1. El documento explica conceptos fundamentales de equilibrio, torque y centro de masa. Define equilibrio como cuando las fuerzas sobre un cuerpo se compensan, y describe tres tipos de equilibrio. 2. Define torque como la capacidad de una fuerza para producir rotación, y explica cómo se calcula. 3. Explica el teorema de Steiner para calcular el momento de inercia cuando el eje pasa por el centro de masa. 4. Define centro de masa como el punto donde se concentra toda la masa de un cuerpo, y explic

1. Profesora: Alumnos:
Ing. María Guzmán Br. Narváez Carlos C.I.: 21.327.552
Br. Br. Suniaga Dubraska C.I: 27.572.443
Br. Garcia Eglifer C.I: 24.494.225
Br. Díaz Patricia C.I: 24.520.235
Secc.: 20
República Bolivariana de Venezuela
Universidad de oriente
Núcleo Anzoátegui
Unidad de estudios Básicos
Física III
Puerto la cruz, Mayo del 2022

2. EQUILIBRIO
Se denomina equilibrio al estado en el cual se encuentra un
cuerpo cuando las fuerzas que actúan sobre él se compensan y
anulan recíprocamente. Este tendría un ‘’punto de equilibrio’’ en
el cual no tendría aceleración rotacional. Por ejemplo, si el
cuerpo no se traslada la suma aceleraciones sobre el mismo
debe ser cero, o expresado de forma distinta, la suma de
fuerza es igual a cero. Para la Física, el equilibrio es el estado
de un sistema en el que coexisten simultáneamente dos o más
componentes que se contrarrestan recíprocamente, anulándose.
Puede presentarse en un cuerpo estático, no sujeto a ningún
tipo de modificación, sea de traslación o de rotación; o en un
cuerpo en movimiento. Este último puede originar tres tipos de
equilibrio:
• Equilibrio estable: aquel a que vuelve por sí mismo un
cuerpo que ha sido apartado de suposición. Un péndulo
ilustraría perfectamente el equilibrio estable.
• Equilibrio indiferente: aquel independiente de la posición
del cuerpo. Por ejemplo: una rueda sobre su eje.
• Equilibrio inestable: aquel en que el cuerpo no recupera la
posición inicial, sino que pasa a una posición de equilibrio
más estable. Pensemos en un bastón que estaba parado
sobre su pie y que cae al piso.

3. TORQUE
Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido,
dicho cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en
torno a algún eje, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer
girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos
torque o momento de la fuerza, entonces, se llama torque o
momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para
producir un giro o rotación alrededor de un punto. Entonces, el
torque 𝝉 será proporcional a:
• 𝑭: la magnitud de la fuerza; expresada en newton (N)
• 𝒅: la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y
el punto de giro; expresada en metros (m)
• 𝜽: el ángulo de aplicación de la fuerza.
Se usa la convención de que el torque será positivo si el cuerpo
gira en sentido anti-horario, mientras que el torque será
negativo si el cuerpo gira en sentido horario. Unidades del
torque: Nm
TEOREMA DE STEINE
El teorema de Steiner (o de los Ejes Paralelos) es cierto sólo si
el eje de rotación es paralelo al eje que pasa por el centro de
masa. Según este teorema, si Icm es el momento de inercia
𝝉 = 𝑭 × 𝒅 × 𝒔𝒆𝒏𝜽
𝝉 = 𝑭 × 𝒅 × 𝒔𝒆𝒏𝜽

4. cuando el eje coincide con el centro de masa, m es la masa total
del cuerpo y d es la distancia entre el centro de masa y el eje
de rotación donde se quiere calcular el momento de inercia, I
viene dado por:
CENTRO DE MASA:
En palabras simples se interpreta como el punto del espacio
donde todo el peso (o masa) de un cuerpo puede considerarse
como concentrado. Este punto posee coordenadas (x, y, x)
expresadas en cm, con respecto a un origen cualquiera,
previamente establecido. Para definir el centro de masa para
masas puntuales, suponiendo un grupo de masas cada una
con coordenadas (𝑥 , 𝑦 ), el centro de masa está ubicado en un
punto con coordenadas:
Si el sistema consiste de una masa continua la sumatoria de la
ecuación previa será infinita y además las masas serán
infinitesimales, es decir la suma pasa a ser una integral y
tendría su centro de masa en:
𝐼 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑚𝑑2

5. Torque:
• Momento de Torsión:
Donde:
F:Fuerza
d:Distancia
• Módulo de 𝜏⃗ :
• Relación entre momento de torsión y la aceleración angular
Momento de inercia:
• Para una masa puntual:
Dónde:
𝑚:Masa
𝑟:Distancia
• Para diversas masas puntuales:
• Para una masa continua:
Teorema de steiner:
•

