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SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN.
NIVELACIÓN GENERAL
Desarrollo del Pensamiento
Tomo 3
Parte 1: Solución de Problemas
Parte 2: Creatividad.
Alfredo Sánchez Amestoy, PhD
La presente publicación ha sido elaborada a partir del documento
Desarrollo del pensamiento. Solución de problemas – 5to nivel, y
Desarrollo del pensamiento. Creatividad – 6to. Nivel del autor Alfredo
Sánchez Amestoy, PhD
© CENTRO DIPCI S.A. 2012
Desarrollo del Pensamiento, Tomo 3.
Parte1: Solución de Problemas.
Parte 2: Creatividad.
Primera edición – junio 2012
SENESCYT
Whymper E7 – 37 y Alpallana
Quito, Ecuador
Teléfonos (593 2) 250- 5656 / 256 – 4773 / 250 - 5660
(593 2) 250- 5661 / 250 – 5655 / 250 - 5658
www.senescyt.gob.ec
www.snna.gob.ec
ISBN: 978 – 9978 – 339 – 04 – 6
Derecho de autor: GYE – 002939, GYE – 002938 de septiembre de 2012
Diseño y arte final
Miguel Dávila
Henrry Ruales
Impresión
Imprenta Mariscal
Resuelto por:
Jackeline Arizaga.
Adrián Alcívar.
Richard Guzmán.
Diego Orellana.
CONTENIDOS TOMO II
CONTENIDO ___________________________________________________________3
PÁGINA INICIAL PARTE 1_________________________________________________5
IMFOMORMACIÓN GENERAL ACERCA DEL CURSO __________________________6
I INTRODUCCIÓN A LASOLUCIÓN DE PROBLEMAS___________________________8
Justificación y objetivos de la Unidad________________________________________8
1 Características de un problema __________________________________________9
2 Procedimiento para solución de un problema _______________________________17
II PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE________________________25
Justificación y Objetivos de la Unidad _______________________________________25
3 Problemas de Relacion Parte-todo y familiares ______________________________26
4 Problemas sobre relaciones de orden _____________________________________36
II PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES ______________________46
Justificación y objetivos de la Unidad________________________________________46
5 Problemas de tablas numéricas __________________________________________47
6 Problemas de tablas lógicas_____________________________________________57
7 Problemas de tablas conceptuales o semánticas_____________________________68
IV PROBLEAS RELATIVOS A EVENTOS DINAMICOS__________________________79
Justificación de la unidad _______________________________________________79
Objetivos de la unidad __________________________________________________80
8 Problemas de simulación concreta y abstracta _______________________________81
9 Problemas con diagrama de flujo e intercambio ______________________________87
10 Problemas dinámicos estrategia medios-fines ______________________________96
V SOLUCIONES POR BÚSQUEDA EXHAUTIVA _____________________________106
Justificación y objetivos de la Unidad _______________________________________106
11 Problemas de tanteo sistemáticos por acotación del error ____________________107
12 Problemas de construcción sistemática de soluciones _______________________113
13 Problemas de búsqueda exhaustiva .Ejercicios de consolidación_______________124
Alfredo Sánchez Amestoy,Ph.D.
Alfredo Sánchez Amestoy, PhD.
Profesor Titular
Universidad Simón Bolívar
Director del centro para desarrollo e
Investigación del Pensamiento
Caracas, Venezuela
Dirección electrónica:
alfredosancheza@hotmail.com
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TOMO III, PARTE 1
Solución de Problemas
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
TOMO III PARTE 1
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
© Queda prohibida la reproducción total o
parcial de esta obra por cualquier medio
INFORMACION GENERAL ACERCA DEL CURSO
ORGANIZACIÓN DE LAS LECCIONES
El curso comprende trece lecciones agrupadas en cinco unidades sobre la temática de la
solución de problemas:
 La primera unidad es una introducción a la solución de problemas
 Las cuatro unidades siguientes están dedicadas a estrategias específicas para la
solución de problemas basadas en aplicación de un procedimiento general para
la solución de cualquier problema.
Las unidades están divididas en lecciones y cada una costa de:
Introducción
Cuerpo
Cierre
ENFOQUE Y ESTRATEGIA
¿Cuál es el enfoque?
El enfoque obedece a nuestro lema: aprender haciendo y construyendo; aprender a
aprender, con una visión sistemática, humana e integral de la persona, el aprendizaje y la
vida.
La base operativa de esta concepción del aprendizaje, se sustenta en la metodología de
procesos, el desarrollo de las habilidades del pensamiento, la transferencia de procesos al
aprendizaje, el constructivismo y el aprendizaje significativo.
¿Cuál es la estrategia?
En cuanto a logros: monitorear el aprendizaje y estimular el desarrollo autónomo, para la
conceptualización, el logro de imágenes mentales claras y diferenciadas; aplicar el hábito de
aplicar y extender cada proceso; es decir, se trabaja para alcanzar las competencias
necesarias, para utilizar los procesos espontáneamente, con acierto y efectividad.
El aprendizaje se lograra:
 Mediante la mediación y el monitoreo del docente, para lograr el desarrollo
progresivo de la autonomía del alumno, para aprender continuamente hasta
lograr su independencia intelectual para pensar, optimizar, crear y actuar.
 Mediante la aplicación de los avances de la ciencia cognitiva, el constructivismo,
el enfoque sistemático, la mejora continua, el aprendizaje significativo u el
desarrollo integral y humano.
- ¿Qué conocemos acerca del tema?
- ¿Qué vamos a aprender?
- Construyamos el conocimiento.
- Organizamos el conocimiento proceso o concepto.
- Le damos sentido al conocimiento.
- Aplicamos el conocimiento.
- Extendemos, transferimos y generalizamos el
conocimiento, y reflexionamos sobre su aprendizaje y
aplicación.
- Concientizamos: Reflexionamos sobre lo aprendido, su utilidad
y los valores y actitudes asociados al aprendizaje y a la vida.
 A través de la estimulación adecuada, el aprendizaje gradual y la verificación y
retroalimentación permanentes.
ACTITUDES Y VALORES REQUERIDOS PARA APRENDER A APRENDER
 Reconocer las fortalezas y debilidades que se tienen y aprovecharlas para
generar ideas, aportar soluciones, aprender del entorno y compartir con otros.
 Aceptar sugerencias y orientaciones de docentes y compañeros con interés y
humildad.
 Actuar como gestores críticos y responsables del aprendizaje y del crecimiento
personal.
 Valorar el interés de docentes, familiares y amigos, en beneficio del crecimiento
personal y social.
 Mostrar disposición para reflexionar sobre los logros alcanzados y los beneficios
de aprender y aprender a aprender.
OBJETIVOS GENERALES
A través del desarrollo del pensamiento, el estudiante logara las competencias requeridas
para aprender y aprender a aprender, para actuar como pensador analítico, crítico
constructivo y abierto al cambio, capaz de monitorear su propio desarrollo, entender y
mejorar el entorno personal, familiar, social y ecológico que le rodea. En tal sentido se
precisa:
1) Desarrollar los conocimientos, habilidades, actitudes y valores asociados a los
estilos de pensamiento convergente y divergente y al razonamiento lógico,
crítico y creativo, requeridos para desempeñarte con éxito y satisfacción en tus
ámbitos de competencia académica, familiar, social y ambiental
2) Despertar en los docentes y estudiantes, el interés y la disposición para
monitorear el crecimiento propio y de otros, con una perspectiva sistemática,
futurista, integral, dinámica, crítica, constructiva, humana y perfectible.
3) Valorar el papel que juega el pensamiento como herramienta indispensable,
para facilitar el desarrollo intelectual, social, moral y ético de las personas y para
proyectar su ámbito de influencia hacia sí mismo, la sociedad y el medio.
ESTÁNDARES DE DESEMPEÑO DE LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Se utilizara una escala de 5 niveles, para verificar el avance de los estudiantes en el
desarrollo de las competencias de curso, la cual se describe a continuación:
Nivel Desempeño
1. Tiene noción del concepto, procedimiento o actitud que va a desarrollar.
2. Realiza o demuestra el desempeño esperado, con la mediación del docente.
3. Realiza o demuestra el desempeño esperado, por su propia iniciativa.
4. Realiza o demuestra el desempeño esperado, por su cuenta y es capaz de corregir
sus propios errores.
5. Realiza todo lo anterior y además es capaz de guiar a otros, para tomar una
decisión, introducir modificaciones en su trabajo y crear nuevos escenarios o
productos.
Reconoce el valor y la utilidad de sus aprendizajes
LECCIÓN 1 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS
Veamos algunos ejemplos adicionales. Consideremos los enunciados que siguen y
responde las preguntas.
"¿Cuál es el porcentaje de ganancia de una persona que invierte 5.000 Um (unidades
monetarias) en mercancías y recauda 6.900 Um al venderla, sabiendo que sus gastos de
venta y publicidad son de 800 Um?"
¿Qué información aporta?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
¿Qué interrogante plantea?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
¿A qué conclusión podemos llegar respecto a si es o no un problema?
"La paz es una condición de vida que contribuye a mejorar las relaciones interpersonales."
¿Qué información aporta?
¿Qué interrogante plantea?
¿A qué conclusión podemos llegar respecto a si es o no un problema?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
"Las grandes ciudades son urbes superpobladas con gran diversidad de actividades
comerciales y productivas, generalmente con grandes problemas de contaminación.
¿Cuáles son las principales causas de la contaminación ambiental de las grandes
ciudades?"
¿Qué información aporta?
¿Qué interrogante plantea?
¿A qué conclusión podemos llegar respecto a si es o no un problema?
UNIDAD I: INTRODUCCION A LA SOLUCION DE PROBLEMAS
Definición de problema
Un problema, es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una pregunta
que debe ser respondida.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. María no tomó en cuenta los aspectos requeridos para comprar ese traje.
2. ¿Cuáles son las alternativas que deberían tomarse en cuenta para evitar que una persona
contraiga amibiasis?
3. Debemos conocer las causas que provocan la indisciplina de los estudiantes de la
escuela de la comunidad..
4. La disciplina es producto del ambiente y aw favorece mediante la adopción de normas
que todos estén dispuestos a aceptar y respetar.
5. ¿Qué debemos hacer para evitar que Marlene cometa el mismo error siempre?
6. ¿Cuáles son las causas que dieron origen a la conducta irregular de Juana?
Enunciados que son problemas:
1. Una persona camina de la iglesia 100mts de frente, 50 mts hacia la a la derecha
¿Adistancia esta de la iglesia?
2. Los errores de los seres humanos causan daño al planeta
u
3. áles son las causas de erosión en el suelo?
Planteamiento
¿Es un problema?
Justificación
Si No
1
2
3
4
5
6
Práctica 1: ¿Cuáles de los siguientes planteamientos son problemas y cuáles no? Justifica
tu respuesta; para ello completa la tabla que sigue al listado de planteamientos.
Práctica 2: Plantea tres enunciados que sean problemas y tres que no sean problemas.
Enunciados que no son problemas:
1. El arte es la forma en la que los seres humanos expresan sus emociones
2. Los mayas acabaron su calendario en el 2012
3.
Consideremos ahora los dos problemas que siguen:
1. ¿Cuántos diccionarios marca "YOSE" de 40 Um (unidades monetarias) vendió. María
durante el día si recaudó 800 Um por este concepto?
2. ¿Qué debemos hacer para estimular la participación de la comunidad en la solución
de sus necesidades?
¿Qué semejanza encuentras en estos dos problemas?
Tiene interrogantes a ser solucionadas
¿Qué diferencias presentan ambas situaciones?
Es un problema matemático
Es un problema social
¿Puedes resolver el primer problema? ¿Cuántos diccionarios vendió?
¿Qué ocurre con el segundo problema?
¿A qué tipos de necesidades se refiere el problema? ¿Son las mismas necesidades para
todas las comunidades?
Para un mismo tipo de necesidad, ¿Todas las comunidades deben resolverlo de la misma
manera? ¿Será que la solución depende de los recursos con que cuenta la comunidad?
¿Qué concluyes de la comparación de los dos problemas respecto a la posibilidad de
poderlos resolver directamente?
Hay problemas fáciles de resolver y difíciles de resolver.
Enunciados de problemas estructurados:
1. Se requieren 20 obreros para construir una casa en 5 días ¿Cuántos obreros se necesitaría
para construir la casa en 3 días?
2. Un auto recorre una distancia de 50km/h ¿Cuántas horas se demorara en recorrer 400km?
Enunciados de problemas no estructurados:
1. ¿Cuáles serían las soluciones para reducir el índice de embarazo adolescente?
2. ué debemos hacer para que la gente esté de acuerdo con la construcción de la cárcel de
Turi?
Práctica 3: Plantea dos problemas estructurados y dos problemas no estructurados.
Las variables y la información de un problema
Los datos de un problema, cualquiera que este sea, se expresan en términos de variables,
de los valores de estas o de características de los objetos o situaciones involucradas en el
enunciado. Podemos afirmar que los datos siempre provienen de variables. Vale recordar
que una variable es una magnitud que puede tomar valores cualitativos o cuantitativos.
Práctica 4: Completa la siguiente tabla en la cual se pide que des algunos valores posibles
de la variable a la izquierda y que identifiques el tipo de variable.
a. Un jardinero trabaja solamente los días hábiles de la semana y cobra 250Um por cada
día.
¿Cuántos días debe de trabajar la persona para ganar 1.000 Um a la semana?
Variable Días laborables
Variable Sin labor
Valores 4 días
Valores 3dias
b. Un terreno mide 6.000 m2 y se desea dividir en 2 parcelas, cuyas dimensiones sean
proporcionales a la relación 3:5.
Variable Área
Variable Numero de parcelas
Valores 6.000 m2
Valores 2
c. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20 cm3, y el mismo aumenta
progresivamente, duplicándose cada 3 horas. ¿Qué volumen ocupará al cabo de 15 horas?
Variable Volumen inicial
Variable Volumen final
Valores 20 cm3
Valores 340 cm3
d. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20 cm3, y el mismo aumenta
progresivamente, incrementándose 10 cm3 cada dos horas. ¿Qué volumen ocupará al cabo
de 16 horas?
Variable Volumen inicial
Variable Volumen final
Valores 20 cm3
Valores 100 cm3
e. María, Josefina, Patricia y Carmen son cuatro hermanas. Patricia es de menor estatura
que María, pero más alta que Carmen. La estatura de Josefina excede la de María en 5 cm.
¿Cuál hermana es la de menor estatura?
Variable Numero de hermanos Valores 4
Variable Menor hermana Valores Carmen
Práctica 5: En cada una de las siguientes situaciones identifica las variables e indica los
valores que puede asumir.
¿Qué es un problema?
Un problema es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una pregunta que debe ser
respondida
¿Cómo podemos clasificar los problemas, tomando en cuenta la información que nos dan?
Estructurados
No estructurados
¿Qué diferencias existen entre los dos tipos de problemas mencionados en clase?
En los estructurados tiene toda la información necesaria para resolver el problema así como
matemáticas, etc.
En los no estructurados se necesita de una investigación para poder resolver es decir no tiene toda la
información el problema
¿Qué papel juegan las variables en el análisis y la solución de un problema?
Para identificar las características del problema
¿Qué utilidad tiene lo aprendido en la lección?
Ayuda a revisar problemas
LECCIÓN 2 PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Presentación del proceso
Consideremos el siguiente ejercicio:
Lo primero que debemos hacer es leer todo el enunciado. Nos preguntamos:
¿Tiene información? _____________________
¿Tiene una interrogante que debemos responder? _______________
Ya que ambas respuestas son afirmativas, podemos concluir que es un problema
¿De qué trata el problema?
_________________________________________
Variable: Cantidad de dinero inicial Característica: Desconocida
Variable: Primera compra Característica: Pantalón
Variable: Costo de la primera compra Característica: 50% del dinero inicial
Variable: Segunda compra Característica: Camisa
Variable: Costo de la segunda compra Característica: 300 Um
Variable: Dinero después de las compras Característica: 200 Um
Variable: Destino del remanente Característica: Pagar invitación a
comer
En tercer lugar debemos analizar las relaciones que podemos plantear y las operaciones que
podemos realizar. Esto es pensar en una estrategia para resolver el problema. ¿Qué relación
podemos establecer entre el costo del pantalón y el dinero inicial?
A partir de la tercera variable de la lista podemos decir:
1. "El pantalón le costó la mitad del dinero inicial (50%) o, lo que es lo mismo, que el dinero
inicial es el doble del costo del pantalón."
Otra relación que podemos establecer es:
2. "Después de comprar el pantalón le quedó una cantidad de dinero igual a la mitad del
dinero inicial."
Una tercera relación a partir de la quinta y sexta variable sería:
Ejercicio 1: Miguel necesitaba ropa y fue al Centro Comercial, para lo cual saco cierta
cantidad de dinero de su alcancía. Vio unos bonitos pantalones y gasto el 50% de los que
llevaba para adquirirlos, luego compro una camisa que le costó 300Um. Si al final le
quedaron 200 Um. Que gasto para invitar a unos amigos a comer. ¿Cuánto dinero saco de
su alcancía?
3. "Con el dinero sobrante después de comprar el pantalón se compró una camisa de
300Urn y le quedaron 200 Um que gasto en la comida."
Estas relaciones las podemos visualizar de la siguiente manera:
El cuarto paso es usar la relaciones y operaciones planteadas (usar la estrategia de solución
que hemos planteado) para resolver el problema. Veamos cómo queda esto:
De la segunda y tercera relaciones podemos sacar que:
La mitad del dinero inicial es igual a la suma de 300 Um y 200 Um, que son 500 Um
Luego, con la primera o segunda relaciones podemos plantear la siguiente operación:
La cantidad de dinero inicial es el doble de la cantidad que quedó después de comprar el
pantalón, La cual es de 500 Um. Por lo tanto, la cantidad de dinero inicial es de 1.000 Um.
El quinto paso es formular la respuesta:
La cantidad de dinero que sacó de la alcancía fue 1.000 Um.
¿Crees qué es importante tener un procedimiento para la solución de cualquier problema? ¿Por
qué?
________________________________________________________________________
¿Qué beneficio crees tiene aplicar este procedimiento?
________________________________________________________________________
Práctica del proceso
Es importante recordar que estas prácticas presentan problemas sencillos para resolver, pero
que lo importante es seguir el procedimiento. Si lo seguimos de manera deliberada y en forma
sistemática, vamos a alcanzar la automatización del proceso, y por consecuencia, el desarrollo
de la habilidad asociada al procedimiento o estrategia de resolución de problemas.
Practica 1: Luisa gasto 500 Um. En libros y 100 Um. En cuadernos. Si tenía disponibles
800 Um. Para gastos de materiales educativos, ¿Cuánto dinero le queda para el resto de
los útiles escolares?
1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?
________________________________________________________________________
2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.
Cantidad de dinero inicial ________________________
Primer artículo comprado: ________________________
Gastos de compra: ________________________
Segundo artículo comprado: ________________________
Gastos de la segunda compra: ________________________
Cantidad sobrante: ________________________
3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los
datos y de la interrogante del problema.
4) Aplica la estrategia de solución del problema
5) Formula la respuesta del problema.
6) ¿Cuál es el paso final en todos los procedimientos? Verificar el procedimiento .y el producto.
¿Seguiste todos los pasos en el orden del procedimiento? ¿Verificaste si los datos eran los
correctos o que no confundiste o intercambiaste algún número?
¿Las operaciones matemáticas están correctas?
________________________________________________
1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?
________________________________________________________________________
2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.
Cantidad de libros comprados: ________________________
Precio de cada libro: ________________________
Practica 2: María compro 50 libros y pago 100 Um. Por cada uno. La editorial le hizo un
rebaja de un 20% sobre el precio de lista de cada libro. Se pregunta:
¿Cuánto es el precio de lista?
¿Cuánto pago María por los 50 libros?
¿Cuánto gana el vendedor si logra colocar todos los libros al precio de lista?
Descuento sobre el precio de lista: ________________________
Precio de lista: ________________________
Cantidad pagado por María: ________________________
Ganancia del vendedor: ________________________
3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los
datos y de la interrogante del problema.
4) Aplica la estrategia de solución del problema,
5)Formula la respuesta del problema.
____________________________________________________________________________
6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el resultado?
________________________________________________
1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?
________________________________________________
2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.
Cantidad de beneficios de la herencia: ________________________
Cantidad de la herencia: ________________________
N° de divisiones de la herencia: ________________________
Parte que le corresponde a la madre: ________________________
Número de hijos: ________________________
Cantidad que recibe cada persona: ________________________
Practica 3: María, Luis y Ana son hijos de Lucia y José. José al morir deja una herencia
que alcanza a 400 mil Um., la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue:
el dinero se divide en dos partes,
½
para la madre y el resto para repartirse en partes
iguales entre los tres hijos y la madre. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona?
3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los
datos y de la interrogante del problema.
¿Podrías representar el reparto del dinero de la
Herencia en el gráfico que se da a la derecha?
4) Aplica la estrategia de solución del problema,
5) Formula la respuesta del problema.
6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el resultado?
______________________________________________________________________
1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema?
¿En qué se diferencia este problema del anterior?
________________________________________________________
2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.
Numero de beneficios: ________________________
Total de la herencia: ________________________
N° de particiones de herencia: ________________________
Parte de la herencia que le corresponde a la madre: ________________________
Practica 4: María, Luis y Ana son hijos de Lucia y José. José al morir deja una herencia
que alcanza a 400mil Um., la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el
dinero se divide en dos partes ½ para la madre y el resto para repartirse entre los tres
hijos y la madre, con la condición que la hija menor, María, reciba el doble que los demás
en esta parte. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona?
N° de hijos: ________________________
Parte que le corresponde a la hija menor: ________________________
Cantidad que recibe cada persona: ________________________
Valor de la parte de María: ________________________
3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los
datos y de la interrogante del problema. Trata de usar una representación gráfica como la usada
en el problema anterior.
4) Aplica la estrategia de solución del problema,
____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
5) Formula la respuesta del problema.
6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el resultado?
________________________________________________________________________
LECCIÓN 3 PROBLEMAS DE RELACIONES DE PARTE-TODO Y FAMILIARES
Presentación y práctica del proceso
Ejecutando los pasos de ese procedimiento garantizamos: primero, una comprensión profunda
del problema; segundo, generamos las ideas y buscamos las relaciones, operaciones y
estrategias particulares para resolver la incógnita que se nos plantea en el problema; y tercero,
la corrección de eventuales errores mediante la verificación del procedimiento y del producto del
proceso.
1) Lee todo el enunciado ¿De qué trata el problema?
__________________________________________
2) ¿Cuál es la incógnita del problema?
Reflexión
En esta lección aprendimos que la solución de los problemas debe hacerse siguiendo un
procedimiento, sin importar el tipo o naturaleza del problema. Ahora, la clave para resolver el
problema está en el paso tres donde debemos plantear relaciones, operaciones y estrategias
para tratar de responder lo que se nos pregunta.
