Tipos de mecanismos, calculo de centroide, análisis de fuerzas de cuerpos rígidos y elásticos

1. NOMBRE:
JEAN CARLOS CAMPAÑA
MECANISMOS
MAYO 2021 – SEPTIEMBRE 2021

2. 13.1 ANÁLISIS DE FUERZAS EN CUERPOS RÍGIDOS Y ELÁSTICOS
• El análisis del tañido de una campana y otros sistemas vibrantes se conoce
con el nombre de análisis de los cuerpos elásticos. Se aplica este análisis
cuando se desean conocer aspectos tales como la deflexión, deformación,
extensión, o bien los movimientos de diversas partículas del cuerpo. Por el
contrario, se emplea el análisis de los cuerpos rígidos cuando se tiene interés
en el movimiento global de un cuerpo

3. 13.2 CENTROIDES Y CENTROS DE MASA
• Las fuerzas resultantes actúan sobre el centroide del sistema, de donde, el
centroide de un sistema es un punto en el que se puede considerar que un
sistema de fuerzas distribuidas está concentrado, con el mismo efecto
exactamente.
• El término centro de masa se refiere al punto en el que se puede considerar
que está concentrada la masa, de tal modo que se obtenga el mismo efecto.

4. En la Fig. a se muestra una serie de masas concentradas que están localizadas sobre una recta.
El centro de masa G o centroide está ubicado en:
𝑥 =
𝑖=1
𝑖=𝑁
𝑚𝑖𝑥𝑖
𝑖=1
𝑖=𝑁
𝑚𝑖
=
𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + 𝑚3𝑥3
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3
En la Fig. b las masas se localizan sobre un plano. Se puede obtener la coordenada x del centro de masa
G a partir de la ecuación 13-1. La coordenada y se escribe como:
𝑦 =
𝑖=1
𝑖=𝑁
𝑚𝑖𝑦𝑖
𝑖=1
𝑖=𝑁
𝑚𝑖
=
𝑚1𝑦1 + 𝑚2𝑦2 + 𝑚3𝑦3 + 𝑚4𝑦4
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + 𝑚4
En formas compuestas

5. Al tener una forma constituida por un área rectangular más un área triangular, menos un área
circular, se halla los centroides de las partes 𝐺1, 𝐺2 𝑦 𝐺3 , localizando el centro de masa G del área
compuesta aplicando:
𝑥 =
𝑖=1
𝑖=𝑁
𝐴𝑖𝑥𝑖
𝑖=1
𝑖=𝑁
𝐴𝑖
=
𝐴1𝑥1 + 𝐴2𝑥2 − 𝐴3𝑥3
𝐴1 + 𝐴2 − 𝐴3
𝑦 =
𝑖=1
𝑖=𝑁
𝐴𝑖𝑦𝑖
𝑖=1
𝑖=𝑁
𝐴𝑖
=
𝐴1𝑦1 + 𝐴2𝑦2 − 𝐴3𝑦3
𝐴1 + 𝐴2 − 𝐴3
Integrando para ubicar el centroide en el plano:
𝑥 =
𝑥′𝑑𝐴
𝑑𝐴
=
1
𝐴
𝑥′𝑑𝐴 𝑦 =
𝑦′
𝑑𝐴
𝑑𝐴
=
1
𝐴
𝑦′𝑑𝐴
Para cuerpos tridimensionales obtenemos las siguientes ecuaciones partiendo de la ecuación:
𝑥 =
1
𝑚
𝑥′𝑑𝑚
𝑦 =
1
𝑚
𝑦′𝑑𝑚
𝑧 =
1
𝑚
𝑧′𝑑𝑚

6. 13.3 MOMENTO DE INERCIA
El momento en torno a un eje especificado, está dado por una integral la cual es distancia al
cuadrado por área diferencial, conocida como momento de inercia del área o también conocido
como segundo momento del área. Las fórmulas para los segundos momentos de área en torno a
los ejes x y y son:
𝐼𝑥 = 𝑦2𝑑𝐴
𝐼𝑦 = 𝑥2
𝑑𝐴
A estas dos ecuaciones se las conoce como momentos rectangulares de inercia, y la integral
está dada por:
𝐽𝑧 = 𝑟2𝑑𝐴

