienen 6 pulseras.
Vamos a continuar nuestra práctica incluyendo problemas donde se presentan celdas a las que
no les corresponden elementos, por lo tanto, deben ser llenadas con el valor numérico cero.
Nombre
Accesorios
Clara Isabel Belinda Total
Pulseras
Anillos
Total
Práctica 3. Las hijas del señor González, Clara, Isabel y Belinda tienen 9 pulseras y 6
anillos, es decir, un total de 15 accesorios personales. Clara tiene 3 anillos. Isabel tiene
tantas pulseras como anillos tiene Clara y, en total, tiene un accesorio más que Clara, que
tiene 4. ¿Cuántas pulseras tienen Clara y Belinda?
Tablas numéricas con ceros
En algunos casos ocurre que para algunas celdas no se tienen elementos asignados. Por
ejemplo, si hablamos de hijas e hijos en varios matrimonios, y decimos que Yolanda es la
hija única del matrimonio Pérez, eso no significa que la celda de hijos correspondiente al
matrimonio Pérez está vacía o le falta información, lo que significa es que a esa celda le
corresponde el valor numérico "0" cero, porque al ser Yolanda hija única significa que los
Pérez tienen solo una hija, y es hembra. A veces confundimos erróneamente la ausencia de
elementos en una celda con una falta de información; si hay ausencia de elementos,
entonces la información es que son cero elementos.

_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Representación:
Respuesta: _____________________________________
_____________________________________
Nombre
Género
Pérez Gómez García Total
Varones
Mujeres
Total
Práctica 4. Tres matrimonios, de apellidos Pérez, Gómez, y García, tienen en total 10 hijos.
Yolanda, que es hija de los Pérez, tiene sólo una hermana y no tiene hermanos. Los Gómez
tienen un hijo varón y un par de hijas. Con la excepción de María, todos los otros hijos del
matrimonio García son varones. ¿Cuántos hijos varones tienen los García?
Práctica 5. En las casas de María, Juana y Paula hay un total de 16 animales domésticos,
entre los cuales hay 3 perros, doble número de gatos, y además canarios y loros. En la casa
de Juana aborrecen a los perros y a los loros, pero tienen 4 gatos y 2 canarios (con mucho
miedo). En la de Paula sólo hay un perro y otros 2 animales, ambos gatos. En la de María
tienen 3 canarios y algunos otros animales. ¿Qué otros animales y cuántos de cada tipo hay
en la casa de María?

_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Representación:
Respuesta: _____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Nombre
Animales
María Juana Paula Total
Perros
Gatos
Canario
Loros
Total
Práctica 6. Jorge Romero metió 6 goles durante la temporada de fútbol de 2006 y 6 en la del
2009. En 2007 y 2008 no le fue tan bien, de modo que durante los 4 años (2006 a 2009)
metió un total de 15 goles. Pedro Vidal metió 14 goles en 2007 y la mitad en 2009. Su total
para los 4 años fue de 21 goles. Enrique Pérez metió tantos goles en 2008 como Vidal metió
en los 4 años, pero en las otras temporadas no le fue mejor que a Pedro en 2006. Entre los
tres en 2008 metieron 22 goles. ¿Cuántos goles metieron entre los tres en 2007?

_____________________________________
Representación:
Respuesta: _____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
Representación:
Nombre
Períodos
Jorge
Romero
Pedro
Vidal
Enrique
Pérez
Total
2006
2007
2008
2009
Total
Nombre
Mascotas
Milton Mortus Nartis Total
Sapos
Arañas
Murciélago
Total
Práctica 7. Milton, Mortus y Nartis tienen en total 20 mascotas. Milton tiene tres sapos y la
misma cantidad de arañas que de murciélagos. Mortus tiene tantas arañas como Milton
sapos y murciélagos. Nartis tiene 5 mascotas, una es murciélago y tiene la misma cantidad
de sapos que Mortus, que es el mismo número de murciélagos que Milton. Si Milton tiene 7
mascotas, ¿Cuántas y qué clase de mascotas tiene cada uno?

Respuesta: _____________________________________
¿Cómo denominar una tabla?
Una de las variables independientes es desplegada en los encabezados de las columnas,
mientras que la otra variable es desplegada como inicio de las filas. Y la variable
dependiente es desarrollada en las celdas de la región reticular definida por el cruce de
columnas y filas. Por esta razón se habla que las tablas tienen dos entradas, una por las
columnas y otra por las filas.
En título de una tabla está determinado por la variable dependiente que se visualiza, y se
complementa con las variables independientes que caracterizan los valores del cuerpo de la
tabla. Así, la tabla de la práctica 1 de esta lección se denomina de la siguiente manera:
"Número de libros en función de dueño e idioma"

LECCIÓN 6 PROBLEMAS DE TABLAS LÓGICAS
Iniciemos el trabajo de esta lección con un ejercicio.
Leer todo el problema.
De encontrar las profesiones de tres damas.
¿Qué variables están presentes?
Hay dos variables cualitativas: Nombres de damas (Delia, Ana y Lea) y Profesiones (arquitecta,
abogada y médica).
¿Qué otras informaciones están expresadas en el enunciado?
 Cada una de las damas tiene una de esas tres profesiones que son diferentes entre sí.
 Nos relatan dos hechos que aportan información sobre las profesiones de las damas.
¿Qué se pregunta en el problema?
Las profesiones de las tres damas.
.
Nombre
Delia An Lea
Arquitecta Falso Falso Verdadero
Abogada Verdadero Falso Falso
Médica Falso Verdadero Falso
Ejercicio 1. Las profesiones de Delia, Ana y Lea son diferentes. Ellas son arquitecta,
abogada y médica, aunque no necesariamente en ese orden. Ana contrató la arquitecta para
que le diseñara su casa. Lea le dijo a la abogada que se iba a reunir con Ana el día
siguiente. ¿Cuáles son las profesiones de Delia, Ana y Lea?
Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas lógicas
Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen dos variables cualitativas
sobre las cuales puede definirse una variable lógica con base a la veracidad o falsedad de
relaciones entre las variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una
representación tabular llamada “tabla lógica".

a)
b)
c)
d)
Nombre
País
Pedro Luis Carlos Raúl
México V
Venezuela V
Ecuador
Chile V
Nombre
País
México X
Venezuela V
Ecuador X
Chile X X
Nombre
País
México X X X
Venezuela X X
Ecuador X
Chile
Nombre
País
Pedro Luis Carlos
México
Venezuela X
Ecuador V
Práctica 1. Suponiendo que se aplica la característica de la exclusión mutua en ambas
variables, completa las siguientes tablas lógicas.
Práctica 2: Leonel, Justo y Raúl juegan en el equipo de fútbol del Club. Uno juega de
portero, otro de centro campista y el otro de delantero. Se sabe que: Leonel y el portero
festejaron el cumpleaños de Raúl. Leonel no es el centro campista. ¿Qué posición juega
cada uno de los muchachos?

__________________________________
__________________________________
__________________________________
¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?
__________________________________
Representación:
Respuesta: __________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
Representación:
Nombre
Posición
Leonel Justo Raúl
Portero
Centro
campista
Delantero
Nombre
Alimentos
José Justo Jairo
Magdalenas
Tostadas
Galletas
Práctica 3: José, Justo y Jairo desayunaron con comidas diferentes. Cada uno consumió
uno de los siguientes alimentos: magdalenas, tostadas y galletas. José no comió ni
magdalenas ni galletas. Justo no comió magdalenas. ¿Quién comió galletas y qué comió
Jairo?

Respuesta: __________________________________
____________________________________________________________
___________________________________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
Representación:
Nombre
Color de blusa
Blanca Rosa Violeta
Violeta
Rosa
Blanca
Práctica 4: Tres niñas una de ellas con una blusa violeta, otra con una blusa rosa, y la
tercera con una blusa blanca, hablan con la maestra. La niña con la blusa violeta le dice:
"Nos llamamos Blanca, Rosa, y Violeta". A continuación, otra de las tres niñas le dice: "Yo
me llamo Blanca. Como puede usted ver, nuestros nombres son los mismos que los colores
de nuestras blusas, pero ninguna de nosotras usa blusas del color de nuestro nombre". La
maestra sonríe y dice: "Pero ahora ya se, como os llamáis". ¿Qué color de blusa usa cada
una de las niñas?

Respuesta: __________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
¿Cuál puede ser la relación lógica para construir la tabla?
__________________________________
Representación:
Animal
Nombre
Canario Loro Gato Perro
Policía
Rampal
Perico
Félix
Rin- Tin-Tin
Reflexión
La estrategia de tablas lógicas es de gran utilidad para resolver tanto acertijos como
problemas de la vida real. Al ponerlo en práctica debemos ser muy cuidadosos en cuatro
cosas:
1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos o informaciones.
2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hasta que
tengamos suficiente información para vaciarla en la tabla.
3. Conectar los hechos o informaciones que vamos recibiendo.
4. Leer las afirmaciones de manera secuencial, y cuando agotemos la lista, volver a
leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información que hayamos obtenido.
Práctica 5: En la casa de Gisela hay un canario, un loro, un gato y un perro policía. Se
llaman Rampal, Perico, Félix y Rin-Tin-Tin, pero no necesariamente en ese orden. Rin-Tin-
Tin es más pequeño que el loro y que Félix. El perro es más joven que Perico. Rampal es
el más viejo y no se lleva bien con el loro. ¿Cuál es el nombre de cada animal?

Respuesta: __________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
Representación:
Nombre
Trabajo
Ana Luisa Pedro Miguel
Escuela
Ferretería
Banco
Farmacia
Práctica 6: Piense en estas cuatro personas.
1. Sus nombres son Ana, Luisa, Pedro y Miguel.
2. Trabajan en una escuela, una ferretería, un banco y una farmacia
3. Pedro es el hijo de la persona que trabaja en la ferretería
4. Ana y la persona que trabaja en la farmacia son hermano-hermana
5. El hijo de la persona que trabaja en el banco trabaja en la ferretería
6. Luisa no trabaja en la escuela
¿Dónde trabajan cada uno?

Respuesta: Ana trabaja en la escuela, Luisa trabaja en el banco, Pedro trabaja en la farmacia y Miguel
trabaja en la ferretería.
¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta?
Establecer el lugar en el que llegaron los corredores.
Países, posiciones.
País – posición.
Representación:
Respuesta: El brasileño llegó en primer lugar, el Francés en segundo, el Mexicano en tercero, el
Argentino en cuarto y el Holandés en quinto lugar.
Países
Posición
Francia Brasil México Argentina Holanda
Primero X V X X X
Segundo V X X X X
Tercero X X V X X
Cuarto X X X V X
Quinto X X X X V
Práctica 7: En una carrera de autos, en la que no hubo empates, participaron corredores de
Francia. Brasil, México, Argentina y Holanda. El mexicano llegó dos lugares atrás del
brasileño. El francés no ganó, pero tampoco llegó en último lugar. El holandés ocupó un
lugar después que el argentino. Este último no llegó en primer lugar. En qué lugar llegó cada
corredor
Práctica 8: Seis muchachas del preuniversitario: Gloria, Catalina, Blanca, Silvia, Rosa y
Marú, tiene noviazgos secretos con otros seis muchachos llamados: Tobías, Raúl, Jacobo,
Sergio, Ramiro y Javier. Tratando de descubrir cuáles eran las parejas, las amigas de las
chicas averiguaron lo siguiente:
a) Jacobo y Sergio se reunieron con los novios de Blanca y de Rosa.
b) Gloria, Javier y Marú son hermanos.
c) Catalina y Raúl siempre andan tomados de la mano por los pasillos.
d) Tobías le dice cuñado a Javier.
e) Ramiro y los novios de Blanca y Gloria están peleados con Tobías.
f) Sergio no conoce a las hermanas de Javier ni a Rosa.

Establecer el nombre de los novios de Gloria, Catalina, Blanca, Silvia, Rosa, Marú.
¿Quiénes son los novios de las chicas?
Nombre de las chicas, nombres de los novios.
Parejas
Representación:
Respuesta: El novio de Gloria en Jacobo, de Catalina es Raúl, de Blanca es Javier, de Silvia es Sergio,
de Rosa es Ramiro y de Marú es Tobías.
Establecer la actividad que realizan Juan, Luis, Miguel, David.
¿Qué actividad realizan Juan, Luis, Miguel y David?
Nombre de las personas, Actividades que realizan.
Nombre- actividad
Novias
Novios
Gloria Catalina Blanca Silvia Rosa Marú
Tobías X X X X X V
Raúl X V X X X X
Jacobo V X X X X X
Sergio X X X V X X
Ramiro X X X X V X
Javier X X V X X X
Práctica 9: Juan, Luis, Miguel y David son artistas. Averigua la actividad de cada uno con
base a la siguiente información:
a) Son: bailarín, pintor, cantante y actor.
b) Juan y Miguel estuvieron entre el público la noche que el cantante debutó.
c) El pintor hizo retratos de Luis y el actor
d) El actor, cuya actuación en "La vida de David" fue un éxito, planea trabajar en otra
obra de teatro semejante a la anterior, pero en relación con la vida de Juan.
e) Juan nunca ha oído hablar de Miguel

Representación:
Respuesta: Juan es pintor, Luis es cantante, Miguel es bailarín y David es Actor.
Cierre
¿Qué hicimos en esta lección?
Problemas de tablas lógicas
¿Por qué se llama tablas lógicas?
Porque se manejan variables lógicas.
¿Y cómo son las variables en este tipo de problemas?
Variables cualitativas y lógicas.
¿Qué utilidad tiene la estrategia estudiada?
Ayudan a resolver problemas de variables cualitativas y lógicas.
¿En qué se diferencia de las tablas lógicas de las tablas numéricas?
En la tabla numérica la variable dependiente en cualitativa, mientras que en la tabla lógica la variable es
lógica, es decir, verdadero o falso, si o no.
Nombres
Actividad
Juan Luis Miguel David
Bailarín X X V X
Pintor V X X X
Cantante X V X X
Actor X X X V

LECCIÓN 7 PROBLEMAS DE TABLAS CONCEPTUALES
Introducción
¿En qué consiste la estrategia de representación en dos dimensiones?
Consiste en resolver problemas que tienen dos variables.
¿Qué tipos de representaciones en dos dimensiones hemos estudiado?
Tablas numéricas, tablas lógicas.
¿Cuántas variables intervienen en una representación de dos dimensiones?
Variables dependientes o independientes.
¿Qué diferencias hay entre las variables que intervienen en una representación de dos
dimensiones?
Las variables independientes son cualitativas, mientras que las variables dependientes son
cuantitativas.
Consideremos el siguiente ejercicio:
¿De qué trata et problema?
De tres jóvenes que practican que practican los mismos deportes tres diferentes días.
¿Qué deporte practica cada uno cada día?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Tres variables. Nombres de los jóvenes, días de práctica y deportes practicados.
Ejercicio 1. Andrés, Carlos y Enrique son tres alumnos que piensan en la importancia del
ejercicio. Los tres practican deportes, y le dedican un día a la semana a cada uno de los
siguientes deportes: natación, gimnasia y yudo. Si practican deportes los lunes, miércoles
y viernes, y en cada día cada uno practican un deporte diferente al de los demás, averigua
que deportes practican los jóvenes cada día con base a la siguiente información:
a) Enrique nada el día que sigue a Andrés.
b) El que practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes.
c) Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los viernes.

