El documento presenta una situación matemática sobre el cercado de un terreno rectangular. Jorge desea cercar la mayor área posible de su terreno usando 300 metros de malla. Se resuelve encontrar las dimensiones del rectángulo que maximice el área usando una función cuadrática. El vértice de la función determina que el lado del rectángulo es de 75 metros y el área máxima es de 5625 metros cuadrados. Otra situación analiza la trayectoria de un balón y encuentra las distancias horizontales a las que alcanza una alt

1. SEMANA 6
DÍA 4
Resolvemos situaciones utilizando
funciones cuadráticas
3.° grado: Matemática

2. Medidas de un terreno
Jorge decidió cercar una parte de su terreno,
para lo cual compró en oferta 300 m de malla.
El deseo de Jorge es abarcar el máximo
terreno rectangular posible.
Situación 1

3. 1. ¿Cuáles serían las dimensiones del terreno cercado y cuál es su área?
Resolución
Representamos el terreno
mediante un rectángulo y
planteamos una ecuación a partir
de los datos.
a) 75 m y 5625 m² b) 70 m y 5526 m² c) 75 m y 5635 m² d) 57 m y 5625 m²
Del gráfico: Ancho: y, largo: x
Perímetro (P): P = 2x + 2y
Entonces: 2x + 2y = 300
Simplificamos: x + y = 150 ⟶ y = 150 ─ x
Largo (x)
Ancho (y)
Relacionamos los lados del
terreno para representar el
perímetro y el área.
Área ▄ = largo · ancho
Remplazamos valores del esquema en la
fórmula:
Área ▄ = x · y
Expresamos como función y reemplazamos el
valor de y:
A(x) = x(150 ─ x)
A(x) = ─ x2 + 150x

4. Recuerda:
El vértice de la
parábola es el
punto máximo o
mínimo de la
función
f(x) = ax2 + bx + c
Se expresa V(x; f(x)),
donde: x =
!"
#$
.
De A(x) = ─ x2 + 150x, se tiene los coeficientes: a = ─ 1 y b = 150.
Hallamos el valor de x, que representa el largo del terreno:
x =
!"
#$
=
!&'(
#(!&)
= 75 m
Remplazamos valor de x en área:
A(x) = ─ x2 + 150x
A(x) = ─ 752 + 150 · 75
A(x) = 5625 m2
Hallamos y que representa el ancho del terreno:
y = 150 – x
y = 150 – 75 y = 75
Por tanto, el ancho deberá medir 75 m y el área, 5625 m².
Para que Jorge pueda abarcar la máxima parte de su terreno con 300 m
de malla, deberá cercar un cuadrado de lado de 75 m que tendría un
área de 5625 m2.
Respuesta: 75 m y 5625 m2. Alternativa a).
!

5. 2. Describe el procedimiento utilizado para dar respuesta a la
pregunta de la situación.
Respuesta libre:
• Comprende la situación y los datos principales.
• Usa un diagrama rectangular que representa el terreno de Jorge.
• Relaciona lados, perímetro y área del rectángulo.
• Expresa el área del rectángulo como función cuadrática: f(x) = ax2 + bx + c.
• Halla el vértice de la función, reemplazando el valor de x en A(x) y determina
el área máxima del terreno para cerca.
• Halla el valor de uno de los lados del rectángulo. V(x, f(x)), donde x =
!"
#$
.
Continuamos con la situación 1

6. 3. ¿Por qué el vértice se considera punto máximo? ¿En qué situación el vértice sería
el punto mínimo?
a) La parábola se abre hacia abajo, entonces
el vértice es el máximo de la función;
cuando la parábola se abre hacia arriba, el
vértice es el mínimo.
b) La parábola se abre hacia arriba, entonces
el vértice toma el valor cero; cuando la
parábola se abre hacia abajo, el vértice
toma un valor negativo.
c) La parábola se abre hacia arriba, entonces
el vértice es el máximo; cuando la parábola
se abre hacia abajo, el vértice es el mínimo.
d) La parábola se abre hacia abajo, entonces
el vértice es un mínimo; cuando la
parábola se abre hacia arriba, el vértice es
un máximo.
Resolución
Para responder utilizo dos gráficos que muestran
punto mínimo y máximo.
Por lo tanto:
El vértice es máximo, cuando la parábola se abre hacia abajo.
El vértice es mínimo, cuando la parábola se abre hacia arriba.
Respuestas: Alternativa a).
El vértice, se encuentra en el
punto máximo de la función.
El vértice, se encuentra en el
punto mínimo de la función.
Continuamos con la situación 1