7. • La relación de estas 2 ecuaciones se lo conoce como momento polar de inercia del área:
𝐽𝑧 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦
• El momento de inercia se expresa también de tal forma:
𝑘 =
𝐼
𝐴
• K, se conoce como radio de giro, es una medida cuantitativa de distribución de áreas.
• Para obtener un momento de inercia a cualquier distancia especifica d al eje centroidal, se usa las fórmulas de
transferencias:
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 + 𝐴𝑥
2 𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 + 𝐴𝑦
2 𝐽𝑧 = 𝐽𝑧 + 𝐴𝑑2
• Para distinguirlos del correspondiente a un área se denomina a menudo momento de inercia de masa.
• En el caso de un volumen, las integrales de inercia son:
𝐼𝑥 = (𝑦2
+ 𝑧2
)𝑑𝑚 𝐼𝑦 = (𝑥2
+ 𝑧2
)𝑑𝑚 𝐼𝑧 = (𝑥2
+ 𝑦2
)𝑑𝑚
• Otro conjunto de integrales que pueden aparecer son los denominados productos de inercia:
𝐼𝑥𝑦 = 𝑥𝑦𝑑𝑚 𝐼𝑦𝑧 = 𝑦𝑧𝑑𝑚 𝐼𝑧𝑥 = 𝑧𝑥𝑑𝑚

8. Estas ecuaciones son útiles cuando las integrales se hacen cero, define los tres
ejes coordenados de un cuerpo llamado ejes principales.
La forma general de la fórmula de transferencia, o del eje paralelo para el
momento de inercia de la masa está dado por:
𝐼 = 𝐼𝐺 + 𝑚𝑑2
Donde 𝐼𝐺 es el momento principal de inercia e I es el momento de inercia en
torno a un eje paralelo que está a una distancia d del origen.
También se usa el término radio de giro con el momento de inercia de masa,
las relaciones son:
𝐼𝐺 = 𝑘2𝑚 𝑘 =
𝐼𝐺
𝑚

9. EJEMPLO I
• En la imagen se muestra un prisma de acero soldado a una varilla delgada para formar un péndulo.
Suponiendo que la varilla carece de peso, calcúlese el momento de inercia del péndulo en torno a o.
Úsese 𝑝 = 7.80 𝑀𝑔/𝑚3 como la densidad de masa del acero.

10. Calcular la masa del prisma:
𝑚 = 𝑎𝑏𝑐𝑝 = 75 100 12 7.8 ∗
1000
𝑘𝑔
𝑀𝑔
1000
𝑚𝑚
𝑚
3
𝑚 = 0.702𝑘𝑔
El momento de inercia de masa del prisma en torno a su propio centro de masa es:
𝐼𝐺 =
𝑚
12
(𝑎2
+ 𝑐2
)
𝐼𝐺 =
0.702
12
(752 + 1002)
𝐼𝐺 = 914 𝑘𝑔 ∗ 𝑚𝑚2
Se usa la ecuación 12 para hacer la transferencia al eje que pasa por O.
𝐼𝑂 = 𝐼𝐺 + 𝑚𝑑2
𝐼𝑂 = 914 + (0.702)(250)2
𝐼𝑂 = 44800 𝑘𝑔 ∗ 𝑚𝑚2
𝐼𝑂 = 44800 𝑘𝑔 ∗ 𝑚𝑚2
∗
1
1000𝑚𝑚
𝑚
2
𝐼𝑂 = 0.0448 𝑘𝑔 ∗ 𝑚2

11. EJEMPLO II
• En la figura se presenta una biela de fundición hierro. Encuéntrese el
momento de inercia de masa de la biela en torno al eje z en unidades
gravitacionales ips. Úsese w = 0.260 lb/pulg3
como unidad de peso de la
fundición de hierro.

12. La masa de cada cilindro es:
𝑚 =
𝜋𝑙𝑤
4𝑔
∗ 𝑑0
2
− 𝑑1
2
𝑚𝑐 =
𝜋 0.75 0.260
4(386)
∗ 3 2
− 1 2
𝑚𝑐 = 0.00317
𝑙𝑏𝑠2
𝑝𝑢𝑙𝑔
El momento de inercia de cada cilindro es:
𝐼𝐺𝑐 =
𝑚
8
𝑑0
2
+ 𝑑1
2
𝐼𝐺𝑐 =
0.00317
8
3 2
+ 1 2
𝐼𝐺𝑐 = 0.00396 𝑙𝑏 𝑠2
𝑝𝑢𝑙𝑔
La masa del prisma central es:
𝑚𝑝 =
𝑎𝑏𝑐𝑤
𝑔
𝑚𝑝 =
0.75 1 13 0.260
386
𝑚𝑝 = 0.00657
𝑙𝑏𝑠2
𝑝𝑢𝑙𝑔
𝐼𝑧 = 1.25 𝑙𝑏 𝑠2
𝑝𝑢𝑙𝑔