Los nombres de los jóvenes (Andrés, Carlos y Enrique) y los días de práctica (lunes,
miércoles y viernes).
¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?
El deporte practicado. Los valores son: natación, gimnasia y yudo
Representación:
Leemos ahora la información suministrada: "Enrique nada el día que sigue a Andrés". Para esto
solo hay dos posibilidades: lunes nada Andrés y miércoles Enrique o miércoles nada Andrés y
viernes Enrique, como suposiciones de trabajo.
Esto podemos representarlo en la tabla como sigue:
No podemos derivar nada más de esa información. La segunda información dice: "El que
practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes". Esto significa que una persona hace
gimnasia el lunes y luego hace yudo el viernes. Estas suposiciones podemos representarlas
como sigue:
La tercera información dice: "Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los viernes". Esto
significa que Carlos practica la natación el viernes que es el deporte que se practica con traje de
baño. Esto significa dos cosas: primero que Carlos nada el viernes; y segundo, que la opción de
Andrés nada el miércoles y Enrique el viernes es imposible porque el viernes está nadando
Carlos. Por esta razón debo aceptar que Andrés nada el lunes y Enrique el miércoles; y que
Día
Nombre
Lunes Miércoles Viernes
Andrés
Carlos
Enrique
Día
Nombre
Andrés Nada Nada
Carlos
Enrique Nada Nada
Día
Nombre
Andrés Nada Gimn. Nada Yudo
Carlos Gimn. Yudo
Enrique Gimn. Nada Nada Yudo

solo sobrevive la opción de que sea Enrique el que hace gimnasia el lunes y yudo el viernes
porque las otras dos opciones o fallan el lunes o fallan el viernes. Con estas dos definiciones la
tabla queda como sigue:
Con esta tabla puedo derivar que Carlos debe hacer yudo el lunes y gimnasia el miércoles, que
Andrés debe hacer yudo el miércoles y gimnasia el viernes. Todo esto para cumplir con la
condición que cada joven práctica un deporte diferente cada día. Finalmente la tabla queda
como sigue:
Respuesta:
Andrés nada el lunes, luego practica yudo y finalmente el viernes hace gimnasia.
Carlos primero practica yudo, luego hace gimnasia y el viernes nada
Y Enrique hace gimnasia el lunes, nada el miércoles y practica yudo el viernes.
Hemos resuelto el problema aplicando una variante de nuestra estrategia de dos dimensiones.
En este caso no tuvimos la variable cuantitativa ni la variable lógica para una tabla lógica. Ahora
tuvimos tres variables cualitativas. La tabla en este caso no estuvo rellenada por números o
valores lógicos, sino por valores conceptuales o semánticos. Por tal razón llamamos a esta
estrategia "representación en dos dimensiones: tablas conceptuales".
En estos problemas no tenemos la exclusión mutua de las tablas lógicas. La única ayuda es
cuando conocemos todas las opciones menos una, la última podemos derivarla por exclusión.
Día
Nombre
Andrés Nada
Carlos Nada
Enrique Gimnasia Nada Yudo
Día
Nombre
Andrés Nada Yudo Gimnasia
Carlos Yudo Gimnasia Nada
Enrique Gimnasia Nada Yudo
Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas conceptuales
Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen tres variables cualitativas,
dos de las cuales pueden tomarse como independientes y una dependiente. La solución se
consigue construyendo una representación tabular llamada "tabla conceptual" basada
exclusivamente en las informaciones aportadas en el enunciado.

En estos problemas debemos seguir todas las recomendaciones expuestas en la lección
anterior para las tablas lógicas:
1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos o informaciones.
2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hasta que
tengamos suficiente información para vaciarla en la tabla.
3. Conectar los hechos o informaciones que vamos recibiendo.
4. Leer las afirmaciones de manera secuencial, y cuando agotemos la lista, volver a
leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información que hayamos obtenido.
Generalmente los enunciados de estos problemas que requieren ser resueltos mediante tablas
conceptuales son más extensos porque toda la información para la solución debe ser aportada
en la forma de hechos o planteamientos en el mismo.
De tres ecuatorianos, tres chilenos y tres españoles, con diferentes profesiones y que les aplican
las pruebas A, B, C.
¿A qué pruebas se sometieron el médico chileno y agrónomo español?
Profesiones, nacionalidades y las pruebas que rinden.
Nacionalidad de las personas y profesión.
Pruebas que rinden por sus valores cualitativas
Representación:
Día
Nombre
Español Ecuatoriano Chileno
Agrónomo A C B
Físico C B A
Médico B A C
Práctica 1. De un total de nueve personas, tres toman la prueba A, tres la prueba B y los
tres restantes la prueba C. Las nueve personas están divididos partes iguales entre
españoles, ecuatorianos y chilenos. También, de las nueve personas tres son agrónomos,
tres físicos y tres médicos. De las tres personas que fueron sometidas a una misma prueba
(A, B o C), no hay dos o más de la misma nacionalidad o profesión. Si una de las personas
que se sometió a la prueba B es un médico español, una de las personas que se sometió a
la prueba A es un médico ecuatoriano y a la prueba C un agrónomo ecuatoriano. ¿A qué
pruebas se sometieron el médico chileno y el agrónomo español?

Respuesta: El médico chileno se sometió a la prueba C y el agrónomo español se sometió a la
prueba A.
¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta?
De tres pilotos de una línea aérea ¿en qué día de la semana viaja cada uno a las ciudades antes
citadas?
Tres; nombre de los pilotos, los días y las ciudades a las que viajan.
Nombre de los pilotos y los días.
Las ciudades a las que viajen porque dependen de los días que trabajan los pilotos.
Representación:
Respuesta: Joel viaja los lunes a Dallas, los miércoles a Managua y los viernes a Buenos Aires.
Jaime viaja los lunes a Buenos Aires, los miércoles a Dallas y los viernes a Managua. Julián viaja
los lunes a Managua, los miércoles a Buenos Aires y los viernes a Dallas.
Día
Pilotos
Joel Dallas Managua Buenos Aires
Jaime Buenos Aires Dallas Managua
Julián Managua Buenos Aires Dallas
Práctica 2. Tres pilotos -Joel, Jaime y Julián- de la línea aérea "El Viaje Feliz" con sede en
Bogotá se turnan las rutas de Dallas, Buenos Aires y Managua. A partir de la siguiente
información se quiere determinar en qué día de la semana (de los tres días que trabajan, a
saber, lunes, miércoles y viernes) viaja cada piloto a las ciudades antes citadas.
a) Joel los miércoles viaja al centro del continente.
b) Jaime los lunes y los viernes viaja a países latinoamericanos.
c) Julián es el piloto que tiene el recorrido más corto los lunes
Práctica 3. En un recital de la escuela de Música se presentaron Norma, Alicia, Héctor y
Roberto. Se escucharon obras en el siguiente orden: de Beethoven, Liszt, Mozart y
Tchaikovski. El recital se presentó de jueves a domingo; en cada uno de los días el orden de
los intérpretes cambio, de tal modo que ningún día aparecieron en el mismo orden, además
en ningún día- repitieron una interpretación del mismo autor. Si el orden de los autores
interpretados no cambió ¿en qué orden se presentaron cada uno de los intérpretes durante
los cuatro días? Se sabe que:
a) La interpretación que hizo Alicia de Mozart fue un día antes que la de Liszt.
b) Norma abrió magistralmente la presentación del sábado por la noche.
c) Héctor, en días seguidos se presentó en primero y segundo lugar, e inauguró el recital.
d) Tchaikovski fue presentado el viernes por Norma.
e) Roberto no se presentó el sábado antes que sus amigos.
f) Roberto interpretó a Mozart el mismo día que Héctor interpretó a Beethoven.

De cuatro chicos que interpretaron una obra musical del colegio.
¿En qué orden se presentaron cada uno de los intérpretes durante los cuatro días?
Nombre de los intérpretes, días, nombre de los autores.
Nombre de los autores y de los días.
Nombre de los intérpretes porque depende de los días del recital.
Representación:
Respuesta: El día jueves se presentaron en el siguiente orden: Héctor, Norma, Roberto y Alicia.
El día viernes: Roberto, Héctor, Alicia, Norma.
El día sábado: Norma, Alicia, Héctor y Roberto.
El día domingo: Alicia, Roberto, Norma y Héctor.
Veamos un ejemplo de este tipo ampliación de la estrategia de dos dimensiones con tablas
conceptuales o semánticas.
Día
Autores
Jueves Viernes Sábado Domingo
Beethoven Héctor Roberto Norma Alicia
Liszt Norma Héctor Alicia Roberto
Mozart Roberto Alicia Héctor Norma
Tchaikovski Alicia Norma Roberto Héctor
Reflexión
Estos problemas de tablas conceptuales no tienen la característica del cálculo de subtotales
y totales de las tablas numéricas, tampoco tienen la característica de exclusión mutua de las
tablas lógicas. Esto las hace que requieran mucha más información para poder resolverlos.
Con frecuencia, con el propósito de hacer menos tedioso el enunciado, se usa una cuarta
variable, normalmente asociada a una de las variables independientes, que sirve para
bifurcar la información que se aporta sobre la variable asociada.
Por ejemplo, puedo hablar de cuatro personas por su apellido, y digo que hay dos damas y
dos caballeros. O puedo hablar de cinco niños e introduzco la variable edad de cada niño. O
de hablo de seis señoras e introduzco una variable que es el color del cabello, en la forma de
tres cabello rubio y tres cabello negro.

De los nombres de las esposas, de profesiones y aficiones de cuatro personas.
¿Cuáles son las esposas, profesiones y aficiones de los hombres que se mencionan en el
problema?
¿Cuántas y cuales variables tenernos en el problema?
Nombres de los hombres, nombres de las esposas, profesiones, aficiones.
¿Cuál variable es diferente a las demás?
Aficiones
Representación:
Las esposas son: María, Ana, Julia y Luz
Las profesiones son: ingeniero, biólogo, agrónomo e historiador
Las aficiones son: pesca, tenis ajedrez y golf
En el literal a) habla de dos personas: de Julia, esposa del ingeniero y de Luz, esposa de José.
El literal b) habla del golfista, casado con Luz. Con lo cual ya sabemos que en una línea van
José, Luz, golf, y que no es ingeniero. Como no conoce al historiador y comparte con el biólogo,
entonces es el agrónomo, y la línea queda: José, Luz, agrónomo y golf.
Esposa Profesión Afición
Antonio
Manuel
José
Luis
Ejercicio 2. Antonio, Manuel, José y Luis son amigos, todos casados, con diferentes
profesiones .y aficiones. Las esposas son María, Ana, Julia y Luz; sus profesiones son
ingeniero, biólogo, agrónomo e historiador y sus aficiones son pesca, tenis, ajedrez y golf.
Entre ellos se dan las siguientes relaciones:
a) Julia, esposa del ingeniero, y Luz, esposa de José son ambas amigas inseparables.
b) El golfista, casado con Luz, no conoce al historiador y comparte con el biólogo algunos
conocimientos de interés relacionados con su profesión.
c) Luis se reúne con el ingeniero y con el historiador para discutir asuntos de la
comunidad donde viven.
d) Durante el domingo Julia y su esposo visitaron a Manuel y su esposa, quienes
mostraron los trofeos ganados por Manuel en los campeonatos de ajedrez; Ana se fue
con su esposo el biólogo a jugar tenis.
Se pregunta cuáles son las esposas, profesiones y aficiones de los hombres que se
mencionan en el problema.

Del literal c) sacamos que Luis es biólogo y que su esposa no es Luz.
Del literal d) sacamos que Julia no es esposa de Manuel. Manuel es el aficionado al ajedrez y
Ana es esposa de Luis quien es el biólogo y es el aficionado al tenis.
Y las celdas restantes pueden deducirse por exclusión.
Respuesta:
Por inspección de la tabla podemos contestar la pregunta.
En este problema tuvimos cuatro variables. Los caballeros fueron como la variable
independiente, y las otras tres variables dependían del valor de la variable caballeros; es decir
esposa, profesión y afición dependía del caballero.
Antonio
Manuel
José Luz Agrónomo Golf
Luis
Antonio Julia Ingeniero
Manuel Ajedrez
Luis Ana Biólogo Tenis
Antonio Julia Ingeniero Pesca
Manuel María Historiador Ajedrez
Luis Ana Biólogo Tenis

Se sugiere usar un formato de tabla como el que se muestra más abajo. Las áreas grises de la
izquierda van a ser llenadas con el color del cabello de la amiga que invita a Mercedes. Las
áreas de la derecha van a ser llenadas con los lugares a donde cada amiga invitó a Mercedes.
En este caso tenemos una exclusión mutua porque cada salió con una amiga y fue a un solo
Lugar.
Días
Color
cabello
Amigas Lunes Martes
Miércoles Jueves Viernes Sábado
Amarillo Ana Teatro
Negro Corina Cine
Negro Gloria
Fútbol
Amarillo Juanita
Ir de
compras
Amarillo Luisa
Museo
Negro Marlene Concierto
Práctica 4. Mercedes quería pasar siete días en su casa, deseaba visitar a sus amigas y
resolver asuntos pendientes en su ciudad natal. Al llegar encontró a sus amigas Ana,
Corina, Gloria, Juanita, Luisa y Marlene, quienes le habían programado varias actividades.
Mercedes quería ir a comer con ellas el primer día donde acostumbraban reunirse cuando
salían de la escuela. Después de esta reunión cada amiga tenía un día disponible para
pasarlo con Mercedes y acompañarla a uno de los siguientes eventos: un partido de fútbol,
un concierto, el teatro, el museo, el cine e ir de compras, Con base en la siguiente
información encuentre quién invitó a Mercedes y qué actividad realizó cada día.
1) Ana, la amiga que visitó el museo y la que salió con Mercedes un día después de ir al
cine el lunes, tienen las tres el cabello amarillo.
2) Gloria, quien la acompañó al concierto y la dama que pasó el lunes con Mercedes, tienen
las tres el pelo negro.
3) El día que Mercedes pasó con Corina no fue el siguiente al día que correspondió a
Marlene.
4) Las seis salieron con Mercedes en el siguiente orden: Juanita salió con Mercedes un día
después de que ésta fue al cine y cuatro días antes de la visita al museo, Gloria salió con
Mercedes un día después de que ésta fue al teatro y el día antes que Marlene invitó a
Mercedes
5) Ana y la amiga que invitó a Mercedes a ir de compras tienen el mismo color de cabello.
6) Mercedes visitó el teatro dos días después de ir al cine.
7) Ana invitó a Mercedes a salir el miércoles.

