Este documento presenta la solución a 5 problemas de cálculo propuestos como práctica calificada. En la primera pregunta se demuestra una desigualdad triangular para valores absolutos. En la segunda pregunta se utiliza inducción matemática. La tercera pregunta trata sobre conjuntos acotados y operaciones entre ellos. La cuarta pregunta involucra funciones acotadas y sus supremos. La quinta y última pregunta compara ínfimos de conjuntos incluidos.

1. P-UNI
IP-UNI
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FIP-UNI
FIP-UN
FIP-U Universidad Nacional de Ingenier´ıa
Facultad de Ingenier´ıa de Petr´oleo, Gas Natural
y Petroqu´ımica
Ciclo 2015-II
Pr´actica Calificada №1 de C´alculo I
(PM-111)
Profesor : Alvaro Naupay Gusukuma.
Fecha : 15 de Septiembre de 2015
1. Demostrar que x, y ∈ R se cumple que (4 ptos.)
|x| − |y| ≤ |x − y|
SOLUCI´ON :
Recordemos la desigualdad triangular
|a + b| ≤ |a| + |b| (D.T.)
Luego, haciendo a = y y b = x − y en (D.T.) tenemos
|x + (x − y)| ≤ |y| + |x − y|
|x| ≤ |y| + |x − y|
con lo que tenemos
|x| − |y| ≤ |x − y| (∗)
Por otra parte, haciendo a = x y b = y − x en (D.T.) tenemos
|x + (y − x)| ≤ |x| + |y − x|
|y| ≤ |x| + |y − x|
Pero observemos que |y − x| = | − (y − x)| = |x − y|, de lo cual tendriamos
|y| ≤ |x| + |x − y|
−|x − y| ≤ |x| − |y| (∗∗)
Finalmente de (∗) y (∗∗) tenemos que
−|x − y| ≤ |x| + |y| ≤ |x − y|
es decir
|x| − |y| ≤ |x − y|
2. Demostrar por inducci´on que
(1 + x)n
≥ 1 + nx +
n(n − 1)
2
x2
si x ≥ 0. (4 ptos.)

2. P-UNI
IP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UN
FIP-USOLUCI´ON :
La idea es usar la la desigualdad de Bernoulli
i) Para n = 1 se cumple.
ii) Suponemos que se cumple para n = k ∈ N
(1 + x)k
≥ 1 + kx +
k(k − 1)
2
x2
iii) Por demostrar que se cumple para n = k + 1 utilizando (II).
(1 + x)k+1
≥ (1 + x)k
(1 + x)
≥ 1 + kx +
k(k − 1)
2
x2
(1 + x)
≥ 1 + kx +
k(k − 1)
2
x2
+ x + kx2
+
k(k − 1)
2
x3
≥ 1 + (k + 1)x +
(k + 1)k
2
x2
+
k(k − 1)
2
x3
como x ≥ 0 entonces x3
≥ 0 con lo que tenemos finalmente
(1 + x)k+1
≥ 1 + (k + 1)x +
(k + 1)k
2
x2
3. Sean A, B ⊂ R conjuntos acotados y c ∈ R+
constante. Si tambi´en son acotados los conjuntos
A+B = {x+y : x ∈ A e y ∈ B} y c·A = {c·x : x ∈ A}. Demuestre los siguientes items (4 ptos.)
a) sup(A + B) = sup A + sup B.
SOLUCI´ON :
i) Tenemos que x ≤ sup A, ∀x ∈ A e y ≤ sup B, ∀y ∈ B, sumando tenemos
x + y ≤ sup A + sup B, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B
esto muestra que sup A + sup B es una cota superior para el conjunto A + B, luego por
definici´on de supremo tenemos que
sup(A + B) ≤ sup A + sup B (∗)
ii) Veamos que se cumple tambi´en sup A + sup B ≤ sup(A + B).
Tenemos que ∀x ∈ A e ∀y ∈ B se cumple que x + y ≤ sup(A + B).
Fijando y ∈ B (fijo pero arbitrario) y ∀x ∈ A tenemos que
x ≤ sup(A + B) − y
luego por definici´on de supremo en A tenemos que
sup A ≤ sup(A + B) − y .
Luego de esto tenemos que ∀y ∈ B, sup A ≤ sup(A + B) − y es decir
y ≤ sup(A + B) − sup A

