Ejercicios sobre aproximación discreta de mínimos cuadrados

1. UNIDAD CENTRAL DEL VALLE DEL CAUCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
PROGRAMA: INGENIERIA DE SISTEMAS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS
Profesor: Efraín Vásquez Millán.
TALLER No 7. Teoría de aproximación:Aproximación discreta por mínimos cuadrados
1. Obtenga los polinomios de mínimos cuadrados de primero, segundo y tercer grados para los datos de
la tabla anexa. En cada caso calcule el error E. Grafique los datos y los polinomios.
xi 1· 0 1· 1 1· 3 1· 5 1· 9 2· 1
yi 1· 84 1· 96 2· 21 2· 45 2· 94 3· 18
2. Obtenga los polinomios de mínimos cuadrados de primero, segundo y tercer grados para los datos de
la tabla anexa. En cada caso calcule el error E. Grafique los datos y los polinomios.
xi 0· 00 0· 15 0· 31 0· 50 0· 60 0· 75
yi 1· 000 1· 004 1· 031 1· 117 1· 223 1· 422
3. La tabla siguiente muestra los promedios de puntos-calificación de 20 estudiantes universitarios de
matemáticas y computación, junto con la puntuación que tuvieron en la parte correspondiente a las
matemáticas del examen ACTP(Programa de pruebas para las universidades norteamaricanas), mien-
tras cursaban la enseñanza media. Grafique los datos y obtenga para ellos una ecuación de recta de
mínimos cuadrados.
Puntuación ACT Promedio de puntos de grado Puntuación ACT Promedio de puntos de grado
28 3.84 29 3.75
25 3.21 28 3.65
28 3.23 27 3.87
27 3.63 29 3.75
28 3.75 21 1.66
33 3.20 28 3.12
28 3.41 28 2.96
29 3.38 26 2.92
23 3.53 30 3.10
27 2.03 24 2.81
4. En un trabajo realizado con el estudio de la eficiencia de la utilización de la energía por las larvas de la
polilla modesta (Pachysphinx modesta), L. Schroder [Schr] utilizó los siguientes datos para determinar
una relación entre W , el peso de las larvas vivas en gramos, y R, el consumo de oxígeno de las larvas
en mililitros/hora. Por razones biológicas, se supone que entre W y R existe una relación de la forma
R = bW a .
1

2. a. Encuentre el polinomio logarítmico lineal de mínimos cuadrados usando
ln R = ln b + a ln W
b. Calcule el error asociado a la aproximación en la parte (a):
37
E= (Ri − bWia )2
i=1
c. Modifique la ecuación logarítmica de mínimos cuadrados de la parte (a) agregando el térmi-
no cuadrático c(ln Wi )2 , y después determine el polinomio logarítmico cuadrático de mínimos
cuadrados.
d. Determine la fórmula y calcule el error asociado a la aproximación de la parte (c).
W R W R W R W R W R
0.017 0.154 0.025 0.23 0.020 0.181 0.020 0.180 0.025 0.234
0.087 0.296 0.111 0.357 0.085 0.260 0.119 0.299 0.233 0.537
0.174 0.363 0.211 0.366 0.171 0.334 0.210 0.428 0.783 1.47
1.11 0.531 0.999 0.771 1.29 0.87 1.32 1.15 1.35 2.48
1.74 2.23 3.02 2.01 3.04 3.59 3.34 2.83 1.69 1.44
4.09 3.58 4.28 3.28 4.29 3.40 5.48 4.15 2.75 1.84
5.45 3.52 4.58 2.96 5.30 3.88 4.83 4.66
5.96 2.40 4.68 5.10 5.53 6.94
5. Determine la parábola óptima en el sentido de los mínimos cuadrados de la forma f (x) = Ax2 +Bx+C
para cada conjunto de datos.
a.
xk −3 −1 1 3
yk 15 5 1 5
b.
xk −3 −1 1 3
yk −1 25 25 1
6. Para el conjunto de datos que se muestra al final del enunciado, determine la curva de cada familia que
mejor se le ajusta en el sentido de los mínimos cuadrados.
a. y = f (x) = beax . Recuerde el cambio de variable X = x, Y = ln y y B = ln b.
b. y = f (x) = bxa . Recuerde el cambio de variable X = ln x, Y = ln y y B = ln b.
c. Use la estimación para el error
N 1
1 2
E2 (f ) = |f (xk ) − yk |2
N
k=1
para determinar cuál de las dos curvas se ajusta mejor.
xk 1 2 3 4 5
yk 0· 6 1· 9 4· 3 7· 6 12· 6
2