Se sugiere usar un formato de tabla como el que se muestra más abajo. Las áreas grises de la
izquierda van a ser llenadas con la edad del chico. Las áreas grises de la derecha van a ser
llenadas con las actividades que le corresponde hacer a cada chico cada día. En este caso no
tenemos una exclusión mutua, solo tenemos completado cuando solo falta una actividad.
Edad
Nombre
del niño
Lunes Martes
Miércoles Jueves Viernes
9 Delia Sacudió
Limpio el
piso
Barrió Dio de
comer al
gato
Lavó los
bóxer de
su
mamá.
13 María
Dio de
comer al
gato
Barrió
Limpió al
piso.
Lavó los
platos
Sacudió
14 Juan
Lavo los
platos
Dio de
comer al
gato
Sacudió Barrió Limpio el
piso
12 Julia
Limpio el
aseo
Lavo los
platos.
Dio de
comer al
gato
Sacudió barrio
10 Miguel barrió Sacudió
Lavó los
platos
Limpio
del aseo
Mero de
gasto
Práctica 5. El señor Pérez asignó a cada uno de sus hijos, incluyendo el de diez años, un
trabajo diferente cada día de la semana, de lunes a viernes. Los trabajos se rotaron de
modo que cada hijo realizó un trabajo cada día y ningún niño realizó el mismo trabajo dos
veces durante la misma semana. Con base en la siguiente información determine la edad
de cada niño y el día que realizó cada trabajo.
1) La niña de nueve años barrió el miércoles.
2) Delia lavó los platos el mismo día que Juan limpió el piso.
3) María barrió un día después que Miguel y el día antes que Delia.
4) El hijo de catorce años dio de comer al gato el martes.
5) Juan sacudió el miércoles.
6) María tiene trece años.
7) Uno de los hijos, Miguel o Delia, dio de comer al gato el viernes; el otro lo hizo el jueves.
8) La hija de doce años limpió el piso el lunes.
9) Julia dio de comer al gato el día siguiente al que lavó los platos y el día antes que
sacudió.
10) María lavó los platos el jueves.
11) Delia limpió el piso el martes.

Cierre
¿Qué logramos en esta lección?
Poder resolver problemas mediante tablas conceptuales donde se utilizan más de dos variables.
¿Qué tipos de problemas resolvimos en la lección?
Problemas de tablas conceptuales.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian los problemas que resolvimos?
Todos poseen más de dos variables pero se diferencia en las variables dependientes o
independientes.
¿Qué logramos con el estudio de esta unidad?
Logramos ser más analíticos y a diferenciar las variables dependientes.
¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado con esta unidad?
Reducción de problemas o partir de variables y datos que se presenta.

JUSTIFICACIÓN
En los casos estudiados hemos trabajado con problemas referidos a situaciones estáticas, que
no cambiaban con el tiempo. En esta lección trabajaremos con situaciones dinámicas, objetos
que se mueven, situaciones que toman diferentes valores y configuraciones, intercambios de
dinero u objetos, etc.
En la solución de problemas estáticos nos bastó con utilizar estrategias en las cuales se
incluyen representaciones entre los datos; por ejemplo en el caso de las estaturas de diferentes
personas; los datos se referían a valores determinados que no cambiaban con el tiempo. En los
problemas que involucran situaciones dinámicas se requieren estrategias que incluyan
diagramas para que reflejen los cambios en las situaciones del problema; dichos diagramas
muestran intercambios, flujos, simulaciones, etc. La estrategia consiste en ir representando los
cambios o las situaciones que van ocurriendo, o sea, los diferentes estados del problema, con
el propósito de facilitar la descripción de lo que está sucediendo en cada momento.
El análisis del dibujo o diagrama permite visualizar el cambio y comprender mejor lo que se
plantea en el problema, facilitando de esta manera la obtención de la respuesta. La simulación
del cambio, también llamada ejecución simulada del cambio, consiste en reproducir las
situaciones o los fenómenos que van ocurriendo; dicha simulación puede ser concreta o
abstracta.
La simulación concreta consiste en la sustitución del objeto real por un objeto que lo represente,
el cual se mueve como lo haría el objeto real, dicho movimiento muestra la evolución del objeto
o de la situación que se describe en el problema; es una imitación directa del cambio y de las
acciones o fenómenos que ocurren. Esta simulación también se denomina puesta en acción. Es
la vía más sencilla para visualizar la situación, pero requiere de un gran esfuerzo para su
realización. Los niveles que siguen reportan mayores beneficios con un esfuerzo menor.
El segundo tipo es la simulación abstracta, la cual
requiere imaginarse el movimiento del objeto, tal como
se describe en el enunciado del problema, sin objetivar
las acciones mediante el uso de acciones concretas.
Lo único que se requiere es visualizar el movimiento o
acción mediante una representación gráfica, un dibujo o
un diagrama. En este segundo tipo de simulación
pueden distinguirse tres niveles de abstracción
crecientes; el primer nivel consiste en sustituir el objeto
real por un dibujo del objeto o su representación; el
segundo nivel consiste en la sustitución del objeto por
imágenes y relaciones, o sea por diagramas de flujo y el
tercer y último nivel de simulación abstracta que se logra
mediante el uso de relaciones y de fórmulas
matemáticas. Cada nivel de representación, desde el
concreto hasta el abstracto, corresponde a un nivel de
abstracción de la mente cada vez más elevado.
El diagrama de flujo es un tipo de simulación abstracta del segundo nivel que permite
representar la secuencia de pasos o etapas de una situación cambiante y de los estados que
ésta genera, de acuerdo a las condiciones que describen el cambio.
UNIDAD IV: PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS
DINÁMICOS

Lo dicho nos permite elaborar una secuencia de niveles de abstracción de la mente asociada al
desarrollo de las habilidades para resolver problemas, y al éxito de los alumnos para lograr
dicho desarrollo. Es más, podemos afirmar que si se desea que se adquiera el nivel de
pensamiento abstracto basado en relaciones y fórmulas matemáticas, es necesario haber
desarrollado cada uno de los niveles previos.
La práctica gradual de las estrategias de representación propuesta en este curso son clave para
el desarrollo de las habilidades para resolver problemas.
OBJETIVOS
A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:
1. Analizar problemas sobre situaciones dinámicas mediante el uso de estrategias de
ejecución simulada.
2. Utilizar diferentes tipos y niveles de estrategias de simulación.
3. Valorar la importancia de la simulación para facilitar la comprensión y la resolución de
problemas.
4. Comprender la estrategia medios-fines y la elaboración del diagrama "espacio del
problema".

LECCIÓN 8 PROBLEMAS DE SIMULACIÓN CONCRETA Y ABSTRACTA
Introducción
¿Sobre qué trató la primera unidad de este libro?
Sobre la introducción a la solución de problemas.
¿Sobre qué trataron la segunda y tercera unidad de este libro?
Sobre problemas de relaciones de una y dos variables.
¿Qué tipos de relaciones se usaban en los problemas de la unidad anterior?
Se utilizaban las estrategias de representación en dos dimensiones.
¿Qué tiene en común todas los tipos de estrategias que vimos en la unidad anterior?
Son utilizadas para resolver problemas de relaciones de dos variables.
¿En qué consiste la estrategia de postergación en la solución de un problema?
Consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos, hasta tanto
se presente otro dato que complemente la información.
Hasta ahora el tiempo no había jugado ningún papel en todos los problemas que hemos
estudiado; a este tipo de evento o situación se les denomina estática. Ahora vamos a
encontrarnos con situaciones que cambian en el tiempo, las cuales llamaremos dinámicas.
Para entender mejor un fenómeno cambiante podemos ubicarnos en un plano real, y podemos
reproducir de manera directa el evento o situación. Esto se denomina simulación concreta.
Ahora, también podemos apelar a nuestra memoria, a diagramas y a representaciones
simbólicas del fenómeno estudiado; esta segunda alternativa generalmente requiere de un
esfuerzo menor y da lugar a lo que llamamos una simulación abstracta.
Veamos un ejercicio para ilustrar este tipo de situación.
Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante. Por lo tanto, estamos
ante un problema. Inmediatamente podemos observar que la posición de Pedro va cambiando a
medida que transcurre el tiempo, o sea, que estamos ante un problema dinámico.
Las variables involucradas son dirección de recorrido y distancia recorrida, pero va tomando
valores diferentes a medida que pasa el tiempo.
Ejercicio 1. La casa de Pedro está ubicada en una calle que tiene dirección norte-sur y tiene
10 metros de ancho la calle. Pedro sale de su casa y camina 30 metros al norte, dobla a la
derecha y camina 40 metros, dobla de nuevo a la derecha y camina 10 metros; una vez más
dobla a derecha y camina 30 metros. Finalmente, dobla a la izquierda y camina 20 metros.
¿Dónde se encuentra Pedro?

Podríamos reproducir o simular el recorrido, pero
tendríamos que tener un patio muy grande. Eso sería
una representación concreta, pero podemos optar por
una representación mediante dibujos y gráficas. Para
esto hagamos un diagrama que nos permita visualizar
el problema.
A la izquierda tenemos un diagrama que nos sirve para
representar la situación que plantea el problema.
Está la casa de Pedro, frete a una calle de 10 m de
ancho y que tiene una orientación norte-sur.
Con este diagrama como guía podemos iniciar la
lectura del problema parte por parte para ir
representando los cambios que se describen en el
enunciado del problema. Es decir, iniciamos la
aplicación de la estrategia particular para la solución de
este tipo de problemas.
En el diagrama siguiente representamos el inicio del
recorrido. Pedro se desplaza 30 m en dirección norte.
Podemos imaginarnos a Pedro caminando por la
dirección norte-sur, con su cara mirando en el sentido
norte.
El recorrido se inicia justo frente a su casa y termina a
30 m del punto de partida en el sentido norte. Está
representado por la flecha negra con la indicación de
30 m.
Seguimos la lectura del programa parte por parte. Al
término del recorrido de los 30 m hacia el norte, Pedro
dobla a la derecha y recorre 40 m. esto está indicado
con la flecha negra que sigue. Ahora Pedro se desplaza
en la dirección este-oeste con sentido al este. Luego
dobla de nuevo a la derecha, y recorre 10 metros, lo
cual está indicado con la tercera flecha.
Ahora regresa a la dirección norte-sur, pero ahora con
sentido sur. Al término de los 10 metros, dobla de nuevo
a su derecha y se desplaza 30 m. Regresa a la
dirección este-oeste con sentido oeste. Y finalmente
dobla a su izquierda y recorre 20 m, lo cual está
representado con la quinta flecha.
Hemos completado de vaciar la información del enunciado del problema. Como resultado de
haber usado el diagrama, ahora podemos visualizar el recorrido completo que siguió Pedro.
Por inspección del diagrama, se contesta la pregunta acerca de la ubicación de Pedro. Está a
10 m al este de la puerta de salida de su casa; también podemos contestar que está en la acera
de enfrente (cruzando la calle), justo frente a la puerta de su casa. La primera respuesta es
precisa ubicando la posición de Pedro, la segunda es informal, en un lenguaje coloquial.
Usando el diagrama podemos verificar la exactitud de cada uno de los pasos, y del resultado
final de una manera sencilla. Una vez que verificamos, concluimos el problema.
Hemos resuelto el problema usando una nueva estrategia que denominamos simulación. Si la
hacemos recorriendo físicamente lo planteado en el problema, la llamamos simulación concreta.

Si la hacemos, como fue el caso, usando un diagrama con una representación simbólica de las
diferentes acciones que plantea el problema, la llamamos simulación abstracta. Estas son las
estrategias básicas para la solución de problemas dinámicos.
Establecer si la persona está caminando por una calle paralela o perpendicular.
¿Está la persona caminando por una calle paralela o perpendicular a la calle Carabobo?
Nombre de la calle, Dirección.
Representación:
Respuesta: Está caminando por una calle perpendicular
Situación dinámica
Una situación dinámica es un evento o suceso que experimenta cambios a medida que
transcurre el tiempo. Por ejemplo: el movimiento de un auto que se desplaza de un lugar A a
un lugar B; el intercambio de dinero y objetos de una persona que compra y vende
mercancía, etc.
Simulación abstracta
La simulación abstracta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se
basa en la elaboración de gráficos, diagramas y representaciones simbólicas que permiten
visualizar las acciones que se proponen en el enunciado sin recurrir a una reproducción
física directa.
Simulación concreta
La simulación concreta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se
basa en una reproducción física directa de las acciones que se proponen en el enunciado.
También se le conoce con el nombre de puesta en acción.
Práctica 1: Una persona camina por la calle Carabobo, paralela a la calle Pichincha;
continúa caminando por la calle Chacabuco que es perpendicular a la Pichincha. ¿Está la
persona caminando por una calle paralela o perpendicular a la calle Carabobo?

De establecer cuántas veces debe impulsarse el conductor en una pendiente resbaladiza.
¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en la parte
plana de la vía?
Longitud de la pendiente, dirección de la pendiente, metros antes de iniciar el próximo
impulso.
Representación:
Respuesta: Tiene que impulsarse cinco veces para subir la pendiente y colocarse en la
parte plana de la vía.
Acerca del 5 cajas de gaseosas que tienen que llevarse a diferentes sitios.
¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar la tarea?
Número de cajas, distancia del lugar en donde tienen que ser llevadas.
Práctica 2: Un conductor emprende el ascenso de una pendiente muy inclinada que
además está resbaladiza por las intensas lluvias en la región y que tiene una longitud de 35
metros. Avanza en impulsos de 10 metros pero antes de iniciar el próximo impulso se
desliza hacia atrás 2 metros antes de lograr el agarre en la vía. ¿Cuántas veces tiene que
impulsarse para subir la pendiente y colocarse en la parte plana de la vía?
Práctica 3: Hay cinco cajas de gaseosas en un lugar y tienen que llevarse a diferentes
sitios como sigue: la primera a 10 m de distancia del origen, la segunda a 20 m, la tercera a
30 m, y así sucesivamente hasta colocarlas siempre a 10 m de la anterior. En cada
movimiento la persona sale del origen, lleva la caja al lugar que corresponde y regresa al
lugar de origen.
Este proceso se repite hasta mover todas las cajas y regresar al punto de origen. Si solo se
puede llevar una caja en cada intento, ¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar
la tarea?

Representación:
Respuesta: La persona al finalizar ha recorrido 300m.
Trata de un buque petrolero que avanza a 200m por minuto y pasa por un canal que tiene
200 metros de longitud.
¿Cuánto tiempo se demora el buque desde el instante que inicia su entrada al canal hasta
el instante en que sale completamente de éste?
Tres, medida de la eslora, velocidad, longitud del canal
Representación:
Respuesta: El buque se demora 2 minutos desde que entra hasta que sale
completamente.
Práctica 4: Un buque petrolero de 200 m de eslora avanza lentamente a 200 m por minuto
para pasar un canal que tiene 200 metros de longitud. ¿Cuánto tiempo se demora el buque
desde el instante que inicia su entrada al canal hasta el instante en que sale completamente
de éste?