En las próximas unidades vamos a conocer varios tipos de problema, y vamos a practicar
ese planteamiento de relaciones, operaciones y estrategias concretas para cada tipo de
problemas.
UNIDAD II: PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE
Ejercicio 1. . Con una balanza de 2 platillos y sólo 3 pesas de 1, 3, y 9 kilos respectivamente,
podrás pesar objetos cuyos pesos sean cantidades exactas entre 1 kilo hasta 13 kilos. Se trata de
identificar la pesa o grupo de pesas de las disponibles que podrían colocarse en uno o los dos
platillos para lograr un determinado equilibrio colocando el objeto en el platillo B.
Se pueden combinar las pesas como se desee. ¿Cómo se combinarían las pesas para colocarlas -
todas o algunas de ellas- en ambos platillos para pesar 2, 5, 7, 10 y 11 kilos?
3) ¿Qué relaciones o estrategias puedo derivar del enunciado del problema?,
Primera, que tenemos una balanza de platillo que se equilibra cuando ambos
platillos tiene el mismo peso.
Segunda, que cuento con 4 pesas con los valores de 1 Kg, 3Kg y 9Kg.
Tercera, que el objeto se coloca en el platillo B.
Cuarta, que tengo total libertad de colocar una o varias pesas en uno u otro platillo
para lograr el equilibrio con el objeto.
Y quinta, que el peso del objeto puede calcularse conociendo el peso total del platillo.
4) ¿Cómo podemos pesar?
Si colocamos en el platillo B objetos de 1Kg, 3Kg y 9Kg podemos equilibrado colocando en el
platillo A la pesa correspondiente al peso del objeto.
Si colocamos un objeto de 4Kg en el platillo A, ¿Cómo podemos equilibrarlo?
________________________________________________________________________
No podemos hacerlo con una sola pesa, pero si podemos hacerlo colocando en el platillo A las
pesas de 1 Kg y 3Kg juntas. De esta manera podemos pesar objetos cuyo peso sea igual a la
suma de los pesos de dos pesas. De esta manera podemos pesar objetos de 4Kg, 10Kg 12Kg.
Y si colocamos las tres pesas en el mismo platillo podemos equilibrar objetos de 13Kg.
Ya hemos completado formas de pesar objetos de 1, 3, 4, 9, 10, 12 y 13 Kg.
¿Pero cómo podemos hacer para pesar un objeto de 2Kg?
Cantidad de kg a pesar Platillo B Platillo A
1 Objeto Pesa 1kg
2 Objeto + pesa 1 kg Pesa 3kg
3 Objeto Pesa 3kg
4 Objeto Pesas 3kg y 1kg
5 Objeto + pesas 3 kg y 1kg Pesa 9 kg
6 Objeto + pesa 3 kg Pesa 9kg
7 Objeto + pesa 3 kg Pesas 9kg y 1kg
8 Objeto + pesa 1kg Pesa 9kg
9 Objeto Pesa 9kg
10 Objeto Pesas 9kg y 1kg
11 Objeto + pesa 1 kg Pesas 9kg y 3kg
12 Objeto Pesas 9kg y 3kg
13 objeto Pesas 9kg, 3kg y 1kg
5) Para formular la respuesta a la interrogante de cómo se combinan las pesas para pesar 2,
5,7, 10 y 11Kg, solamente tenemos que identificar en la tabla anterior la distribución de pesas
en cada uno de los platillos. Por ejemplo, para pesar un objeto de 2Kg. Lo colocamos en el
platillo B junto con la pesa de 1Kg, y en el platillo A colocamos la pesa de 3Kg. De la misma
manera procedemos para las demás cantidades.
6) Por último verificamos cada paso y los resultados de las operaciones.
¿Qué hacemos en primer lugar?
¿Qué datos se dan?
¿De qué variable estamos hablando?
____________________________________________________________________________
¿Qué se dice acerca del precio de venta del objeto?
¿Qué se pide?
Representación del enunciado del problema:
¿Qué se extrae de este diagrama?
________________________________________________________________________
¿Qué se concluye?
________________________________________________
¿Cuánto es el valor del objeto?
________________________________________________
¿Cómo se describe el lagarto?
¿Qué datos da el enunciado del problema?
Cabeza = ________________________
Cola= ________________________
Problemas sobre relaciones parte-todo
En este tipo de problema unimos un conjunto de partes conocidas para formar diferentes cantidades y
para generar ciertos equilibrios entre las partes. Son problemas donde se relacionan partes para
formar una totalidad deseada, por esos se denominan "problemas sobre relaciones parte-todo".
Práctica 1. El .precio de venta de un objeto es 700 Um. Este precio resulta de sumar su
valor inicial, una ganancia igual a la mitad de su valor y unos gastos de manejo de 25% de
su valor. ¿Cuánto es el valor inicial del objeto?
Práctica 2. La medida de las tres secciones de un lagarto —cabeza, tronco y cola- son las
siguientes: la cabeza mide 9 centímetros, la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del
tronco, y el tronco mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola. ¿Cuántos centímetros
mide en total el lagarto?
Tronco= ________________________
¿Qué significa que la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del cuerpo?
Escribe esto en palabras y símbolos:
________________________________________________
¿Y qué se dice del cuerpo?
________________________________________________________________________
Vamos a escribir o a representar estos datos en palabras y símbolos:
Medida del tronco = Medida cabeza + medida cola
Medida del tronco = 9 cm + medida de la cola
Si colocamos lo que mide la cola obtenemos:
Medida del tronco = 9 cm + 9 cm + mitad de la medida del cuerpo
Medida del tronco = 18 cm + mitad de la medida del cuerpo
Esto lo podemos representar en un esquema para visualizar las relaciones:
Medida del tronco
Medida de medio tronco 18cm
¿Qué observamos en el esquema? ¿Cuánto mide el tronco en total?
________________________________________________________________________
Entonces, ¿Cuánto mide en total el lagarto? Para contestar esto completa el esquema que
sigue.
Cola Tronco Cabeza
¿Qué estrategias particulares utilizamos para comprender y resolver el problema?
 Identificamos en el dibujo las partes del lagarto y las medidas respectivas
 Representemos las cantidades en el esquema
Veamos otro problema de relación entre las partes y el todo.
¿Qué debemos hacer para resolver el problema?
¿Qué se pregunta?
________________________________________________
¿Qué observan en los datos? ¿Cuál es el todo y cuáles son las partes?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
¿Cómo podemos representar estos datos?
¿Cómo lo expresamos en palabras?
________________________________________________________________________
¿Qué relación existe entre el peso del hombre y la totalidad de la carga?
________________________________________________________________________
¿Cómo calculamos el peso del hombre?
¿Cuánto pesa el hombre?
________________________
¿Qué debemos hacer una vez que conocemos el resultado?
Práctica 3. Un hombre lleva sobre sus hombros un niño que pesa la mitad que él; el niño,
al mismo tiempo, lleva un perrito que pesa la mitad que él, y el perrito lleva accesorios que
pesan la mitad que él. Si el hombre con su carga pesa 120 kilos, ¿Cuánto pesa el hombre
sin carga alguna?
Problemas sobre relaciones familiares
En esta parte de la lección se presenta un tipo particular de relación referido a nexos de
parentesco entre los diferentes componentes de la familia.
Las relaciones familiares, por sus diferentes niveles, constituyen un medio útil para
desarrollar habilidades de pensamiento de alto nivel de abstracción y es esta la razón por la
cual se incluye un tema en la lección que nos ocupa.
¿Qué se plantea en el problema?
________________________________________________
¿Qué personajes figuran en el problema?
________________________________________________________________________
¿Qué relaciones podemos establecer entre estos personajes?
________________________________________________
________________________________________________
Completa las relaciones en la representación. La de suegra – yerno ya está indicada.
¿Que se observa en el diagrama con respecto a María y el señor del retrato? ¿ Que tienen en
común?
________________________________________________
¿Qué relación existe entonces entre ambas personas?
Respuesta del problema:
________________________________________________
¿Qué hicimos en este ejercicio?
Práctica 4. María muestra el retrato de un señor y dice:
"La madre de ese señor es la suegra de mi esposo."
¿Qué parentesco existe entre María y el señor del retrato?
¿Qué tipo de estrategia utilizamos?
________________________________________________
¿Qué se plantea en el problema?
________________________________________________
¿A qué personajes se refiere el problema?
________________________________________________
¿Qué afirma la dama?
________________________________________________
¿Qué significa ser hija única?
________________________
Representación:
Respuesta:
Ella es la madre del joven
¿Qué se plantea en el problema?
________________________________________________
Pregunta:
Representación:
Práctica 5. Un joven llego de visita a la casa de una dama; un vecino de la dama le
preguntó quién era el visitante y ella le contestó:
"La madre de ese joven es la hija única de mi madre."
¿Qué relación existe entre la dama y el joven?
Práctica 6. Un hombre dice, señalando a otro:
"No tengo hermanos ni hermanas, pero el padre de ese hombre es hijo de mi padre”
¿Qué parentesco hay entre "ese hombre" y el que habla?
Respuesta:
________________________
¿Qué se plantea en el problema?
________________________
Pregunta:
________________________
Representación:
Respuesta:
________________________
¿Qué se plantea en el problema?
Pregunta
________________________________________________
Representación:
Respuesta: ________________________
Práctica 7. Luis dice: "Hoy visité a la suegra de la mujer de mi hermano".
¿A quien visitó Luis?
Práctica 8. Antonio dice: "El padre del sobrino de mi tío es mi padre".
¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?
LECCIÓN 4 PROBLEMAS SOBRE RELACIONES DE ORDEN
¿Qué debemos hacer en primer lugar?
________________________
¿A qué aspecto o variable se refiere el problema?
________________________
¿Qué tipo de variable es?
________________________
¿En qué forma se expresa la información relativa a las estaturas?
________________________________________________
¿Qué utilidad tiene esta estrategia?
_____________________________________
¿Qué papel juega la variable en estos problemas?
_____________________________________
¿En qué casos se puede usar esta estrategia?
_____________________________________
Ejercicio 1. José es más bajo que Patricio, pero más alto que Manuel. Manuel a la vez es
más bajo que José, pero más alto que Rodrigo. ¿Quién es más alto y quién le sigue en
estatura?
Representación en una dimensión
La estrategia utilizada se denomina "Representación en una dimensión" y como ustedes
observaron permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto.
Reflexión
Los problemas de esta lección involucran relaciones de orden. Dichos problemas se refieren a
una sola variable o aspecto, el cual generalmente toma valores relativos, o sea que se refieren a
comparaciones y relaciones con otros valores de la misma variable; por ejemplo cuando decirnos
"Juan es más alto que Antonio" nos estamos refiriendo a la variable o aspecto estatura y estamos
dando la estatura de Juan, pero con relación a la estatura de
Antonio; no sabemos cuánto mide Juan ni cuánto mide Antonio.
Práctica 1. En el trayecto que recorren Mercedes, Julio, Paula y José al trabajo, Mercedes
camina más que Julio. Paula camina más que José, pero menos que Julio. ¿Quién vive más
lejos y quién vive más cerca?
Variable: _____________________________________
Pregunta: _____________________________________
Representación:
Respuesta:
Lejos= _____________________________________
Cerca= _____________________________________
Variable: _____________________________________
Pregunta: _____________________________________
Representación:
Respuesta:
_____________________________________
Variable: _____________________________________
Pregunta: _____________________________________
Práctica 2. Juana, Rafaela, Carlota y María fueron de compras al mercado. Carlota gastó
menos que Rafaela, pero más que María. Juana gastó más que Carlota pero menos que
Rafaela. ¿Quién gastó más y quién gastó menos?
Práctica 3. Luisa tiene más dinero que Antonia pero menos que José. Pedro es más rico
que Luisa y menos que José. ¿Quién es el más rico y quién posee menos dinero?
Representación:
Respuesta:
Más rico= _____________________________________
Menos rico = _____________________________________
Variable: _____________________________________
Representación:
Respuesta:
Más difícil= _____________________________________
Menos difícil = _____________________________________
Variable: _____________________________________
Representación:
Respuesta:
Más triste = _____________________________________
Estrategia de postergación
Esta estrategia adicional llamada de "postergación" consiste en dejar para más tarde aquellos
datos que parezcan incompletos, hasta tanto se presente otro dato que complemente la
información y nos permita procesarlos.
Práctica 4. Mercedes está estudiando idiomas y considera que el ruso es más difícil que el
alemán. Piensa además que el italiano es más fácil que el francés y que el alemán es más
difícil que el francés. ¿Cuál es el idioma que es menos difícil para Mercedes y cuál considera el
más difícil?
Práctica 5. Roberto y Alfredo están más tristes que Tomás, mientras que Alberto está menos
triste que Roberto, pero más triste que Alfredo. ¿Quién está menos triste?
Menos triste = _____________________________________
¿A qué variable se refiere el problema?
_____________________________________
¿Que se dice acerca de la variable?
_____________________________________
¿Qué palabras lucen confusas en el enunciado?
_____________________________________
Representación:
Respuesta:
Peor desempeño = _____________________________________
Quien le sigue = _____________________________________
Casos especiales de la representación en una dimensión
Finalmente, hay un último elemento, relacionado con el lenguaje, el cual puede
Hacer parecer confuso un problema debido al uso cotidiano de ciertos vocablos o a la
redacción del mismo. En este caso se hace necesario prestar atención especial a la
variable, a los signos de puntuación y al uso de ciertas palabras presentes en el enunciado.
Práctica 6. Pedro y Ramiro son mejores que Suárez en sus habilidades para golear. La
destreza como goleador de García puede deducirse del número acumulativo de goles que
lleva durante el año, el cual es inferior al de otros miembros del equipo como Pedro que
duplica dicho número. García supera a su compañero de equipo Ramiro. ¿Quién tiene el
peor desempeño como goleador? ¿Quién le sigue en tan pobre actuación?
Variable: _____________________________________
Pregunta: _____________________________________
Representación:
Respuesta:
Más joven= _____________________________________
Más viejo = _____________________________________
¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de esta práctica?
_____________________________________
¿Qué diferencia hay si resolvemos la práctica usando como variable la "edad" o el "año de
nacimiento"?
_____________________________________
Variable: _____________________________________
Pregunta: _____________________________________
Representación:
Práctica 7. Juan nació 2 años después de Pedro. Raúl es 3 años mayor que Juan.
Francisco es 6 años menor que Raúl. Alberto nació 5 meses después que Francisco.
¿Quién es el más joven y quién es el más viejo?
Práctica 8. Daría nació 15 años después que Patricio. Said triplica la edad de Patricio.
Dinorah, aunque le lleva muchos años de diferencia a Daría, nació después que Patricio.
Alfredo, tío de Daría, es menos viejo que Said, pero mucho menos joven que Patricio.
¿Cuál de los cinco es el mayor y cuál es el menor?
Respuesta:
Más viejo= _____________________________________
Más joven = _____________________________________
¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de esta práctica?
_____________________________________
Precisiones acerca de las tablas
En este tipo de problemas existe una variable sobre la cual se centra el mismo. Es siempre una
variable cuantitativa que sirve para plantear las relaciones de orden que vinculan dos personas,
objetos o situaciones de los incluidos en el problema. Por ejemplo, en el Ejercicio 1 de esta
lección la variable era "estatura" y José, Patricio, Manuel y Rodrigo eran los sujetos incluidos en
el problema. José, Patricio, Manuel y Rodrigo son valores de otra variable llamada "nombre". La
variable estatura "depende" de cual valor de la variable nombre he seleccionado. Por tal razón
llamamos a la variable "estatura" variable dependiente. Y por complemento, a la variable
"nombre" la llamamos variable independiente.
En cierto sentido la variable "nombre" queda fija al seleccionar los personajes del problema.
En cambio, la variable estatura depende de cual joven estamos considerando.
La pregunta o incógnita del problema se formula alrededor de la variable dependiente, por
ejemplo, en este caso la pregunta es "¿Quién es el más alto?" la cual se refiere directamente a la
variable estatura.
LECCIÓN 5 PROBLEMAS DE TABLAS NUMÉRICAS
Presentación del proceso
Si Rita tiene 5 objetos y 3 son discos de música, entonces tiene 2 películas. Si Elsa tiene 8
objetos y 3 son películas, entonces tiene 5 discos de música. Si Rita y Elsa tienen 2 y 3
películas respectivamente, y el total de películas es de 6, entonces Pedro debe tener 1 película.
Haciendo esto para todas las celdas, completamos todas las celdas del recuadro, y queda como
sigue:
Ahora podemos contestar las preguntas inspeccionando el recuadro. Elsa tiene 5 discos de
música y Pedro tiene 1 película. Antes de concluir, verificamos que hemos vaciado
correctamente los datos, que las operaciones han sido correctamente realizadas y que la
inspección es la que corresponde.
Nombre
Tipo obj.
Rita Elsa Pedro Total
Discos de
música
3 5 6 14
Películas 2 3 1 6
Total 5 8 7 20
UNIDAD III: PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS
VARIABLES
Ejercicio 1. Rita, Elsa y Pedro tienen un club para compartir discos de música y películas.
Entre los tres tienen 20 objetos, de los cuales 14 son discos de música y 6 películas. Rita
tiene 3 discos de música y Elsa tiene el mismo número de películas. Elsa tiene en total
tres objetos más que Rita. ¿Cuántos objetos tipo discos de música tiene Elsa, y cuántos
objetos tipo películas tiene Pedro si Rita tiene 5 objetos en total?
Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas numéricas
Esta es la estrategia aplicada en problemas cuya variable central cuantitativa depende de
dos variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una representación gráfica
o tabular llamada "tabla numérica".
Práctica del proceso
¿De qué trata el problema?
_____________________________________
¿Cuál es la pregunta?
_____________________________________
¿Cuál es la variable dependiente?
_____________________________________
¿Cuáles son las variables independientes?
_____________________________________
Representación:
Respuesta: _____________________________________
Nombre
Idiomas
Elena María Susana Total
Francés
Italiano
Alemán
Total
Práctica 1. Elena, María y Susana estudian tres idiomas (francés, italiano y alemán), y entre
las tres tienen 16 libros de consulta. De los cuatro libros de Elena, la mitad son de francés y
uno es de italiano. María tiene la misma cantidad de libros de Elena, pero solo tiene la mitad
de los libros de francés y la misma cantidad de libros de italiano que Elena. Susana tiene
tres libros de alemán, pero en cambio tiene tantos libros de italiano como libros de alemán
tiene María. ¿Cuántos libros de francés tiene Susana y cuántos libros de cada idioma tienen
entre todas?
Práctica 2. Tres muchachas Nelly, Estela y Alicia tienen en conjunto 30 prendas de vestir de
las cuales 15 son blusas y el resto son faldas y pantalones. Nelly tiene tres blusas y tres
faldas, Alicia que tiene 8 prendas de vestir tiene 4 blusas. El número de pantalones de Nelly
es igual al de blusas que tiene Alicia. Estela tiene tantos pantalones como blusas tiene Nelly.
La cantidad de pantalones que posee Alicia es la misma que la de blusas de Nelly ¿Cuántas
faldas tiene Estela?
¿De qué trata el problema?
_____________________________________
¿Cuál es la pregunta?
_____________________________________
¿Cuál es la variable dependiente?
_____________________________________
¿Cuáles son las variables independientes?
_____________________________________
Representación:
Respuesta: _____________________________________
Nombre
Prendas
Nelly Estela Alicia Total
Blusas
Faldas
Pantalones
Total
Las tablas numéricas
Las tablas numéricas son representaciones gráficas que nos permiten visualizar una variable
cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. Una consecuencia de que la
representación sea de una variable cuantitativa es que se pueden hacer totalizaciones
(Sumas) de columnas y filas. Este hecho enriquece considerablemente el problema porque
abre la posibilidad de generar, adicionalmente, representaciones de una dimensión entre
cualquiera de las dos variables cualitativas y la variable cuantitativa. También a deducir
valores faltantes usando operaciones aritméticas.
¿De qué trata el problema?
_____________________________________
¿Cuál es la pregunta?
_____________________________________
¿Cuál es la variable dependiente?
_____________________________________
¿Cuáles son las variables independientes?
_____________________________________
Representación:
Respuesta: Clara tiene 1 pulsera y Belinda 5. En total ambas tienen 6 pulseras.
Vamos a continuar nuestra práctica incluyendo problemas donde se presentan celdas a las que
no les corresponden elementos, por lo tanto, deben ser llenadas con el valor numérico cero.
Nombre
Accesorios
Clara Isabel Belinda Total
Pulseras
Anillos
Total
Práctica 3. Las hijas del señor González, Clara, Isabel y Belinda tienen 9 pulseras y 6
anillos, es decir, un total de 15 accesorios personales. Clara tiene 3 anillos. Isabel tiene
tantas pulseras como anillos tiene Clara y, en total, tiene un accesorio más que Clara, que
tiene 4. ¿Cuántas pulseras tienen Clara y Belinda?
Tablas numéricas con ceros
En algunos casos ocurre que para algunas celdas no se tienen elementos asignados. Por
ejemplo, si hablamos de hijas e hijos en varios matrimonios, y decimos que Yolanda es la
hija única del matrimonio Pérez, eso no significa que la celda de hijos correspondiente al
matrimonio Pérez está vacía o le falta información, lo que significa es que a esa celda le
corresponde el valor numérico "0" cero, porque al ser Yolanda hija única significa que los
Pérez tienen solo una hija, y es hembra. A veces confundimos erróneamente la ausencia de
elementos en una celda con una falta de información; si hay ausencia de elementos,
entonces la información es que son cero elementos.
¿De qué trata el problema?
_____________________________________
¿Cuál es la pregunta?
_____________________________________
¿Cuál es la variable dependiente?
_____________________________________
¿Cuáles son las variables independientes?
_____________________________________
Representación:
Respuesta: _____________________________________
¿De qué trata el problema?
_____________________________________
Nombre
Género
Pérez Gómez García Total
Varones
Mujeres
Total
Práctica 4. Tres matrimonios, de apellidos Pérez, Gómez, y García, tienen en total 10 hijos.
Yolanda, que es hija de los Pérez, tiene sólo una hermana y no tiene hermanos. Los Gómez
tienen un hijo varón y un par de hijas. Con la excepción de María, todos los otros hijos del
matrimonio García son varones. ¿Cuántos hijos varones tienen los García?
Práctica 5. En las casas de María, Juana y Paula hay un total de 16 animales domésticos,
entre los cuales hay 3 perros, doble número de gatos, y además canarios y loros. En la casa
de Juana aborrecen a los perros y a los loros, pero tienen 4 gatos y 2 canarios (con mucho
miedo). En la de Paula sólo hay un perro y otros 2 animales, ambos gatos. En la de María
tienen 3 canarios y algunos otros animales. ¿Qué otros animales y cuántos de cada tipo hay
en la casa de María?