6. Centro de masa:
• Diversas masas puntuales:
• Masas continuas:

7. 1.1 Una tabla de 10 kg y 6 m de longitud está apoyada
en dos soportes, cada uno de 0,5 m del extremo de
la tabla. Se coloca un bloque de 40 kg sobre la
tabla a 1,5 m de un extremo. Hallar: la fuerza
ejercida por cada soporte sobre la tabla.
Datos:
𝑚1:10 kg
𝑚2: 40 kg
L: 6 m
Equilibrio:
∑ 𝐹⃗ = 0
∑ 𝜏⃗ = 0

8. ∑ 𝐹⃗ = 𝑚1𝑔⃗ + 𝑚2𝑔⃗ + 𝛿⃗ 𝐴 + 𝛿⃗ 𝐵 ⇒ 𝛿⃗ 𝐴 + 𝛿⃗ 𝐵 = 𝑚1𝑔⃗ + 𝑚2𝑔⃗
∑ 𝜏⃗ = 𝜏⃗ 𝑚1𝑔⃗ − 𝜏⃗ 𝑚2𝑔⃗ + 𝜏⃗ 𝛿⃗ 𝐴 + 𝜏⃗ 𝛿⃗ 𝐵 = 0
Eje A) Momentos de Torsión:
𝜏⃗𝑚1𝑔⃗ = −𝑚1𝑔⃗(2,5 𝑚) sin 𝜋/2 = −2,5𝑚1𝑔⃗
𝜏⃗𝑚2𝑔⃗ = −2𝑔⃗(4,0 𝑚) sin 𝜋/4 = −4,0𝑚2𝑔⃗
𝜏⃗𝛿⃗𝐴 = 𝛿⃗𝐴(0𝑚) = 0
𝜏⃗𝛿⃗𝐵 = 𝛿⃗𝐵(5,0 𝑚) sin 𝜋/2 = 5,0 𝛿⃗𝐵
𝜏⃗ = 𝜏⃗𝑚1𝑔⃗ + 𝜏⃗𝑚2𝑔⃗ + 𝜏⃗𝛿⃗𝐴 + 𝜏⃗𝛿⃗𝐵 = −2,5𝑚1𝑔⃗ − 4,0𝑚2𝑔⃗ + 0 +
5,0𝛿⃗𝐵
𝛿⃗𝐵 = −2,5𝑚1𝑔⃗ + 4,0𝑚2𝑔⃗/5,0𝛿⃗𝐵 = 362,6 𝑁
Sustituyendo:
𝛿⃗𝐴 = 𝑚1𝑔⃗ + 𝑚2𝑔⃗ − 𝛿⃗𝐵
𝛿⃗𝐴 = 127,4 𝑁
La fuerza ejercida por cada soporte es:
𝛿⃗𝐴 = 127,4 𝑁
𝛿⃗𝐵 = 362,6 𝑁

9. Ejercicio A-1. Hallar el centro de masa del sistema de
masas puntuales de la figura. Tomar 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚3
𝑚1 → (0, a); 𝑚2 → (0,0); 𝑚3 → (𝑏, 0)
𝑥𝑐𝑚 = (
(m1.0 + m2.0 + m3.b)
(m1 + m2 + m3)
) = (
m3.b
(m1 + m2 + m3)
) = (
𝒃
𝟑
)
𝑦𝑐𝑚 = (
(m1.a + m2.0 + m3.o)
(m1 + m2 + m3)
) = (
m1.a
(m1 + m2 + m3)
) = (
𝒂
𝟑
)
El centro de masa está ubicado en ( (
𝒃
𝟑
) ; (
𝒂
𝟑
) )

10. Ejercicio A-2. Hallar el centro de masa de una barra
uniforme de masa 𝑚 y largo L.
𝜆 = (
dm
dx
) = (
m
L
)
Es decir que
𝑑𝑚 = (
m
L
) 𝑑𝑥
El centro de masa solo tiene coordenadas en 𝑥𝑐𝑚.
El centro de masa está en el medio de la longitud de la
barra.

11. Ejercicio A-5. Encontrar el centro de masa del sistema de
dos barras uniformes unidas en sus extremos y
perpendiculares entre sí, representado por la figura.
Tomar 𝑚1 = 𝑚2
𝒄. 𝒎𝟏 = (𝟎,
L1
2
)
𝒄. 𝒎𝟐 = (
L1
2
, 𝟎)
𝑿𝒄𝒎 = (
m1 ∗ 0 + m2 ∗ (
L2
2 )
(m1 + m2)
) = (
m2 ∗ L2
2(m1 + m2)
) = (
L2
4
)
𝒚𝒄𝒎 = (
m1 ∗ (
L2
2 ) + m2 ∗ 0
(m1 + m2)
) = (
m1 ∗ L1
2(m1 + m2)
) = (
L1
4
)

