1. El resumen solicita calcular la relación entre los lados a, b y c de un triángulo rectángulo ABC donde AD = a, DC = c y BC = b. Usando fórmulas trigonométricas, se deduce que b2 + c2 = a(b - c).

1. Examen de Selecci´on
Escuela de Talentos
23 Agosto 2014
Nombres :
Apellidos :
A˜no y Secci´on :
1.- Calcule
1 × 3 − 3 × 5 + 5 × 7 − 7 × 9 + 9 × 11 − 11 × 13
A) 82 B) − 70
D) − 81 E) − 84
C) 0
2.- Una persona se encuentra en la ventana de su
apartamento, que est´a situado a 8 m del suelo, y
observa el edificio de enfrente: la parte superior
con un ´angulo de 37 grados y la parte inferior
con un ´angulo de depresi´on de 45 grados. De-
termine la altura del edificio se˜nalado.
A) 11 m B) 12 m
D) 13 m E) 14 m
C) 15 m
3.- Se sabe lo siguiente:
a = 2 sen 30◦
+ tan2
60◦
b = 2 cos 60◦
+ cot2
30◦
Determine el valor de (a − b)20
A) 0 B) 1
D) 2 E) 3
C) 4
4.- A partir del gr´afico adjunto, halle una relaci´on
entre a; b y c si AD = a; DC = c y BC = b.
A) b2
+ c2
= a(b + c) B) b2
+ c2
= a(b − c)
D) a2
+ c2
= b(a + c) E) a2
+ c2
= b(a − c)
C) N.A.
5.- En un tri´angulo ABC se cumple que AB = 7,
BC = 10, m∠CAB = α y m∠ACB = 53◦
− α.
¿Qu´e valor asume cot α?
A) 12/5 B) 15/17
D) 13/8 E) 13/7
C) 13/10
6.- Dada la igualdad
(1 − sen2
x)k = k − 2 sen2
x,
el valor de k es
A) 0 B) − 1
D) 2 E) − 3
C) 4
7.- En un tri´angulo rect´angulo ABC (B = 90◦
) se
cumple que sec A > sec C. Entonces, indique lo
correcto.
A) AB < BC B) AB > BC
D) 2AB > AC E) 3BC < AC
C) N.A.
8.- En un tri´angulo ABC (B = 90◦
) se cumple que
2 sen3
A = cos A cot C.
Entonces, ¿Cu´al es la medida del ´angulo C?
A) 30◦
B) 60◦
D) 37◦
/2 E) 45◦
C) 53◦
9.- Si
EDT = (E + D + T)3
Calcule EDT
.
A) 1 B) 9
D) 8 E) 5
C) 25
1

2. 10.- Se tienen dos sectores circulares de ´angulos cen-
trales iguales. Si la longitud de arco del primero
es igual al radio del segundo y el radio del pri-
mero es igual a la mitad de la longitud de arco
del segundo, entonces la relaci´on de ´areas de los
sectores circulares es
A) 1 B) 2
D) 3 E) 4
C) 5
11.- Resuelva.
log2 1 + log2(x + 3)2
= log2(x − 3)2
A) ∅ B) {0}
D) {3} E) {1}
C) {−1}
12.- Resuelva 3log3(x2−7)
= 25log5 3
A) {4; −4} B) {4}
D) {2; −2} E) {3; −3}
C) {5; −5}
13.- Si
log2
2 x + log2
3 y = 2 log2 x + log3 y
halle el valor de logy x.
A) log6 10 B) log3 4
D) log2 6 E) log3 2
C) log2 3
14.- Halle el valor de x en la ecuaci´on
logx x+logx 2x+logx 3x+logx 4x+logx 5x = 6
A) 5 B) 25 C) 125
D) 120 E) 75
15.- Sea la ecuaci´on:
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) = −1
Hallar la suma de las ra´ıces reales
A) 2 B) 3
D) 4 E) 5
C) 6
1. Soluciones:
4.- La idea es usar la siguiente f´ormula
tan(α + β) =
tan α + tan β
1 − tan tan β
con el fin de construir una f´ormula que incluyan
a, b y c.
Denotemos ∠BAC = α, por lo que tenemos el
siguiente gr´afico
del tri´angulo rect´angulo ACB tenemos
tan α =
b
a + c
(∗)
an´alogamente del tri´angulo rect´angulo BCD tene-
mos
tan(α + 45◦
) =
b
c
usando la f´ormula mencionada inicialmente
tan α + tan 45◦
1 − tan α tan 45◦
=
b
c
luego usando (∗) y tan 45◦
= 1, tenemos
b
a + c
+ 1
1 −
b
a + c
× 1
=
b
c
operando tenemos
b + a + c
a + c − b
=
b
c
lo que nos lleva finalmente a
b2
+ c2
= a(b − c)
2