Cierre
¿Qué estudiamos en esta lección?
Problemas de simulación concreta y abstracta.
¿Qué es un problema dinámico?
Evento o suceso que experimenta cambios a medida que transcurre el tiempo.
¿Qué estrategias utilizamos para resolver los problemas?
Estrategias de simulación concreta y estrategia de simulación abstracta.
¿En qué consiste la simulación concreta?
Estrategia que se basa en una reproducción física directa de las acciones que se
proponen en el enunciado.
¿A qué se refiere la simulación abstracta?
Se basa en la elaboración de gráficos, diagramas y representaciones simbólicas que
permiten visualizar las acciones que se proponen en el enunciado.
¿Por qué es importante elaborar esos esquemas o diagramas en la solución de estos
problemas?
Porque es indispensable para lograr la solución de un problema.
Representación mental de un problema
La elaboración de diagramas o gráficas ayuda a entender lo que se plantea en el enunciado
y a la visualización de la situación. El resultado de esta visualización del problema es lo que
se llama la representación mental de éste. Esta representación es indispensable para lograr
la solución del problema.

LECCIÓN 9 PROBLEMAS CON DIAGRAMAS DE FLUJO Y DE INTERCAMBIO
Introducción
¿Qué estudiamos en la lección anterior?
Problemas de simulación concreta, abstracta y dinámica.
¿Por qué se llaman dinámicos los problemas de esta unidad?
Porque se experimentan cambios a medida que transcurre el tiempo.
¿Cuál estrategia hemos estudiado para comprender y resolver estos problemas?
Representación mental del problema.
La simulación concreta o abstracta permite representar o reconstruir fenómenos que se
producen al transcurrir del tiempo. El tipo de problema estudiado se caracteriza por una
evolución temporal con un inicio y un final. Otro tipo de problema que depende del tiempo son
los de flujo o intercambio. En este caso se identifica una variable y se ve cómo va cambiando su
valor mediante acciones repetitivas que se lo incrementan o disminuyen. Por ejemplo, la
variable caudal en el caso de un rio. Con cada afluente el caudal del rio se va incrementando, y
con cada toma de agua (para riego o consumo) el caudal del rio se va disminuyendo.
Problemas de características similares al del caudal del rio son muy frecuentes en la vida
cotidiana. Por tal razón planteamos una estrategia de solución de este tipo de problemas
dinámicos.
Tenemos un enunciado que da información y plantea interrogantes. Por lo tanto, estamos ante
un problema. Inmediatamente podemos observar que el punto de partida es la ciudad de Tejo.
Luego vienen las ciudades Pueblo Nuevo y Caicara. A lo largo de este recorrido tiene varios
afluentes y tomas de agua.
Si quisiéramos simular este problema deberíamos hacer un tránsito desde Tejo hasta Caicara.
Sin embargo, ese tránsito es muy similar al enunciado del problema y no nos aporta mucha
ayuda para resolver el problema. En este caso el problema gira alrededor del caudal del Río
Ejercicio 1. El rio Verde tiene un caudal de 150 m3
/s (metros cúbicos por segundo) al pasar
por la ciudad Tejo. 5 Km aguas abajo de Tejo le desemboca el afluente Rio Azul de 22 m3
/s y
7,5 Km más adelante queda la toma para el acueducto de Pueblo Nuevo que consume 10
m3
/s, ubicado 2,5 Km antes de Pueblo Nuevo. 2,5 Km aguas abajo de Pueblo Nuevo está la
toma del sistema de riego del valle Turbio que demanda 37 m3
/s y 10 Km más adelante le
desemboca el Rio Blanco de 55 m3
/s. 5 Km más abajo el rio pasa por Caicara donde el
acueducto consume 15 m3
/s ¿Cuál es el caudal del rio Verde después de Calcara? ¿Cuánto
es la disminución del caudal por conceptos de tomas de acueducto y riegos entre Tejo y
Caicara? ¿Cuál es la longitud del recorrido del rio entre Tejo y Caicara?

Verde, y de sus cambios por los efectos de los afluentes y tomas. Podemos representar esta
situación con un esquema como el que sigue:
En el gráfico se representan los hechos. El Río Verde con la flecha amarilla que apunta en la
dirección que fluye el rio. Se muestran las ciudades de Tejo, Pueblo Nuevo y Caicara, y se
indica el caudal del rio en Tejo. Con este diagrama podemos iniciar la lectura de la información
que aporta el enunciado del problema. Nos habla del afluente Rio Azul a 5Km con caudal 22
m3
/s, de la toma para el acueducto de Pueblo Nuevo a 7,5 Km que consume 10 m3
/s, 2,5 Km
antes de llegar a Pueblo Nuevo.
Continuando la lectura podemos vaciar la información del enunciado del problema en el gráfico
y obtenemos el siguiente diagrama:
Con este esquema podemos abordar las respuestas a las interrogantes que nos plantea el
problema. La primera, ¿Cuál es el caudal del rio Verde después de Caicara? Para calcular el
caudal después de Calcara partimos del caudal en Tejo, le sumamos el total de todos los
afluentes, y le restamos el total de todas las tomas. Esto nos da:
150 m3
/s + (22 m3
/s + 55 m3
/s) — (10 m3
/s + 37 m3
/s + 15 m3
/s) =
150 m3
/s + 77 m3
/s - 62 m3
/s = 165 m3
/s
¿Cuánto es la disminución del caudal por conceptos de tomas de acueducto y riegos entre Tejo
y Caicara? Es la suma de todas las tomas de agua:
10 m3
/s + 37 m3
/s + 15 m3
/s = 62 m3
/s
¿Cuál es la longitud del recorrido del rio entre Tejo y Caicara? A partir del gráfico, por
inspección nos da:
5 Km + 7, 5 Km + 2, 5 Km + 2, 5 Km + 10 Km + 5Km = 32, 5 Km

También podríamos haberlo hecho construyendo una tabla que no da varios resultados a
medida que la vamos construyendo.
Localización
Distancia al
punto previo
Distancia
acumulada
Variación del
caudal
Caudal
acumulado
Tejo 0 km 0 km 0 m3
/s 150 m3
/s
Desembocadura del
Río Verde
5 km 5 km +22 m3
/s 172 m3
/s
Toma Acueducto
Pueblo Nuevo
7,5 km 15,5 km -10 m3
/s 162 m3
/s
Pueblo Nuevo 2,5 km 15 km 0 m3
/s 162 m3
/s
Toma Riego del
valle Turbio
2,5 km 17,5 km -37 m3
/s 125 m3
/s
Desembocadura del
Río Blanco
10 km 27,5 km +55 m3
/s 180 m3
/s
Toma Acueducto
Caicara
5 km 32,5 km -15 m3
/s 165 m3
/s
Caicara 0 km 32,5 km 0 m3
/s 165 m3
/s
A partir de la tabla podemos obtener todos los valores que habíamos calculado antes, pero
ahora, también podemos obtener respuesta a otras interrogantes, por simple inspección, como
por ejemplo, ¿cuál es el caudal del Rio Verde en Pueblo Nuevo? La respuesta es 162 m3
/s.
La elaboración del esquema anterior constituye una estrategia particular para resolver este tipo
de problemas donde se tienen flujos o intercambios. Esta estrategia se llama de Diagrama de
Flujo.
Trata del recorrido de un bus, de las personas que suben y bajan durante el trayecto.
Estrategia de Diagramas de Flujo
Esta es una estrategia que se basa en la construcción de un esquema o diagrama que
permite mostrar los cambios en la característica de una variable (incrementos o
decrementos) que ocurren en función del tiempo de manera secuencial. Este diagrama
generalmente se acompaña con una tabla que resume el flujo de la variable.
En el ejercicio trabajado anteriormente la variable que se muestra es el caudal del rio. Los
cambios son originados por los afluentes (aumentos) y las tomas de agua (decrementos).
Práctica 1: Un bus inicia su recorrido sin pasajeros. En la primera parada se suben 25; en
la siguiente parada bajan 3 y suben 8; en la otra no se baja nadie y suben 4; en la próxima
se bajan 15 y suben 5; luego bajan 8 y se sube 1, y en la última parada no sube nadie y se
bajan todos. ¿Cuántos pasajeros se bajaron en la última estación? ¿Cuántas personas
quedan en el bus después de la tercera parada? ¿Cuántas paradas realizó el bus?

¿Cuántos pasajeros se bajaron en la última estación? ¿Cuántas personas quedan en el
bus después de la tercera parada? ¿Cuántas paradas realizó el bus?
Representación:
Completa la siguiente tabla:
Parada
Pasajeros antes
de parada
# pasajeros
que suben
# pasajeros que
bajan
Pasajeros
después de
parada
1 0 25 0 25
2 25 8 3 30
3 30 4 0 34
4 34 5 15 24
5 24 1 8 17
6 17 0 17 0
Respuesta: En la última parada se bajaron 17 pasajeros. Después de la tercera parada
quedaron 34 pasajeros. El bus realizó seis paradas.
De los ingresos y egresos que tuvo Juna en su tienda el primer Semestre.
¿Cuál fue el saldo de ingresos y egresos de la tienda de Juan al final del semestre? ¿En
qué meses Juan tuvo mayores ingresos que egresos?
Práctica 2: Juan decidió abrir en enero una pequeña tienda de artículos deportivos. Para
esto, en el mes de enero tuvo considerables gastos para el equipamiento y compra de
artículos para la tienda; invirtió 12.000 Um y solo tuvo 1.900 Um en ingresos producto de las
primeras ventas. El mes siguiente aún debió gastar 4.800 Um en operación pero sus
ingresos subieron a 3.950 Um. El próximo mes se celebró un torneo de futbol en la ciudad y
las ventas subieron considerablemente a 9.550 Um, mientras que los gastos fueron de 2.950
Um. Luego vino un mes tranquilo en el cual el gasto estuvo en 3.800 Um y las ventas en
3.500 Um. El mes siguiente también fue lento por los feriados y Juan gasto 2.800 Um y
generó ventas por 2.500 Um. Para finalizar el semestre, el negocio estuvo muy activo por los
equipamientos para los cursos de verano; gastó 7.600 Um y vendió 12.900 Um. ¿Cuál fue el
saldo de ingresos y egresos de la tienda de Juan al final del semestre? ¿En qué meses Juan
tuvo mayores ingresos que egresos?

Representación:
Completa la siguiente tabla:
Mes Gastos Ingresos Balance
Enero -12000 +1900 -10100
Febrero -4800 +3950 -850
Marzo -2950 +9550 +6600
Abril -3800 +3500 -300
Mayo -2800 +2500 -300
Junio -7600 +12900 +5300
Totales -33950 +34300 +350
Respuesta: El saldo entre ingresos y egresos de la tienda de Juan al final del semestre es
de $350. Juan tuvo mayores ingresos en los meses de Maro y Junio.
De tres amigos que coleccionan cromos de jugadores de futbol. Durante el día compran,
venden, intercambian y se traspasan cromos entre ellos.
Determinar el número de cromos que tiene cada uno al final del día.
Las variables son el número de cromos y el tipo de transacción. Los tres amigos no son
variables porque están fijos en el proceso.
En este problema tenemos flujo de cromos, pero el flujo no es en una única dirección corno en
el río, sino que cambia de acuerdo con el tipo de transacción y los amigos participantes.
Ejercicio 2: Antonio, Alejandro y Arístides son tres amigos que coleccionan cromos 11,
(estampas o barajitas) de jugadores de futbol. Antonio tenía 50 cromos y compró dos
paquetes de 5 cromos cada uno. Alejandro tenía 30 cromos y le dio a Antonio 5 de los
cromos que tenía repetidos a cambio de 2 que le faltaban. Arístides comienza su colección
con 10 cromos, pero Antonio y Alejandro le regalaron cada uno 5 cromos. Al final del día
Arístides compró un paquete de cromos y Antonio vendió a un familiar 20 cromos de sus
cromos repetidos. Al final del día, ¿cuántos cromos tienen cada uno?

¿Qué podemos hacer? Tratemos un diagrama donde representamos todos los participantes
indicando el número de cromos que tenía a comienzos del día. También representamos la
primera transacción que es de Antonio. La compra de 10 cromos la podemos representar con
una flecha sólida que apunta en la dirección donde quedan los cromos al final de la transacción.
Por tal razón la flecha la trazamos apuntando hacia Antonio que es donde quedan los cromos.
En la próxima figura seguimos representando otras transacciones usando nuestra convención
del sentido de las flechas. Cambiamos el tipo de flecha para indicar que son transacciones de
diferente tipo. El intercambio entre Alejandro y Antonio lo representamos con las flechas curvas
de dos direcciones, y los regalos de Antonio y Alejandro de 5 cromos a Arístides los
representamos con flechas segmentadas.
Finalmente, representamos las dos últimas transacciones: la compra de 5 cromos por parte de
Arístides con flecha sólida (igual que la compra inicial de Antonio), y la venta de 10 cromos de
Antonio para la cual usamos la flecha punteada.
Ya hemos completado el diagrama correspondiente al enunciado del problema. Ahora
continuamos la estrategia interpretando el gráfico para obtener la respuesta a las interrogantes
planteadas en el problema. Debemos recordar nuestra convención: si la flecha entra a una
persona es por esa persona recibe cromos; y por el contrario, si sale es que pierde cromos.
Centrémonos ahora en una persona determinada, por ejemplo, Antonio. Del gráfico vemos que

tenía 50 cromos, recibe 10 y 5 cromos por las dos flechas que apuntan hacia él, y pierde 20, 2 y
5 cromos por las dos flechas que salen de él. 50 más las 15 que nos da 65 cromos, y si a este
número le restamos los 25 cromos que pierde, a Antonio le quedan 40 cromos. Debemos ahora
repetir algo similar para los otros dos amigos, y de esta manera, contestar la interrogante del
problema. Sin embargo esto podemos hacerlo de manera muy sencilla con una tabla como en
el caso de los problemas anteriores.
Amigo Cantidad inicial Recibe Pierde Cantidad final
Antonio 50 10 + 5 20 + 2 + 5 38
Alejandro 30 2 5 + 5 22
Arístides 10 5 + 5 + 5 0 25
Esta tabla nos permite identificar la respuesta a la interrogante del problema.
Respuesta:
Al final del día Antonio tiene 38, Alejandro tiene 22 y Arístides 25
A partir de la tabla podemos hacer otras operaciones. Por ejemplo, inicialmente tenían entre
todos 90 cromos, y al final tenían 85 cromos. Esto se debe a que, a pesar de que el grupo
adquirió 15 cromos, Antonio vendió 20, así que el grupo tuvo una pérdida neta de 5 cromos.
Trata de cuatro amigos que arreglan sus cuentas para hacer una donación.
¿Cuánto dona cada niño?
Representación:
Práctica 3: Cuatro amigos deciden hacer una donación de sus ahorros, pero antes arreglan
sus cuentas. Antonio, por una parte, recibe 5.000 Um de un premio y 1.000 Um por el pago
de un préstamo hecho a José y, por otra parte, le paga a Luisa 2.000 Um que le debía. Ana
ayuda a Luisa con 1.000 Um. La madre de José le envió 10.000 Um y éste aprovecha para
cancelar las deudas de 2.000 Um a Luisa, 3.000 Urna Ana y 1.000 Um a Antonio. Cada uno
de los niños decidió donar el 10% de su haber neto para una obra de caridad. ¿Cuánto dona
cada niño?