¿Cuál es la pregunta?
_____________________________________
¿Cuál es la variable dependiente?
_____________________________________
¿Cuáles son las variables independientes?
_____________________________________
Representación:
Respuesta: _____________________________________
¿De qué trata el problema?
_____________________________________
¿Cuál es la pregunta?
_____________________________________
¿Cuál es la variable dependiente?
_____________________________________
Nombre
Animales
María Juana Paula Total
Perros
Gatos
Canario
Loros
Total
Práctica 6. Jorge Romero metió 6 goles durante la temporada de fútbol de 2006 y 6 en la del
2009. En 2007 y 2008 no le fue tan bien, de modo que durante los 4 años (2006 a 2009)
metió un total de 15 goles. Pedro Vidal metió 14 goles en 2007 y la mitad en 2009. Su total
para los 4 años fue de 21 goles. Enrique Pérez metió tantos goles en 2008 como Vidal metió
en los 4 años, pero en las otras temporadas no le fue mejor que a Pedro en 2006. Entre los
tres en 2008 metieron 22 goles. ¿Cuántos goles metieron entre los tres en 2007?
¿Cuáles son las variables independientes?
_____________________________________
Representación:
Respuesta: _____________________________________
¿De qué trata el problema?
_____________________________________
¿Cuál es la pregunta?
_____________________________________
¿Cuál es la variable dependiente?
_____________________________________
¿Cuáles son las variables independientes?
_____________________________________
Representación:
Nombre
Períodos
Jorge
Romero
Pedro
Vidal
Enrique
Pérez
Total
2006
2007
2008
2009
Total
Nombre
Mascotas
Milton Mortus Nartis Total
Sapos
Arañas
Murciélago
Total
Práctica 7. Milton, Mortus y Nartis tienen en total 20 mascotas. Milton tiene tres sapos y la
misma cantidad de arañas que de murciélagos. Mortus tiene tantas arañas como Milton
sapos y murciélagos. Nartis tiene 5 mascotas, una es murciélago y tiene la misma cantidad
de sapos que Mortus, que es el mismo número de murciélagos que Milton. Si Milton tiene 7
mascotas, ¿Cuántas y qué clase de mascotas tiene cada uno?
Respuesta: _____________________________________
¿Cómo denominar una tabla?
Una de las variables independientes es desplegada en los encabezados de las columnas,
mientras que la otra variable es desplegada como inicio de las filas. Y la variable
dependiente es desarrollada en las celdas de la región reticular definida por el cruce de
columnas y filas. Por esta razón se habla que las tablas tienen dos entradas, una por las
columnas y otra por las filas.
En título de una tabla está determinado por la variable dependiente que se visualiza, y se
complementa con las variables independientes que caracterizan los valores del cuerpo de la
tabla. Así, la tabla de la práctica 1 de esta lección se denomina de la siguiente manera:
"Número de libros en función de dueño e idioma"
LECCIÓN 6 PROBLEMAS DE TABLAS LÓGICAS
Presentación del proceso
Iniciemos el trabajo de esta lección con un ejercicio.
¿Qué debemos hacer en primer lugar?
Leer todo el problema.
¿De qué trata el problema?
De encontrar las profesiones de tres damas.
¿Qué variables están presentes?
Hay dos variables cualitativas: Nombres de damas (Delia, Ana y Lea) y Profesiones (arquitecta,
abogada y médica).
¿Qué otras informaciones están expresadas en el enunciado?
 Cada una de las damas tiene una de esas tres profesiones que son diferentes entre sí.
 Nos relatan dos hechos que aportan información sobre las profesiones de las damas.
¿Qué se pregunta en el problema?
Las profesiones de las tres damas.
.
Nombre
Delia An Lea
Arquitecta Falso Falso Verdadero
Abogada Verdadero Falso Falso
Médica Falso Verdadero Falso
Ejercicio 1. Las profesiones de Delia, Ana y Lea son diferentes. Ellas son arquitecta,
abogada y médica, aunque no necesariamente en ese orden. Ana contrató la arquitecta para
que le diseñara su casa. Lea le dijo a la abogada que se iba a reunir con Ana el día
siguiente. ¿Cuáles son las profesiones de Delia, Ana y Lea?
Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas lógicas
Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen dos variables cualitativas
sobre las cuales puede definirse una variable lógica con base a la veracidad o falsedad de
relaciones entre las variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una
representación tabular llamada “tabla lógica".
Práctica del proceso
a)
b)
c)
d)
Nombre
País
Pedro Luis Carlos Raúl
México V
Venezuela V
Ecuador
Chile V
Nombre
País
Pedro Luis Carlos Raúl
México X
Venezuela V
Ecuador X
Chile X X
Nombre
País
Pedro Luis Carlos Raúl
México X X X
Venezuela X X
Ecuador X
Chile
Nombre
País
Pedro Luis Carlos
México
Venezuela X
Ecuador V
Práctica 1. Suponiendo que se aplica la característica de la exclusión mutua en ambas
variables, completa las siguientes tablas lógicas.
Práctica 2: Leonel, Justo y Raúl juegan en el equipo de fútbol del Club. Uno juega de
portero, otro de centro campista y el otro de delantero. Se sabe que: Leonel y el portero
festejaron el cumpleaños de Raúl. Leonel no es el centro campista. ¿Qué posición juega
cada uno de los muchachos?
¿De qué trata el problema?
__________________________________
¿Cuál es la pregunta?
__________________________________
¿Cuáles son las variables independientes?
__________________________________
¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?
__________________________________
Representación:
Respuesta: __________________________________
¿De qué trata el problema?
__________________________________
¿Cuál es la pregunta?
__________________________________
¿Cuáles son las variables independientes?
__________________________________
¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?
__________________________________
Representación:
Nombre
Posición
Leonel Justo Raúl
Portero
Centro
campista
Delantero
Nombre
Alimentos
José Justo Jairo
Magdalenas
Tostadas
Galletas
Práctica 3: José, Justo y Jairo desayunaron con comidas diferentes. Cada uno consumió
uno de los siguientes alimentos: magdalenas, tostadas y galletas. José no comió ni
magdalenas ni galletas. Justo no comió magdalenas. ¿Quién comió galletas y qué comió
Jairo?
Respuesta: __________________________________
¿De qué trata el problema?
____________________________________________________________
___________________________________________________________
¿Cuál es la pregunta?
__________________________________
¿Cuáles son las variables independientes?
__________________________________
¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?
__________________________________
Representación:
Nombre
Color de blusa
Blanca Rosa Violeta
Violeta
Rosa
Blanca
Práctica 4: Tres niñas una de ellas con una blusa violeta, otra con una blusa rosa, y la
tercera con una blusa blanca, hablan con la maestra. La niña con la blusa violeta le dice:
"Nos llamamos Blanca, Rosa, y Violeta". A continuación, otra de las tres niñas le dice: "Yo
me llamo Blanca. Como puede usted ver, nuestros nombres son los mismos que los colores
de nuestras blusas, pero ninguna de nosotras usa blusas del color de nuestro nombre". La
maestra sonríe y dice: "Pero ahora ya se, como os llamáis". ¿Qué color de blusa usa cada
una de las niñas?
Respuesta: __________________________________
¿De qué trata el problema?
__________________________________
¿Cuál es la pregunta?
__________________________________
¿Cuáles son las variables independientes?
__________________________________
__________________________________
¿Cuál puede ser la relación lógica para construir la tabla?
__________________________________
Representación:
Animal
Nombre
Canario Loro Gato Perro
Policía
Rampal
Perico
Félix
Rin- Tin-Tin
Reflexión
La estrategia de tablas lógicas es de gran utilidad para resolver tanto acertijos como
problemas de la vida real. Al ponerlo en práctica debemos ser muy cuidadosos en cuatro
cosas:
1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos o informaciones.
2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hasta que
tengamos suficiente información para vaciarla en la tabla.
3. Conectar los hechos o informaciones que vamos recibiendo.
4. Leer las afirmaciones de manera secuencial, y cuando agotemos la lista, volver a
leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información que hayamos obtenido.
Práctica 5: En la casa de Gisela hay un canario, un loro, un gato y un perro policía. Se
llaman Rampal, Perico, Félix y Rin-Tin-Tin, pero no necesariamente en ese orden. Rin-Tin-
Tin es más pequeño que el loro y que Félix. El perro es más joven que Perico. Rampal es
el más viejo y no se lleva bien con el loro. ¿Cuál es el nombre de cada animal?
Respuesta: __________________________________
¿De qué trata el problema?
__________________________________
¿Cuál es la pregunta?
__________________________________
¿Cuáles son las variables independientes?
__________________________________
¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?
__________________________________
Representación:
Nombre
Trabajo
Ana Luisa Pedro Miguel
Escuela
Ferretería
Banco
Farmacia
Práctica 6: Piense en estas cuatro personas.
1. Sus nombres son Ana, Luisa, Pedro y Miguel.
2. Trabajan en una escuela, una ferretería, un banco y una farmacia
3. Pedro es el hijo de la persona que trabaja en la ferretería
4. Ana y la persona que trabaja en la farmacia son hermano-hermana
5. El hijo de la persona que trabaja en el banco trabaja en la ferretería
6. Luisa no trabaja en la escuela
¿Dónde trabajan cada uno?
Respuesta: Ana trabaja en la escuela, Luisa trabaja en el banco, Pedro trabaja en la farmacia y Miguel
trabaja en la ferretería.
¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta?
Establecer el lugar en el que llegaron los corredores.
¿Cuáles son las variables independientes?
Países, posiciones.
¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?
País – posición.
Representación:
Respuesta: El brasileño llegó en primer lugar, el Francés en segundo, el Mexicano en tercero, el
Argentino en cuarto y el Holandés en quinto lugar.
Países
Posición
Francia Brasil México Argentina Holanda
Primero X V X X X
Segundo V X X X X
Tercero X X V X X
Cuarto X X X V X
Quinto X X X X V
Práctica 7: En una carrera de autos, en la que no hubo empates, participaron corredores de
Francia. Brasil, México, Argentina y Holanda. El mexicano llegó dos lugares atrás del
brasileño. El francés no ganó, pero tampoco llegó en último lugar. El holandés ocupó un
lugar después que el argentino. Este último no llegó en primer lugar. En qué lugar llegó cada
corredor
Práctica 8: Seis muchachas del preuniversitario: Gloria, Catalina, Blanca, Silvia, Rosa y
Marú, tiene noviazgos secretos con otros seis muchachos llamados: Tobías, Raúl, Jacobo,
Sergio, Ramiro y Javier. Tratando de descubrir cuáles eran las parejas, las amigas de las
chicas averiguaron lo siguiente:
a) Jacobo y Sergio se reunieron con los novios de Blanca y de Rosa.
b) Gloria, Javier y Marú son hermanos.
c) Catalina y Raúl siempre andan tomados de la mano por los pasillos.
d) Tobías le dice cuñado a Javier.
e) Ramiro y los novios de Blanca y Gloria están peleados con Tobías.
f) Sergio no conoce a las hermanas de Javier ni a Rosa.
¿De qué trata el problema?
Establecer el nombre de los novios de Gloria, Catalina, Blanca, Silvia, Rosa, Marú.
¿Cuál es la pregunta?
¿Quiénes son los novios de las chicas?
¿Cuáles son las variables independientes?
Nombre de las chicas, nombres de los novios.
¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?
Parejas
Representación:
Respuesta: El novio de Gloria en Jacobo, de Catalina es Raúl, de Blanca es Javier, de Silvia es Sergio,
de Rosa es Ramiro y de Marú es Tobías.
¿De qué trata el problema?
Establecer la actividad que realizan Juan, Luis, Miguel, David.
¿Cuál es la pregunta?
¿Qué actividad realizan Juan, Luis, Miguel y David?
¿Cuáles son las variables independientes?
Nombre de las personas, Actividades que realizan.
¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla?
Nombre- actividad
Novias
Novios
Gloria Catalina Blanca Silvia Rosa Marú
Tobías X X X X X V
Raúl X V X X X X
Jacobo V X X X X X
Sergio X X X V X X
Ramiro X X X X V X
Javier X X V X X X
Práctica 9: Juan, Luis, Miguel y David son artistas. Averigua la actividad de cada uno con
base a la siguiente información:
a) Son: bailarín, pintor, cantante y actor.
b) Juan y Miguel estuvieron entre el público la noche que el cantante debutó.
c) El pintor hizo retratos de Luis y el actor
d) El actor, cuya actuación en "La vida de David" fue un éxito, planea trabajar en otra
obra de teatro semejante a la anterior, pero en relación con la vida de Juan.
e) Juan nunca ha oído hablar de Miguel
Representación:
Respuesta: Juan es pintor, Luis es cantante, Miguel es bailarín y David es Actor.
Cierre
¿Qué hicimos en esta lección?
Problemas de tablas lógicas
¿Por qué se llama tablas lógicas?
Porque se manejan variables lógicas.
¿Y cómo son las variables en este tipo de problemas?
Variables cualitativas y lógicas.
¿Qué utilidad tiene la estrategia estudiada?
Ayudan a resolver problemas de variables cualitativas y lógicas.
¿En qué se diferencia de las tablas lógicas de las tablas numéricas?
En la tabla numérica la variable dependiente en cualitativa, mientras que en la tabla lógica la variable es
lógica, es decir, verdadero o falso, si o no.
Nombres
Actividad
Juan Luis Miguel David
Bailarín X X V X
Pintor V X X X
Cantante X V X X
Actor X X X V
LECCIÓN 7 PROBLEMAS DE TABLAS CONCEPTUALES
Introducción
¿En qué consiste la estrategia de representación en dos dimensiones?
Consiste en resolver problemas que tienen dos variables.
¿Qué tipos de representaciones en dos dimensiones hemos estudiado?
Tablas numéricas, tablas lógicas.
¿Cuántas variables intervienen en una representación de dos dimensiones?
Variables dependientes o independientes.
¿Qué diferencias hay entre las variables que intervienen en una representación de dos
dimensiones?
Las variables independientes son cualitativas, mientras que las variables dependientes son
cuantitativas.
Presentación del proceso
Consideremos el siguiente ejercicio:
¿Qué debemos hacer en primer lugar?
Leer todo el problema.
¿De qué trata et problema?
De tres jóvenes que practican que practican los mismos deportes tres diferentes días.
¿Cuál es la pregunta?
¿Qué deporte practica cada uno cada día?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Tres variables. Nombres de los jóvenes, días de práctica y deportes practicados.
Ejercicio 1. Andrés, Carlos y Enrique son tres alumnos que piensan en la importancia del
ejercicio. Los tres practican deportes, y le dedican un día a la semana a cada uno de los
siguientes deportes: natación, gimnasia y yudo. Si practican deportes los lunes, miércoles
y viernes, y en cada día cada uno practican un deporte diferente al de los demás, averigua
que deportes practican los jóvenes cada día con base a la siguiente información:
a) Enrique nada el día que sigue a Andrés.
b) El que practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes.
c) Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los viernes.
¿Cuáles son las variables independientes?
Los nombres de los jóvenes (Andrés, Carlos y Enrique) y los días de práctica (lunes,
miércoles y viernes).
¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?
El deporte practicado. Los valores son: natación, gimnasia y yudo
Representación:
Leemos ahora la información suministrada: "Enrique nada el día que sigue a Andrés". Para esto
solo hay dos posibilidades: lunes nada Andrés y miércoles Enrique o miércoles nada Andrés y
viernes Enrique, como suposiciones de trabajo.
Esto podemos representarlo en la tabla como sigue:
No podemos derivar nada más de esa información. La segunda información dice: "El que
practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes". Esto significa que una persona hace
gimnasia el lunes y luego hace yudo el viernes. Estas suposiciones podemos representarlas
como sigue:
La tercera información dice: "Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los viernes". Esto
significa que Carlos practica la natación el viernes que es el deporte que se practica con traje de
baño. Esto significa dos cosas: primero que Carlos nada el viernes; y segundo, que la opción de
Andrés nada el miércoles y Enrique el viernes es imposible porque el viernes está nadando
Carlos. Por esta razón debo aceptar que Andrés nada el lunes y Enrique el miércoles; y que
Día
Nombre
Lunes Miércoles Viernes
Andrés
Carlos
Enrique
Día
Nombre
Lunes Miércoles Viernes
Andrés Nada Nada
Carlos
Enrique Nada Nada
Día
Nombre
Lunes Miércoles Viernes
Andrés Nada Gimn. Nada Yudo
Carlos Gimn. Yudo
Enrique Gimn. Nada Nada Yudo
solo sobrevive la opción de que sea Enrique el que hace gimnasia el lunes y yudo el viernes
porque las otras dos opciones o fallan el lunes o fallan el viernes. Con estas dos definiciones la
tabla queda como sigue:
Con esta tabla puedo derivar que Carlos debe hacer yudo el lunes y gimnasia el miércoles, que
Andrés debe hacer yudo el miércoles y gimnasia el viernes. Todo esto para cumplir con la
condición que cada joven práctica un deporte diferente cada día. Finalmente la tabla queda
como sigue:
Respuesta:
Andrés nada el lunes, luego practica yudo y finalmente el viernes hace gimnasia.
Carlos primero practica yudo, luego hace gimnasia y el viernes nada
Y Enrique hace gimnasia el lunes, nada el miércoles y practica yudo el viernes.
Hemos resuelto el problema aplicando una variante de nuestra estrategia de dos dimensiones.
En este caso no tuvimos la variable cuantitativa ni la variable lógica para una tabla lógica. Ahora
tuvimos tres variables cualitativas. La tabla en este caso no estuvo rellenada por números o
valores lógicos, sino por valores conceptuales o semánticos. Por tal razón llamamos a esta
estrategia "representación en dos dimensiones: tablas conceptuales".
En estos problemas no tenemos la exclusión mutua de las tablas lógicas. La única ayuda es
cuando conocemos todas las opciones menos una, la última podemos derivarla por exclusión.
Día
Nombre
Lunes Miércoles Viernes
Andrés Nada
Carlos Nada
Enrique Gimnasia Nada Yudo
Día
Nombre
Lunes Miércoles Viernes
Andrés Nada Yudo Gimnasia
Carlos Yudo Gimnasia Nada
Enrique Gimnasia Nada Yudo
Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas conceptuales
Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen tres variables cualitativas,
dos de las cuales pueden tomarse como independientes y una dependiente. La solución se
consigue construyendo una representación tabular llamada "tabla conceptual" basada
exclusivamente en las informaciones aportadas en el enunciado.
En estos problemas debemos seguir todas las recomendaciones expuestas en la lección
anterior para las tablas lógicas:
1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos o informaciones.
2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hasta que
tengamos suficiente información para vaciarla en la tabla.
3. Conectar los hechos o informaciones que vamos recibiendo.
4. Leer las afirmaciones de manera secuencial, y cuando agotemos la lista, volver a
leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información que hayamos obtenido.
Generalmente los enunciados de estos problemas que requieren ser resueltos mediante tablas
conceptuales son más extensos porque toda la información para la solución debe ser aportada
en la forma de hechos o planteamientos en el mismo.
Práctica del proceso
¿Qué debemos hacer en primer lugar?
Leer todo el problema.
¿De qué trata el problema?
De tres ecuatorianos, tres chilenos y tres españoles, con diferentes profesiones y que les aplican
las pruebas A, B, C.
¿Cuál es la pregunta?
¿A qué pruebas se sometieron el médico chileno y agrónomo español?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Profesiones, nacionalidades y las pruebas que rinden.
¿Cuáles son las variables independientes?
Nacionalidad de las personas y profesión.
¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?
Pruebas que rinden por sus valores cualitativas
Representación:
Día
Nombre
Español Ecuatoriano Chileno
Agrónomo A C B
Físico C B A
Médico B A C
Práctica 1. De un total de nueve personas, tres toman la prueba A, tres la prueba B y los
tres restantes la prueba C. Las nueve personas están divididos partes iguales entre
españoles, ecuatorianos y chilenos. También, de las nueve personas tres son agrónomos,
tres físicos y tres médicos. De las tres personas que fueron sometidas a una misma prueba
(A, B o C), no hay dos o más de la misma nacionalidad o profesión. Si una de las personas
que se sometió a la prueba B es un médico español, una de las personas que se sometió a
la prueba A es un médico ecuatoriano y a la prueba C un agrónomo ecuatoriano. ¿A qué
pruebas se sometieron el médico chileno y el agrónomo español?
Respuesta: El médico chileno se sometió a la prueba C y el agrónomo español se sometió a la
prueba A.
¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta?
De tres pilotos de una línea aérea ¿en qué día de la semana viaja cada uno a las ciudades antes
citadas?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Tres; nombre de los pilotos, los días y las ciudades a las que viajan.
¿Cuáles son las variables independientes?
Nombre de los pilotos y los días.
¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?
Las ciudades a las que viajen porque dependen de los días que trabajan los pilotos.
Representación:
Respuesta: Joel viaja los lunes a Dallas, los miércoles a Managua y los viernes a Buenos Aires.
Jaime viaja los lunes a Buenos Aires, los miércoles a Dallas y los viernes a Managua. Julián viaja
los lunes a Managua, los miércoles a Buenos Aires y los viernes a Dallas.
Día
Pilotos
Lunes Miércoles Viernes
Joel Dallas Managua Buenos Aires
Jaime Buenos Aires Dallas Managua
Julián Managua Buenos Aires Dallas
Práctica 2. Tres pilotos -Joel, Jaime y Julián- de la línea aérea "El Viaje Feliz" con sede en
Bogotá se turnan las rutas de Dallas, Buenos Aires y Managua. A partir de la siguiente
información se quiere determinar en qué día de la semana (de los tres días que trabajan, a
saber, lunes, miércoles y viernes) viaja cada piloto a las ciudades antes citadas.
a) Joel los miércoles viaja al centro del continente.
b) Jaime los lunes y los viernes viaja a países latinoamericanos.
c) Julián es el piloto que tiene el recorrido más corto los lunes
Práctica 3. En un recital de la escuela de Música se presentaron Norma, Alicia, Héctor y
Roberto. Se escucharon obras en el siguiente orden: de Beethoven, Liszt, Mozart y
Tchaikovski. El recital se presentó de jueves a domingo; en cada uno de los días el orden de
los intérpretes cambio, de tal modo que ningún día aparecieron en el mismo orden, además
en ningún día- repitieron una interpretación del mismo autor. Si el orden de los autores
interpretados no cambió ¿en qué orden se presentaron cada uno de los intérpretes durante
los cuatro días? Se sabe que:
a) La interpretación que hizo Alicia de Mozart fue un día antes que la de Liszt.
b) Norma abrió magistralmente la presentación del sábado por la noche.
c) Héctor, en días seguidos se presentó en primero y segundo lugar, e inauguró el recital.
d) Tchaikovski fue presentado el viernes por Norma.
e) Roberto no se presentó el sábado antes que sus amigos.
f) Roberto interpretó a Mozart el mismo día que Héctor interpretó a Beethoven.