7. 4. Escribe las diferencias entre área y perímetro de una figura geométrica.
a) El área es la medida de la superficie
plana de la figura geométrica y el
perímetro es la medida de todo el
contorno de la figura geométrica.
b) El área es la medida de la figura
geométrica y el perímetro es la
medida de dos lados de la figura
geométrica.
c) El área es la medida de los lados de
la figura geométrica y el perímetro
es la medida de la superficie de la
figura geométrica.
d) El área es la medida de la superficie
plana de la figura geométrica y el
perímetro es la medida de las dos
diagonales de la figura geométrica.
Resolución
Respuesta:
Alternativa a).
Área Perímetro
§ Medida de la
superficie plana de la
figura geométrica.
§ A = largo x ancho
§ Medida de todo el
contorno de una
figura geométrica.
Utilizaremos una tabla para presentar las
diferencias entre área y perímetro
Continuamos con la situación 1

8. 5. ¿A qué corresponden los valores a, b y c en la fórmula del vértice? V= (
"#
$%
;
"#'( )%*
)%
)
a) Coeficientes de los términos que se reemplazan en la fórmula.
b) Coeficientes de los términos de la ecuación de tercer grado que se reemplazan en la fórmula.
c) Valores de la ecuación canónica que se reemplazan en toda ecuación.
d) Coeficientes del vértice que se reemplazan en la fórmula.
Resolución
Por lo tanto los
valores a, b y c son
coeficientes de la
ecuación general de la
función cuadrática que
se remplazan en la
fórmula del vértice.
Respuesta:
Alternativa a).
Recordemos que la forma general de una función
cuadrática está representada por:
f(x) = a x2 + b x + c
Coeficiente del término cuadrático
de la forma: a > 0; a < 0, a≠0
Coeficiente término lineal
Coeficiente del término independiente
Continuamos con la situación 1

9. Medidas de un terreno
El siguiente gráfico ilustra la trayectoria
de un balón de fútbol. La altitud máxima
del recorrido del balón respecto al suelo
es de 10 m.
Durante su ascenso, ¿a qué distancia
horizontal de su punto de partida el
balón alcanzó una altura de 6 m?
Durante el descenso, ¿a qué distancia
horizontal del punto de partida vuelve a
estar a esa altura?
Situación 2

10. De la situación tenemos los datos:
• Altura máxima = 10 m
• Altura 6 m
Entonces el vértice es (X; 10).
0
2
4
6
8
10
12
0 10 20 30 40
Representación estándar de la función cuadrática:
f(x) = a (x + h)2 + k
§ El eje de simetría siempre pasa a través del vértice
de la parábola .
Factor de la forma: a > 0; a < 0;
a≠0
Abscisa del vértice (valor x)
Ordenada del vértice (valor de y)
Toma nota
(X; 10)
(40;0)
(x; 6) (x; 6)
Considerando la nota:
Deducimos los valores de h y k en: f(x) = a(x ─ 20)2 + 10,
a > 0.
Ordenada y = k, entonces k = 10.
En el gráfico se observa que el eje de simetría pasa por el
vértice (X; 10), entonces el valor de X = 20.
Abscisa es x = h, entonces h = 20.Eje de simetría
Continuamos con la resolución de la situación 2

11. 1.° Remplazamos los valores de h y k en, hallamos valor de a:
f(x) = a(x ─ 20)2 + 10
Para hallar a, tomaremos un punto (0; 0).
Reemplazamos x = 0, y = 0; además f(x) = y:
y = a(x ─ 20)2 + 10
0 = a(0 ─ 20)2 + 10
a =
!"
#$
2.° Remplazamos el valor de a en:
y = ─a(x ─ 20)2 + 10
y =
!"
#$
(x2 ─ 40x + 400) + 10
y =
!"
#$
x2 + x
3.° Del dato de la situación la altura del recorrido del balón es 6. Entonces: y = 6.
Remplazamos valor de y en: y =
!"
#$
x2 + x.
6 =
!"
#$
x2 + x
x2 ─ 40x + 240 = 0
Continuamos con la resolución de la situación 2

12. 4.° En la ecuación x2 ─ 40x + 240 = 0 hallamos el valor de x por la fórmula general de la ecuación cuadrática:
X =
!"± "$!%&'
(&
=
!(!%*)± (!%*)$!%(,)((%*)
((,)
X = 20± 12,64, así tenemos las siguientes soluciones
X1 ≈ 7,36
X2 ≈ 32, 64
De los valores obtenidos afirmamos que:
§ Durante su ascenso la altura de 6 m, alcanzó 7, 36 m de distancia horizontal
del punto de partida.
§ Durante el descenso la altura de 6 m, se alcanzó 32,64 m de distancia.
Continuamos con la resolución de la situación 2

13. Gracias