Usa la siguiente tabla:
Amigo Entrante Saliente Balance Donación
Antonio 6000 2000 4000 400
Luisa 5000 0 5000 500
José 10000 6000 4000 400
Arístides 3000 1000 2000 200
Respuesta: Antonio dona $400, Luisa $500, José $400 y Ana $200
Respuesta:
Para la ida de Coto — Aricagua:
Recorrido 1 y Recorrido 4
Para el retorno de Aricagua — Coto:
Recorrido 4, Recorrido 3 y Recorrido 1.
Práctica 4. El señor Miguel desea ir de Coto a Aricagua y regresar por bus. No existe un bus
directo entre ambas ciudades. Los recorridos de los buses son los siguientes:
Recorrido 1: Sabima - Coto - Morán - Simeto.
Recorrido 2: Coto - Sabima - Simeto - Morán - Aroa.
Recorrido 3: Sabima - Simeto - San Pedro - Morán - Aroa - Sabima.
Recorrido 4: Simeto - Morán - San Pedro - Aricagua - Simeto.
El viaje del bus se realiza solamente en el sentido indicado por los recorridos. No
necesariamente tiene que haber un viaje de ida y regreso entre dos ciudades cualesquiera.
Utilizando el mapa que se da a continuación, encuentra la ruta que tenga menos escalas
para ir de Coto a Aricagua, indicando las ciudades escalas y número de los recorridos
usados. Encuentra la ruta de regreso indicando escalas y número de los recorridos.

Personas que se gustan entre sí.
¿Cómo se podrían formar tres parejas que se gusten?
Representación:
Chicas
Chicos
Josefina Verónica Mercedes
Manuel X X X
Gerardo X X X X
Rafael X X X X X
Respuesta:
Rafael – Verónica
Gerardo – Mercedes
Manuel - Josefina
Cierre
¿Qué aprendimos en esta lección?
Solucionar problemas con diagramas de flujo e intercambios.
¿Qué características tienen estos problemas?
Posee cambio en las características y variables en función del tiempo.
¿En qué consisten estas relaciones?
Relación de cambios de características de una o más variables.
¿Cómo hicimos para estudiar este nuevo tema durante la lección?
Aplicando nuevas estrategias para la resolución de los mismo, como la estrategia de
diagramas de flujo.
Práctica 5: A Josefina le encanta salir con Gerardo y con Manuel. A Gerardo le gustan
Verónica y Mercedes. A Mercedes le gustan Gerardo y Rafael. A Verónica le gusta solo
Rafael. A Rafael le gustan las tres muchachas y a Manuel le agradan dos jóvenes, Josefina
y Verónica ¿Cómo se podrían formar tres parejas que se gusten?

LECCIÓN 10 PROBLEMAS DINÁMICOS. ESTRATEGIA MEDIOS-FINES
Introducción
En las dos lecciones anteriores de esta Unidad estudiamos la simulación concreta y abstracta, y
trabajamos un tipo de simulación abstracta particular que se llama "diagrama de flujos". El nivel
de representación mediante relaciones y fórmulas matemáticas corresponde al más elevado en
términos del grado de abstracción. Una visión detallada de este nivel escapa del objetivo de
este curso, sin embargo, consideramos importante presentar los fundamentos de este nivel de
abstracción.
Recordemos el ejercicio 2 de la lección anterior. Los tres amigos Antonio, Alejandro y Arístides
coleccionan cromos. Inicialmente tenían un cierto número de cromos cada uno; se ejerce una
acción específica que es la compra de dos paquetes de 5 cromos cada uno por parte de
Antonio. Después de ejecutar la acción hay un cambio en el número de cromos que tiene
Antonio. Vamos a construir una tabla donde se indique la cantidad de cromos que tiene cada
uno de los amigos al inicio, después de cada transacción y al final.
# de
fila
Número y tipo de transacción
Cromos de
Antonio Alejandro Arístides
1 Cromos al inicio del día 50 30 10
2
Primera transacción, compra 10
cromos por Antonio.
60 30 10
3
Segunda transacción, intercambio de
cromos: Alejandro da 5 cromos a
Antonio y recibe 2 de Antonio.
63 27 10
4
Tercera transacción, regalo de 5
cromos de Antonio y 5 de Alejandro a
Arístides.
58 22 20
5
Cuarta transacción, compra de 5
cormos por Arístides.
58 22 25
6
Quinta transacción, venta de 20
cromos por Antonio a una persona
externa
38 22 25
7 Cromos al final del día 38 22 25
Los tres amigos con sus cromos definen el límite de interés de este problema. Para distinguirlo
del resto del mundo llamamos estos elementos "sistema". El sistema sirve para definir el
ámbito al que se circunscribe o que contiene el problema o situación de interés.
Las tres columnas-de la derecha en cada fila representan como está la situación del número de
cromos de cada amigo. En la fila 1 hay una situación. En la fila 2 hay una nueva situación
diferente a la anterior, y así, se repiten estas situaciones hasta la fila 7. A esta situación le
damos el nombre de "estado". A la fila 1 la llamaos estado inicial, a la fila 7 estado final, y a
las demás filas estados intermedios. Cada estado está definido por las características de las
variables de interés en el sistema. En este caso particular hay solo una variable de interés, el
número de cromos de cada uno de los tres amigos. Si Antonio está en su casa o en la calle,
sentado o parado, nos tiene sin cuidado. Podemos afirmar que esa variable permite describir
íntegramente el estado del sistema.

La columna con las celdas sombreadas nos indican que acciones están ejecutando los amigos
que afectan el estado del sistema, es decir, que producen cambios en la variable de interés
generan un nuevo estado. A una acción que genera un nuevo estado lo llamamos "operador'
Cada una de las celdas identifica el operador que está actuando y que da lugar al nuevo estado
descrito en las columnas de la derecha. En este caso en particular tenemos los operadores
compra de cromos, intercambio de cromos, regalo de cromos y venta de cromos. Noten que la
fila 2 y la fila 5 tienen el mismo operador, pero actúa sobre diferente persona. Eso significa que
cada operador debe ser descrito especificando todas las condiciones que determinan los
cambios que genera.
Otro ejemplo de sistema puede ser el ascensor de un edificio público. El estado inicial es el piso
de partida y el estado final es el piso de llegada. Los estados intermedios son los pisos
intermedios donde se detiene. En este caso hay dos operadores, uno, subir pasajeros y, otro,
bajar pasajeros. Sin embargo, con toda seguridad existe una capacidad máxima para el
ascensor, por ejemplo, carga máxima 800 Kg o 10 pasajeros. Esto es una limitación en fa
acción del operador. Este tipo de limitación es llamada una "restricción".
Cada situación tiene un sistema que contiene o define los elementos propios de la situación,
tiene una o varias variables que permiten establecer el estado del sistema, y tiene uno o más
operadores, con sus respectivas restricciones, que generan cambios, y que determinan la
evolución en el tiempo del sistema. Por esta razón estas definiciones son aplicables a
problemas dinámicos.
Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante, Por lo tanto, estamos
ante un problema. Inmediatamente podemos identificar los elementos que se indican en el
enunciado:
Sistema: rio con tres personas (Roberto con Mario y Víctor) y un bote.
Estado inicial: Roberto, Mario y Víctor en una ribera del rio con el bote.
Estado final: Roberto, Mario y Víctor en la ribera opuesta del rio con el bote.
Operadores: Cruzado del rio con el bote.
Restricciones: capacidad máxima del bote de 100 Kg.
¿Cómo podemos describir el estado? Utilicemos la siguiente notación:
(P, N, N, b, ::)
Esto significa que los cuatro puntos simbolizan el rio. En la ribera izquierda están Roberto (P),
Mario (N), Víctor (N) y el bote (b). Hemos representado los dos niños con la misma letra N
porque para efectos del problema son iguales. En la ribera derecha no hay ningún elemento.
Otro ejemplo con la notación (N, b :: P, N) significa que uno de los hijos (Mario o Víctor) y el
bote están en la ribera izquierda, y Roberto y el otro hijo están en la ribera derecha.
Ejercicio 1. Roberto y sus dos hijos, Mario y Víctor, están en una margen de un rio que
desean cruzar. Es necesario hacerlo usando el bote que disponen, cuya capacidad máxima
es de 100 Kg. Si Roberto pesa 90 Kg y Mario y Víctor 40 Kg cada uno, ¿Cómo pueden
hacer para cruzar el río?

Ahora debemos revisar el operador. ¿Qué posibilidades existen para cruzar el rio? Bueno, las
posibilidades son:
A 1. Bote con 1 hijo (cualquiera de los dos); peso en el bote: 40 Kg
A 2. Bote con 2 hijos; peso en el bote: 80Kg
A 3. Bote con padre; peso en el bote: 90 Kg
A 4. Bote con padre y un hijo; peso en el bote: 130 Kg
A 5. Bote con padre y dos hijos; peso en el bote: 170 Kg
El peso dentro del bote en las posibilidades 4 (130 Kg) y 5 (170 Kg) exceden los 100 Kg de
capacidad máxima del bote. Tomando en cuenta la restricción del problema solo tenemos tres
posibilidades para el operador del problema.
La evolución en el tiempo resulta de la ejecución de acciones. Para la primera acción
apliquemos el operador al estado inicial. Recordemos el estado inicial: padre y dos hijos con el
bote en la ribera izquierda del rio. La posibilidad 1 significa que un hijo toma el bote y cruza el
río. La posibilidad 2 significa que los dos hijos toman el bote y cruzan el rio. Y la posibilidad 3
significa que el padre toma el bote y cruza el rio. Con cada aplicación del operador surge un
nuevo estado. Esto podemos representarlo como sigue:
Este diagrama significa que a partir del estado inicial se generan tres estados intermedios como
resultado de la aplicación de las tres posibilidades del operador del problema. El estado inicial
deja de existir, y en su lugar tenemos tres posibles nuevos estados, como se visualiza en el
diagrama.
El resultado de la ejecución de una segunda acción lo obtenemos repitiendo la acción de
aplicación del operador a cada uno de los tres posibles estados resultantes de la primera
acción. Para el estado (P, N :: N, b), resultante de aplicar la posibilidad 1, tenemos que solo es
posible que el hijo tome el bote y cruce el rio, con lo cual regresa al estado inicial. Para el
estado (N, N :: P, b) ocurre lo mismo; solo existe la posibilidad 3, que significa que el padre
toma el bote, cruza el rio y regresa al estado inicial. Para el estado (P :: N, N, b) la situación es
diferente. Existen dos alternativas del operador, la posibilidad 2 y la posibilidad 1; es decir, que
los dos hijos tomen el bote, crucen el rio y regresen al estado inicial, o que uno de los dos hijos
tome el bote, cruce el rio y genere el nuevo estado (P, N, b :: N), diferente de todos los estados
existentes hasta ahora. El diagrama se amplía y queda como sigue:
En este segundo diagrama se muestran todas las alternativas posibles estados alcanzados
después de ejecutar dos acciones. Podemos destacar los siguientes cambios, primero, las
flechas de retorno que aparecen en las tres fechas iniciales que teníamos; y segundo, la

aparición de una nueva flecha para representar la ejecución del operador que genera un nuevo
estado. Para seguir la evolución en el tiempo invocamos la ejecución de una tercera acción.
En la tercera acción la única situación novedosa resulta de aplicar el operador al nuevo estado
posible que surgió de la segunda ejecución del operador. Para este estado (P, N, b :: N) hay
dos alternativas de aplicación del operador, la posibilidad 1 (hijo toma el bote y cruza) con la
cual se regresa al estado anterior, o la posibilidad 3 (padre toma el bote y cruza), con la cual se
genera un nuevo estado. El nuevo diagrama resultante de todas las alternativas posibles
después de ejecutar tres acciones es:
En este tercer diagrama hemos incluido los dos cambios producto de la ejecución de la tercera
acción: el retorno al estado anterior y el nuevo estado resultante de la aplicación de la
posibilidad 3 del operador.
Ya hemos visto cómo actúa el operador con la ejecución de cada acción. Para la cuarta
ejecución si el padre toma el bota y cruza, regresamos al estado anterior, pero si el hijo toma el
bote y cruza, generamos el nuevo estado (N, N, b :: P). Y repitiendo el procedimiento descrito
anteriormente, seguimos a la quinta ejecución. En este caso un nuevo estado resulta cuando
ambos hijos toman el bote y cruzan el rio. El diagrama resultante con la ejecución de las
acciones cuarta y quinta es:

Este último estado corresponde al padre con los dos hijos y el bote en la ribera derecha del río.
Es decir que Roberto, Mario, Víctor están en la ribera opuesta (derecha) del rio con el bote. Este
es precisamente el estado final del problema. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta ¿Cómo
pueden hacer para cruzar el rio? La podemos obtener ejecutando las posibilidades del operador
que se indican en el diagrama desde el estado inicial hasta el estado final.
Para que el grupo cruce el rio deben hacer lo siguiente: primero los dos hijos cruzan con el con
el bote, uno de los hijos se queda en la ribera derecha y el otro regresa con el bote, entonces el
padre cruza el rio, luego el hijo que se quedó cruza el rio y, finalmente, ambos hijos cruzan el rio
para completar el objetivo planteado.
La estrategia que acabamos de completar se llama Medios-fines, y es la estrategia más
sofisticada para la solución de problemas dinámicos. El diagrama que completamos se le llama
espacio del problema o de la situación planteada.
Definiciones
Sistema: Es el medio ambiente con todos los elementos e interacciones existentes donde se
plantea la situación.
Estado: Conjunto de características que describen integralmente un objeto, situación o
evento en un instante dado; al primer estado se le conoce como "inicial", al último como
"final", y a los demás como "intermedios"
Operador: Conjunto de acciones que definen un proceso de transformación mediante el cual
se genera un nuevo estado a partir de uno existente; cada problema puede tener uno o más
operadores que actúan en forma independiente y uno a la vez.
Restricción: Es una limitación, condicionamiento o impedimento existente en el sistema que
determina la forma de actuar de los operadores, estableciendo las características de estos
para generar el paso de un estado a otro.
Estrategia Medio-fines
Es una estrategia para tratar situaciones dinámicas que consiste en identificar una secuencia
de acciones que transformen el estado inicial o de partida en el estado final o deseado.
Para la aplicación de esta estrategia debe definirse el sistema, el estado, los operadores y
las restricciones existentes. Luego, tomando como punto de partida un estado denominado
inicial, se construye un diagrama conocido como Espacio del Problema donde se visualizan
todos los estados generados por sucesivas aplicaciones de los operadores actuantes en el
sistema. La solución del problema consiste en identificar la secuencia de operadores que
deben aplicarse para ir del estado inicial al estado final o deseado.
Práctica 1. Dos misioneros y dos caníbales están en una margen de un rio que desean
cruzar. Es necesario hacerlo usando el bote que disponen. La capacidad máxima del bote es
de dos personas. Existe una limitación: en un mismo sitio el número de caníbales no puede
exceder al de misioneros porque, si lo excede, los caníbales se comen los misioneros.
¿Cómo pueden hacer para cruzar los cuatro el río para seguir su camino?