¿De qué trata el problema?
De cuatro chicos que interpretaron una obra musical del colegio.
¿Cuál es la pregunta?
¿En qué orden se presentaron cada uno de los intérpretes durante los cuatro días?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Nombre de los intérpretes, días, nombre de los autores.
¿Cuáles son las variables independientes?
Nombre de los autores y de los días.
¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?
Nombre de los intérpretes porque depende de los días del recital.
Representación:
Respuesta: El día jueves se presentaron en el siguiente orden: Héctor, Norma, Roberto y Alicia.
El día viernes: Roberto, Héctor, Alicia, Norma.
El día sábado: Norma, Alicia, Héctor y Roberto.
El día domingo: Alicia, Roberto, Norma y Héctor.
Veamos un ejemplo de este tipo ampliación de la estrategia de dos dimensiones con tablas
conceptuales o semánticas.
Día
Autores
Jueves Viernes Sábado Domingo
Beethoven Héctor Roberto Norma Alicia
Liszt Norma Héctor Alicia Roberto
Mozart Roberto Alicia Héctor Norma
Tchaikovski Alicia Norma Roberto Héctor
Reflexión
Estos problemas de tablas conceptuales no tienen la característica del cálculo de subtotales
y totales de las tablas numéricas, tampoco tienen la característica de exclusión mutua de las
tablas lógicas. Esto las hace que requieran mucha más información para poder resolverlos.
Con frecuencia, con el propósito de hacer menos tedioso el enunciado, se usa una cuarta
variable, normalmente asociada a una de las variables independientes, que sirve para
bifurcar la información que se aporta sobre la variable asociada.
Por ejemplo, puedo hablar de cuatro personas por su apellido, y digo que hay dos damas y
dos caballeros. O puedo hablar de cinco niños e introduzco la variable edad de cada niño. O
de hablo de seis señoras e introduzco una variable que es el color del cabello, en la forma de
tres cabello rubio y tres cabello negro.
¿De qué trata el problema?
De los nombres de las esposas, de profesiones y aficiones de cuatro personas.
¿Cuál es la pregunta?
¿Cuáles son las esposas, profesiones y aficiones de los hombres que se mencionan en el
problema?
¿Cuántas y cuales variables tenernos en el problema?
Nombres de los hombres, nombres de las esposas, profesiones, aficiones.
¿Cuál variable es diferente a las demás?
Aficiones
Representación:
Las esposas son: María, Ana, Julia y Luz
Las profesiones son: ingeniero, biólogo, agrónomo e historiador
Las aficiones son: pesca, tenis ajedrez y golf
En el literal a) habla de dos personas: de Julia, esposa del ingeniero y de Luz, esposa de José.
El literal b) habla del golfista, casado con Luz. Con lo cual ya sabemos que en una línea van
José, Luz, golf, y que no es ingeniero. Como no conoce al historiador y comparte con el biólogo,
entonces es el agrónomo, y la línea queda: José, Luz, agrónomo y golf.
Esposa Profesión Afición
Antonio
Manuel
José
Luis
Ejercicio 2. Antonio, Manuel, José y Luis son amigos, todos casados, con diferentes
profesiones .y aficiones. Las esposas son María, Ana, Julia y Luz; sus profesiones son
ingeniero, biólogo, agrónomo e historiador y sus aficiones son pesca, tenis, ajedrez y golf.
Entre ellos se dan las siguientes relaciones:
a) Julia, esposa del ingeniero, y Luz, esposa de José son ambas amigas inseparables.
b) El golfista, casado con Luz, no conoce al historiador y comparte con el biólogo algunos
conocimientos de interés relacionados con su profesión.
c) Luis se reúne con el ingeniero y con el historiador para discutir asuntos de la
comunidad donde viven.
d) Durante el domingo Julia y su esposo visitaron a Manuel y su esposa, quienes
mostraron los trofeos ganados por Manuel en los campeonatos de ajedrez; Ana se fue
con su esposo el biólogo a jugar tenis.
Se pregunta cuáles son las esposas, profesiones y aficiones de los hombres que se
mencionan en el problema.
Del literal c) sacamos que Luis es biólogo y que su esposa no es Luz.
Del literal d) sacamos que Julia no es esposa de Manuel. Manuel es el aficionado al ajedrez y
Ana es esposa de Luis quien es el biólogo y es el aficionado al tenis.
Y las celdas restantes pueden deducirse por exclusión.
Respuesta:
Por inspección de la tabla podemos contestar la pregunta.
En este problema tuvimos cuatro variables. Los caballeros fueron como la variable
independiente, y las otras tres variables dependían del valor de la variable caballeros; es decir
esposa, profesión y afición dependía del caballero.
Esposa Profesión Afición
Antonio
Manuel
José Luz Agrónomo Golf
Luis
Esposa Profesión Afición
Antonio Julia Ingeniero
Manuel Ajedrez
José Luz Agrónomo Golf
Luis Ana Biólogo Tenis
Esposa Profesión Afición
Antonio Julia Ingeniero Pesca
Manuel María Historiador Ajedrez
José Luz Agrónomo Golf
Luis Ana Biólogo Tenis
Se sugiere usar un formato de tabla como el que se muestra más abajo. Las áreas grises de la
izquierda van a ser llenadas con el color del cabello de la amiga que invita a Mercedes. Las
áreas de la derecha van a ser llenadas con los lugares a donde cada amiga invitó a Mercedes.
En este caso tenemos una exclusión mutua porque cada salió con una amiga y fue a un solo
Lugar.
Días
Color
cabello
Amigas Lunes Martes
Miércoles Jueves Viernes Sábado
Amarillo Ana Teatro
Negro Corina Cine
Negro Gloria
Fútbol
Amarillo Juanita
Ir de
compras
Amarillo Luisa
Museo
Negro Marlene Concierto
Práctica 4. Mercedes quería pasar siete días en su casa, deseaba visitar a sus amigas y
resolver asuntos pendientes en su ciudad natal. Al llegar encontró a sus amigas Ana,
Corina, Gloria, Juanita, Luisa y Marlene, quienes le habían programado varias actividades.
Mercedes quería ir a comer con ellas el primer día donde acostumbraban reunirse cuando
salían de la escuela. Después de esta reunión cada amiga tenía un día disponible para
pasarlo con Mercedes y acompañarla a uno de los siguientes eventos: un partido de fútbol,
un concierto, el teatro, el museo, el cine e ir de compras, Con base en la siguiente
información encuentre quién invitó a Mercedes y qué actividad realizó cada día.
1) Ana, la amiga que visitó el museo y la que salió con Mercedes un día después de ir al
cine el lunes, tienen las tres el cabello amarillo.
2) Gloria, quien la acompañó al concierto y la dama que pasó el lunes con Mercedes, tienen
las tres el pelo negro.
3) El día que Mercedes pasó con Corina no fue el siguiente al día que correspondió a
Marlene.
4) Las seis salieron con Mercedes en el siguiente orden: Juanita salió con Mercedes un día
después de que ésta fue al cine y cuatro días antes de la visita al museo, Gloria salió con
Mercedes un día después de que ésta fue al teatro y el día antes que Marlene invitó a
Mercedes
5) Ana y la amiga que invitó a Mercedes a ir de compras tienen el mismo color de cabello.
6) Mercedes visitó el teatro dos días después de ir al cine.
7) Ana invitó a Mercedes a salir el miércoles.
Se sugiere usar un formato de tabla como el que se muestra más abajo. Las áreas grises de la
izquierda van a ser llenadas con la edad del chico. Las áreas grises de la derecha van a ser
llenadas con las actividades que le corresponde hacer a cada chico cada día. En este caso no
tenemos una exclusión mutua, solo tenemos completado cuando solo falta una actividad.
Edad
Nombre
del niño
Lunes Martes
Miércoles Jueves Viernes
9 Delia Sacudió
Limpio el
piso
Barrió Dio de
comer al
gato
Lavó los
bóxer de
su
mamá.
13 María
Dio de
comer al
gato
Barrió
Limpió al
piso.
Lavó los
platos
Sacudió
14 Juan
Lavo los
platos
Dio de
comer al
gato
Sacudió Barrió Limpio el
piso
12 Julia
Limpio el
aseo
Lavo los
platos.
Dio de
comer al
gato
Sacudió barrio
10 Miguel barrió Sacudió
Lavó los
platos
Limpio
del aseo
Mero de
gasto
Práctica 5. El señor Pérez asignó a cada uno de sus hijos, incluyendo el de diez años, un
trabajo diferente cada día de la semana, de lunes a viernes. Los trabajos se rotaron de
modo que cada hijo realizó un trabajo cada día y ningún niño realizó el mismo trabajo dos
veces durante la misma semana. Con base en la siguiente información determine la edad
de cada niño y el día que realizó cada trabajo.
1) La niña de nueve años barrió el miércoles.
2) Delia lavó los platos el mismo día que Juan limpió el piso.
3) María barrió un día después que Miguel y el día antes que Delia.
4) El hijo de catorce años dio de comer al gato el martes.
5) Juan sacudió el miércoles.
6) María tiene trece años.
7) Uno de los hijos, Miguel o Delia, dio de comer al gato el viernes; el otro lo hizo el jueves.
8) La hija de doce años limpió el piso el lunes.
9) Julia dio de comer al gato el día siguiente al que lavó los platos y el día antes que
sacudió.
10) María lavó los platos el jueves.
11) Delia limpió el piso el martes.
Cierre
¿Qué logramos en esta lección?
Poder resolver problemas mediante tablas conceptuales donde se utilizan más de dos variables.
¿Qué tipos de problemas resolvimos en la lección?
Problemas de tablas conceptuales.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian los problemas que resolvimos?
Todos poseen más de dos variables pero se diferencia en las variables dependientes o
independientes.
¿Qué logramos con el estudio de esta unidad?
Logramos ser más analíticos y a diferenciar las variables dependientes.
¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado con esta unidad?
Reducción de problemas o partir de variables y datos que se presenta.
JUSTIFICACIÓN
En los casos estudiados hemos trabajado con problemas referidos a situaciones estáticas, que
no cambiaban con el tiempo. En esta lección trabajaremos con situaciones dinámicas, objetos
que se mueven, situaciones que toman diferentes valores y configuraciones, intercambios de
dinero u objetos, etc.
En la solución de problemas estáticos nos bastó con utilizar estrategias en las cuales se
incluyen representaciones entre los datos; por ejemplo en el caso de las estaturas de diferentes
personas; los datos se referían a valores determinados que no cambiaban con el tiempo. En los
problemas que involucran situaciones dinámicas se requieren estrategias que incluyan
diagramas para que reflejen los cambios en las situaciones del problema; dichos diagramas
muestran intercambios, flujos, simulaciones, etc. La estrategia consiste en ir representando los
cambios o las situaciones que van ocurriendo, o sea, los diferentes estados del problema, con
el propósito de facilitar la descripción de lo que está sucediendo en cada momento.
El análisis del dibujo o diagrama permite visualizar el cambio y comprender mejor lo que se
plantea en el problema, facilitando de esta manera la obtención de la respuesta. La simulación
del cambio, también llamada ejecución simulada del cambio, consiste en reproducir las
situaciones o los fenómenos que van ocurriendo; dicha simulación puede ser concreta o
abstracta.
La simulación concreta consiste en la sustitución del objeto real por un objeto que lo represente,
el cual se mueve como lo haría el objeto real, dicho movimiento muestra la evolución del objeto
o de la situación que se describe en el problema; es una imitación directa del cambio y de las
acciones o fenómenos que ocurren. Esta simulación también se denomina puesta en acción. Es
la vía más sencilla para visualizar la situación, pero requiere de un gran esfuerzo para su
realización. Los niveles que siguen reportan mayores beneficios con un esfuerzo menor.
El segundo tipo es la simulación abstracta, la cual
requiere imaginarse el movimiento del objeto, tal como
se describe en el enunciado del problema, sin objetivar
las acciones mediante el uso de acciones concretas.
Lo único que se requiere es visualizar el movimiento o
acción mediante una representación gráfica, un dibujo o
un diagrama. En este segundo tipo de simulación
pueden distinguirse tres niveles de abstracción
crecientes; el primer nivel consiste en sustituir el objeto
real por un dibujo del objeto o su representación; el
segundo nivel consiste en la sustitución del objeto por
imágenes y relaciones, o sea por diagramas de flujo y el
tercer y último nivel de simulación abstracta que se logra
mediante el uso de relaciones y de fórmulas
matemáticas. Cada nivel de representación, desde el
concreto hasta el abstracto, corresponde a un nivel de
abstracción de la mente cada vez más elevado.
El diagrama de flujo es un tipo de simulación abstracta del segundo nivel que permite
representar la secuencia de pasos o etapas de una situación cambiante y de los estados que
ésta genera, de acuerdo a las condiciones que describen el cambio.
UNIDAD IV: PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS
DINÁMICOS
Lo dicho nos permite elaborar una secuencia de niveles de abstracción de la mente asociada al
desarrollo de las habilidades para resolver problemas, y al éxito de los alumnos para lograr
dicho desarrollo. Es más, podemos afirmar que si se desea que se adquiera el nivel de
pensamiento abstracto basado en relaciones y fórmulas matemáticas, es necesario haber
desarrollado cada uno de los niveles previos.
La práctica gradual de las estrategias de representación propuesta en este curso son clave para
el desarrollo de las habilidades para resolver problemas.
OBJETIVOS
A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:
1. Analizar problemas sobre situaciones dinámicas mediante el uso de estrategias de
ejecución simulada.
2. Utilizar diferentes tipos y niveles de estrategias de simulación.
3. Valorar la importancia de la simulación para facilitar la comprensión y la resolución de
problemas.
4. Comprender la estrategia medios-fines y la elaboración del diagrama "espacio del
problema".
LECCIÓN 8 PROBLEMAS DE SIMULACIÓN CONCRETA Y ABSTRACTA
Introducción
¿Sobre qué trató la primera unidad de este libro?
Sobre la introducción a la solución de problemas.
¿Sobre qué trataron la segunda y tercera unidad de este libro?
Sobre problemas de relaciones de una y dos variables.
¿Qué tipos de relaciones se usaban en los problemas de la unidad anterior?
Se utilizaban las estrategias de representación en dos dimensiones.
¿Qué tiene en común todas los tipos de estrategias que vimos en la unidad anterior?
Son utilizadas para resolver problemas de relaciones de dos variables.
¿En qué consiste la estrategia de postergación en la solución de un problema?
Consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos, hasta tanto
se presente otro dato que complemente la información.
Presentación del proceso
Hasta ahora el tiempo no había jugado ningún papel en todos los problemas que hemos
estudiado; a este tipo de evento o situación se les denomina estática. Ahora vamos a
encontrarnos con situaciones que cambian en el tiempo, las cuales llamaremos dinámicas.
Para entender mejor un fenómeno cambiante podemos ubicarnos en un plano real, y podemos
reproducir de manera directa el evento o situación. Esto se denomina simulación concreta.
Ahora, también podemos apelar a nuestra memoria, a diagramas y a representaciones
simbólicas del fenómeno estudiado; esta segunda alternativa generalmente requiere de un
esfuerzo menor y da lugar a lo que llamamos una simulación abstracta.
Veamos un ejercicio para ilustrar este tipo de situación.
Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante. Por lo tanto, estamos
ante un problema. Inmediatamente podemos observar que la posición de Pedro va cambiando a
medida que transcurre el tiempo, o sea, que estamos ante un problema dinámico.
Las variables involucradas son dirección de recorrido y distancia recorrida, pero va tomando
valores diferentes a medida que pasa el tiempo.
Ejercicio 1. La casa de Pedro está ubicada en una calle que tiene dirección norte-sur y tiene
10 metros de ancho la calle. Pedro sale de su casa y camina 30 metros al norte, dobla a la
derecha y camina 40 metros, dobla de nuevo a la derecha y camina 10 metros; una vez más
dobla a derecha y camina 30 metros. Finalmente, dobla a la izquierda y camina 20 metros.
¿Dónde se encuentra Pedro?
Podríamos reproducir o simular el recorrido, pero
tendríamos que tener un patio muy grande. Eso sería
una representación concreta, pero podemos optar por
una representación mediante dibujos y gráficas. Para
esto hagamos un diagrama que nos permita visualizar
el problema.
A la izquierda tenemos un diagrama que nos sirve para
representar la situación que plantea el problema.
Está la casa de Pedro, frete a una calle de 10 m de
ancho y que tiene una orientación norte-sur.
Con este diagrama como guía podemos iniciar la
lectura del problema parte por parte para ir
representando los cambios que se describen en el
enunciado del problema. Es decir, iniciamos la
aplicación de la estrategia particular para la solución de
este tipo de problemas.
En el diagrama siguiente representamos el inicio del
recorrido. Pedro se desplaza 30 m en dirección norte.
Podemos imaginarnos a Pedro caminando por la
dirección norte-sur, con su cara mirando en el sentido
norte.
El recorrido se inicia justo frente a su casa y termina a
30 m del punto de partida en el sentido norte. Está
representado por la flecha negra con la indicación de
30 m.
Seguimos la lectura del programa parte por parte. Al
término del recorrido de los 30 m hacia el norte, Pedro
dobla a la derecha y recorre 40 m. esto está indicado
con la flecha negra que sigue. Ahora Pedro se desplaza
en la dirección este-oeste con sentido al este. Luego
dobla de nuevo a la derecha, y recorre 10 metros, lo
cual está indicado con la tercera flecha.
Ahora regresa a la dirección norte-sur, pero ahora con
sentido sur. Al término de los 10 metros, dobla de nuevo
a su derecha y se desplaza 30 m. Regresa a la
dirección este-oeste con sentido oeste. Y finalmente
dobla a su izquierda y recorre 20 m, lo cual está
representado con la quinta flecha.
Hemos completado de vaciar la información del enunciado del problema. Como resultado de
haber usado el diagrama, ahora podemos visualizar el recorrido completo que siguió Pedro.
Por inspección del diagrama, se contesta la pregunta acerca de la ubicación de Pedro. Está a
10 m al este de la puerta de salida de su casa; también podemos contestar que está en la acera
de enfrente (cruzando la calle), justo frente a la puerta de su casa. La primera respuesta es
precisa ubicando la posición de Pedro, la segunda es informal, en un lenguaje coloquial.
Usando el diagrama podemos verificar la exactitud de cada uno de los pasos, y del resultado
final de una manera sencilla. Una vez que verificamos, concluimos el problema.
Hemos resuelto el problema usando una nueva estrategia que denominamos simulación. Si la
hacemos recorriendo físicamente lo planteado en el problema, la llamamos simulación concreta.
Si la hacemos, como fue el caso, usando un diagrama con una representación simbólica de las
diferentes acciones que plantea el problema, la llamamos simulación abstracta. Estas son las
estrategias básicas para la solución de problemas dinámicos.
¿De qué trata el problema?
Establecer si la persona está caminando por una calle paralela o perpendicular.
¿Cuál es la pregunta?
¿Está la persona caminando por una calle paralela o perpendicular a la calle Carabobo?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Nombre de la calle, Dirección.
Representación:
Respuesta: Está caminando por una calle perpendicular
Situación dinámica
Una situación dinámica es un evento o suceso que experimenta cambios a medida que
transcurre el tiempo. Por ejemplo: el movimiento de un auto que se desplaza de un lugar A a
un lugar B; el intercambio de dinero y objetos de una persona que compra y vende
mercancía, etc.
Simulación abstracta
La simulación abstracta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se
basa en la elaboración de gráficos, diagramas y representaciones simbólicas que permiten
visualizar las acciones que se proponen en el enunciado sin recurrir a una reproducción
física directa.
Simulación concreta
La simulación concreta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se
basa en una reproducción física directa de las acciones que se proponen en el enunciado.
También se le conoce con el nombre de puesta en acción.
Práctica 1: Una persona camina por la calle Carabobo, paralela a la calle Pichincha;
continúa caminando por la calle Chacabuco que es perpendicular a la Pichincha. ¿Está la
persona caminando por una calle paralela o perpendicular a la calle Carabobo?
Práctica del proceso
¿De qué trata el problema?
De establecer cuántas veces debe impulsarse el conductor en una pendiente resbaladiza.
¿Cuál es la pregunta?
¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en la parte
plana de la vía?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Longitud de la pendiente, dirección de la pendiente, metros antes de iniciar el próximo
impulso.
Representación:
Respuesta: Tiene que impulsarse cinco veces para subir la pendiente y colocarse en la
parte plana de la vía.
¿De qué trata el problema?
Acerca del 5 cajas de gaseosas que tienen que llevarse a diferentes sitios.
¿Cuál es la pregunta?
¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar la tarea?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Número de cajas, distancia del lugar en donde tienen que ser llevadas.
Práctica 2: Un conductor emprende el ascenso de una pendiente muy inclinada que
además está resbaladiza por las intensas lluvias en la región y que tiene una longitud de 35
metros. Avanza en impulsos de 10 metros pero antes de iniciar el próximo impulso se
desliza hacia atrás 2 metros antes de lograr el agarre en la vía. ¿Cuántas veces tiene que
impulsarse para subir la pendiente y colocarse en la parte plana de la vía?
Práctica 3: Hay cinco cajas de gaseosas en un lugar y tienen que llevarse a diferentes
sitios como sigue: la primera a 10 m de distancia del origen, la segunda a 20 m, la tercera a
30 m, y así sucesivamente hasta colocarlas siempre a 10 m de la anterior. En cada
movimiento la persona sale del origen, lleva la caja al lugar que corresponde y regresa al
lugar de origen.
Este proceso se repite hasta mover todas las cajas y regresar al punto de origen. Si solo se
puede llevar una caja en cada intento, ¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar
la tarea?
Representación:
Respuesta: La persona al finalizar ha recorrido 300m.
¿De qué trata el problema?
Trata de un buque petrolero que avanza a 200m por minuto y pasa por un canal que tiene
200 metros de longitud.
¿Cuál es la pregunta?
¿Cuánto tiempo se demora el buque desde el instante que inicia su entrada al canal hasta
el instante en que sale completamente de éste?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Tres, medida de la eslora, velocidad, longitud del canal
Representación:
Respuesta: El buque se demora 2 minutos desde que entra hasta que sale
completamente.
Práctica 4: Un buque petrolero de 200 m de eslora avanza lentamente a 200 m por minuto
para pasar un canal que tiene 200 metros de longitud. ¿Cuánto tiempo se demora el buque
desde el instante que inicia su entrada al canal hasta el instante en que sale completamente
de éste?
Cierre
¿Qué estudiamos en esta lección?
Problemas de simulación concreta y abstracta.
¿Qué es un problema dinámico?
Evento o suceso que experimenta cambios a medida que transcurre el tiempo.
