El documento presenta la solución al problema de calcular la integral 1/(1+x^2)^3 dx. Se realiza el cambio de variable x=tg(t) para simplificar la integral. Luego, se aplican identidades trigonométricas como sen^2(x)=(1/2)-cos(2x)/2 para descomponer el integrando en funciones más simples y calcular la integral como una suma de funciones elementales más una constante.

1. Problema 64 (Tomo II)
Calcular: 1
0
1
(1 + x2)3
dx
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2. Gu´ıa
⋆ sen2 x = 1
2
−
cos(2x)
2
⋆ cos2 x = 1
2
+ cos(2x)
2
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3. Soluci´on
Al ser el integrando una funci´on par, hacemos el cambio de variable x = tg t,
dx = 1 + tg2 t dt
1
(1 + tg2 t)3
· 1 + tg2
t dt =
1
(1 + tg2 t)2
dt
= cos2
t
2
dt = cos4
t dt =
1 + cos(2t)
2
2
dt
=
1
4
1 + 2 cos(2t) + cos2
(2t) dt
=
1
4
1 + 2 cos(2t) +
1
2
(1 + cos(4t)) dt
I =
1
4
t + sen(2t) +
1
2
t +
sen(4t)
4
+ C
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4. Soluci´on
I =
1
4
arc tg x + sen(2 arc tg x) +
1
2
arc tg x +
1
8
sen(4 arc tg x) + C
Nota: Tambi´en podr´ıamos haber utilizado el m´etodo de Hermite; cuyo comienzo ser´ıa as´ı:
1
(1 + x2)3
=
Ax + B
(1 + x2)
+
d
dx
Cx3 + Dx2 + Ex + F
(1 + x2)2
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