2. Derivada direccional
jseniu
θθ += cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
Denotada por:
t
yxfsentytxf
yxfD
t
u
),(),cos(
lim),(
0
−++
=
→
θθ
),( yxfDu
se define como
siempre que ese límite exista.
3. Interpretación geométrica de la
derivada direccional
{ }),(/),,( yxfzzyx ==Σ
πΣ=C
( )),(,, bafba
=
+=
+=
zz
sentby
tax
θ
θ
π
cos
:
u
7. Derivada direccional
jseniu
θθ += cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
es:
θθ senyxfyxfyxfD yxu ),(cos),(),( +=
8. Demostración de la forma de
cálculo de la derivada direccional
Fijado un punto (a, b) y sea
θθ senyxfyxftg yx ),(cos),()( +=′
Por ser f una función diferenciable de x e y,
podemos aplicar la regla de la cadena.
Si t=0
θθ sentbytax +=+= ;cos
),()( yxftg =
)(),()(),()( tyyxftxyxftg yx
′+′=′
θθ senbafbafg yx ),(cos),()0( +=′
9. Demostración de la forma de
cálculo de la derivada direccional
Por otro lado
),(
),(),cos(
lim
)0()(
lim)0(
0
0
bafD
t
bafsentbtaf
t
gtg
g
u
t
t
=
−++
=
−
=′
→
→
θθ
θθ senbafbafg yx ),(cos),()0( +=′
Por lo tanto
θθ senbafbafbafD yxu ),(cos),(),( +=
10. Gradiente de una función de dos
variables
),( yxf∇
Sea z=f (x, y) una función de x e y, tal que fx y fy
existen. Se llama gradiente de f, al vector
Se “lee delta de f ”
Otra notación
f∇
),( yxfgrad
jyxfiyxfyxf yx
),(),(),( +=∇
Es un vector del plano xy
11. Forma alternativa de la derivada
direccional
jseniu
θθ += cos
Si f es una función diferenciable de x e y, su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
es:
uyxfyxfDu
•∇= ),(),(
15. Derivada direccional para
funciones de tres variables
kcjbiau
++=
Si f es una función diferenciable de x, y, z su
derivada direccional en la dirección del vector
unitario
es:
),,(),,(),,(),,( zyxfczyxbfzyxafzyxfD zyxu ++=
1=u
16. Gradiente de una función de tres
variables
Sea w = f (x, y, z) una función de x, y,y z tal que fx,,
fy y fz existen. Se llama gradiente de f, al vector
kzyxfjzyxfizyxfzyxf zyx
),,(),,(),,(),,( ++=∇
uzyxfzyxfDu
•∇= ),,(),,(
La derivada direccional en términos del gradiente
17. Propiedades del gradiente de una
función de tres variables
uzyxfzyxf
todopara0),,(Dentonces0),,(Si u ==∇
),,(),,(demáximovalorEl
).,,(pordada
vienededirecciónLa
zyxfeszyxfD
zyxf
fdeocrecimientmáximo
u ∇
∇
entonces es normal a la superficie de nivel
que pasa por (x0, y0,z0)
0),,( 000
≠∇ zyxf
Sea u=f (x, y,z) una función diferenciable en el punto (x0, y0,z0) y
),,( 000 zyxf∇