¿Qué estrategias utilizamos para resolver los problemas?
Estrategias de simulación concreta y estrategia de simulación abstracta.
¿En qué consiste la simulación concreta?
Estrategia que se basa en una reproducción física directa de las acciones que se
proponen en el enunciado.
¿A qué se refiere la simulación abstracta?
Se basa en la elaboración de gráficos, diagramas y representaciones simbólicas que
permiten visualizar las acciones que se proponen en el enunciado.
¿Por qué es importante elaborar esos esquemas o diagramas en la solución de estos
problemas?
Porque es indispensable para lograr la solución de un problema.
Representación mental de un problema
La elaboración de diagramas o gráficas ayuda a entender lo que se plantea en el enunciado
y a la visualización de la situación. El resultado de esta visualización del problema es lo que
se llama la representación mental de éste. Esta representación es indispensable para lograr
la solución del problema.
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Tomo 3

  • 1. SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN. NIVELACIÓN GENERAL Desarrollo del Pensamiento Tomo 3 Parte 1: Solución de Problemas Parte 2: Creatividad. Alfredo Sánchez Amestoy, PhD
  • 2. La presente publicación ha sido elaborada a partir del documento Desarrollo del pensamiento. Solución de problemas – 5to nivel, y Desarrollo del pensamiento. Creatividad – 6to. Nivel del autor Alfredo Sánchez Amestoy, PhD © CENTRO DIPCI S.A. 2012 Desarrollo del Pensamiento, Tomo 3. Parte1: Solución de Problemas. Parte 2: Creatividad. Primera edición – junio 2012 SENESCYT Whymper E7 – 37 y Alpallana Quito, Ecuador Teléfonos (593 2) 250- 5656 / 256 – 4773 / 250 - 5660 (593 2) 250- 5661 / 250 – 5655 / 250 - 5658 www.senescyt.gob.ec www.snna.gob.ec ISBN: 978 – 9978 – 339 – 04 – 6 Derecho de autor: GYE – 002939, GYE – 002938 de septiembre de 2012 Diseño y arte final Miguel Dávila Henrry Ruales Impresión Imprenta Mariscal Resuelto por: Jackeline Arizaga. Adrián Alcívar. Richard Guzmán. Diego Orellana.
  • 3. CONTENIDOS TOMO II CONTENIDO ___________________________________________________________3 PÁGINA INICIAL PARTE 1_________________________________________________5 IMFOMORMACIÓN GENERAL ACERCA DEL CURSO __________________________6 I INTRODUCCIÓN A LASOLUCIÓN DE PROBLEMAS___________________________8 Justificación y objetivos de la Unidad________________________________________8 1 Características de un problema __________________________________________9 2 Procedimiento para solución de un problema _______________________________17 II PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE________________________25 Justificación y Objetivos de la Unidad _______________________________________25 3 Problemas de Relacion Parte-todo y familiares ______________________________26 4 Problemas sobre relaciones de orden _____________________________________36 II PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES ______________________46 Justificación y objetivos de la Unidad________________________________________46 5 Problemas de tablas numéricas __________________________________________47 6 Problemas de tablas lógicas_____________________________________________57 7 Problemas de tablas conceptuales o semánticas_____________________________68 IV PROBLEAS RELATIVOS A EVENTOS DINAMICOS__________________________79 Justificación de la unidad _______________________________________________79 Objetivos de la unidad __________________________________________________80 8 Problemas de simulación concreta y abstracta _______________________________81 9 Problemas con diagrama de flujo e intercambio ______________________________87 10 Problemas dinámicos estrategia medios-fines ______________________________96 V SOLUCIONES POR BÚSQUEDA EXHAUTIVA _____________________________106 Justificación y objetivos de la Unidad _______________________________________106 11 Problemas de tanteo sistemáticos por acotación del error ____________________107 12 Problemas de construcción sistemática de soluciones _______________________113 13 Problemas de búsqueda exhaustiva .Ejercicios de consolidación_______________124
  • 4. Alfredo Sánchez Amestoy,Ph.D. Alfredo Sánchez Amestoy, PhD. Profesor Titular Universidad Simón Bolívar Director del centro para desarrollo e Investigación del Pensamiento Caracas, Venezuela Dirección electrónica: alfredosancheza@hotmail.com DESARROLLO DEL PENSAMIENTO TOMO III, PARTE 1 Solución de Problemas DESARROLLO DEL PENSAMIENTO TOMO III PARTE 1 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS © Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio
  • 5. INFORMACION GENERAL ACERCA DEL CURSO ORGANIZACIÓN DE LAS LECCIONES El curso comprende trece lecciones agrupadas en cinco unidades sobre la temática de la solución de problemas:  La primera unidad es una introducción a la solución de problemas  Las cuatro unidades siguientes están dedicadas a estrategias específicas para la solución de problemas basadas en aplicación de un procedimiento general para la solución de cualquier problema. Las unidades están divididas en lecciones y cada una costa de: Introducción Cuerpo Cierre ENFOQUE Y ESTRATEGIA ¿Cuál es el enfoque? El enfoque obedece a nuestro lema: aprender haciendo y construyendo; aprender a aprender, con una visión sistemática, humana e integral de la persona, el aprendizaje y la vida. La base operativa de esta concepción del aprendizaje, se sustenta en la metodología de procesos, el desarrollo de las habilidades del pensamiento, la transferencia de procesos al aprendizaje, el constructivismo y el aprendizaje significativo. ¿Cuál es la estrategia? En cuanto a logros: monitorear el aprendizaje y estimular el desarrollo autónomo, para la conceptualización, el logro de imágenes mentales claras y diferenciadas; aplicar el hábito de aplicar y extender cada proceso; es decir, se trabaja para alcanzar las competencias necesarias, para utilizar los procesos espontáneamente, con acierto y efectividad. El aprendizaje se lograra:  Mediante la mediación y el monitoreo del docente, para lograr el desarrollo progresivo de la autonomía del alumno, para aprender continuamente hasta lograr su independencia intelectual para pensar, optimizar, crear y actuar.  Mediante la aplicación de los avances de la ciencia cognitiva, el constructivismo, el enfoque sistemático, la mejora continua, el aprendizaje significativo u el desarrollo integral y humano. - ¿Qué conocemos acerca del tema? - ¿Qué vamos a aprender? - Construyamos el conocimiento. - Organizamos el conocimiento proceso o concepto. - Le damos sentido al conocimiento. - Aplicamos el conocimiento. - Extendemos, transferimos y generalizamos el conocimiento, y reflexionamos sobre su aprendizaje y aplicación. - Concientizamos: Reflexionamos sobre lo aprendido, su utilidad y los valores y actitudes asociados al aprendizaje y a la vida.
  • 6.  A través de la estimulación adecuada, el aprendizaje gradual y la verificación y retroalimentación permanentes. ACTITUDES Y VALORES REQUERIDOS PARA APRENDER A APRENDER  Reconocer las fortalezas y debilidades que se tienen y aprovecharlas para generar ideas, aportar soluciones, aprender del entorno y compartir con otros.  Aceptar sugerencias y orientaciones de docentes y compañeros con interés y humildad.  Actuar como gestores críticos y responsables del aprendizaje y del crecimiento personal.  Valorar el interés de docentes, familiares y amigos, en beneficio del crecimiento personal y social.  Mostrar disposición para reflexionar sobre los logros alcanzados y los beneficios de aprender y aprender a aprender. OBJETIVOS GENERALES A través del desarrollo del pensamiento, el estudiante logara las competencias requeridas para aprender y aprender a aprender, para actuar como pensador analítico, crítico constructivo y abierto al cambio, capaz de monitorear su propio desarrollo, entender y mejorar el entorno personal, familiar, social y ecológico que le rodea. En tal sentido se precisa: 1) Desarrollar los conocimientos, habilidades, actitudes y valores asociados a los estilos de pensamiento convergente y divergente y al razonamiento lógico, crítico y creativo, requeridos para desempeñarte con éxito y satisfacción en tus ámbitos de competencia académica, familiar, social y ambiental 2) Despertar en los docentes y estudiantes, el interés y la disposición para monitorear el crecimiento propio y de otros, con una perspectiva sistemática, futurista, integral, dinámica, crítica, constructiva, humana y perfectible. 3) Valorar el papel que juega el pensamiento como herramienta indispensable, para facilitar el desarrollo intelectual, social, moral y ético de las personas y para proyectar su ámbito de influencia hacia sí mismo, la sociedad y el medio. ESTÁNDARES DE DESEMPEÑO DE LAS COMPETENCIAS A LOGRAR Se utilizara una escala de 5 niveles, para verificar el avance de los estudiantes en el desarrollo de las competencias de curso, la cual se describe a continuación: Nivel Desempeño 1. Tiene noción del concepto, procedimiento o actitud que va a desarrollar. 2. Realiza o demuestra el desempeño esperado, con la mediación del docente. 3. Realiza o demuestra el desempeño esperado, por su propia iniciativa. 4. Realiza o demuestra el desempeño esperado, por su cuenta y es capaz de corregir sus propios errores. 5. Realiza todo lo anterior y además es capaz de guiar a otros, para tomar una decisión, introducir modificaciones en su trabajo y crear nuevos escenarios o productos. Reconoce el valor y la utilidad de sus aprendizajes
  • 7. LECCIÓN 1 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS Veamos algunos ejemplos adicionales. Consideremos los enunciados que siguen y responde las preguntas. "¿Cuál es el porcentaje de ganancia de una persona que invierte 5.000 Um (unidades monetarias) en mercancías y recauda 6.900 Um al venderla, sabiendo que sus gastos de venta y publicidad son de 800 Um?" ¿Qué información aporta? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ¿Qué interrogante plantea? --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ¿A qué conclusión podemos llegar respecto a si es o no un problema? "La paz es una condición de vida que contribuye a mejorar las relaciones interpersonales." ¿Qué información aporta? ¿Qué interrogante plantea? ¿A qué conclusión podemos llegar respecto a si es o no un problema? --------------------------------------------------------------------------------------------------------- "Las grandes ciudades son urbes superpobladas con gran diversidad de actividades comerciales y productivas, generalmente con grandes problemas de contaminación. ¿Cuáles son las principales causas de la contaminación ambiental de las grandes ciudades?" ¿Qué información aporta? ¿Qué interrogante plantea? ¿A qué conclusión podemos llegar respecto a si es o no un problema? UNIDAD I: INTRODUCCION A LA SOLUCION DE PROBLEMAS Definición de problema Un problema, es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una pregunta que debe ser respondida.
  • 8. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. María no tomó en cuenta los aspectos requeridos para comprar ese traje. 2. ¿Cuáles son las alternativas que deberían tomarse en cuenta para evitar que una persona contraiga amibiasis? 3. Debemos conocer las causas que provocan la indisciplina de los estudiantes de la escuela de la comunidad.. 4. La disciplina es producto del ambiente y aw favorece mediante la adopción de normas que todos estén dispuestos a aceptar y respetar. 5. ¿Qué debemos hacer para evitar que Marlene cometa el mismo error siempre? 6. ¿Cuáles son las causas que dieron origen a la conducta irregular de Juana? Enunciados que son problemas: 1. Una persona camina de la iglesia 100mts de frente, 50 mts hacia la a la derecha ¿Adistancia esta de la iglesia? 2. Los errores de los seres humanos causan daño al planeta u 3. áles son las causas de erosión en el suelo? Planteamiento ¿Es un problema? Justificación Si No 1 2 3 4 5 6 Práctica 1: ¿Cuáles de los siguientes planteamientos son problemas y cuáles no? Justifica tu respuesta; para ello completa la tabla que sigue al listado de planteamientos. Práctica 2: Plantea tres enunciados que sean problemas y tres que no sean problemas.
  • 9. Enunciados que no son problemas: 1. El arte es la forma en la que los seres humanos expresan sus emociones 2. Los mayas acabaron su calendario en el 2012 3. Consideremos ahora los dos problemas que siguen: 1. ¿Cuántos diccionarios marca "YOSE" de 40 Um (unidades monetarias) vendió. María durante el día si recaudó 800 Um por este concepto? 2. ¿Qué debemos hacer para estimular la participación de la comunidad en la solución de sus necesidades? ¿Qué semejanza encuentras en estos dos problemas? Tiene interrogantes a ser solucionadas ¿Qué diferencias presentan ambas situaciones? Es un problema matemático Es un problema social ¿Puedes resolver el primer problema? ¿Cuántos diccionarios vendió? ¿Qué ocurre con el segundo problema? ¿A qué tipos de necesidades se refiere el problema? ¿Son las mismas necesidades para todas las comunidades? Para un mismo tipo de necesidad, ¿Todas las comunidades deben resolverlo de la misma manera? ¿Será que la solución depende de los recursos con que cuenta la comunidad? ¿Qué concluyes de la comparación de los dos problemas respecto a la posibilidad de poderlos resolver directamente? Hay problemas fáciles de resolver y difíciles de resolver.
  • 10. Enunciados de problemas estructurados: 1. Se requieren 20 obreros para construir una casa en 5 días ¿Cuántos obreros se necesitaría para construir la casa en 3 días? 2. Un auto recorre una distancia de 50km/h ¿Cuántas horas se demorara en recorrer 400km? Enunciados de problemas no estructurados: 1. ¿Cuáles serían las soluciones para reducir el índice de embarazo adolescente? 2. ué debemos hacer para que la gente esté de acuerdo con la construcción de la cárcel de Turi? Práctica 3: Plantea dos problemas estructurados y dos problemas no estructurados. Las variables y la información de un problema Los datos de un problema, cualquiera que este sea, se expresan en términos de variables, de los valores de estas o de características de los objetos o situaciones involucradas en el enunciado. Podemos afirmar que los datos siempre provienen de variables. Vale recordar que una variable es una magnitud que puede tomar valores cualitativos o cuantitativos. Práctica 4: Completa la siguiente tabla en la cual se pide que des algunos valores posibles de la variable a la izquierda y que identifiques el tipo de variable.
  • 11. a. Un jardinero trabaja solamente los días hábiles de la semana y cobra 250Um por cada día. ¿Cuántos días debe de trabajar la persona para ganar 1.000 Um a la semana? Variable Días laborables Variable Sin labor Valores 4 días Valores 3dias b. Un terreno mide 6.000 m2 y se desea dividir en 2 parcelas, cuyas dimensiones sean proporcionales a la relación 3:5. Variable Área Variable Numero de parcelas Valores 6.000 m2 Valores 2 c. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20 cm3, y el mismo aumenta progresivamente, duplicándose cada 3 horas. ¿Qué volumen ocupará al cabo de 15 horas? Variable Volumen inicial Variable Volumen final Valores 20 cm3 Valores 340 cm3 d. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20 cm3, y el mismo aumenta progresivamente, incrementándose 10 cm3 cada dos horas. ¿Qué volumen ocupará al cabo de 16 horas? Variable Volumen inicial Variable Volumen final Valores 20 cm3 Valores 100 cm3 e. María, Josefina, Patricia y Carmen son cuatro hermanas. Patricia es de menor estatura que María, pero más alta que Carmen. La estatura de Josefina excede la de María en 5 cm. ¿Cuál hermana es la de menor estatura? Variable Numero de hermanos Valores 4 Variable Menor hermana Valores Carmen Práctica 5: En cada una de las siguientes situaciones identifica las variables e indica los valores que puede asumir.
  • 12. ¿Qué es un problema? Un problema es un enunciado en el cual se da cierta información y se plantea una pregunta que debe ser respondida ¿Cómo podemos clasificar los problemas, tomando en cuenta la información que nos dan? Estructurados No estructurados ¿Qué diferencias existen entre los dos tipos de problemas mencionados en clase? En los estructurados tiene toda la información necesaria para resolver el problema así como matemáticas, etc. En los no estructurados se necesita de una investigación para poder resolver es decir no tiene toda la información el problema ¿Qué papel juegan las variables en el análisis y la solución de un problema? Para identificar las características del problema ¿Qué utilidad tiene lo aprendido en la lección? Ayuda a revisar problemas
  • 13. LECCIÓN 2 PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Presentación del proceso Consideremos el siguiente ejercicio: Lo primero que debemos hacer es leer todo el enunciado. Nos preguntamos: ¿Tiene información? _____________________ ¿Tiene una interrogante que debemos responder? _______________ Ya que ambas respuestas son afirmativas, podemos concluir que es un problema ¿De qué trata el problema? _________________________________________ Variable: Cantidad de dinero inicial Característica: Desconocida Variable: Primera compra Característica: Pantalón Variable: Costo de la primera compra Característica: 50% del dinero inicial Variable: Segunda compra Característica: Camisa Variable: Costo de la segunda compra Característica: 300 Um Variable: Dinero después de las compras Característica: 200 Um Variable: Destino del remanente Característica: Pagar invitación a comer En tercer lugar debemos analizar las relaciones que podemos plantear y las operaciones que podemos realizar. Esto es pensar en una estrategia para resolver el problema. ¿Qué relación podemos establecer entre el costo del pantalón y el dinero inicial? A partir de la tercera variable de la lista podemos decir: 1. "El pantalón le costó la mitad del dinero inicial (50%) o, lo que es lo mismo, que el dinero inicial es el doble del costo del pantalón." Otra relación que podemos establecer es: 2. "Después de comprar el pantalón le quedó una cantidad de dinero igual a la mitad del dinero inicial." Una tercera relación a partir de la quinta y sexta variable sería: Ejercicio 1: Miguel necesitaba ropa y fue al Centro Comercial, para lo cual saco cierta cantidad de dinero de su alcancía. Vio unos bonitos pantalones y gasto el 50% de los que llevaba para adquirirlos, luego compro una camisa que le costó 300Um. Si al final le quedaron 200 Um. Que gasto para invitar a unos amigos a comer. ¿Cuánto dinero saco de su alcancía?
  • 14. 3. "Con el dinero sobrante después de comprar el pantalón se compró una camisa de 300Urn y le quedaron 200 Um que gasto en la comida." Estas relaciones las podemos visualizar de la siguiente manera: El cuarto paso es usar la relaciones y operaciones planteadas (usar la estrategia de solución que hemos planteado) para resolver el problema. Veamos cómo queda esto: De la segunda y tercera relaciones podemos sacar que: La mitad del dinero inicial es igual a la suma de 300 Um y 200 Um, que son 500 Um Luego, con la primera o segunda relaciones podemos plantear la siguiente operación: La cantidad de dinero inicial es el doble de la cantidad que quedó después de comprar el pantalón, La cual es de 500 Um. Por lo tanto, la cantidad de dinero inicial es de 1.000 Um. El quinto paso es formular la respuesta: La cantidad de dinero que sacó de la alcancía fue 1.000 Um. ¿Crees qué es importante tener un procedimiento para la solución de cualquier problema? ¿Por qué? ________________________________________________________________________ ¿Qué beneficio crees tiene aplicar este procedimiento? ________________________________________________________________________ Práctica del proceso Es importante recordar que estas prácticas presentan problemas sencillos para resolver, pero que lo importante es seguir el procedimiento. Si lo seguimos de manera deliberada y en forma sistemática, vamos a alcanzar la automatización del proceso, y por consecuencia, el desarrollo de la habilidad asociada al procedimiento o estrategia de resolución de problemas. Practica 1: Luisa gasto 500 Um. En libros y 100 Um. En cuadernos. Si tenía disponibles 800 Um. Para gastos de materiales educativos, ¿Cuánto dinero le queda para el resto de los útiles escolares?
  • 15. 1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema? ________________________________________________________________________ 2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado. Cantidad de dinero inicial ________________________ Primer artículo comprado: ________________________ Gastos de compra: ________________________ Segundo artículo comprado: ________________________ Gastos de la segunda compra: ________________________ Cantidad sobrante: ________________________ 3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema. 4) Aplica la estrategia de solución del problema 5) Formula la respuesta del problema. 6) ¿Cuál es el paso final en todos los procedimientos? Verificar el procedimiento .y el producto. ¿Seguiste todos los pasos en el orden del procedimiento? ¿Verificaste si los datos eran los correctos o que no confundiste o intercambiaste algún número? ¿Las operaciones matemáticas están correctas? ________________________________________________ 1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema? ________________________________________________________________________ 2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado. Cantidad de libros comprados: ________________________ Precio de cada libro: ________________________ Practica 2: María compro 50 libros y pago 100 Um. Por cada uno. La editorial le hizo un rebaja de un 20% sobre el precio de lista de cada libro. Se pregunta: ¿Cuánto es el precio de lista? ¿Cuánto pago María por los 50 libros? ¿Cuánto gana el vendedor si logra colocar todos los libros al precio de lista?
  • 16. Descuento sobre el precio de lista: ________________________ Precio de lista: ________________________ Cantidad pagado por María: ________________________ Ganancia del vendedor: ________________________ 3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema. 4) Aplica la estrategia de solución del problema, 5)Formula la respuesta del problema. ____________________________________________________________________________ 6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el resultado? ________________________________________________ 1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema? ________________________________________________ 2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado. Cantidad de beneficios de la herencia: ________________________ Cantidad de la herencia: ________________________ N° de divisiones de la herencia: ________________________ Parte que le corresponde a la madre: ________________________ Número de hijos: ________________________ Cantidad que recibe cada persona: ________________________ Practica 3: María, Luis y Ana son hijos de Lucia y José. José al morir deja una herencia que alcanza a 400 mil Um., la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el dinero se divide en dos partes, ½ para la madre y el resto para repartirse en partes iguales entre los tres hijos y la madre. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona?
  • 17. 3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema. ¿Podrías representar el reparto del dinero de la Herencia en el gráfico que se da a la derecha? 4) Aplica la estrategia de solución del problema, 5) Formula la respuesta del problema. 6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el resultado? ______________________________________________________________________ 1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema? ¿En qué se diferencia este problema del anterior? ________________________________________________________ 2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado. Numero de beneficios: ________________________ Total de la herencia: ________________________ N° de particiones de herencia: ________________________ Parte de la herencia que le corresponde a la madre: ________________________ Practica 4: María, Luis y Ana son hijos de Lucia y José. José al morir deja una herencia que alcanza a 400mil Um., la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el dinero se divide en dos partes ½ para la madre y el resto para repartirse entre los tres hijos y la madre, con la condición que la hija menor, María, reciba el doble que los demás en esta parte. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona?
