El documento describe cómo calcular la integral de línea C x dy - y dx a lo largo de dos curvas cerradas. Para la curva a), a pesar de ser cerrada y el campo conservativo, la integral no necesariamente es cero debido a una singularidad dentro de la curva. Para calcular la integral, se parametriza la circunferencia y se integra directamente. Para la curva b), la singularidad está fuera de la curva, por lo que como es cerrada y el campo es conservativo, la integral es cero.

1. Problema 33 (Tomo II)
Calcular:
C
x dy − y dx
x2 + y2
a) C ≡ x2 + y2 = 4
b) C ≡ (x − 4)2
+ y2 = 1
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2. Gu´ıa
⋆
#»
F (x, y) conservativo ⇐⇒ ∂Q
∂x
= ∂P
∂y
⋆ Ecuaciones param´etricas de la circunferencia.
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
;
x = a + r cos t
y = b + r sen t
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3. Soluci´on
a)
C
−y
x2 + y2
dx +
x
x2 + y2
dy
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
A pesar de que el recinto es cerrado y el
campo conservativo, no podemos asegurar
que la integral valga cero; para que fuese
cero se tendr´ıa que verificar que el recinto
fuese “simplemente conexo” y esto implicar´ıa
no tener singularidades dentro del recinto,
ni en la frontera del recinto; no nos queda
otra que calcular la integral directamente, o
sea, parametrizando el camino, a trav´es de
cualquier curva cerrada que contenga (0, 0).
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4. Soluci´on
Ecuaciones param´etricas de la circunferencia x2 + y2 = 22.
x = 2 cos t =⇒ dx = −2 sen t dt
y = 2 sen t =⇒ dy = 2 cos t dt
I1 =
2π
0
2 cos t · 2 cos t dt − 2 sen t · (−2) sen t dt
4
I1 =
2π
0
cos2
t + sen2
t dt = [t]2π
0 = 2π
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5. Soluci´on
b) En este caso, el recinto es “simplemente conexo”. La singularidad que es el (0, 0) ha
quedado fuera del recinto; si adem´as le a˜nadimos que la curva es cerrada y el campo
conservativo.
I2 = 0
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