Sistema: Transportar a los caníbales y misioneros de una orilla a otra.
Estado inicial: Los 2 caníbales y los 2 misioneros en el margen de un río con el bote.
Estado final: Los 2 caníbales y los 2 misioneros en la rivera opuesta.
Operadores: Cruzado del Río con el Bote.
¿Cuántas restricciones tenemos en este problema? ¿Cuáles son esas restricciones?
Dos, la capacidad del bote es de dos personas y en un mismo sitio el número de
caníbales no puede exceder al de los misioneros.
¿Cómo podemos describir el estado?
(M, M, C, C, b::)
¿Qué posibilidades o alternativas existen para cruzar el rio con el operador tornando en cuenta
la restricción de la capacidad del bote?
(M, C::M, C, b)
(C, C::M, M, b)
(M, C, b::M, C)
(M, C, M::C, b)
(M, M::C, C, b)
¿Qué estados aparecen después de ejecutar la primera acción actuando con las cinco
alternativas del operador? Dibuja el diagrama resultante de aplicar todas las alternativas del
operador al estado inicial.
¿Qué ocurre con la alternativa de que un misionero tome el bote y cruce el rio?
Es descartada porque en un solo lugar no pueden quedarse dos caníbales porque si no
se comerían al misionero.

Construye el diagrama después de las sucesivas aplicaciones del operador. ¿Cómo queda el
diagrama?
Respuesta: primero el misionero y el caníbal cruzan con el boto, luego el misionero
regresa por el otro misionero y cruzan el río. Uno de los misioneros se regresa por el otro
caníbal y lo cruza.
Reflexiones acerca del "Espacio del Problema"
El "Espacio del Problema" es un diagrama que representa todos los estados a los que
podemos tener acceso. Si un estado aparece, podemos llegar a él ejecutando los
operadores que dan lugar a su aparición. Si un estado no aparece, es que es imposible
poder acceder a dicho estado.
En la elaboración de "Espacio del Problema" debemos aplicar todos los operadores posibles
al estado de partida o inicial. Luego se repite esta misma aplicación a cada uno de los
estados que se generaron después de la primera aplicación de los operadores. Ocurre que
se generan estados ya existentes; en ese caso no necesitamos repetirlos en el diagrama
porque ya le hemos aplicado todos los operadores posibles a ese estado.

Sistema: Rio, tobos de 5 y 3 litros y cuidador.
Estado inicial: Los dos tobos vacíos.
Esta final: El tobo de 5 litros conteniendo 4 litros de agua.
Operadores: 3 operadores; llenado de tobo con agua del rio, vaciado de tobo y trasvasado entre
tobos
¿Qué restricciones tenemos en este problema? Una, que la cantidad de 4 litros sea exacta.
Usando un par ordenado (X, Y), donde X es la cantidad de agua que contiene el tobo de 5 litros
e Y es la cantidad de agua que contiene el tobo de 3 litros. Por ejemplo, (3,0) significa que hay
tres litros de agua en el tobo de 5 litros y el tobo de 3 litros está vacío.
¿Qué estados se generan después de ejecutar la primera acción con los diferentes operadores
después que él llega al rio? Dibuja el diagrama resultante de aplicar todas las alternativas del
operador al estado inicial. Sigue luego construyendo el diagrama con las aplicaciones sucesivas
de los operadores.
Práctica 2: Un cuidador de animales de un circo necesita cuatro litros exactos de agua para
darle una medicina a un elefante enfermo. Se da cuenta que solo dispone de dos tobos, uno
de 3 litros y otro de 5 litros. Si el cuidador va al rio con los dos tobos, ¿cómo puede hacer
para medir exactamente los 4 litros de agua con esos dos tobos?

Sistema: Tres tobos: un tobo lleno de 8 litros, uno de cinco y otro de 3 litros.
Estado inicial: Tobo de 8 litros lleno y 2 vacíos.
Operadores: Llenado, vaciado y trasvasado entre tobos con agua
Estado final: agua dividida en dos partes iguales
¿Qué restricciones tenemos en este problema?
Se deben hacer trasvases entre los tres tobos, y los 8 litros deben dividirse en dos
porciones de 4 litros exactos cada uno.
T8,8L :: T5,0L :: T3,0L
¿Qué estados se generan después de ejecutar la primera acción con los diferentes operadores
después que él llega al rio? Dibuja el diagrama resultante de aplicar todas las alternativas del
operador al estado inicial. Sigue luego construyendo el diagrama con las aplicaciones sucesivas
de los operadores.
T8,8L :: T5,0L :: T3,0L
T8,5L :: T5,0L :: T3,3L
T8,5L :: T5,3L :: T3,0L
T8,2L :: T5,5L :: T3,1L
T8,7L :: T5,0L :: T3,1L
T8,7L :: T5,1L :: T3,0L
T8,4L :: T5,1L :: T3,3L
T8,4L :: T5,4L :: T3,0L
Práctica 3: Un señor dispone de 3 tobos, uno tobo de 8 litros, uno de 5 litros y el tercero de
3 litros. Si el tobo de 8 litros está lleno de agua, ¿Cómo puede dividir el agua en dos
porciones de exactamente 4 litros haciendo exclusivamente trasvases entre los tres tobos?

X= Medida de cuatro gramos
Y= Medida de once gramos
Cierre
Problemas dinámicos, estrategia Medios-Fines
¿Por qué es importante la estrategia de medios-fines?
Nos permite tratar situaciones dinámicas mediante la identificación de una secuencia de
acciones que transformen un estado inicial al final.
¿Qué elementos intervienen en la solución de un problema con la estrategia medio-fines?
El sistema, el estado, los operadores y las restricciones existentes.
X,0g :: Y,0g
X,4g :: Y,0g
X,0g :: Y,4g
X,4g :: Y,4g
X,0g :: Y,8g
X,4g :: Y,8g
X,1g :: Y,11g
Práctica 4: Un cocinero desea medir un gramo de sal pero descubre que solo tiene medidas
de 4 gramos y 11 gramos. ¿Cómo puede hacer para medir exactamente el gramo de sal sin
adivinar la cantidad?

JUSTIFICACIÓN:
La búsqueda exhaustiva es una estrategia que se utiliza para resolver problemas en los cuales
no es posible hacer una representación a partir de su enunciado. En este tipo de problemas
generalmente se identifican características de la solución, y en base a estas características se
procede en proceso de búsqueda sistemática de una respuesta.
El proceso que se sugiere en esta estrategia es una búsqueda ordenada o disciplinada, que nos
permite evitar la prueba al azar con los consiguientes resultados negativos y a veces
frustrantes.
Existen dos caminos para manejar esta búsqueda sistemática y ordenada de una respuesta. La
primera es generando respuestas tentativas a las cuales sometemos a un proceso de
verificación para validar cuales son la solución o soluciones reales; la segunda es construyendo
paso a paso una respuesta que cumpla con las características planteadas en el enunciado del
problema.
A la primera alternativa se le denomina "Tanteo sistemático por acotación del error", o
simplemente "acotación del error" por estar implícito en el tanteo al generar soluciones
tentativas. Este esquema tiene dos momentos, el primero, con la construcción de una tabla de
soluciones tentativas, y el segundo momento con la validación para determinar cuáles de ellas
son realmente soluciones. El tanteo sistemático consiste en definir ordenadamente el conjunto
de todas las soluciones tentativas del problema. Para la selección de la respuesta es importante
seguir una estrategia apropiada que nos ayude a manejar los números generalmente elevados
de soluciones tentativas hasta encontrar la que se ajusta a los requerimientos del problema, que
es la que llamarnos respuesta definitiva o real.
La segunda -alternativa se le denomina "búsqueda exhaustiva por construcción de
Soluciones", o simplemente "construcción de soluciones". Este esquema depende de las
características de la solución que plantea el enunciado. Cada problema tendrá un esquema de
construcción particular para él.
De acuerdo a lo dicho, la estrategia general "Búsqueda exhaustiva", se aplica a través de dos
estrategias particulares descritas en el párrafo anterior.
OBJETIVOS:
A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:
1. Aplicar las estrategias de búsqueda exhaustiva en la resolución de problemas.
2. Reconocer los tipos de problemas que admiten el uso de esta estrategia.
3. Comprender' la utilidad de la estrategia que nos ocupa.
UNIDAD V: SOLUCIÓN POR BÚSQUEDA EXHAUSTIVA

LECCIÓN 11
PROBLEMAS DE TANTEO SISTEMÁTICO POR ACOTACIÓN DEL
ERROR
Introducción
¿Sobre qué trató la primera unidad de este libro?
Sobre la Introducción a la solución de problemas.
¿Sobre qué trataron la segunda y tercera unidad de este libro?
Problemas de relaciones con una variable y con 2 variables
¿Sobre qué trató la cuarta unidad de este libro?
Problemas relativos a eventos dinámicos
¿Qué tienen en común todas las unidades estudiadas?
Que todos plantean un problema para la resolución de la misma
¿Cuál es la estrategia general para la solución de un problema?
Leer e identificar los datos (Diagramas de flujos, simulación concreta y abstracta)
Hasta ahora siempre hemos combinado la información del enunciado para generar diagrama,
un esquema o una representación tabular a partir de la cual generábamos una respuesta,
generalmente por inspección. En este caso vamos a encontrarnos con enunciados diferentes
que no nos permiten ese tipo de representaciones.
Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante. Por lo tanto, estamos
ante un problema. El problema consiste en averiguar cuántos conejos y gallinas hay en El
corral. A partir del enunciado podemos sacar la siguiente información: que son conejos y
gallinas, que hay al menos dos de cada uno, que el número total de animales es 16 y que el
número, de patas es de 52.
La solución tentativa es un número de conejos entre 2 y 14 y un número de gallinas entre 2 y 14
y que sumen 16. Esto podemos verlo mejor si lo representamos como sigue:
Consejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
Ejercicio 1. En un corral un granjero tiene conejos y gallinas. Un niño le pregunta
¿cuántos animales tiene de cada uno?. El granjero, que le gusta jugar bromas, le contesta:
"Son 16 animales entre gallinas y conejos, por lo menos hay 2 gallinas y 2 conejos, y el
número total de patas es de 52". ¿Cómo puede el niño averiguar el número de animales
de cada tipo?

La solución está entre esos trece pares de números. Hemos usado la información que hay por
lo menos 2 conejos y 2 gallinas. ¿Cuál es la respuesta? No sabemos. Solo sabemos que esas
son todas las soluciones tentativas para el problema. La respuesta tiene que ser una de ellas.
¿Cómo podernos averiguar la respuesta real? Ahora recordemos que otro dato era el número
de patas. Como es conocido que los conejos tienen 4 patas y las gallinas 2, podemos usar esa
información para determinar la respuesta. Podríamos hacer 13 veces ese cálculo, pero si
queremos ahorrar tiempo y trabajo, hagámoslo por parte. Primero calculemos los valores de los
extremos para verificar que la solución está ahí.
Consejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
Numero de Patas 22 64
Sumando el número de conejos por 4 con el número de gallinas por 2 obtenemos el número de
patas. 22 patas en el caso de 2 conejos y 14 gallinas; y 64 patas en el caso de 14 conejos.
Efectivamente, el número de 52 patas está contenido en el listado de soluciones tentativas.
Ahora, para continuar con nuestro ahorro de tiempo y trabajo, probemos el punto medio del
listado, esto es, probemos el par 8 conejos y 8 gallinas. Nos da 48 patas.
Consejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
Numero de Patas 22 48 64
Esto nos indica que la solución está entre 9 conejos y 7 gallinas, y 13 conejos y 3 gallinas (ya
sabemos que los pares 8 y 8, y 14 y 2 no son respuestas válidas, son solo soluciones
tentativas. Ahora probamos el punto medio del intervalo indicado anteriormente. Esto es, el par
de 11 conejos y 5 gallinas. Nos da la operación 54 patas. La representación queda como sigue:
Consejos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Gallinas 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
Numero de Patas 22 48 54 64
Ahora podemos afirmar que la solución es 9 conejos y 7 gallinas, o 10 conejos y 6 gallinas.
Como 52 está más cerca de 54 que de 48, probemos primero 10 conejos y 6 gallinas.
Obtenemos 52 patas. Exactamente el número que buscábamos.
Entonces podemos concluir que la respuesta es que el granjero tiene 10 conejos y 6 gallinas en
el corral. Este par de números cumple todas las condiciones del enunciado: son conejos y
gallinas, más de 2 de cada tipo de animal, son 16 animales y tienen 52 patas.
Muy importante, solo tuvimos que hacer 5 evaluaciones del número de patas. Esto se debe a
que nos fuimos guiando por el error que obteníamos cuando calculábamos el número de patas.
Nos movíamos en la dirección de hacerlo menor; era como encerrar la solución en un rango que
era cada vez más pequeño, hasta que llegamos al valor que era la respuesta al problema.
Estrategia de tanteo sistemático por acotación del error
El tanteo sistemático por acotación del error consiste en definir el rango de todas las
soluciones tentativas del problema, evaluamos los extremos del rango para verificar que la
respuesta está en él, y luego vamos explorando soluciones tentativas en el rango hasta
encontrar una que no tenga desviación respecto a los requerimientos expresados en el
enunciado del problema. Esa solución tentativa es la respuesta buscada.

¿Cuál es el primer paso para resolver el problema?
Sacar toda la información posible
¿Qué tipos de datos se dan en el problema?
Cuantitativos: Número de niños, nombre de la golosina, valor unitario de los chocolates y
de los caramelos
¿Qué se pide?
¿Cuántos caramelos y cuantos chocolates compraron cada niño si gastaron entre todos 40Um?
¿Cuáles podrían ser las posibles soluciones? Haz una tabla con los valores.
Caramelos 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Chocolates 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048
Total 8 40 2068
¿Qué relación nos puede servir para determinar si una posible respuesta es correcta? ¿Qué
pares de posibles soluciones debemos evaluar para encontrar la respuesta con el menor
esfuerzo?
La relación entre el costo y las cantidades de caramelos y chocolates. Extremos con extremos y
medios.
¿Cuál es la respuesta?
8 niños compraron 1 chocolate cada uno y 4 niños compraron 1 caramelo cada uno.
¿Qué estrategia aplicamos en esta práctica?
Tanteo sistemático por acotación del error.
¿Cuál es el primer paso para resolver el problema?
Leer, extraer datos e identificar las variables.
¿Qué tipos de datos se dan en el problema?
Cualitativos y cuantitativos, ancho, profundidad, medición del frente, perímetro, superficie
Práctica 1: En una máquina de venta de golosinas 12 niños compraron caramelos y
chocolates. Todos los niños compraros solamente una golosina. Los caramelos valen 2
1.1m y los chocolates 4 Um. ¿Cuántos caramelos y cuantos chocolates compraron los
niños si 1 gastaron entre todos 40 Um?
Práctica 2: En la misma granja del ejercicio 1, el niño le pregunta al granjero ¿qué
superficie tiene el corral de los animales? El granjero se para frente al corral y le contesta:
"El corral es rectangular, el ancho es menor que la profundidad, la medición del frente es
un numero entero y par, el perímetro del corral es 58 m y su superficie es mayor de 170
m2 pero no. Llega a los 200 m2. ¿Cómo puede el niño averiguar el ancho y la profundidad
del corral?