  • 18. N° de hijos: ________________________ Parte que le corresponde a la hija menor: ________________________ Cantidad que recibe cada persona: ________________________ Valor de la parte de María: ________________________ 3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema. Trata de usar una representación gráfica como la usada en el problema anterior. 4) Aplica la estrategia de solución del problema, ____________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 5) Formula la respuesta del problema. 6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el resultado? ________________________________________________________________________
  • 19. LECCIÓN 3 PROBLEMAS DE RELACIONES DE PARTE-TODO Y FAMILIARES Presentación y práctica del proceso Ejecutando los pasos de ese procedimiento garantizamos: primero, una comprensión profunda del problema; segundo, generamos las ideas y buscamos las relaciones, operaciones y estrategias particulares para resolver la incógnita que se nos plantea en el problema; y tercero, la corrección de eventuales errores mediante la verificación del procedimiento y del producto del proceso. 1) Lee todo el enunciado ¿De qué trata el problema? __________________________________________ 2) ¿Cuál es la incógnita del problema? Reflexión En esta lección aprendimos que la solución de los problemas debe hacerse siguiendo un procedimiento, sin importar el tipo o naturaleza del problema. Ahora, la clave para resolver el problema está en el paso tres donde debemos plantear relaciones, operaciones y estrategias para tratar de responder lo que se nos pregunta. En las próximas unidades vamos a conocer varios tipos de problema, y vamos a practicar ese planteamiento de relaciones, operaciones y estrategias concretas para cada tipo de problemas. UNIDAD II: PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE Ejercicio 1. . Con una balanza de 2 platillos y sólo 3 pesas de 1, 3, y 9 kilos respectivamente, podrás pesar objetos cuyos pesos sean cantidades exactas entre 1 kilo hasta 13 kilos. Se trata de identificar la pesa o grupo de pesas de las disponibles que podrían colocarse en uno o los dos platillos para lograr un determinado equilibrio colocando el objeto en el platillo B. Se pueden combinar las pesas como se desee. ¿Cómo se combinarían las pesas para colocarlas - todas o algunas de ellas- en ambos platillos para pesar 2, 5, 7, 10 y 11 kilos?
  • 20. 3) ¿Qué relaciones o estrategias puedo derivar del enunciado del problema?, Primera, que tenemos una balanza de platillo que se equilibra cuando ambos platillos tiene el mismo peso. Segunda, que cuento con 4 pesas con los valores de 1 Kg, 3Kg y 9Kg. Tercera, que el objeto se coloca en el platillo B. Cuarta, que tengo total libertad de colocar una o varias pesas en uno u otro platillo para lograr el equilibrio con el objeto. Y quinta, que el peso del objeto puede calcularse conociendo el peso total del platillo. 4) ¿Cómo podemos pesar? Si colocamos en el platillo B objetos de 1Kg, 3Kg y 9Kg podemos equilibrado colocando en el platillo A la pesa correspondiente al peso del objeto. Si colocamos un objeto de 4Kg en el platillo A, ¿Cómo podemos equilibrarlo? ________________________________________________________________________ No podemos hacerlo con una sola pesa, pero si podemos hacerlo colocando en el platillo A las pesas de 1 Kg y 3Kg juntas. De esta manera podemos pesar objetos cuyo peso sea igual a la suma de los pesos de dos pesas. De esta manera podemos pesar objetos de 4Kg, 10Kg 12Kg. Y si colocamos las tres pesas en el mismo platillo podemos equilibrar objetos de 13Kg. Ya hemos completado formas de pesar objetos de 1, 3, 4, 9, 10, 12 y 13 Kg. ¿Pero cómo podemos hacer para pesar un objeto de 2Kg? Cantidad de kg a pesar Platillo B Platillo A 1 Objeto Pesa 1kg 2 Objeto + pesa 1 kg Pesa 3kg 3 Objeto Pesa 3kg 4 Objeto Pesas 3kg y 1kg 5 Objeto + pesas 3 kg y 1kg Pesa 9 kg 6 Objeto + pesa 3 kg Pesa 9kg 7 Objeto + pesa 3 kg Pesas 9kg y 1kg 8 Objeto + pesa 1kg Pesa 9kg 9 Objeto Pesa 9kg 10 Objeto Pesas 9kg y 1kg 11 Objeto + pesa 1 kg Pesas 9kg y 3kg 12 Objeto Pesas 9kg y 3kg 13 objeto Pesas 9kg, 3kg y 1kg 5) Para formular la respuesta a la interrogante de cómo se combinan las pesas para pesar 2, 5,7, 10 y 11Kg, solamente tenemos que identificar en la tabla anterior la distribución de pesas en cada uno de los platillos. Por ejemplo, para pesar un objeto de 2Kg. Lo colocamos en el platillo B junto con la pesa de 1Kg, y en el platillo A colocamos la pesa de 3Kg. De la misma manera procedemos para las demás cantidades. 6) Por último verificamos cada paso y los resultados de las operaciones.
  • 21. ¿Qué hacemos en primer lugar? ¿Qué datos se dan? ¿De qué variable estamos hablando? ____________________________________________________________________________ ¿Qué se dice acerca del precio de venta del objeto? ¿Qué se pide? Representación del enunciado del problema: ¿Qué se extrae de este diagrama? ________________________________________________________________________ ¿Qué se concluye? ________________________________________________ ¿Cuánto es el valor del objeto? ________________________________________________ ¿Cómo se describe el lagarto? ¿Qué datos da el enunciado del problema? Cabeza = ________________________ Cola= ________________________ Problemas sobre relaciones parte-todo En este tipo de problema unimos un conjunto de partes conocidas para formar diferentes cantidades y para generar ciertos equilibrios entre las partes. Son problemas donde se relacionan partes para formar una totalidad deseada, por esos se denominan "problemas sobre relaciones parte-todo". Práctica 1. El .precio de venta de un objeto es 700 Um. Este precio resulta de sumar su valor inicial, una ganancia igual a la mitad de su valor y unos gastos de manejo de 25% de su valor. ¿Cuánto es el valor inicial del objeto? Práctica 2. La medida de las tres secciones de un lagarto —cabeza, tronco y cola- son las siguientes: la cabeza mide 9 centímetros, la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del tronco, y el tronco mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola. ¿Cuántos centímetros mide en total el lagarto?
  • 22. Tronco= ________________________ ¿Qué significa que la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del cuerpo? Escribe esto en palabras y símbolos: ________________________________________________ ¿Y qué se dice del cuerpo? ________________________________________________________________________ Vamos a escribir o a representar estos datos en palabras y símbolos: Medida del tronco = Medida cabeza + medida cola Medida del tronco = 9 cm + medida de la cola Si colocamos lo que mide la cola obtenemos: Medida del tronco = 9 cm + 9 cm + mitad de la medida del cuerpo Medida del tronco = 18 cm + mitad de la medida del cuerpo Esto lo podemos representar en un esquema para visualizar las relaciones: Medida del tronco Medida de medio tronco 18cm ¿Qué observamos en el esquema? ¿Cuánto mide el tronco en total? ________________________________________________________________________ Entonces, ¿Cuánto mide en total el lagarto? Para contestar esto completa el esquema que sigue. Cola Tronco Cabeza ¿Qué estrategias particulares utilizamos para comprender y resolver el problema?  Identificamos en el dibujo las partes del lagarto y las medidas respectivas  Representemos las cantidades en el esquema Veamos otro problema de relación entre las partes y el todo.
  • 23. ¿Qué debemos hacer para resolver el problema? ¿Qué se pregunta? ________________________________________________ ¿Qué observan en los datos? ¿Cuál es el todo y cuáles son las partes? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ¿Cómo podemos representar estos datos? ¿Cómo lo expresamos en palabras? ________________________________________________________________________ ¿Qué relación existe entre el peso del hombre y la totalidad de la carga? ________________________________________________________________________ ¿Cómo calculamos el peso del hombre? ¿Cuánto pesa el hombre? ________________________ ¿Qué debemos hacer una vez que conocemos el resultado? Práctica 3. Un hombre lleva sobre sus hombros un niño que pesa la mitad que él; el niño, al mismo tiempo, lleva un perrito que pesa la mitad que él, y el perrito lleva accesorios que pesan la mitad que él. Si el hombre con su carga pesa 120 kilos, ¿Cuánto pesa el hombre sin carga alguna? Problemas sobre relaciones familiares En esta parte de la lección se presenta un tipo particular de relación referido a nexos de parentesco entre los diferentes componentes de la familia. Las relaciones familiares, por sus diferentes niveles, constituyen un medio útil para desarrollar habilidades de pensamiento de alto nivel de abstracción y es esta la razón por la cual se incluye un tema en la lección que nos ocupa.
  • 24. ¿Qué se plantea en el problema? ________________________________________________ ¿Qué personajes figuran en el problema? ________________________________________________________________________ ¿Qué relaciones podemos establecer entre estos personajes? ________________________________________________ ________________________________________________ Completa las relaciones en la representación. La de suegra – yerno ya está indicada. ¿Que se observa en el diagrama con respecto a María y el señor del retrato? ¿ Que tienen en común? ________________________________________________ ¿Qué relación existe entonces entre ambas personas? Respuesta del problema: ________________________________________________ ¿Qué hicimos en este ejercicio? Práctica 4. María muestra el retrato de un señor y dice: "La madre de ese señor es la suegra de mi esposo." ¿Qué parentesco existe entre María y el señor del retrato?
  • 25. ¿Qué tipo de estrategia utilizamos? ________________________________________________ ¿Qué se plantea en el problema? ________________________________________________ ¿A qué personajes se refiere el problema? ________________________________________________ ¿Qué afirma la dama? ________________________________________________ ¿Qué significa ser hija única? ________________________ Representación: Respuesta: Ella es la madre del joven ¿Qué se plantea en el problema? ________________________________________________ Pregunta: Representación: Práctica 5. Un joven llego de visita a la casa de una dama; un vecino de la dama le preguntó quién era el visitante y ella le contestó: "La madre de ese joven es la hija única de mi madre." ¿Qué relación existe entre la dama y el joven? Práctica 6. Un hombre dice, señalando a otro: "No tengo hermanos ni hermanas, pero el padre de ese hombre es hijo de mi padre” ¿Qué parentesco hay entre "ese hombre" y el que habla?
  • 26. Respuesta: ________________________ ¿Qué se plantea en el problema? ________________________ Pregunta: ________________________ Representación: Respuesta: ________________________ ¿Qué se plantea en el problema? Pregunta ________________________________________________ Representación: Respuesta: ________________________ Práctica 7. Luis dice: "Hoy visité a la suegra de la mujer de mi hermano". ¿A quien visitó Luis? Práctica 8. Antonio dice: "El padre del sobrino de mi tío es mi padre". ¿Qué parentesco existe entre el padre del sobrino y el tío de Antonio?
  • 27. LECCIÓN 4 PROBLEMAS SOBRE RELACIONES DE ORDEN ¿Qué debemos hacer en primer lugar? ________________________ ¿A qué aspecto o variable se refiere el problema? ________________________ ¿Qué tipo de variable es? ________________________ ¿En qué forma se expresa la información relativa a las estaturas? ________________________________________________ ¿Qué utilidad tiene esta estrategia? _____________________________________ ¿Qué papel juega la variable en estos problemas? _____________________________________ ¿En qué casos se puede usar esta estrategia? _____________________________________ Ejercicio 1. José es más bajo que Patricio, pero más alto que Manuel. Manuel a la vez es más bajo que José, pero más alto que Rodrigo. ¿Quién es más alto y quién le sigue en estatura? Representación en una dimensión La estrategia utilizada se denomina "Representación en una dimensión" y como ustedes observaron permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto. Reflexión Los problemas de esta lección involucran relaciones de orden. Dichos problemas se refieren a una sola variable o aspecto, el cual generalmente toma valores relativos, o sea que se refieren a comparaciones y relaciones con otros valores de la misma variable; por ejemplo cuando decirnos "Juan es más alto que Antonio" nos estamos refiriendo a la variable o aspecto estatura y estamos dando la estatura de Juan, pero con relación a la estatura de Antonio; no sabemos cuánto mide Juan ni cuánto mide Antonio. Práctica 1. En el trayecto que recorren Mercedes, Julio, Paula y José al trabajo, Mercedes camina más que Julio. Paula camina más que José, pero menos que Julio. ¿Quién vive más lejos y quién vive más cerca?
  • 28. Variable: _____________________________________ Pregunta: _____________________________________ Representación: Respuesta: Lejos= _____________________________________ Cerca= _____________________________________ Variable: _____________________________________ Pregunta: _____________________________________ Representación: Respuesta: _____________________________________ Variable: _____________________________________ Pregunta: _____________________________________ Práctica 2. Juana, Rafaela, Carlota y María fueron de compras al mercado. Carlota gastó menos que Rafaela, pero más que María. Juana gastó más que Carlota pero menos que Rafaela. ¿Quién gastó más y quién gastó menos? Práctica 3. Luisa tiene más dinero que Antonia pero menos que José. Pedro es más rico que Luisa y menos que José. ¿Quién es el más rico y quién posee menos dinero?
  • 29. Representación: Respuesta: Más rico= _____________________________________ Menos rico = _____________________________________ Variable: _____________________________________ Representación: Respuesta: Más difícil= _____________________________________ Menos difícil = _____________________________________ Variable: _____________________________________ Representación: Respuesta: Más triste = _____________________________________ Estrategia de postergación Esta estrategia adicional llamada de "postergación" consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos, hasta tanto se presente otro dato que complemente la información y nos permita procesarlos. Práctica 4. Mercedes está estudiando idiomas y considera que el ruso es más difícil que el alemán. Piensa además que el italiano es más fácil que el francés y que el alemán es más difícil que el francés. ¿Cuál es el idioma que es menos difícil para Mercedes y cuál considera el más difícil? Práctica 5. Roberto y Alfredo están más tristes que Tomás, mientras que Alberto está menos triste que Roberto, pero más triste que Alfredo. ¿Quién está menos triste?
  • 30. Menos triste = _____________________________________ ¿A qué variable se refiere el problema? _____________________________________ ¿Que se dice acerca de la variable? _____________________________________ ¿Qué palabras lucen confusas en el enunciado? _____________________________________ Representación: Respuesta: Peor desempeño = _____________________________________ Quien le sigue = _____________________________________ Casos especiales de la representación en una dimensión Finalmente, hay un último elemento, relacionado con el lenguaje, el cual puede Hacer parecer confuso un problema debido al uso cotidiano de ciertos vocablos o a la redacción del mismo. En este caso se hace necesario prestar atención especial a la variable, a los signos de puntuación y al uso de ciertas palabras presentes en el enunciado. Práctica 6. Pedro y Ramiro son mejores que Suárez en sus habilidades para golear. La destreza como goleador de García puede deducirse del número acumulativo de goles que lleva durante el año, el cual es inferior al de otros miembros del equipo como Pedro que duplica dicho número. García supera a su compañero de equipo Ramiro. ¿Quién tiene el peor desempeño como goleador? ¿Quién le sigue en tan pobre actuación?
  • 31. Variable: _____________________________________ Pregunta: _____________________________________ Representación: Respuesta: Más joven= _____________________________________ Más viejo = _____________________________________ ¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de esta práctica? _____________________________________ ¿Qué diferencia hay si resolvemos la práctica usando como variable la "edad" o el "año de nacimiento"? _____________________________________ Variable: _____________________________________ Pregunta: _____________________________________ Representación: Práctica 7. Juan nació 2 años después de Pedro. Raúl es 3 años mayor que Juan. Francisco es 6 años menor que Raúl. Alberto nació 5 meses después que Francisco. ¿Quién es el más joven y quién es el más viejo? Práctica 8. Daría nació 15 años después que Patricio. Said triplica la edad de Patricio. Dinorah, aunque le lleva muchos años de diferencia a Daría, nació después que Patricio. Alfredo, tío de Daría, es menos viejo que Said, pero mucho menos joven que Patricio. ¿Cuál de los cinco es el mayor y cuál es el menor?
  • 32. Respuesta: Más viejo= _____________________________________ Más joven = _____________________________________ ¿Cuáles fueron las dificultades en el enunciado de esta práctica? _____________________________________ Precisiones acerca de las tablas En este tipo de problemas existe una variable sobre la cual se centra el mismo. Es siempre una variable cuantitativa que sirve para plantear las relaciones de orden que vinculan dos personas, objetos o situaciones de los incluidos en el problema. Por ejemplo, en el Ejercicio 1 de esta lección la variable era "estatura" y José, Patricio, Manuel y Rodrigo eran los sujetos incluidos en el problema. José, Patricio, Manuel y Rodrigo son valores de otra variable llamada "nombre". La variable estatura "depende" de cual valor de la variable nombre he seleccionado. Por tal razón llamamos a la variable "estatura" variable dependiente. Y por complemento, a la variable "nombre" la llamamos variable independiente. En cierto sentido la variable "nombre" queda fija al seleccionar los personajes del problema. En cambio, la variable estatura depende de cual joven estamos considerando. La pregunta o incógnita del problema se formula alrededor de la variable dependiente, por ejemplo, en este caso la pregunta es "¿Quién es el más alto?" la cual se refiere directamente a la variable estatura.
  • 33. LECCIÓN 5 PROBLEMAS DE TABLAS NUMÉRICAS Presentación del proceso Si Rita tiene 5 objetos y 3 son discos de música, entonces tiene 2 películas. Si Elsa tiene 8 objetos y 3 son películas, entonces tiene 5 discos de música. Si Rita y Elsa tienen 2 y 3 películas respectivamente, y el total de películas es de 6, entonces Pedro debe tener 1 película. Haciendo esto para todas las celdas, completamos todas las celdas del recuadro, y queda como sigue: Ahora podemos contestar las preguntas inspeccionando el recuadro. Elsa tiene 5 discos de música y Pedro tiene 1 película. Antes de concluir, verificamos que hemos vaciado correctamente los datos, que las operaciones han sido correctamente realizadas y que la inspección es la que corresponde. Nombre Tipo obj. Rita Elsa Pedro Total Discos de música 3 5 6 14 Películas 2 3 1 6 Total 5 8 7 20 UNIDAD III: PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES Ejercicio 1. Rita, Elsa y Pedro tienen un club para compartir discos de música y películas. Entre los tres tienen 20 objetos, de los cuales 14 son discos de música y 6 películas. Rita tiene 3 discos de música y Elsa tiene el mismo número de películas. Elsa tiene en total tres objetos más que Rita. ¿Cuántos objetos tipo discos de música tiene Elsa, y cuántos objetos tipo películas tiene Pedro si Rita tiene 5 objetos en total? Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas numéricas Esta es la estrategia aplicada en problemas cuya variable central cuantitativa depende de dos variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una representación gráfica o tabular llamada "tabla numérica".
  • 34. Práctica del proceso ¿De qué trata el problema? _____________________________________ ¿Cuál es la pregunta? _____________________________________ ¿Cuál es la variable dependiente? _____________________________________ ¿Cuáles son las variables independientes? _____________________________________ Representación: Respuesta: _____________________________________ Nombre Idiomas Elena María Susana Total Francés Italiano Alemán Total Práctica 1. Elena, María y Susana estudian tres idiomas (francés, italiano y alemán), y entre las tres tienen 16 libros de consulta. De los cuatro libros de Elena, la mitad son de francés y uno es de italiano. María tiene la misma cantidad de libros de Elena, pero solo tiene la mitad de los libros de francés y la misma cantidad de libros de italiano que Elena. Susana tiene tres libros de alemán, pero en cambio tiene tantos libros de italiano como libros de alemán tiene María. ¿Cuántos libros de francés tiene Susana y cuántos libros de cada idioma tienen entre todas? Práctica 2. Tres muchachas Nelly, Estela y Alicia tienen en conjunto 30 prendas de vestir de las cuales 15 son blusas y el resto son faldas y pantalones. Nelly tiene tres blusas y tres faldas, Alicia que tiene 8 prendas de vestir tiene 4 blusas. El número de pantalones de Nelly es igual al de blusas que tiene Alicia. Estela tiene tantos pantalones como blusas tiene Nelly. La cantidad de pantalones que posee Alicia es la misma que la de blusas de Nelly ¿Cuántas faldas tiene Estela?
  • 35. ¿De qué trata el problema? _____________________________________ ¿Cuál es la pregunta? _____________________________________ ¿Cuál es la variable dependiente? _____________________________________ ¿Cuáles son las variables independientes? _____________________________________ Representación: Respuesta: _____________________________________ Nombre Prendas Nelly Estela Alicia Total Blusas Faldas Pantalones Total Las tablas numéricas Las tablas numéricas son representaciones gráficas que nos permiten visualizar una variable cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. Una consecuencia de que la representación sea de una variable cuantitativa es que se pueden hacer totalizaciones (Sumas) de columnas y filas. Este hecho enriquece considerablemente el problema porque abre la posibilidad de generar, adicionalmente, representaciones de una dimensión entre cualquiera de las dos variables cualitativas y la variable cuantitativa. También a deducir valores faltantes usando operaciones aritméticas.
  • 36. ¿De qué trata el problema? _____________________________________ ¿Cuál es la pregunta? _____________________________________ ¿Cuál es la variable dependiente? _____________________________________ ¿Cuáles son las variables independientes? _____________________________________ Representación: Respuesta: Clara tiene 1 pulsera y Belinda 5. En total ambas tienen 6 pulseras. Vamos a continuar nuestra práctica incluyendo problemas donde se presentan celdas a las que no les corresponden elementos, por lo tanto, deben ser llenadas con el valor numérico cero. Nombre Accesorios Clara Isabel Belinda Total Pulseras Anillos Total Práctica 3. Las hijas del señor González, Clara, Isabel y Belinda tienen 9 pulseras y 6 anillos, es decir, un total de 15 accesorios personales. Clara tiene 3 anillos. Isabel tiene tantas pulseras como anillos tiene Clara y, en total, tiene un accesorio más que Clara, que tiene 4. ¿Cuántas pulseras tienen Clara y Belinda? Tablas numéricas con ceros En algunos casos ocurre que para algunas celdas no se tienen elementos asignados. Por ejemplo, si hablamos de hijas e hijos en varios matrimonios, y decimos que Yolanda es la hija única del matrimonio Pérez, eso no significa que la celda de hijos correspondiente al matrimonio Pérez está vacía o le falta información, lo que significa es que a esa celda le corresponde el valor numérico "0" cero, porque al ser Yolanda hija única significa que los Pérez tienen solo una hija, y es hembra. A veces confundimos erróneamente la ausencia de elementos en una celda con una falta de información; si hay ausencia de elementos, entonces la información es que son cero elementos.
  • 37. ¿De qué trata el problema? _____________________________________ ¿Cuál es la pregunta? _____________________________________ ¿Cuál es la variable dependiente? _____________________________________ ¿Cuáles son las variables independientes? _____________________________________ Representación: Respuesta: _____________________________________ ¿De qué trata el problema? _____________________________________ Nombre Género Pérez Gómez García Total Varones Mujeres Total Práctica 4. Tres matrimonios, de apellidos Pérez, Gómez, y García, tienen en total 10 hijos. Yolanda, que es hija de los Pérez, tiene sólo una hermana y no tiene hermanos. Los Gómez tienen un hijo varón y un par de hijas. Con la excepción de María, todos los otros hijos del matrimonio García son varones. ¿Cuántos hijos varones tienen los García? Práctica 5. En las casas de María, Juana y Paula hay un total de 16 animales domésticos, entre los cuales hay 3 perros, doble número de gatos, y además canarios y loros. En la casa de Juana aborrecen a los perros y a los loros, pero tienen 4 gatos y 2 canarios (con mucho miedo). En la de Paula sólo hay un perro y otros 2 animales, ambos gatos. En la de María tienen 3 canarios y algunos otros animales. ¿Qué otros animales y cuántos de cada tipo hay en la casa de María?