13. El momento de inercia del prisma en torno a su centro de masa es:
𝐼𝐺𝑝 =
𝑚
12
𝑏2 + 𝑐2
𝐼𝐺𝑝 =
0.00657
12
1 2 + 3 2
𝐼𝐺𝑝 = 0.00548 𝑙𝑏 𝑠2 𝑝𝑢𝑙𝑔
Al aplicar la fórmula de transferencia:
𝐼𝑧 = 𝐼𝐺𝑐 + 𝐼𝐺𝑐 + 𝑚𝑐𝑑𝐶
2
+ 𝐼𝐺𝑝 + 𝑚𝑝𝑑𝑝
2
𝐼𝑧 = 0.00396 + 0.00396 + 0.00317 16 2 + 0.00548 + 0.00657 8 2
𝐼𝑧 = 1.25 𝑙𝑏 𝑠2𝑝𝑢𝑙𝑔

14. 10.1 LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
El análisis de fuerzas dinámicas implica la aplicación de las tres leyes del movimiento de
Newton, las cuales son:
1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, y un cuerpo en movimiento a
velocidad constante tiende a mantener esa velocidad a menos que actúe sobre él una fuerza
externa.
2. El cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo con respecto al tiempo es igual a la
magnitud de la fuerza aplicada y actúa en la dirección de la fuerza.
3. Por cada fuerza de acción existe una fuerza de reacción igual y opuesta.
La segunda ley se expresa en función de la razón de cambio de cantidad de movimiento M=mv,
suponiendo que la masa m es constante en el análisis. La razón de cambio de mv con respecto
al tiempo es ma, donde a es la aceleración del centro de masa.
𝐹 = 𝑚𝑎
F es la resultante de todas las fuerzas ejercidas en el sistema que actúan en el centro de masa.

15. 10.2 MODELOS DINÁMICOS
En el análisis dinámico es conveniente crear un modelo simplificado. Estos modelos
se consideran como un conjunto de masas puntuales conectadas por barras sin masa.
Para que un modelo de cuerpo rígido sea dinámicamente equivalente al cuerpo
original, deben conjuntarse tres elementos:
1. La masa del modelo debe ser igual a la del cuerpo original.
2. El centro de gravedad debe estar en el mismo lugar que el del cuerpo original.
3. El momento de inercia de masa debe ser igual al del cuerpo original.

16. 10.3 MASA
La masa es una propiedad invariable de un cuerpo rígido. El peso del mismo
cuerpo varía según el sistema gravitatorio en el cual se encuentre. Deben
estimarse las masas de los eslabones y otras partes del diseño para hacer un
primer intento de cálculo. Luego se debe iterar para obtener cada vez mejores
soluciones conforme se complemente la información.

17. 10.4 MOMENTO DE MASA Y CENTRO DE GRAVEDAD.
El momento de masa (primer momento de masa) del elemento diferencial es igual al producto
de su masa por su distancia al eje de interés. Con respecto a los ejes x, y y z, éstos son:
𝑑𝑀𝑥 = 𝑥 𝑑𝑚
𝑑𝑀𝑦 = 𝑦 𝑑𝑚
𝑑𝑀𝑧 = 𝑧 𝑑𝑚
Para obtener los momentos de masa del cuerpo se integra cada una de estas expresiones.
𝑀𝑥 = 𝑥 𝑑𝑚
𝑀𝑦 = 𝑦 𝑑𝑚
𝑀𝑧 = 𝑧 𝑑𝑚
Si el momento de masa con respecto a un eje particular es numéricamente cero, entonces ese
eje pasa por el centro de masa (CM) del objeto, el cual en un objeto terrestre coincide con su
centro de gravedad (CG). La suma de los primeros momentos con respecto a todos los ejes que
pasan por el CG es cero. Se debe localizar CG de todos los cuerpos móviles dentro del diseño.
Se puede encontrar entonces el CG global con la suma de los primeros momentos de estas
formas simples e igualar a cero.

18. En la figura se muestra modelo simple:
Un mazo descompuesto en dos partes cilíndricas, el mango y la cabeza, con
masas mh y md, respectivamente. Los centros de gravedad individuales de las
dos partes están en ld y lh/2, respectivamente, con respecto al eje ZZ. Se
requiere localizar el centro de gravedad compuesto del mazo con respecto a ZZ.

