Este documento resume un proyecto de investigación sobre el problema de los tres cuerpos. Explica brevemente el problema de dos cuerpos y tres cuerpos, donde se intenta establecer las trayectorias de partículas masivas considerando las fuerzas gravitacionales entre ellas. Luego, deduce las ecuaciones para el problema de dos cuerpos y modela posibles trayectorias como circulares, elípticas y otras. Finalmente, presenta ejemplos numéricos para resolver los problemas de dos y tres cuerpos.
Las tres Leyes de Kepler describen el movimiento planetario alrededor del Sol. La Primera Ley establece que la órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos. La Segunda Ley indica que un planeta describe áreas iguales en tiempos iguales a medida que se mueve. La Tercera Ley relaciona el cuadrado del periodo orbital de un planeta con el cubo del semieje mayor de su órbita elíptica. Más tarde, Newton demostró que las Leyes de Kepler se derivan de su Ley de la Gravit
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la cinética de sólidos rígidos. Explica las leyes de Newton y el principio de D'Alembert para describir el movimiento de traslación y rotación de cuerpos rígidos. También define conceptos clave como centro de gravedad, momento angular, momento de inercia y sus aplicaciones en las ecuaciones de movimiento de sólidos rígidos sometidos a diferentes tipos de movimiento.
1. El documento explica conceptos fundamentales de equilibrio, torque y centro de masa. Define equilibrio como cuando las fuerzas sobre un cuerpo se compensan, y describe tres tipos de equilibrio.
2. Define torque como la capacidad de una fuerza para producir rotación, y explica cómo se calcula.
3. Explica el teorema de Steiner para calcular el momento de inercia cuando el eje pasa por el centro de masa.
4. Define centro de masa como el punto donde se concentra toda la masa de un cuerpo, y explic
Este documento presenta un examen de física con varias preguntas sobre fuerzas y movimiento. La primera pregunta contiene afirmaciones verdaderas o falsas sobre conceptos como masa, fuerza elástica, aceleración y fuerza de rozamiento. La segunda pregunta analiza el movimiento de dos cuerpos conectados por un cable que se deslizan sobre un plano inclinado. La tercera pregunta calcula la velocidad máxima de un coche al tomar una curva basándose en la fuerza centrípeta y la fuerza de rozamiento
Este documento presenta información sobre trabajo y energía en la unidad 4 de Física I. Explica conceptos clave como trabajo, trabajo de fuerzas constantes, trabajo de la gravedad, trabajo de un resorte y trabajo de fuerzas gravitacionales. Incluye ecuaciones matemáticas para calcular el trabajo realizado por diferentes fuerzas y ejemplos numéricos de su aplicación.
Este documento describe los principios del equilibrio de fuerzas en un plano. Explica que para que exista equilibrio, la suma de todas las fuerzas debe ser cero y la suma de todos los torques también debe ser cero. Define el torque como el efecto de fuerzas separadas por una distancia, y proporciona una fórmula para calcularlo. Además, presenta ejemplos para ilustrar cómo resolver problemas de equilibrio de fuerzas usando métodos gráficos y algebraicos.
El documento discute los conceptos fundamentales de la teoría electromagnética en condiciones estáticas. Explica la ley de Coulomb, que cuantifica la fuerza entre cargas eléctricas puntuales. Define el campo eléctrico creado por un cuerpo cargado y presenta varios problemas para calcular fuerzas entre cargas usando la ley de Coulomb.
Las tres Leyes de Kepler describen el movimiento planetario alrededor del Sol. La Primera Ley establece que la órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos. La Segunda Ley indica que un planeta describe áreas iguales en tiempos iguales a medida que se mueve. La Tercera Ley relaciona el cuadrado del periodo orbital de un planeta con el cubo del semieje mayor de su órbita elíptica. Más tarde, Newton demostró que las Leyes de Kepler se derivan de su Ley de la Gravit
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la cinética de sólidos rígidos. Explica las leyes de Newton y el principio de D'Alembert para describir el movimiento de traslación y rotación de cuerpos rígidos. También define conceptos clave como centro de gravedad, momento angular, momento de inercia y sus aplicaciones en las ecuaciones de movimiento de sólidos rígidos sometidos a diferentes tipos de movimiento.
1. El documento explica conceptos fundamentales de equilibrio, torque y centro de masa. Define equilibrio como cuando las fuerzas sobre un cuerpo se compensan, y describe tres tipos de equilibrio.
2. Define torque como la capacidad de una fuerza para producir rotación, y explica cómo se calcula.
3. Explica el teorema de Steiner para calcular el momento de inercia cuando el eje pasa por el centro de masa.
4. Define centro de masa como el punto donde se concentra toda la masa de un cuerpo, y explic
Este documento presenta un examen de física con varias preguntas sobre fuerzas y movimiento. La primera pregunta contiene afirmaciones verdaderas o falsas sobre conceptos como masa, fuerza elástica, aceleración y fuerza de rozamiento. La segunda pregunta analiza el movimiento de dos cuerpos conectados por un cable que se deslizan sobre un plano inclinado. La tercera pregunta calcula la velocidad máxima de un coche al tomar una curva basándose en la fuerza centrípeta y la fuerza de rozamiento
Este documento presenta información sobre trabajo y energía en la unidad 4 de Física I. Explica conceptos clave como trabajo, trabajo de fuerzas constantes, trabajo de la gravedad, trabajo de un resorte y trabajo de fuerzas gravitacionales. Incluye ecuaciones matemáticas para calcular el trabajo realizado por diferentes fuerzas y ejemplos numéricos de su aplicación.