12. El centro de masa está ubicado en el punto (
𝑳𝟐
𝟒
) , (
𝑳𝟏
𝟒
)
Ejercicio A-6. Calcular I para el sistema de 3 masas
iguales de la figura 1, el cual está girando con respecto
a un eje que pasa por el centro. Repetir el cálculo para
las figuras 2 y 3.
Las masas de la Figura 1 son cargas puntuales usamos
la
𝐼 = 𝑚1. 𝑎2
+ 𝑚2
. 𝑎2
+ 𝑚3. 𝑎2
= (𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3) 𝑎2
𝐼 = 3𝑚𝑎2
En la Figura 2 usamos la y solo cambia el eje
en la masa 1 y 2 tenemos que:

13. 𝐼 = 𝑚1. 02
+ 𝑚2. 02
+ 𝑚3. (2𝑎)2
𝐼 = 4𝑚𝑎2
En la Figura 3 usamos la porque la
barra es una masa de tipo continua y se coloca el eje de
coordenadas a un extremo coincidiendo el eje de
rotación con el origen de coordenadas
I=∫ x2
dm
m2
0
La masa está distribuida linealmente y usamos la
densidad de masa lineal
λ = (
𝒅𝒎
𝒅𝒙
) =
𝒎
𝑳
𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝒅𝒎 =
𝒎
𝑳
𝒅𝒙
El centro de masa solo tiene coordenadas en 𝑥𝑐𝑚
𝐱𝐜𝐦 = ∫ x2
dm
m2
0
= ∫ x2
(
𝑚
𝐿
) 𝑑𝑥 = (
𝑚
𝐿
)
L
0
∫ x2
dx = (
𝑚
𝐿
) (
𝐿3
3
)
L
0
Xcm=
1
3
𝑚𝐿2

14. Ejercicio A-7. Calcular el momento de inercia para el
sistema de la figura, la cual consiste de dos barras
unidas en uno de sus extremos (formando un ángulo
recto), una masa puntual en el extremo de una de las
barras y el eje en el extremo de la otra.
Calculamos la inercia separadamente para cada objeto y
sumamos sus resultados
𝑰𝟑= 𝒎𝟑𝒓𝟐
= 𝒎𝟑(𝑳𝟏𝟐
+ 𝑳𝟐𝟐
)
Ahora calculamos las barras
La inercia en la barra 1 siendo esta una barra uniforme,
cuando el eje pasa por su extremo es:
𝑰𝟏 =
𝟏
𝟑
𝒎𝟏𝑳𝟏
𝟐

15. Masa 2 no calculamos la integral; aplicamos el teorema
de ejes paralelos.
𝐼2 = 𝐼cm + 𝑚2 𝑎2
d es la distancia del centro de masa al eje.
𝒅 = √(
𝑳𝟐
𝟐
)𝟐 + 𝑳𝟏
𝟐
= √(
𝟏
𝟒
)𝑳𝟐
𝟐
+ 𝑳𝟏
𝟐
Calculamos el momento de inercia en uno de sus
extremos y lo llamamos 𝐼𝑐
𝑰𝒄 = 𝑰𝒄𝒎 + 𝒎𝟐(
𝑳𝟐
𝟐
)𝟐
=
𝟏
𝟑
𝒎𝟐𝑳𝟐
𝟐
Despejamos 𝐼𝑐𝑚
𝑰𝒄𝒎 = 𝑰𝒄 − 𝒎𝟐(
𝑳𝟐
𝟐
)𝟐
=
𝟏
𝟑
𝒎𝟐𝑳𝟐
𝟐
−
𝟏
𝟒
𝒎𝟐𝑳𝟐
𝟐
=
𝟏
𝟏𝟒
𝒎𝟐𝑳𝟐
𝟐
Reemplazamos el último resultado en la 𝐼2 = 𝐼cm + 𝑚2 𝑎2
𝑰𝟐 = 𝑰𝒄𝒎 + 𝒎𝟐(√
𝟏
𝟒
𝑳𝟐
𝟐
+ 𝑳𝟏
𝟐
)𝟐
=
𝟏
𝟏𝟒
𝒎𝟐𝑳𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟒
𝒎𝟐𝑳𝟐
𝟐

16. 𝑰𝟐 = 𝒎𝟐(
𝟏
𝟑
𝑳𝟐
𝟐
+𝑳𝟏
𝟐
)
Sumamos los valores obtenidos para obtener la inercia
total
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3
𝑰 =
𝟏
𝟑
𝒎𝟏𝑳𝟐
𝟐
+ 𝒎𝟐 (
𝟏
𝟑
𝑳𝟐
𝟐
+ 𝑳𝟏
𝟐
) + 𝒎𝟑(𝑳𝟐
𝟐
+ 𝑳𝟏
𝟐
)