  • 38. ¿Cuál es la pregunta? _____________________________________ ¿Cuál es la variable dependiente? _____________________________________ ¿Cuáles son las variables independientes? _____________________________________ Representación: Respuesta: _____________________________________ ¿De qué trata el problema? _____________________________________ ¿Cuál es la pregunta? _____________________________________ ¿Cuál es la variable dependiente? _____________________________________ Nombre Animales María Juana Paula Total Perros Gatos Canario Loros Total Práctica 6. Jorge Romero metió 6 goles durante la temporada de fútbol de 2006 y 6 en la del 2009. En 2007 y 2008 no le fue tan bien, de modo que durante los 4 años (2006 a 2009) metió un total de 15 goles. Pedro Vidal metió 14 goles en 2007 y la mitad en 2009. Su total para los 4 años fue de 21 goles. Enrique Pérez metió tantos goles en 2008 como Vidal metió en los 4 años, pero en las otras temporadas no le fue mejor que a Pedro en 2006. Entre los tres en 2008 metieron 22 goles. ¿Cuántos goles metieron entre los tres en 2007?
  • 39. ¿Cuáles son las variables independientes? _____________________________________ Representación: Respuesta: _____________________________________ ¿De qué trata el problema? _____________________________________ ¿Cuál es la pregunta? _____________________________________ ¿Cuál es la variable dependiente? _____________________________________ ¿Cuáles son las variables independientes? _____________________________________ Representación: Nombre Períodos Jorge Romero Pedro Vidal Enrique Pérez Total 2006 2007 2008 2009 Total Nombre Mascotas Milton Mortus Nartis Total Sapos Arañas Murciélago Total Práctica 7. Milton, Mortus y Nartis tienen en total 20 mascotas. Milton tiene tres sapos y la misma cantidad de arañas que de murciélagos. Mortus tiene tantas arañas como Milton sapos y murciélagos. Nartis tiene 5 mascotas, una es murciélago y tiene la misma cantidad de sapos que Mortus, que es el mismo número de murciélagos que Milton. Si Milton tiene 7 mascotas, ¿Cuántas y qué clase de mascotas tiene cada uno?
  • 40. Respuesta: _____________________________________ ¿Cómo denominar una tabla? Una de las variables independientes es desplegada en los encabezados de las columnas, mientras que la otra variable es desplegada como inicio de las filas. Y la variable dependiente es desarrollada en las celdas de la región reticular definida por el cruce de columnas y filas. Por esta razón se habla que las tablas tienen dos entradas, una por las columnas y otra por las filas. En título de una tabla está determinado por la variable dependiente que se visualiza, y se complementa con las variables independientes que caracterizan los valores del cuerpo de la tabla. Así, la tabla de la práctica 1 de esta lección se denomina de la siguiente manera: "Número de libros en función de dueño e idioma"
  • 41. LECCIÓN 6 PROBLEMAS DE TABLAS LÓGICAS Presentación del proceso Iniciemos el trabajo de esta lección con un ejercicio. ¿Qué debemos hacer en primer lugar? Leer todo el problema. ¿De qué trata el problema? De encontrar las profesiones de tres damas. ¿Qué variables están presentes? Hay dos variables cualitativas: Nombres de damas (Delia, Ana y Lea) y Profesiones (arquitecta, abogada y médica). ¿Qué otras informaciones están expresadas en el enunciado?  Cada una de las damas tiene una de esas tres profesiones que son diferentes entre sí.  Nos relatan dos hechos que aportan información sobre las profesiones de las damas. ¿Qué se pregunta en el problema? Las profesiones de las tres damas. . Nombre Delia An Lea Arquitecta Falso Falso Verdadero Abogada Verdadero Falso Falso Médica Falso Verdadero Falso Ejercicio 1. Las profesiones de Delia, Ana y Lea son diferentes. Ellas son arquitecta, abogada y médica, aunque no necesariamente en ese orden. Ana contrató la arquitecta para que le diseñara su casa. Lea le dijo a la abogada que se iba a reunir con Ana el día siguiente. ¿Cuáles son las profesiones de Delia, Ana y Lea? Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas lógicas Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen dos variables cualitativas sobre las cuales puede definirse una variable lógica con base a la veracidad o falsedad de relaciones entre las variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una representación tabular llamada “tabla lógica".
  • 42. Práctica del proceso a) b) c) d) Nombre País Pedro Luis Carlos Raúl México V Venezuela V Ecuador Chile V Nombre País Pedro Luis Carlos Raúl México X Venezuela V Ecuador X Chile X X Nombre País Pedro Luis Carlos Raúl México X X X Venezuela X X Ecuador X Chile Nombre País Pedro Luis Carlos México Venezuela X Ecuador V Práctica 1. Suponiendo que se aplica la característica de la exclusión mutua en ambas variables, completa las siguientes tablas lógicas. Práctica 2: Leonel, Justo y Raúl juegan en el equipo de fútbol del Club. Uno juega de portero, otro de centro campista y el otro de delantero. Se sabe que: Leonel y el portero festejaron el cumpleaños de Raúl. Leonel no es el centro campista. ¿Qué posición juega cada uno de los muchachos?
  • 43. ¿De qué trata el problema? __________________________________ ¿Cuál es la pregunta? __________________________________ ¿Cuáles son las variables independientes? __________________________________ ¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla? __________________________________ Representación: Respuesta: __________________________________ ¿De qué trata el problema? __________________________________ ¿Cuál es la pregunta? __________________________________ ¿Cuáles son las variables independientes? __________________________________ ¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla? __________________________________ Representación: Nombre Posición Leonel Justo Raúl Portero Centro campista Delantero Nombre Alimentos José Justo Jairo Magdalenas Tostadas Galletas Práctica 3: José, Justo y Jairo desayunaron con comidas diferentes. Cada uno consumió uno de los siguientes alimentos: magdalenas, tostadas y galletas. José no comió ni magdalenas ni galletas. Justo no comió magdalenas. ¿Quién comió galletas y qué comió Jairo?
  • 44. Respuesta: __________________________________ ¿De qué trata el problema? ____________________________________________________________ ___________________________________________________________ ¿Cuál es la pregunta? __________________________________ ¿Cuáles son las variables independientes? __________________________________ ¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla? __________________________________ Representación: Nombre Color de blusa Blanca Rosa Violeta Violeta Rosa Blanca Práctica 4: Tres niñas una de ellas con una blusa violeta, otra con una blusa rosa, y la tercera con una blusa blanca, hablan con la maestra. La niña con la blusa violeta le dice: "Nos llamamos Blanca, Rosa, y Violeta". A continuación, otra de las tres niñas le dice: "Yo me llamo Blanca. Como puede usted ver, nuestros nombres son los mismos que los colores de nuestras blusas, pero ninguna de nosotras usa blusas del color de nuestro nombre". La maestra sonríe y dice: "Pero ahora ya se, como os llamáis". ¿Qué color de blusa usa cada una de las niñas?
  • 45. Respuesta: __________________________________ ¿De qué trata el problema? __________________________________ ¿Cuál es la pregunta? __________________________________ ¿Cuáles son las variables independientes? __________________________________ __________________________________ ¿Cuál puede ser la relación lógica para construir la tabla? __________________________________ Representación: Animal Nombre Canario Loro Gato Perro Policía Rampal Perico Félix Rin- Tin-Tin Reflexión La estrategia de tablas lógicas es de gran utilidad para resolver tanto acertijos como problemas de la vida real. Al ponerlo en práctica debemos ser muy cuidadosos en cuatro cosas: 1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos o informaciones. 2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hasta que tengamos suficiente información para vaciarla en la tabla. 3. Conectar los hechos o informaciones que vamos recibiendo. 4. Leer las afirmaciones de manera secuencial, y cuando agotemos la lista, volver a leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información que hayamos obtenido. Práctica 5: En la casa de Gisela hay un canario, un loro, un gato y un perro policía. Se llaman Rampal, Perico, Félix y Rin-Tin-Tin, pero no necesariamente en ese orden. Rin-Tin- Tin es más pequeño que el loro y que Félix. El perro es más joven que Perico. Rampal es el más viejo y no se lleva bien con el loro. ¿Cuál es el nombre de cada animal?
  • 46. Respuesta: __________________________________ ¿De qué trata el problema? __________________________________ ¿Cuál es la pregunta? __________________________________ ¿Cuáles son las variables independientes? __________________________________ ¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla? __________________________________ Representación: Nombre Trabajo Ana Luisa Pedro Miguel Escuela Ferretería Banco Farmacia Práctica 6: Piense en estas cuatro personas. 1. Sus nombres son Ana, Luisa, Pedro y Miguel. 2. Trabajan en una escuela, una ferretería, un banco y una farmacia 3. Pedro es el hijo de la persona que trabaja en la ferretería 4. Ana y la persona que trabaja en la farmacia son hermano-hermana 5. El hijo de la persona que trabaja en el banco trabaja en la ferretería 6. Luisa no trabaja en la escuela ¿Dónde trabajan cada uno?
  • 47. Respuesta: Ana trabaja en la escuela, Luisa trabaja en el banco, Pedro trabaja en la farmacia y Miguel trabaja en la ferretería. ¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta? Establecer el lugar en el que llegaron los corredores. ¿Cuáles son las variables independientes? Países, posiciones. ¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla? País – posición. Representación: Respuesta: El brasileño llegó en primer lugar, el Francés en segundo, el Mexicano en tercero, el Argentino en cuarto y el Holandés en quinto lugar. Países Posición Francia Brasil México Argentina Holanda Primero X V X X X Segundo V X X X X Tercero X X V X X Cuarto X X X V X Quinto X X X X V Práctica 7: En una carrera de autos, en la que no hubo empates, participaron corredores de Francia. Brasil, México, Argentina y Holanda. El mexicano llegó dos lugares atrás del brasileño. El francés no ganó, pero tampoco llegó en último lugar. El holandés ocupó un lugar después que el argentino. Este último no llegó en primer lugar. En qué lugar llegó cada corredor Práctica 8: Seis muchachas del preuniversitario: Gloria, Catalina, Blanca, Silvia, Rosa y Marú, tiene noviazgos secretos con otros seis muchachos llamados: Tobías, Raúl, Jacobo, Sergio, Ramiro y Javier. Tratando de descubrir cuáles eran las parejas, las amigas de las chicas averiguaron lo siguiente: a) Jacobo y Sergio se reunieron con los novios de Blanca y de Rosa. b) Gloria, Javier y Marú son hermanos. c) Catalina y Raúl siempre andan tomados de la mano por los pasillos. d) Tobías le dice cuñado a Javier. e) Ramiro y los novios de Blanca y Gloria están peleados con Tobías. f) Sergio no conoce a las hermanas de Javier ni a Rosa.
  • 48. ¿De qué trata el problema? Establecer el nombre de los novios de Gloria, Catalina, Blanca, Silvia, Rosa, Marú. ¿Cuál es la pregunta? ¿Quiénes son los novios de las chicas? ¿Cuáles son las variables independientes? Nombre de las chicas, nombres de los novios. ¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla? Parejas Representación: Respuesta: El novio de Gloria en Jacobo, de Catalina es Raúl, de Blanca es Javier, de Silvia es Sergio, de Rosa es Ramiro y de Marú es Tobías. ¿De qué trata el problema? Establecer la actividad que realizan Juan, Luis, Miguel, David. ¿Cuál es la pregunta? ¿Qué actividad realizan Juan, Luis, Miguel y David? ¿Cuáles son las variables independientes? Nombre de las personas, Actividades que realizan. ¿Cuál es la relación lógica para construir una tabla? Nombre- actividad Novias Novios Gloria Catalina Blanca Silvia Rosa Marú Tobías X X X X X V Raúl X V X X X X Jacobo V X X X X X Sergio X X X V X X Ramiro X X X X V X Javier X X V X X X Práctica 9: Juan, Luis, Miguel y David son artistas. Averigua la actividad de cada uno con base a la siguiente información: a) Son: bailarín, pintor, cantante y actor. b) Juan y Miguel estuvieron entre el público la noche que el cantante debutó. c) El pintor hizo retratos de Luis y el actor d) El actor, cuya actuación en "La vida de David" fue un éxito, planea trabajar en otra obra de teatro semejante a la anterior, pero en relación con la vida de Juan. e) Juan nunca ha oído hablar de Miguel
  • 49. Representación: Respuesta: Juan es pintor, Luis es cantante, Miguel es bailarín y David es Actor. Cierre ¿Qué hicimos en esta lección? Problemas de tablas lógicas ¿Por qué se llama tablas lógicas? Porque se manejan variables lógicas. ¿Y cómo son las variables en este tipo de problemas? Variables cualitativas y lógicas. ¿Qué utilidad tiene la estrategia estudiada? Ayudan a resolver problemas de variables cualitativas y lógicas. ¿En qué se diferencia de las tablas lógicas de las tablas numéricas? En la tabla numérica la variable dependiente en cualitativa, mientras que en la tabla lógica la variable es lógica, es decir, verdadero o falso, si o no. Nombres Actividad Juan Luis Miguel David Bailarín X X V X Pintor V X X X Cantante X V X X Actor X X X V
  • 50. LECCIÓN 7 PROBLEMAS DE TABLAS CONCEPTUALES Introducción ¿En qué consiste la estrategia de representación en dos dimensiones? Consiste en resolver problemas que tienen dos variables. ¿Qué tipos de representaciones en dos dimensiones hemos estudiado? Tablas numéricas, tablas lógicas. ¿Cuántas variables intervienen en una representación de dos dimensiones? Variables dependientes o independientes. ¿Qué diferencias hay entre las variables que intervienen en una representación de dos dimensiones? Las variables independientes son cualitativas, mientras que las variables dependientes son cuantitativas. Presentación del proceso Consideremos el siguiente ejercicio: ¿Qué debemos hacer en primer lugar? Leer todo el problema. ¿De qué trata et problema? De tres jóvenes que practican que practican los mismos deportes tres diferentes días. ¿Cuál es la pregunta? ¿Qué deporte practica cada uno cada día? ¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema? Tres variables. Nombres de los jóvenes, días de práctica y deportes practicados. Ejercicio 1. Andrés, Carlos y Enrique son tres alumnos que piensan en la importancia del ejercicio. Los tres practican deportes, y le dedican un día a la semana a cada uno de los siguientes deportes: natación, gimnasia y yudo. Si practican deportes los lunes, miércoles y viernes, y en cada día cada uno practican un deporte diferente al de los demás, averigua que deportes practican los jóvenes cada día con base a la siguiente información: a) Enrique nada el día que sigue a Andrés. b) El que practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes. c) Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los viernes.
  • 51. ¿Cuáles son las variables independientes? Los nombres de los jóvenes (Andrés, Carlos y Enrique) y los días de práctica (lunes, miércoles y viernes). ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué? El deporte practicado. Los valores son: natación, gimnasia y yudo Representación: Leemos ahora la información suministrada: "Enrique nada el día que sigue a Andrés". Para esto solo hay dos posibilidades: lunes nada Andrés y miércoles Enrique o miércoles nada Andrés y viernes Enrique, como suposiciones de trabajo. Esto podemos representarlo en la tabla como sigue: No podemos derivar nada más de esa información. La segunda información dice: "El que practica yudo el viernes, hace gimnasia cuatro días antes". Esto significa que una persona hace gimnasia el lunes y luego hace yudo el viernes. Estas suposiciones podemos representarlas como sigue: La tercera información dice: "Carlos tiene que llevar el traje de baño todos los viernes". Esto significa que Carlos practica la natación el viernes que es el deporte que se practica con traje de baño. Esto significa dos cosas: primero que Carlos nada el viernes; y segundo, que la opción de Andrés nada el miércoles y Enrique el viernes es imposible porque el viernes está nadando Carlos. Por esta razón debo aceptar que Andrés nada el lunes y Enrique el miércoles; y que Día Nombre Lunes Miércoles Viernes Andrés Carlos Enrique Día Nombre Lunes Miércoles Viernes Andrés Nada Nada Carlos Enrique Nada Nada Día Nombre Lunes Miércoles Viernes Andrés Nada Gimn. Nada Yudo Carlos Gimn. Yudo Enrique Gimn. Nada Nada Yudo
  • 52. solo sobrevive la opción de que sea Enrique el que hace gimnasia el lunes y yudo el viernes porque las otras dos opciones o fallan el lunes o fallan el viernes. Con estas dos definiciones la tabla queda como sigue: Con esta tabla puedo derivar que Carlos debe hacer yudo el lunes y gimnasia el miércoles, que Andrés debe hacer yudo el miércoles y gimnasia el viernes. Todo esto para cumplir con la condición que cada joven práctica un deporte diferente cada día. Finalmente la tabla queda como sigue: Respuesta: Andrés nada el lunes, luego practica yudo y finalmente el viernes hace gimnasia. Carlos primero practica yudo, luego hace gimnasia y el viernes nada Y Enrique hace gimnasia el lunes, nada el miércoles y practica yudo el viernes. Hemos resuelto el problema aplicando una variante de nuestra estrategia de dos dimensiones. En este caso no tuvimos la variable cuantitativa ni la variable lógica para una tabla lógica. Ahora tuvimos tres variables cualitativas. La tabla en este caso no estuvo rellenada por números o valores lógicos, sino por valores conceptuales o semánticos. Por tal razón llamamos a esta estrategia "representación en dos dimensiones: tablas conceptuales". En estos problemas no tenemos la exclusión mutua de las tablas lógicas. La única ayuda es cuando conocemos todas las opciones menos una, la última podemos derivarla por exclusión. Día Nombre Lunes Miércoles Viernes Andrés Nada Carlos Nada Enrique Gimnasia Nada Yudo Día Nombre Lunes Miércoles Viernes Andrés Nada Yudo Gimnasia Carlos Yudo Gimnasia Nada Enrique Gimnasia Nada Yudo Estrategia de representación en dos dimensiones: tablas conceptuales Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen tres variables cualitativas, dos de las cuales pueden tomarse como independientes y una dependiente. La solución se consigue construyendo una representación tabular llamada "tabla conceptual" basada exclusivamente en las informaciones aportadas en el enunciado.
  • 53. En estos problemas debemos seguir todas las recomendaciones expuestas en la lección anterior para las tablas lógicas: 1. Leer con gran atención los textos que refieren hechos o informaciones. 2. Estar preparados para postergar cualquier afirmación del enunciado hasta que tengamos suficiente información para vaciarla en la tabla. 3. Conectar los hechos o informaciones que vamos recibiendo. 4. Leer las afirmaciones de manera secuencial, y cuando agotemos la lista, volver a leerla desde el inicio enriqueciéndola con la información que hayamos obtenido. Generalmente los enunciados de estos problemas que requieren ser resueltos mediante tablas conceptuales son más extensos porque toda la información para la solución debe ser aportada en la forma de hechos o planteamientos en el mismo. Práctica del proceso ¿Qué debemos hacer en primer lugar? Leer todo el problema. ¿De qué trata el problema? De tres ecuatorianos, tres chilenos y tres españoles, con diferentes profesiones y que les aplican las pruebas A, B, C. ¿Cuál es la pregunta? ¿A qué pruebas se sometieron el médico chileno y agrónomo español? ¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema? Profesiones, nacionalidades y las pruebas que rinden. ¿Cuáles son las variables independientes? Nacionalidad de las personas y profesión. ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué? Pruebas que rinden por sus valores cualitativas Representación: Día Nombre Español Ecuatoriano Chileno Agrónomo A C B Físico C B A Médico B A C Práctica 1. De un total de nueve personas, tres toman la prueba A, tres la prueba B y los tres restantes la prueba C. Las nueve personas están divididos partes iguales entre españoles, ecuatorianos y chilenos. También, de las nueve personas tres son agrónomos, tres físicos y tres médicos. De las tres personas que fueron sometidas a una misma prueba (A, B o C), no hay dos o más de la misma nacionalidad o profesión. Si una de las personas que se sometió a la prueba B es un médico español, una de las personas que se sometió a la prueba A es un médico ecuatoriano y a la prueba C un agrónomo ecuatoriano. ¿A qué pruebas se sometieron el médico chileno y el agrónomo español?
  • 54. Respuesta: El médico chileno se sometió a la prueba C y el agrónomo español se sometió a la prueba A. ¿De qué trata el problema? ¿Cuál es la pregunta? De tres pilotos de una línea aérea ¿en qué día de la semana viaja cada uno a las ciudades antes citadas? ¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema? Tres; nombre de los pilotos, los días y las ciudades a las que viajan. ¿Cuáles son las variables independientes? Nombre de los pilotos y los días. ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué? Las ciudades a las que viajen porque dependen de los días que trabajan los pilotos. Representación: Respuesta: Joel viaja los lunes a Dallas, los miércoles a Managua y los viernes a Buenos Aires. Jaime viaja los lunes a Buenos Aires, los miércoles a Dallas y los viernes a Managua. Julián viaja los lunes a Managua, los miércoles a Buenos Aires y los viernes a Dallas. Día Pilotos Lunes Miércoles Viernes Joel Dallas Managua Buenos Aires Jaime Buenos Aires Dallas Managua Julián Managua Buenos Aires Dallas Práctica 2. Tres pilotos -Joel, Jaime y Julián- de la línea aérea "El Viaje Feliz" con sede en Bogotá se turnan las rutas de Dallas, Buenos Aires y Managua. A partir de la siguiente información se quiere determinar en qué día de la semana (de los tres días que trabajan, a saber, lunes, miércoles y viernes) viaja cada piloto a las ciudades antes citadas. a) Joel los miércoles viaja al centro del continente. b) Jaime los lunes y los viernes viaja a países latinoamericanos. c) Julián es el piloto que tiene el recorrido más corto los lunes Práctica 3. En un recital de la escuela de Música se presentaron Norma, Alicia, Héctor y Roberto. Se escucharon obras en el siguiente orden: de Beethoven, Liszt, Mozart y Tchaikovski. El recital se presentó de jueves a domingo; en cada uno de los días el orden de los intérpretes cambio, de tal modo que ningún día aparecieron en el mismo orden, además en ningún día- repitieron una interpretación del mismo autor. Si el orden de los autores interpretados no cambió ¿en qué orden se presentaron cada uno de los intérpretes durante los cuatro días? Se sabe que: a) La interpretación que hizo Alicia de Mozart fue un día antes que la de Liszt. b) Norma abrió magistralmente la presentación del sábado por la noche. c) Héctor, en días seguidos se presentó en primero y segundo lugar, e inauguró el recital. d) Tchaikovski fue presentado el viernes por Norma. e) Roberto no se presentó el sábado antes que sus amigos. f) Roberto interpretó a Mozart el mismo día que Héctor interpretó a Beethoven.