19. Al sumar los primeros momentos de los componentes individuales con respecto
a ZZ e igualarlos al momento de toda la masa con respecto a ZZ nos queda:
𝑀𝑍𝑍 = 𝑚ℎ
𝐼ℎ
2
+ 𝑚𝑑𝐼𝑑 = 𝑚ℎ + 𝑚𝑑 𝑑
La ecuación se puede resolver para la distancia d a lo largo del eje X, en este
ejemplo es simétrico y es la única dimensión del CG compuesto no discernible
por inspección. Las componentes x y y z del CG compuestos son cero.
𝑑 =
𝑚ℎ
𝐼ℎ
2
+ 𝑚𝑑𝐼𝑑
𝑚ℎ + 𝑚𝑑

20. 10.5 MOMENTO DE INERCIA DE MASA (SEGUNDO MOMENTO DE
MASA)
Aplicando la segunda ley de Newton para sistemas en rotación se
tiene:
𝑇 = 𝐼𝛼
Donde:
T: par de torsión resultante con respecto al centro de masa.
α: aceleración angular
I: momento de inercia de masa con respecto a un eje que pasa
por el centro de masa.

21. El momento de inercia de masa del elemento diferencial es igual al producto
de su masa por el cuadrado de su distancia al eje de interés. Con respecto a
los ejes X, Y, Z, éstos son:
𝑑𝐼𝑥 = 𝑟𝑥
2𝑑𝑚 = (𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑚
𝑑𝐼𝑦 = 𝑟𝑦
2
𝑑𝑚 = (𝑥2
+ 𝑧2
)𝑑𝑚
𝑑𝐼𝑧 = 𝑟𝑧
2𝑑𝑚 = (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑚
El exponente de 2 en el término del radio proporciona a esta propiedad su
nombre de segundo momento de masa.
Para conseguir los momentos de inercia de masa se tiene las siguientes
expresiones:
𝐼𝑥 = (𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑚
𝐼𝑦 = (𝑥2 + 𝑧2)𝑑𝑚
𝐼𝑧 = (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑚
En un sistema trasladante la energía cinética es:

22. Y en un sistema rotatorio es:
𝐾𝐸 =
1
2
𝑚𝜔2
El momento de inercia es un indicador de la capacidad del
cuerpo para almacenar energía cinética rotacional y también es
un indicador de la cantidad de par de torsión que se requerirá
para acelerar el cuerpo rotacionalmente.
La masa es una medida de la resistencia a la aceleración lineal, el
momento de inercia es una medida de la resistencia a la
aceleración angular. Un gran momento de inercia I requerirá un
par de torsión motriz grande y por tanto un motor más grande y
potente para obtener la misma aceleración.
Las unidades del momento de inercia son:
ips SI
𝒍𝒃 𝒊𝒏 𝒔𝟐 ó 𝒃𝒍𝒐𝒃 𝒊𝒏𝟐 𝑁 𝑚 𝑠2 ó 𝑘𝑔 𝑚2

23. 10.6 TEOREMA DE EJES PARALELOS (TEOREMA DE
TRANSFERENCIA)
El momento de inercia de un cuerpo con respecto a cualquier eje (ZZ) se
expresa como la suma de su momento de inercia con respecto a un eje (GG)
paralelo a ZZ que pasa por su CG y el producto de la masa por el cuadrado de
la distancia perpendicular entre esos ejes paralelos
I_ZZ=I_GG+md^2 (24)
Donde:
ZZ y CG: ejes paralelos
GG pasa por el CG del cuerpo o ensamble
m es la masa del cuerpo o ensamble
d es la distancia perpendicular entre los ejes paralelos

24. De la figura el mazo se descompuso en dos partes cilíndricas, el
mango y la cabeza, cuyas masas son 𝑚ℎ y 𝑚𝑑, y radios 𝑟ℎ y 𝑟𝑑,
respectivamente.
El momento de inercia para el mango con respecto a su eje HH
que pasa por CG son:
𝐼𝐻𝐻 =
𝑚ℎ(3𝑟ℎ
2
+ 𝑙ℎ
2
)
12
y para la cabeza con respecto a su eje DD que pasa por su CG:
𝐼𝐷𝐷 =
𝑚𝑑(3𝑟𝑑
2
+ 𝑙𝑑
2
)
12
Mediante el teorema de ejes paralelos para transferir el momento
de inercia al eje ZZ en el extremo del mango:
𝐼𝑍𝑍 = 𝐼𝐻𝐻 + 𝑚ℎ
𝐼ℎ
2
2
+ 𝐼𝐷𝐷 + 𝑚𝑑𝑙𝑑
2