3. P-UNI
IP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UN
FIP-Uaplicando la definici´on de supremo en B tenemos que
sup B ≤ sup(A + B) − sup A
es decir
sup A + sup B ≤ sup(A + B) . (∗∗)
Finalmente de (∗) y (∗∗) tenemos que
sup A + sup B = sup(A + B)
b) sup(c · A) = c · sup A.
SOLUCI´ON :
Si c < 0 la igualdad no cumple.
Tenemos que c ∈ R+
I) Tenemos que x ≤ sup A, ∀x ∈ A, entonces
cx ≤ c sup A, ∀x ∈ A
esto muestra que c sup A es una cota superior del conjunto cA, luego por definici´on de
supremo tenemos que
sup(cA) ≤ c sup A . (∗)
II) Veamos ahora que tambi´en se cumple c sup A ≤ sup(cA).
Tenemos que ∀x ∈ A, cx ≤ sup(cA), es decir
x ≤
1
c
sup(cA)
luego aplicando la definici´on de supremo tenemos sup A ≤
1
c
sup(cA) es decir
c sup A ≤ sup(cA) . (∗∗)
Finalmente de (∗) y (∗∗) tenemos que
sup(c · A) = c · sup A .
4. Se dice que una funci´on f : X → R es acotada superiormente cuando su imagen
f(X) = {f(x) : x ∈ X} es un conjunto acotado superiormente. Entonces posee
sup f = sup{f(x) : x ∈ X}. Demuestre los siguientes items (elegir s´olo 2) (4 ptos.)
a) Si f, g : X → R son acotados superiormente entonces sup(f + g) ≤ sup f + sup g.
SOLUCI´ON :
Tenemos que ∀x ∈ X se cumple g(x) ≤ sup g y f(x) ≤ sup f, luego sumando estas dos
desigualdades tenemos que
f(x) + g(x) ≤ sup f + sup g
es decir
(f + g)(x) ≤ sup f + sup g

4. P-UNI
IP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UN
FIP-Uluego por definici´on de supremo tenemos que
sup(f + g) ≤ sup f + sup g .
b) Si f : X → R es acotada y c ∈ R+
una constante entonces sup(c · f) = c sup f.
SOLUCI´ON :
Tenemos que c ∈ R+
.
i) Tenemos que f(x) ≤ sup f, luego cf(x) ≤ c sup f, entonces por definici´on de supremos
tenemos que
sup(cf) ≤ c sup f . (∗)
ii) Por otra parte cf(x) ≤ sup cf, luego f(x) ≤
1
c
sup(cf), entonces por definici´on de
supremo tenemos que sup f ≤
1
c
sup(cf) es decir
c sup f ≤ sup(cf) . (∗∗)
Finalmente de (∗) y (∗∗) podemos concluir que
sup(cf) = c sup f .
c) Si f, g : X → R+
son acotados entonces sup(f2
) = (sup f)2
e ´ınf(f2
) = (´ınf f)2
.
SOLUCI´ON :
Veamos primero que sup(f2
) = (sup f)2
.
i) Veamos que se cumple sup(f2
) ≤ (sup f)2
. Tenemos por definici´on de supremo que
0 < f(x) ≤ sup f, ∀x ∈ X, luego elevando al cuadrado, 0 < f2
(x) ≤ (sup f)2
, entonces
por definici´on de supremo, sup(f2
) ≤ (sup f)2
.
ii) Veamos que tambi´en se cumple que (sup f)2
≤ sup(f2
). Teniendo en cuenta que
f2
(x) > 0, ∀x ∈ X, entonces dado cualquier c ∈ R tal que 0 < c ≤ sup f2
, luego por
definici´on de supremo existe x ∈ X talque c < f2
(x) ≤ sup f2
,
√
c < f(x) ≤ sup f2,
aplicando la definici´on de supremo tenemos que
√
c < f(x) ≤ sup f ≤ sup f2, luego
elevando al cuadrado tenemos que (sup f)2
≤ sup(f2
).
Finalmente de I) y II) podemos concluir que
sup(f2
) = (sup f)2
En la demostraci´on para el ´ınfimo el razonamiento es an´alogo.
5. Sean A, B ⊂ R acotados y diferentes de vac´ıo, adem´as A ⊂ B, demostrar que (4 ptos.)
´ınf B ≤ ´ınf A

5. P-UNI
IP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UN
FIP-USOLUCI´ON :
Tenemos que ´ınf B ≤ x, ∀x ∈ B, en particular esto se cumple tambi´en para todos los elementos
de A ya que A ⊂ B.
Luego tenemos que ´ınf B ≤ x, ∀x ∈ A, esto quiere decir que el ´ınf B es una cota inferior para el
conjunto A, entonces por definici´on de ´ınfimo tenemos que ´ınf B ≤ ´ınf A, como se quer´ıa.