¿Qué se pide?
¿Cómo puede averiguar el niño el ancho y la profundidad del corral?
¿Cuáles podrían ser las posibles soluciones? Haz una tabla con los valores.
Ancho 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Profundidad 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9
Área 54 168 190 204 54
Perímetro 190
¿Qué relación nos puede servir para determinar si una posible respuesta es correcta? ¿Qué
pares de posibles soluciones debemos evaluar para encontrar la respuesta con el menor
esfuerzo?
La relación entre el ancho y la profundidad. Extremos con extremos y medios.
¿Cuál es la respuesta?
El ancho es de 10m , la profundidad es de 19m y en total el perímetro es de 190
¿Qué estrategia aplicamos en esta práctica?
Tanteo sistemático por acotación de error.
Estrategia binaria para el tanteo sistemático
El método seguido para encontrar cuál de las soluciones tentativas es la respuesta correcta se
llama estrategia binaria. Para poder aplicar esta estrategia hacemos lo siguiente: Ordenamos
el conjunto de soluciones tentativas de acuerdo a un criterio. Por ejemplo, el número de
conejos, o el número chocolates o caramelos.
Luego le aplicamos el criterio de validación (el número de patas o el costo de las golosinas) a
los valores extremos para verificar si es uno de ellos la respuesta, o que la respuesta es una
de las soluciones intermedias.
Continuamos identificando el punto intermedio que divide el rango en dos porciones y le
aplicamos la validación a dicho punto. Si esa no es la solución, entonces podemos identificar
en que porción del rango está la respuesta. Como resultado de este paso terminamos con un
nuevo rango que tiene la mitad de soluciones tentativas que tiene el rango original.
Repetimos el paso anterior comenzando por identificar el nuevo punto intermedio que divide el
nuevo rango en dos porciones y repetimos la validación en ese punto. Si no hemos acertado la
respuesta, terminamos con otro nuevo rango que tiene la cuarta parte de las soluciones
tentativas que tiene el rango del inicio del problema.
Repetimos esto hasta encontrar la respuesta al problema.
Este método es muy efectivo para descartar soluciones tentativas incorrectas. El número de
evaluaciones necesarias con este método es como sigue:
Numero de soluciones
tentativas
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Numero de evaluaciones para
obtener la respuesta
14 13 12 11 10 9 8 7 6

Haz la práctica ahora. El espacio en blanco que sigue es para que anotes las ayudas que
necesites para adivinar el número que te toque, No sigas leyendo hasta completar la práctica.
N° PREGUNTAS RESPUESTAS
1 ¿Es par? No
2 ¿Es mayor a 100? Si
3 ¿Está entre 100-110? No
4 ¿Está entre 115-120? No
5 ¿Está entre 120-128? Si
6 ¿Es el 11? Si
Si la persona responde en menos de 7 preguntas hay dos alternativas, o el número es muy
"fácil" o la persona tiene mucha suerte adivinando.
Si la persona gastó 8 o más preguntas es que no aplicó correctamente la estrategia binaria.
¿Cómo debe hacerlo para que solo requiera, a lo sumo, 7 preguntas?
A) 3 5 4 6 2 = 31
Si pongo todos +, queda 3 + 5 + 4 + 6 + 2 = 20, demasiado pequeño; tengo que multiplicar.
Si pongo todos x, queda 3 x 5 x 4 x 6 x 2 = 720, demasiado grande. Como 31 está más cerca
de 20 que de 30, voy a ensayar soluciones con 3 sumas y 1 multiplicación. Tengo cuatro
alternativas:
a) 3 + 5 + 4 + 6 x 2 = c) 3 + 5 + 4 x 6 + 2 =
b) 3 + 5 x 4 + 6 + 2 = d) 3 x 5 + 4 + 6 + 2 =
Ahora aplicamos el criterio que nos permita verificar si la alternativa es válida o no.
La alternativa c) la suma es 31, con lo cual es una posible respuesta. No sabemos si existen
otras respuestas igualmente válidas. ; Qué pasa si ninguna de estas alternativas es correcta?
Práctica 3: Esta práctica consiste en un juego. Seleccionar dos alumnos. Uno piensa un
número entre 1 y 128 ambos incluidos que lo va a escribir en un papel que mantiene 1,
guardado. El otro alumno trata de adivinar el número; para esto solo puede hacer
preguntas cuya respuesta sea un "si" o un "no". Anota el número de preguntas que hizo
cada uno de los alumnos que adivinaba el número. Discutir los resultados.
Práctica 4: Coloca signos + y x entre los números indicados para que la igualdad sea
correcta. Dale prioridad a la operación de multiplicación, es decir, primero multiplica, y
luego suma todos los términos al final.

Debemos pasar a ensayar las alternativas con 2 sumas y 2 multiplicaciones. Estas son:
a) 3 + 5 + 4 x 6 x 2 = d) 3 x 5 + 4 x 6 x 2 =
b) 3 + 5 x 4 + 6 x 2 = e) 3 x 5 x 4 + 6 x 2 =
c) 3 + 5 x 4 x 6 + 2= f) 3 x 5 x 4 x 6 + 2 =
Y en el caso que ninguna de estas sea una respuesta, hay aún más alternativas de posibles
soluciones considerando 1 suma y 3 multiplicaciones.
a) 3 + 5 x 4 x 6 x 2 = c) 3 x 5 x 4 + 6 x 2 =
b) 3 x 5 + 4 x 6 x 2 = d) 3 x 5 x 4 x 6 + 2 =
En total podemos armar 16 alternativas de posibles soluciones.
B) 8 * 2 + 5 = 21
C) 7 * 5 + 2 * 6 = 47
7 + 5 + 2 * 6 = 84
7 * 5 + 2 * 6 =
35 + 12 = 27
D) 9 + 4 * 6 + 2 = 35
9 * 4 + 6 + 2 = 44
9 + 4 * 6 + 2 =
9 + 24 + 2 = 35
E) 4 * 2 + 3 * 7 + 5 = 34
4 * 2 + 3 + 7 + 5 = 23
4 + 2 * 3 + 7 + 5 = 36
4 * 2 + 3 * 7 + 5 =
8 + 21 + 5 =34
Cierre
Problemas dinámicos, estrategia medios-fines
¿En qué consiste la estrategia de acotación del error?
En definir el rango de todas las soluciones tentativas del problema
¿En qué consiste la estrategia binaria para el tanteo sistemático?
En descartar soluciones tentativas incorrectas

LECCIÓN 12 PROBLEMAS DE CONSTRUCCIÓN DE SOLUCIONES
Introducción
¿Cuál fue la estrategia que estudiamos en la lección anterior?
Estrategias de tanteo sistemático por acotación del error.
¿De qué trata esa estrategia?
De definir un rango de todas las soluciones tentativas del problema.
La estrategia del tanteo sistemático es un proceso de ensayo y error, es decir, ensayamos una
solución tentativa, si es esa, tenemos la respuesta, y si no es, nos vamos moviendo en una
dirección que vamos encerrando la respuesta en un rango cada vez más pequeño, hasta
encontrar la respuesta. Ahora tenemos problemas para los cuales no es posible armar una
solución tentativa. En este caso en lugar de hacer el listado de soluciones tentativas, es más
práctico tratar de armar la respuesta que cumpla con los requerimientos del enunciado del
problema.
En este problema la información que tenemos es que vamos
a usar los 9 números que hay del O al 8 para llenar los
recuadros de la figura, con la condición de que todas las
filas, columnas y diagonales sumen 12.
Si queremos construir esa figura, con esa condición no
podemos colocar cualesquiera tres números entre el O y el 8
en una fila o columna. Tiene que sumar 12. Entonces un
primer paso debería ser buscar todas las ternas de números
del O al 8 que suman 12. Vamos a ver como construimos de
manera sistemática y organizada esas ternas.
1
Iniciarnos con O y 1, pero entre el O y el 8 no hay un tercer número que nos
de la 1 suma 12. Tomando en cuenta que el mayor número es 8, entonces
el número del medio es 4.
0 4 8
2 Ahora, dejando fijo el O, podemos aumentar en 1 el 4 y disminuir en 1 el 8.
Nos queda otra terna.
0 5 7
Ejercicio 1. Coloca los dígitos del O al 8 en los cuadros de la figura de abajo, de forma tal
que cada fila, cada columna y cada diagonal sumen 12

3
Si tratamos de hacer lo mismo otra vez, nos quedaría el 0 6 6, y no
podemos repetir números. Esas son todas las ternas que tiene el 0. Para
seguir, la única opción es 3 pasar al número 1 en el inicio. Colocando 2 de
segundo tampoco hay un tercero que nos sirva. Así que repetimos lo que
hicimos en el primer paso, primero 1, tercero el 8 y vemos cual es el menor
número que puede completar la terna. Es el 3.
1 3 8
4 Repetimos el paso 2, pero dejando fijo el 1. Podemos aumentar en 1 el 3 y
disminuir en 1 el 8. Nos queda otra terna.
1 4 7
5 Repetimos el paso anterior. Podemos aumentar en 1 el 4 y disminuir en 1 el
7. Nos queda otra terna.
1 5 6
6
Si tratamos de hacer lo mismo otra vez, nos quedaría el 1 6 5. En este caso
es la misma terna del caso anterior. Cuando las construimos, siempre
llevamos los números en orden creciente para no repetir ternas. Esas,
entonces, son todas las ternas que tienen el 1 al comienzo. Para seguir, la
única opción es pasar al número 2 en el inicio. Colocando 3 de segundo, el
7 es el tercero para que la terna sume 12. Así obtenemos una nueva terna.
2 3 7
7 Repetimos el paso 2, pero dejando fijo el 2. Podemos aumentar en 1 el 3 y
disminuir en 1 el 7. Nos queda otra terna.
2 4 6
8
Si tratamos de hacer lo mismo otra vez, nos quedaría el 2 5 5, y no
podemos repetir números. Esas son todas las ternas que tiene el 2. Para
seguir, la única opción es pasar al número 3 en el inicio. Colocando 4 de
segundo, el 5 es el tercero para que la terna sume 12. Así obtenemos una
nueva terna:
3 4 5
9
Ahora no podemos aumentar el segundo y disminuir el tercero porque
rompemos el orden creciente de los números de la terna. Tampoco
podemos ir al próximo 9 número porque el tercero sería menor que el
segundo. Entonces, podemos afirmar que hemos encontrado todas las
ternas posibles de números diferentes del O al 8 que suman 12.
A la derecha tenemos la lista de las 8 ternas posibles para llenar filas del la figura.
Lo primero que debemos notar es que el número de ternas es igual al número
combinado de filas, columnas y diagonales, es decir, 3 filas, 3 columnas y 2
diagonales. De tal forma que lo único que nos queda es distribuir estas ternas en la
figura.
Si pensamos en llenar por filas, necesitamos tres ternas que no repitan números ya
que debemos usar los nueve números. Por inspección encontramos que hay dos
grupos de 3 ternas que no repiten números, estas son las siguientes:
Para decidir dónde y cómo colocamos las ternas que hemos
seleccionado de la lista de 8 ternas, observemos que el 0, el 2, el 6 y
el 8 solo figuran en dos ternas; y en la figura los recuadros encerrados
en el círculo amarillo solo participan en dos sumas que dan 12.
También podemos observar que el 4 es el único número que
participan en 4 ternas y que el cuadro del centro está en cuatro sumas
a 12. Entonces parece natural que ubiquemos el 4 en el centro y los
otros cuatro números en los cuatro recuadros señalados con círculos.
En el grupo de la izquierda, la fila del medio debe ser con la terna 0 4
8; y con el grupo de la derecha, la fila del medio debe ser 2 4 6.
0 4 8
0 5 7
1 3 8
1 4 7
1 5 6
2 3 7
2 4 6
3 4 5
0 4 8
1 5 6
2 3 7
0 5 7
1 3 8
2 4 6

Sigamos con las dos soluciones en paralelo para ver las diferencias que tienen entre ellas.
Luego en las otras dos filas debemos poner en el centro los números 2 y 6 para el grupo de la
izquierda, y O y 8 para el grupo de la derecha, como sigue:
Luego, solo nos queda completar las dos alternativas de solución que vamos construyendo. El
criterio para completar las figuras es que se cumpla que la suma de columnas y diagonales sea
12, ya que la suma de la fila está garantizada por que estamos trabajando con las tres ternas
para las tres filas.
Muy bien, hemos construido dos soluciones que cumplen las condiciones del enunciado. La
respuestas son prácticamente la misma. Las diagonales son iguales. La única diferencia es
respecto a la forma como distribuimos los primeros 5 números, que hay dos alternativas
diferentes.
La estrategia demostrada anteriormente difiere del tanteo sistemático en que en esta caso
nunca hemos tenido soluciones tentativas, El proceso ha sido un de construcción paso a paso
de una respuesta al problema planteado en el enunciado. Esta estrategia tiene un carácter
particular porque cada problema requiere de una metodología específica para la construcción
de su respuesta.
Estrategia de búsqueda exhaustiva por construcción de soluciones
La búsqueda exhaustiva por construcción de soluciones es una estrategia que tiene como
objetivo la construcción de respuestas al problema mediante el desarrollo de procedimientos
específicos que dependen de cada situación. La ejecución de esta estrategia generalmente
permite establecer no solo una respuesta, sino que permite visualizar la globalidad de
soluciones que se ajustan al problema.

¿Cuáles son las todas ternas posibles?
1 5 9 3 4 8
1 6 8 3 5 7
2 4 9 4 2 9
2 5 8 4 3 8
2 6 7
¿Cuáles grupos de 3 ternas sirven para construir la solución?
1 5 9
2 6 7
3 4 8
¿Cómo quedan las figuras?
Práctica 1. Coloca los dígitos del 1 al 9 en los cuadros de la figura de abajo, de forma tal
que cada fila, cada columna y cada diagonal sumen 15.
Práctica 2: Coloca los dígitos del 1 al 9 en los cuadros de la figura de abajo, de forma tal
que todos los grupos de tres recuadros que se indican sumen 12.