25. 10.7 DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA DE
MASA
Métodos analíticos
Aunque en las ecuaciones:
𝐼𝑥 = (𝑦2
+ 𝑧2
)𝑑𝑚
𝐼𝑦 = (𝑥2 + 𝑧2)𝑑𝑚
𝐼𝑧 = (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑚
puede integrar numéricamente una parte de cualquier forma, el trabajo que
implica hacerlo manualmente suele ser tedioso y requiere mucho tiempo. Si
una pieza de forma compleja se puede descomponer en subpartes
geométricamente simples, como cilindros, prismas en ángulo recto, esferas,
etc., como lo hace el mazo en la Figura 6, entonces el momento de inercia
puede ser utilizado para cada parte Relativo a su propia calidad de cálculo CG.
Cada uno de estos valores debe referirse al eje de rotación requerido a través
del teorema de transferencia y luego sumarlos para obtener un valor
aproximado del momento de inercia de toda la pieza con respecto al eje

26. Métodos experimentales
Si la pieza ha sido diseñada y fabricada, su momento de inercia de masa se puede
determinar aproximadamente mediante un simple experimento. Esto requiere que
el elemento gire alrededor de cualquier eje paralelo al eje para buscar el par
(excepto el eje a través de su CG) y para medir el período de oscilación del
péndulo.
En la figura 7, la fuerza de su peso W actúa en su CG y tiene una componente W
sen q
perpendicular al radio r del pivote al CG.
El análisis se proce
de de la siguiente manera:
𝑇𝑍𝑍 = 𝐼𝑍𝑍𝛼
− 𝑊 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 = 𝐼𝑍𝑍
𝑑2
𝜃
𝑑𝑡2
donde se aplica el signo negativo porque el par de torsión actúa en dirección opuesta al ángulo 𝜃
−𝑊𝜃𝑟 = 𝐼𝑍𝑍
𝑑2
𝜃
𝑑𝑡2
2

27. Resolviendo la EDO de la ecuación:
𝜃 = 𝑒𝛾𝑡
(𝑒𝛾𝑡)′′ +
𝑊𝑟
𝐼𝑍𝑍
𝑒𝛾𝑡 = 0
𝑒𝛾𝑡 𝛾2 +
𝑊𝑟
𝐼𝑍𝑍
= 0
𝛾 = 𝑖
𝑊𝑟
𝐼𝑍𝑍
𝛾 = −𝑖
𝑊𝑟
𝐼𝑍𝑍
Al existir dos raíces distintas se aplica la solución general, obteniendo así:
𝜃 = 𝐶 𝑠𝑒𝑛
𝑊𝑟
𝐼𝑍𝑍
𝑡 + 𝐷 cos
𝑊𝑟
𝐼𝑍𝑍
𝑡

28. Las constantes de integración C y D se encuentran a partir de las condiciones iniciales en el
instante en que se suelta la pieza y se le permite oscilar.
𝜃 = 𝜃𝑚𝑎𝑥 𝑡 = 0 𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝐶 = 0 𝐷 = 𝜃𝑚𝑎𝑥
𝜃 = 𝜃𝑚𝑎𝑥 cos
𝑊𝑟
𝐼𝑍𝑍
𝑡
La ecuación define el movimiento de la pieza como una onda coseno que completa un ciclo
completo de periodo τs cuando:
𝑊𝑟
𝐼𝑍𝑍
𝜏 = 2𝜋
Se resuelve para el momento de inercia de masa 𝐼𝑍𝑍 con respecto al pivote ZZ como:
𝐼𝑍𝑍 = 𝑊𝑟
𝜏
2𝜋
2
y el momento de inercia ICG con respecto al CG se encuentra mediante el teorema de
transferencia:
𝐼𝑍𝑍 = 𝐼𝐺𝐺 + 𝑚𝑟2
𝐼 = 𝑊𝑟
𝜏 2
−
𝑊
𝑟2

29. 10.8 RADIO DE GIRO
• El radio de giro de un cuerpo se define como el radio en el cual
se podría concentrar toda la masa del cuerpo de modo que el
modelo resultante tenga el mismo momento de inercia que el
cuerpo original.
𝐼𝑍𝑍 = 𝑚𝑘2
𝑘 =
𝐼𝑧𝑧
𝑚
• El radio de giro k siempre será mayor que el radio al CG
compuesto del cuerpo original
𝐼𝐺𝐺 + 𝑚𝑑2
= 𝐼𝑧𝑧 = 𝑚𝑘2
∴ 𝑘 > 𝑑

30. BIBLIOGRAFÍA
• Norton, R. (2009). Diseño de Maquinaria: Sintesis y análisis de
máquinas y mecanismos . McGraw- Hill Education.
• Shigley, J. E., Uicker, J. J., & de Contin, H. C. (1983). Teoría de
máquinas y mecanismos. McGraw-Hill Education.