Este documento presenta la solución a un problema que involucra clasificar una cuadrica dada por la ecuación z - 2xy = 0 mediante diagonalización ortogonal. Se realiza la diagonalización de la forma cuadrática asociada y se obtiene la ecuación reducida u2 - v2 - w = 0, indicando que se trata de un paraboloide hiperbólico.

1. Problema 74 (Tomo II)
Clasificar la cu´adrica z − 2xy = 0, usando diagonalizaci´on ortogonal, y dar su ecuaci´on
reducida.
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2. Soluci´on
(x, y, z)



0 1 0
1 0 0
0 0 0






x
y
z


 + (x, y, z)



0
0
−1


 = 0
P (λ) = λ3
− λ = 0; λ1 = 1; λ2 = −1; λ3 = 0
Para λ = 1 (A − I) X = 0 ⇐⇒



−1 1 0
1 −1 0
0 0 −1






x
y
z


 = 0; v1 = (1, 1, 0)
Para λ = −1 (A + I) X = 0 ⇐⇒



1 1 0
1 1 0
0 0 1






x
y
z


 = 0; v2 = (−1, 1, 0)
Para λ = 0 AX = 0 ⇐⇒



0 1 0
1 0 0
0 0 0






x
y
z


 = 0; v3 = (0, 0, 1)
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3. Soluci´on
Pasamos a la referencia (u, v, w):
(u, v, w)



1 0 0
0 −1 0
0 0 0






u
v
w


 + (u, v, w)







1√
2
− 1√
2
0
1√
2
1√
2
0
0 0 1







|P |=1



0
0
−1


 = 0
u2
− v2
− w = 0 Ecuaci´on reducida
Se trata de un paraboloide hiperb´olico con centro ´unico impropio. El origen es un punto de
silla, la forma cuadr´atica asociada cambia de signo en dicho entorno.
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4. Soluci´on
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