  • 55. ¿De qué trata el problema? De cuatro chicos que interpretaron una obra musical del colegio. ¿Cuál es la pregunta? ¿En qué orden se presentaron cada uno de los intérpretes durante los cuatro días? ¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema? Nombre de los intérpretes, días, nombre de los autores. ¿Cuáles son las variables independientes? Nombre de los autores y de los días. ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué? Nombre de los intérpretes porque depende de los días del recital. Representación: Respuesta: El día jueves se presentaron en el siguiente orden: Héctor, Norma, Roberto y Alicia. El día viernes: Roberto, Héctor, Alicia, Norma. El día sábado: Norma, Alicia, Héctor y Roberto. El día domingo: Alicia, Roberto, Norma y Héctor. Veamos un ejemplo de este tipo ampliación de la estrategia de dos dimensiones con tablas conceptuales o semánticas. Día Autores Jueves Viernes Sábado Domingo Beethoven Héctor Roberto Norma Alicia Liszt Norma Héctor Alicia Roberto Mozart Roberto Alicia Héctor Norma Tchaikovski Alicia Norma Roberto Héctor Reflexión Estos problemas de tablas conceptuales no tienen la característica del cálculo de subtotales y totales de las tablas numéricas, tampoco tienen la característica de exclusión mutua de las tablas lógicas. Esto las hace que requieran mucha más información para poder resolverlos. Con frecuencia, con el propósito de hacer menos tedioso el enunciado, se usa una cuarta variable, normalmente asociada a una de las variables independientes, que sirve para bifurcar la información que se aporta sobre la variable asociada. Por ejemplo, puedo hablar de cuatro personas por su apellido, y digo que hay dos damas y dos caballeros. O puedo hablar de cinco niños e introduzco la variable edad de cada niño. O de hablo de seis señoras e introduzco una variable que es el color del cabello, en la forma de tres cabello rubio y tres cabello negro.
  • 56. ¿De qué trata el problema? De los nombres de las esposas, de profesiones y aficiones de cuatro personas. ¿Cuál es la pregunta? ¿Cuáles son las esposas, profesiones y aficiones de los hombres que se mencionan en el problema? ¿Cuántas y cuales variables tenernos en el problema? Nombres de los hombres, nombres de las esposas, profesiones, aficiones. ¿Cuál variable es diferente a las demás? Aficiones Representación: Las esposas son: María, Ana, Julia y Luz Las profesiones son: ingeniero, biólogo, agrónomo e historiador Las aficiones son: pesca, tenis ajedrez y golf En el literal a) habla de dos personas: de Julia, esposa del ingeniero y de Luz, esposa de José. El literal b) habla del golfista, casado con Luz. Con lo cual ya sabemos que en una línea van José, Luz, golf, y que no es ingeniero. Como no conoce al historiador y comparte con el biólogo, entonces es el agrónomo, y la línea queda: José, Luz, agrónomo y golf. Esposa Profesión Afición Antonio Manuel José Luis Ejercicio 2. Antonio, Manuel, José y Luis son amigos, todos casados, con diferentes profesiones .y aficiones. Las esposas son María, Ana, Julia y Luz; sus profesiones son ingeniero, biólogo, agrónomo e historiador y sus aficiones son pesca, tenis, ajedrez y golf. Entre ellos se dan las siguientes relaciones: a) Julia, esposa del ingeniero, y Luz, esposa de José son ambas amigas inseparables. b) El golfista, casado con Luz, no conoce al historiador y comparte con el biólogo algunos conocimientos de interés relacionados con su profesión. c) Luis se reúne con el ingeniero y con el historiador para discutir asuntos de la comunidad donde viven. d) Durante el domingo Julia y su esposo visitaron a Manuel y su esposa, quienes mostraron los trofeos ganados por Manuel en los campeonatos de ajedrez; Ana se fue con su esposo el biólogo a jugar tenis. Se pregunta cuáles son las esposas, profesiones y aficiones de los hombres que se mencionan en el problema.
  • 57. Del literal c) sacamos que Luis es biólogo y que su esposa no es Luz. Del literal d) sacamos que Julia no es esposa de Manuel. Manuel es el aficionado al ajedrez y Ana es esposa de Luis quien es el biólogo y es el aficionado al tenis. Y las celdas restantes pueden deducirse por exclusión. Respuesta: Por inspección de la tabla podemos contestar la pregunta. En este problema tuvimos cuatro variables. Los caballeros fueron como la variable independiente, y las otras tres variables dependían del valor de la variable caballeros; es decir esposa, profesión y afición dependía del caballero. Esposa Profesión Afición Antonio Manuel José Luz Agrónomo Golf Luis Esposa Profesión Afición Antonio Julia Ingeniero Manuel Ajedrez José Luz Agrónomo Golf Luis Ana Biólogo Tenis Esposa Profesión Afición Antonio Julia Ingeniero Pesca Manuel María Historiador Ajedrez José Luz Agrónomo Golf Luis Ana Biólogo Tenis
  • 58. Se sugiere usar un formato de tabla como el que se muestra más abajo. Las áreas grises de la izquierda van a ser llenadas con el color del cabello de la amiga que invita a Mercedes. Las áreas de la derecha van a ser llenadas con los lugares a donde cada amiga invitó a Mercedes. En este caso tenemos una exclusión mutua porque cada salió con una amiga y fue a un solo Lugar. Días Color cabello Amigas Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Amarillo Ana Teatro Negro Corina Cine Negro Gloria Fútbol Amarillo Juanita Ir de compras Amarillo Luisa Museo Negro Marlene Concierto Práctica 4. Mercedes quería pasar siete días en su casa, deseaba visitar a sus amigas y resolver asuntos pendientes en su ciudad natal. Al llegar encontró a sus amigas Ana, Corina, Gloria, Juanita, Luisa y Marlene, quienes le habían programado varias actividades. Mercedes quería ir a comer con ellas el primer día donde acostumbraban reunirse cuando salían de la escuela. Después de esta reunión cada amiga tenía un día disponible para pasarlo con Mercedes y acompañarla a uno de los siguientes eventos: un partido de fútbol, un concierto, el teatro, el museo, el cine e ir de compras, Con base en la siguiente información encuentre quién invitó a Mercedes y qué actividad realizó cada día. 1) Ana, la amiga que visitó el museo y la que salió con Mercedes un día después de ir al cine el lunes, tienen las tres el cabello amarillo. 2) Gloria, quien la acompañó al concierto y la dama que pasó el lunes con Mercedes, tienen las tres el pelo negro. 3) El día que Mercedes pasó con Corina no fue el siguiente al día que correspondió a Marlene. 4) Las seis salieron con Mercedes en el siguiente orden: Juanita salió con Mercedes un día después de que ésta fue al cine y cuatro días antes de la visita al museo, Gloria salió con Mercedes un día después de que ésta fue al teatro y el día antes que Marlene invitó a Mercedes 5) Ana y la amiga que invitó a Mercedes a ir de compras tienen el mismo color de cabello. 6) Mercedes visitó el teatro dos días después de ir al cine. 7) Ana invitó a Mercedes a salir el miércoles.
  • 59. Se sugiere usar un formato de tabla como el que se muestra más abajo. Las áreas grises de la izquierda van a ser llenadas con la edad del chico. Las áreas grises de la derecha van a ser llenadas con las actividades que le corresponde hacer a cada chico cada día. En este caso no tenemos una exclusión mutua, solo tenemos completado cuando solo falta una actividad. Edad Nombre del niño Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes 9 Delia Sacudió Limpio el piso Barrió Dio de comer al gato Lavó los bóxer de su mamá. 13 María Dio de comer al gato Barrió Limpió al piso. Lavó los platos Sacudió 14 Juan Lavo los platos Dio de comer al gato Sacudió Barrió Limpio el piso 12 Julia Limpio el aseo Lavo los platos. Dio de comer al gato Sacudió barrio 10 Miguel barrió Sacudió Lavó los platos Limpio del aseo Mero de gasto Práctica 5. El señor Pérez asignó a cada uno de sus hijos, incluyendo el de diez años, un trabajo diferente cada día de la semana, de lunes a viernes. Los trabajos se rotaron de modo que cada hijo realizó un trabajo cada día y ningún niño realizó el mismo trabajo dos veces durante la misma semana. Con base en la siguiente información determine la edad de cada niño y el día que realizó cada trabajo. 1) La niña de nueve años barrió el miércoles. 2) Delia lavó los platos el mismo día que Juan limpió el piso. 3) María barrió un día después que Miguel y el día antes que Delia. 4) El hijo de catorce años dio de comer al gato el martes. 5) Juan sacudió el miércoles. 6) María tiene trece años. 7) Uno de los hijos, Miguel o Delia, dio de comer al gato el viernes; el otro lo hizo el jueves. 8) La hija de doce años limpió el piso el lunes. 9) Julia dio de comer al gato el día siguiente al que lavó los platos y el día antes que sacudió. 10) María lavó los platos el jueves. 11) Delia limpió el piso el martes.
  • 60. Cierre ¿Qué logramos en esta lección? Poder resolver problemas mediante tablas conceptuales donde se utilizan más de dos variables. ¿Qué tipos de problemas resolvimos en la lección? Problemas de tablas conceptuales. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian los problemas que resolvimos? Todos poseen más de dos variables pero se diferencia en las variables dependientes o independientes. ¿Qué logramos con el estudio de esta unidad? Logramos ser más analíticos y a diferenciar las variables dependientes. ¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado con esta unidad? Reducción de problemas o partir de variables y datos que se presenta.
  • 61. JUSTIFICACIÓN En los casos estudiados hemos trabajado con problemas referidos a situaciones estáticas, que no cambiaban con el tiempo. En esta lección trabajaremos con situaciones dinámicas, objetos que se mueven, situaciones que toman diferentes valores y configuraciones, intercambios de dinero u objetos, etc. En la solución de problemas estáticos nos bastó con utilizar estrategias en las cuales se incluyen representaciones entre los datos; por ejemplo en el caso de las estaturas de diferentes personas; los datos se referían a valores determinados que no cambiaban con el tiempo. En los problemas que involucran situaciones dinámicas se requieren estrategias que incluyan diagramas para que reflejen los cambios en las situaciones del problema; dichos diagramas muestran intercambios, flujos, simulaciones, etc. La estrategia consiste en ir representando los cambios o las situaciones que van ocurriendo, o sea, los diferentes estados del problema, con el propósito de facilitar la descripción de lo que está sucediendo en cada momento. El análisis del dibujo o diagrama permite visualizar el cambio y comprender mejor lo que se plantea en el problema, facilitando de esta manera la obtención de la respuesta. La simulación del cambio, también llamada ejecución simulada del cambio, consiste en reproducir las situaciones o los fenómenos que van ocurriendo; dicha simulación puede ser concreta o abstracta. La simulación concreta consiste en la sustitución del objeto real por un objeto que lo represente, el cual se mueve como lo haría el objeto real, dicho movimiento muestra la evolución del objeto o de la situación que se describe en el problema; es una imitación directa del cambio y de las acciones o fenómenos que ocurren. Esta simulación también se denomina puesta en acción. Es la vía más sencilla para visualizar la situación, pero requiere de un gran esfuerzo para su realización. Los niveles que siguen reportan mayores beneficios con un esfuerzo menor. El segundo tipo es la simulación abstracta, la cual requiere imaginarse el movimiento del objeto, tal como se describe en el enunciado del problema, sin objetivar las acciones mediante el uso de acciones concretas. Lo único que se requiere es visualizar el movimiento o acción mediante una representación gráfica, un dibujo o un diagrama. En este segundo tipo de simulación pueden distinguirse tres niveles de abstracción crecientes; el primer nivel consiste en sustituir el objeto real por un dibujo del objeto o su representación; el segundo nivel consiste en la sustitución del objeto por imágenes y relaciones, o sea por diagramas de flujo y el tercer y último nivel de simulación abstracta que se logra mediante el uso de relaciones y de fórmulas matemáticas. Cada nivel de representación, desde el concreto hasta el abstracto, corresponde a un nivel de abstracción de la mente cada vez más elevado. El diagrama de flujo es un tipo de simulación abstracta del segundo nivel que permite representar la secuencia de pasos o etapas de una situación cambiante y de los estados que ésta genera, de acuerdo a las condiciones que describen el cambio. UNIDAD IV: PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS DINÁMICOS
  • 62. Lo dicho nos permite elaborar una secuencia de niveles de abstracción de la mente asociada al desarrollo de las habilidades para resolver problemas, y al éxito de los alumnos para lograr dicho desarrollo. Es más, podemos afirmar que si se desea que se adquiera el nivel de pensamiento abstracto basado en relaciones y fórmulas matemáticas, es necesario haber desarrollado cada uno de los niveles previos. La práctica gradual de las estrategias de representación propuesta en este curso son clave para el desarrollo de las habilidades para resolver problemas. OBJETIVOS A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de: 1. Analizar problemas sobre situaciones dinámicas mediante el uso de estrategias de ejecución simulada. 2. Utilizar diferentes tipos y niveles de estrategias de simulación. 3. Valorar la importancia de la simulación para facilitar la comprensión y la resolución de problemas. 4. Comprender la estrategia medios-fines y la elaboración del diagrama "espacio del problema".
  • 63. LECCIÓN 8 PROBLEMAS DE SIMULACIÓN CONCRETA Y ABSTRACTA Introducción ¿Sobre qué trató la primera unidad de este libro? Sobre la introducción a la solución de problemas. ¿Sobre qué trataron la segunda y tercera unidad de este libro? Sobre problemas de relaciones de una y dos variables. ¿Qué tipos de relaciones se usaban en los problemas de la unidad anterior? Se utilizaban las estrategias de representación en dos dimensiones. ¿Qué tiene en común todas los tipos de estrategias que vimos en la unidad anterior? Son utilizadas para resolver problemas de relaciones de dos variables. ¿En qué consiste la estrategia de postergación en la solución de un problema? Consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos, hasta tanto se presente otro dato que complemente la información. Presentación del proceso Hasta ahora el tiempo no había jugado ningún papel en todos los problemas que hemos estudiado; a este tipo de evento o situación se les denomina estática. Ahora vamos a encontrarnos con situaciones que cambian en el tiempo, las cuales llamaremos dinámicas. Para entender mejor un fenómeno cambiante podemos ubicarnos en un plano real, y podemos reproducir de manera directa el evento o situación. Esto se denomina simulación concreta. Ahora, también podemos apelar a nuestra memoria, a diagramas y a representaciones simbólicas del fenómeno estudiado; esta segunda alternativa generalmente requiere de un esfuerzo menor y da lugar a lo que llamamos una simulación abstracta. Veamos un ejercicio para ilustrar este tipo de situación. Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante. Por lo tanto, estamos ante un problema. Inmediatamente podemos observar que la posición de Pedro va cambiando a medida que transcurre el tiempo, o sea, que estamos ante un problema dinámico. Las variables involucradas son dirección de recorrido y distancia recorrida, pero va tomando valores diferentes a medida que pasa el tiempo. Ejercicio 1. La casa de Pedro está ubicada en una calle que tiene dirección norte-sur y tiene 10 metros de ancho la calle. Pedro sale de su casa y camina 30 metros al norte, dobla a la derecha y camina 40 metros, dobla de nuevo a la derecha y camina 10 metros; una vez más dobla a derecha y camina 30 metros. Finalmente, dobla a la izquierda y camina 20 metros. ¿Dónde se encuentra Pedro?
  • 64. Podríamos reproducir o simular el recorrido, pero tendríamos que tener un patio muy grande. Eso sería una representación concreta, pero podemos optar por una representación mediante dibujos y gráficas. Para esto hagamos un diagrama que nos permita visualizar el problema. A la izquierda tenemos un diagrama que nos sirve para representar la situación que plantea el problema. Está la casa de Pedro, frete a una calle de 10 m de ancho y que tiene una orientación norte-sur. Con este diagrama como guía podemos iniciar la lectura del problema parte por parte para ir representando los cambios que se describen en el enunciado del problema. Es decir, iniciamos la aplicación de la estrategia particular para la solución de este tipo de problemas. En el diagrama siguiente representamos el inicio del recorrido. Pedro se desplaza 30 m en dirección norte. Podemos imaginarnos a Pedro caminando por la dirección norte-sur, con su cara mirando en el sentido norte. El recorrido se inicia justo frente a su casa y termina a 30 m del punto de partida en el sentido norte. Está representado por la flecha negra con la indicación de 30 m. Seguimos la lectura del programa parte por parte. Al término del recorrido de los 30 m hacia el norte, Pedro dobla a la derecha y recorre 40 m. esto está indicado con la flecha negra que sigue. Ahora Pedro se desplaza en la dirección este-oeste con sentido al este. Luego dobla de nuevo a la derecha, y recorre 10 metros, lo cual está indicado con la tercera flecha. Ahora regresa a la dirección norte-sur, pero ahora con sentido sur. Al término de los 10 metros, dobla de nuevo a su derecha y se desplaza 30 m. Regresa a la dirección este-oeste con sentido oeste. Y finalmente dobla a su izquierda y recorre 20 m, lo cual está representado con la quinta flecha. Hemos completado de vaciar la información del enunciado del problema. Como resultado de haber usado el diagrama, ahora podemos visualizar el recorrido completo que siguió Pedro. Por inspección del diagrama, se contesta la pregunta acerca de la ubicación de Pedro. Está a 10 m al este de la puerta de salida de su casa; también podemos contestar que está en la acera de enfrente (cruzando la calle), justo frente a la puerta de su casa. La primera respuesta es precisa ubicando la posición de Pedro, la segunda es informal, en un lenguaje coloquial. Usando el diagrama podemos verificar la exactitud de cada uno de los pasos, y del resultado final de una manera sencilla. Una vez que verificamos, concluimos el problema. Hemos resuelto el problema usando una nueva estrategia que denominamos simulación. Si la hacemos recorriendo físicamente lo planteado en el problema, la llamamos simulación concreta.
  • 65. Si la hacemos, como fue el caso, usando un diagrama con una representación simbólica de las diferentes acciones que plantea el problema, la llamamos simulación abstracta. Estas son las estrategias básicas para la solución de problemas dinámicos. ¿De qué trata el problema? Establecer si la persona está caminando por una calle paralela o perpendicular. ¿Cuál es la pregunta? ¿Está la persona caminando por una calle paralela o perpendicular a la calle Carabobo? ¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema? Nombre de la calle, Dirección. Representación: Respuesta: Está caminando por una calle perpendicular Situación dinámica Una situación dinámica es un evento o suceso que experimenta cambios a medida que transcurre el tiempo. Por ejemplo: el movimiento de un auto que se desplaza de un lugar A a un lugar B; el intercambio de dinero y objetos de una persona que compra y vende mercancía, etc. Simulación abstracta La simulación abstracta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en la elaboración de gráficos, diagramas y representaciones simbólicas que permiten visualizar las acciones que se proponen en el enunciado sin recurrir a una reproducción física directa. Simulación concreta La simulación concreta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en una reproducción física directa de las acciones que se proponen en el enunciado. También se le conoce con el nombre de puesta en acción. Práctica 1: Una persona camina por la calle Carabobo, paralela a la calle Pichincha; continúa caminando por la calle Chacabuco que es perpendicular a la Pichincha. ¿Está la persona caminando por una calle paralela o perpendicular a la calle Carabobo? Práctica del proceso
  • 66. ¿De qué trata el problema? De establecer cuántas veces debe impulsarse el conductor en una pendiente resbaladiza. ¿Cuál es la pregunta? ¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en la parte plana de la vía? ¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema? Longitud de la pendiente, dirección de la pendiente, metros antes de iniciar el próximo impulso. Representación: Respuesta: Tiene que impulsarse cinco veces para subir la pendiente y colocarse en la parte plana de la vía. ¿De qué trata el problema? Acerca del 5 cajas de gaseosas que tienen que llevarse a diferentes sitios. ¿Cuál es la pregunta? ¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar la tarea? ¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema? Número de cajas, distancia del lugar en donde tienen que ser llevadas. Práctica 2: Un conductor emprende el ascenso de una pendiente muy inclinada que además está resbaladiza por las intensas lluvias en la región y que tiene una longitud de 35 metros. Avanza en impulsos de 10 metros pero antes de iniciar el próximo impulso se desliza hacia atrás 2 metros antes de lograr el agarre en la vía. ¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en la parte plana de la vía? Práctica 3: Hay cinco cajas de gaseosas en un lugar y tienen que llevarse a diferentes sitios como sigue: la primera a 10 m de distancia del origen, la segunda a 20 m, la tercera a 30 m, y así sucesivamente hasta colocarlas siempre a 10 m de la anterior. En cada movimiento la persona sale del origen, lleva la caja al lugar que corresponde y regresa al lugar de origen. Este proceso se repite hasta mover todas las cajas y regresar al punto de origen. Si solo se puede llevar una caja en cada intento, ¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar la tarea?
  • 67. Representación: Respuesta: La persona al finalizar ha recorrido 300m. ¿De qué trata el problema? Trata de un buque petrolero que avanza a 200m por minuto y pasa por un canal que tiene 200 metros de longitud. ¿Cuál es la pregunta? ¿Cuánto tiempo se demora el buque desde el instante que inicia su entrada al canal hasta el instante en que sale completamente de éste? ¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema? Tres, medida de la eslora, velocidad, longitud del canal Representación: Respuesta: El buque se demora 2 minutos desde que entra hasta que sale completamente. Práctica 4: Un buque petrolero de 200 m de eslora avanza lentamente a 200 m por minuto para pasar un canal que tiene 200 metros de longitud. ¿Cuánto tiempo se demora el buque desde el instante que inicia su entrada al canal hasta el instante en que sale completamente de éste?
  • 68. Cierre ¿Qué estudiamos en esta lección? Problemas de simulación concreta y abstracta. ¿Qué es un problema dinámico? Evento o suceso que experimenta cambios a medida que transcurre el tiempo. ¿Qué estrategias utilizamos para resolver los problemas? Estrategias de simulación concreta y estrategia de simulación abstracta. ¿En qué consiste la simulación concreta? Estrategia que se basa en una reproducción física directa de las acciones que se proponen en el enunciado. ¿A qué se refiere la simulación abstracta? Se basa en la elaboración de gráficos, diagramas y representaciones simbólicas que permiten visualizar las acciones que se proponen en el enunciado. ¿Por qué es importante elaborar esos esquemas o diagramas en la solución de estos problemas? Porque es indispensable para lograr la solución de un problema. Representación mental de un problema La elaboración de diagramas o gráficas ayuda a entender lo que se plantea en el enunciado y a la visualización de la situación. El resultado de esta visualización del problema es lo que se llama la representación mental de éste. Esta representación es indispensable para lograr la solución del problema.