¿Cuáles son las todas ternas posibles? Nota que las ternas de este caso son diferentes a las
anteriores. Ahora son los números del 1 al 9 y las ternas deben sumar 12.
1 2 9 2 4 6
1 3 8 3 1 8
1 4 7 3 2 7
1 5 6 3 4 5
2 3 7 4 3 8
¿Cómo podemos distribuir las ternas en los cuadros? Nota que hay unos cuadros que participan
en más sumas que otros; hay un cuadro que participa en 4 sumas; es decir, el número que va
ahí debe estar incluido en cuatro ternas. Puedes hacer una tabla del número de veces que
aparece en ternas cada número del 1 al 9.
¿Cómo queda la figura?
¿Dónde buscar la información?
En este tipo de problemas donde se aplica la búsqueda de soluciones (por acotación o por
construcción de soluciones) lo primero que se hace es la búsqueda de la información que
vamos a usar. En primer lugar se busca la información en el enunciado del problema. En las
prácticas anteriores la forma de la figura, los números que vamos a usar y la condición que
se le impone están todos en el enunciado
Sin embargo, también podemos extraer información a partir de la solución que se pide en el
problema. Por ejemplo, en la práctica 2 de esta lección la información de que hay un número
participando en 4 ternas diferentes de la figura es extraída de la solución.

El enunciado solo nos plantea que reemplacemos las letras por números para que la operación
sea correcta. El resto de la información tiene que salir de la respuesta.
En primer término tenemos que A + D = D. Eso solo es posible si A es cero.
En segundo término tenemos que la suma de D + D tiene dos alternativas, o es cero, o es 10,
ya que la suma puede tener dos dígitos. Pero para que fuese cero tendría que ser D cero lo cual
no se puede. Por lo tanto, la suma debe ser 10, con lo cual el valor de D es cinco.
En tercer término tenemos O + O es D, Podríamos decir que O es 2,5 pero eso no es válido.
Hemos olvidado algo, la columna a la derecha sumó 10, así que en la operación debemos llevar
1. Lo que debimos escribir es 1 + O + O = D, es decir que O + O = D — 1 = 4, ya que D es 5.
Por lo tanto O es dos.
Reemplazando los valores para verificar la respuesta nos da:
2 5 0 +
2 5 5
5 0 5
Esta es una operación matemática correcta. Por lo tanto es la respuesta al ejercicio.
El enunciado solo nos plantea que reemplacemos las letras por números para que la operación
sea correcta. El resto de la información tiene que salir de la respuesta.
En primer término observamos que tenemos S + S = U y0+0= U. ¿Es posible que dos números
diferentes den el mismo número? Hagamos la tabla que sigue para ayudarnos.
Primer número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Segundo número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Suma de los dos números (el 1 se
lleva a la columna de la izquierda)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 19
Vemos que el 1 + 1 da 2, pero el 6 + 6 da 12. Coloco el 2 y llevo 1. De esta forma S y O pueden
ser los pares (0 y 5), (1 y 6), (2 y 7), (3 y 8) y (4 y 9). Noten que en los pares el primer número
está entre O y 4 y el segundo entre 5 y 9. Las sumas de los números del 5 y 9 consigo mismo
llevan 1 a la columna de la izquierda. Esto nos obliga a que el número a colocar en la primera
columna de la derecha debe ser el número menor del par. Si colocamos el mayor llevaríamos
un 1 adicional para la suma de la segunda columna, con lo cual las sumas de las dos columnas
Ejercicio 2: Identifica los valores de números enteros que corresponden a las letras A, D y
O para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar un único valor.
O D A +
O D D
D A D
Ejercicio 3: Identifica los valores de números enteros que corresponden a las letras O, S y
U para que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar un único valor.
O S O +
U S O
S U U

no tendrían el mismo resultado. También se desprende de la operación indicada en el
enunciado que la U debe ser un numero par.
Entonces, O es un numero entre 0 y 4. Con esa información podemos encontrar los valores
correspondientes a la U. El valor cero hay que descartarlo porque cero más cero en la primera
columna debería dar cero también y vemos en la suma del enunciado que la suma de la primera
columna es un número diferente al de los términos de la suma
Luego que tenemos los posibles valores de O y U, podemos determinar los valores
correspondientes para la S.
Finalmente podemos calcular el resultado de sumar O con U y el ¡ que llevamos de la segunda
columna a la tercera columna.
A partir de esta última tabla podemos eliminar los valores de 3 y 4 para la O porque la suma
tiene un valor superior a 9 y eso obligaría a tener un cuarto dígito que no es el caso a partir del
enunciado. También debemos hacer notar que debe cumplirse que O + U + 1 debe ser igual a
S. Eso solo se da para el valor de 2 para O. Por lo tanto podemos descartar los valores 1, 3 y 4
de la O en la tabla.
Reemplazando los valores en la operación para verificar la respuesta nos da:
2 7 2 +
4 7 2
7 4 4
Esta es una operación matemática correcta. Por lo tanto es la respuesta al ejercicio.
En esta práctica obtuvimos una respuesta única, sin embargo existen casos en los cuales
puede haber más de una solución. Algunas ayudas en este tipo de problemas:
 Cuando se suman dos números iguales en la primera columna de la derecha el
resultado de la suma es un número par, como se muestra en la tabla que hicimos en el
ejercicio 3.
 Cuando se suman dos números iguales en otras columnas diferentes a la primera de la
derecha el resultado de la suma es un número par si la suma de la columna a la derecha
es menor de 10, y es un número impar si la suma de la columna a la derecha es igual o
mayor a 10.

 Si en una columna los dos sumandos son iguales entre sí y también son iguales al
resultado, hay dos posibilidades: si no se lleva de la columna anterior, es O + O = O; y si
se lleva 1 de la columna anterior, es 1 + 9 + 9 = 9 y llevo 1 para la columna de la
izquierda.
 Si el resultado de la suma tiene una cifra más que el número de columnas, el número
de la izquierda es un 1.
 A medida que voy identificando números o relaciones entre ellos puedo ir construyendo
una tabla que me ayuda a descartar posibles soluciones que tengan para dos letras
diferentes un mismo valor numérico.
A = 8
T = 2
E = 4
S = 6
O = 1
8 2 4
+ 8 2 4
1 6 4 8
A = 4
M = 1
J = 6
T = 7
Q = 3
7 3 1
+ 7 3 3
1 4 6 4
Práctica 3: Identifica los valores de números enteros que corresponden a las letras para
que la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar un único valor.
A T E +
A T E
O S E A
T Q M +
T Q Q
M A J A

P = 4
Q = 2
R = 1
S = 8
4 2 1
* 2
8 4 2
A = 2
L = 6
O = 5
U = 1
5 6 5
+ 5 6 1
1 1 2 6
P Q R
X Q
S P Q
que 1 la operación indicada sea correcta. Cada letra solo puede tomar un único valor.
O L O +
O L U
U U A L

A = 2
C = 7
E = 1
L = 4
7 2 1
* 2
1 4 4 2
C A E
X 2
E L L A

Cierre
Problemas de construcción de soluciones
¿Cuántos tipos de problemas estudiamos?
Dos.
¿En qué consiste la estrategia utilizada en esta lección para resolver los problemas?
Consiste en construir respuestas al problema mediante el desarrollo de procedimientos
específicos que depende de cada situación.
¿Qué pasa si no resolvemos estos problemas de manera sistemática, siguiendo un orden
estricto?
Tardaríamos mucho tiempo y quizás el resultado no sería el correcto.
¿Cómo me ayuda el aprendizaje de la estrategia construcción sistemática de soluciones?
Nos ayuda a sacar mejores resultados es decir resultados precisos y no tardando mucho tiempo.

LECCIÓN 13
PROBLEMAS DE BÚSQUEDA EXHAUSTIVA.
EJERCICIOS DECONSOLIDACIÓN
Introducción
¿Qué estudiamos en la lección anterior?
Problemas de construcción de soluciones
¿Cuál estrategia hemos estudiado para resolver estos problemas?
Estrategia de búsqueda exhaustiva por construcción de soluciones.
¿Qué información puedes obtener del enunciado?
Producto de las edades
¿Cuáles son las ocho posibles tres edades cuyo producto sea 36? (Factores de 36= 3x3x2x2x1)
¿Qué significa lo que Pedro le dice "que tuvo tres hijas porque no quería tener una hija única"
Que no solo tiene una hija sino 3
Respuesta:
Las edades de las 3 hijas de Pedro son 2, 3, 6
Edades Producto Suma
2 * 3 * 6 36 11
Práctica 1: El señor Pedro le pide a un compañero de trabajo que adivine la edad de sus
tres hijas. Le da como información que el producto de las edades es 36, y que la suma de
las edades es igual al número de empleados de la empresa. El compañero le dice que no
tiene suficiente información y Pedro le dice que tuvo tres hijas porque no quería tener una
hija única: ¿Cuáles son las edades de cada una de las hijas de Pedro?

Datos:
Dígitos a utilizar del 1 al 9
Que sumados den 13
Posibles ternas:
1 3 9
1 4 8
1 5 7
2 3 8
2 4 7
2 5 6
3 4 6
Respuestas:
1 3 9
1 4 8
2 5 7
2 5 6
que cada una de las cuatro direcciones indicadas sumen 13.

Datos:
Dígitos a utilizar del 1 al 9
Que sumados den 14
Posibles ternas:
Respuestas:
1 4 9 2 4 8
1 5 8 2 5 7
1 6 7 3 4 7
2 3 9 3 5 6
1 4 9
2 4 8
3 4 7
3 5 6
Práctica 3: Se necesita colocar los dígitos del 1 al 9, sin repetirse, uno en cada cuadrado
de la figura que se presenta de manera que sumen 14, según se indica. ¿Cuáles números
puedo poner en la celda amarilla? Cuántas soluciones diferentes hay en este problema?

¿Qué relaciones puedes sacar de la figura?
A + C = 7 F + H = 7
B + C = 12 G + H = 11
D + C = 6 I + H =9
E + C = 14 A + H = 5
¿Cómo derivamos la relación siguiente?
A+B+D+E+F+G+I+4C+4H+A=7+12+6+14+7+11+9+5
¿Cuánto es la suma de A+B+C+D+E+F+G+H+I=45
¿Cómo nos queda la siguiente relación?
3C + 2H = 7+12+6+14+7+11+9+5 - 45 - (A+H)
¿Puedo saber si C es par o impar?
No
¿Qué valores pueden tener A y C?
A=2 y C=5
¿Qué valores pueden tener A y H?
A=2 y H=3
A B C D E F G H I
2 7 5 1 9 4 8 3 6
Práctica 4: El diagrama está formado por 10 círculos, cada uno de ellos contiene una letra.
A cada letra le corresponde un dígito del 1 al 9. Los números colocados en las
intersecciones de los círculos corresponden a la suma de los números asignados a los dos
círculos que se encuentran (por ejemplo, B y C deben de ser dos números que sumados
dan 12). ¿Qué número corresponde a cada letra?

¿Qué relaciones puedes sacar de la figura?
A + C = 15 F + H = 6
B + C = 10 G + H = 3
D + C = 14 I + H = 8
E + C =09 A + H = 10
¿Cómo podemos combinar estas relaciones?
A+B+D+E+F+G+I+4C+4H=9+4+6+8+3+5+2+1+7
¿Puedo saber si C es par o impar?
No
¿Qué valores pueden tener A y C?
A=9 y C=6
¿Qué valores pueden tener A y H?
A=9 y H=1
A B C D E F G H I
9 4 6 8 3 5 2 1 7
Práctica 5: El diagrama está formado por 10 círculos, cada uno de ellos contiene una letra.
A cada letra le corresponde un dígito del 1 al 9. Los números colocados en las
intersecciones de los círculos corresponden a la suma de los números asignados a los dos
círculos que se encuentran. ¿Qué número corresponde a cada letra?

¿Qué información puedes deducir de la operación con letras?
Plantea la tabla que te ayuda a identificar el o los conjuntos de letras que satisfacen la
operación?
8 5 9 4
+ 1 5 9 4
1 0 1 8 8
Verifica el resultado
A = 5
C = 1
F = 8
I = 0
O = 4
R = 9
F A R O +
C A R O
C I C F F

operación:
3 9 3 0
+ 3 9 8 4
7 9 1 9
Verifica el resultado:
A B A D +
A B C B
P B T B

operación:
2 9 2 6
+ 2 9 8 6
5 9 1 5
Verifica el resultado:
A B A D +
A B C B
P B T P

¿Qué datos te da el enunciado del problema?
3 Sobreros rojos y 2 blancos,
3 personas
¿Cuáles son todas las posibles maneras de colocar sombreros en A, B y C?
ROJO = R
BLANCO = B
¿Qué posibilidad descartas cuando A contesta que no sabe el color de su sombrero?
Ninguna
¿Qué conclusiones descartas cuando B dice que no sabe el color de su sombrero?
Ninguna
¿Qué características tienen las alternativas que quedan después que A y B contestan la
pregunta?
Se repite un color
A B R R R B
B R R B R B
C R B B R B
Práctica 9: Se tienen 3 sombreros rojos y dos blancos. Tres personas A, B y C utilizan 3
de los sombreros; los dos sombreros restantes se guardan. A y B quedan con sombreros
de colores diferentes. Las personas A, B y C no saben cuál es el color de sus respectivos
sombreros pero cada uno puede ver el sombrero de los otros dos. Se le preguntó a la
persona A: ¿Ud. sabe el color de su sombrero? y la persona respondió: "No lo sé". Se le
hizo la misma pregunta a la persona B y también contestó: "Yo tampoco lo sé".
Finalmente, se le hizo la misma pregunta a C. La persona C, que escuchó las respuestas
de A y 8, contestó con seguridad: "Si, el color de mi sombrero es XXXX". ¿Cuál es el color
del sombrero de C? ¿Cómo hizo C para saberlo?

Datos:
Dígitos del 1 al 8
La suma de 15
Posibles ternas:
1 6 8
2 5 8
2 6 7
3 4 8
3 5 7
4 5 6
Práctica 10: Se necesita colocar los dígitos del 1 al 8, sin repetirse, uno en cada cuadrado
de la figura que se presenta de manera que sumen 15, según se indica. ¿Cuál o cuáles
números puedo poner en la celda amarilla? ¿Cuántas soluciones diferentes hay en este
problema?

Datos:
Dígitos del 1 al 9
Sumen 20
Posibles cuartetos:
1 3 7 9
1 4 6 9
1 5 6 8
2 4 5 9
2 3 7 8
3 4 6 7
que la suma de los cuatro números que forman cada lado sumen 20.

Respuestas:
Cierre
¿Qué utilidad tienen estas prácticas que hemos realizado?
Resolver correctamente los problemas, utilizando estrategias que nos permitirán obtener
varias alternativas que pueden ser las posibles soluciones.
¿Qué habilidades se desarrollan mediante estas prácticas?
Habilidades del pensamiento
¿Cuáles son las estrategias de la solución de problemas por búsqueda exhaustiva?
Construcción de respuestas y la globalización de soluciones que se ajustan al problema.
¿En qué consiste la identificación de información implícita?
En guiar a una solución previa de un determinado problema.
¿Cuáles son los pasos del procedimiento general de resolución de un problema?
1. Lee cuidadosamente todo el problema.
2. Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.
3. Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir
de los datos y de la interrogante del problema.
4. Aplica la estrategia de solución del problema.
5. Formula la respuesta del problema
6. Verificar el proceso y el producto.
1 3 7 9
1 5 6 9
2 4 5 9

Tomo 3

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Similar a Tomo 3

Más de DMITRIX

Último

Tomo 3