Este documento describe los principios del equilibrio de fuerzas en un plano. Explica que para que exista equilibrio, la suma de todas las fuerzas debe ser cero y la suma de todos los torques también debe ser cero. Define el torque como el efecto de fuerzas separadas por una distancia, y proporciona una fórmula para calcularlo. Además, presenta ejemplos para ilustrar cómo resolver problemas de equilibrio de fuerzas usando métodos gráficos y algebraicos.
El documento discute los conceptos fundamentales de la teoría electromagnética en condiciones estáticas. Explica la ley de Coulomb, que cuantifica la fuerza entre cargas eléctricas puntuales. Define el campo eléctrico creado por un cuerpo cargado y presenta varios problemas para calcular fuerzas entre cargas usando la ley de Coulomb.
El documento discute los conceptos fundamentales de la teoría electromagnética en condiciones estáticas. Explica la ley de Coulomb, que cuantifica la fuerza entre cargas eléctricas puntuales. Define el campo eléctrico creado por un cuerpo cargado y presenta varios problemas para calcular fuerzas entre cargas usando la ley de Coulomb.
Este documento presenta dos ejemplos resueltos de ejercicios de dinámica que involucran fuerzas, masas y aceleraciones. El primer ejemplo determina la magnitud de la fuerza normal y la aceleración producida por una fuerza aplicada a un cuerpo colgado de una cuerda. El segundo ejemplo calcula la aceleración y tensión en una cuerda que une dos cuerdos de diferentes masas que se mueven desde el reposo. Ambos ejemplos utilizan el principio de Newton y diagrama de cuerpos libres para resolver el problema
1) Se determina la tensión de una cuerda que sostiene un bloque de 10 kg inclinado 300 sobre un plano, resolviendo las ecuaciones de la segunda ley de Newton.
2) Al romperse la cuerda, se calcula la aceleración del bloque usando también la segunda ley de Newton.
3) Se analizan cuatro figuras con masas unidas por cuerdas, resolviendo las ecuaciones para encontrar aceleraciones y tensiones.
El documento explica conceptos relacionados con el centro de gravedad. Define el centro de gravedad como el punto donde actúa la resultante de todas las fuerzas de gravedad sobre un cuerpo. Presenta la ecuación para calcular el centro de gravedad y una tabla con las fórmulas y coordenadas del centro de gravedad para figuras geométricas comunes como rectángulos, triángulos y círculos. Explica cómo determinar el centro de gravedad en cuerpos bidimensionales y tridimensionales.
Este documento presenta un resumen de las Leyes de Newton. Introduce los conceptos clave de masa, fuerza, aceleración e inercia. Explica las tres leyes de Newton: 1) un objeto permanece en reposo o movimiento uniforme a menos que una fuerza actúe sobre él, 2) la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta aplicada y 3) para cada acción existe una reacción igual y opuesta. También presenta ejemplos de problemas de aplicación de las leyes.
La estática estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a fuerzas. Para que un cuerpo esté en equilibrio, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero, al igual que la suma de todos los momentos en torno a un punto. Estas condiciones de equilibrio pueden resolverse mediante ecuaciones o gráficos.
La estática estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a fuerzas. Para que un cuerpo esté en equilibrio, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero, al igual que la suma de todos los momentos en torno a un punto. Estas condiciones se expresan mediante ecuaciones cuya resolución determina si el cuerpo está en equilibrio.
Este documento resume tres leyes de Newton y sus aplicaciones a la conservación de la cantidad de movimiento y la energía. Explica conceptos como la inercia, fuerzas, equilibrio y fricción, ilustrando estas ideas con ejemplos y ecuaciones. También incluye ejercicios resueltos sobre sumas vectoriales, diagramas de cuerpos libres y análisis de sistemas en equilibrio.
Este documento resume tres leyes de Newton y sus aplicaciones a la conservación de la cantidad de movimiento y la energía. Explica conceptos como la inercia, fuerzas, equilibrio y fricción, ilustrando estas ideas con ejemplos y ecuaciones. También incluye ejercicios resueltos sobre sumas vectoriales, diagramas de cuerpos libres y análisis de sistemas en equilibrio.
Este documento describe los aspectos generales del movimiento periódico y oscilatorio, incluidos ejemplos comunes en la naturaleza como el movimiento de un péndulo o una masa sujeta a un resorte. Luego, se enfoca en describir el movimiento armónico simple (MAS), cuya característica fundamental es que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento. Finalmente, analiza la cinemática de un MAS, relacionando la posición, velocidad y aceleración a través de funciones coseno y seno
Este documento explica el movimiento armónico simple (MAS), que ocurre cuando un sistema en equilibrio es perturbado y oscila alrededor de su posición de equilibrio con una amplitud y frecuencia constante. Define las características del MAS como periodo, frecuencia, amplitud y ecuaciones para un muelle y péndulo. Proporciona ejemplos numéricos para calcular estas cantidades.
El documento describe seis principios fundamentales de la mecánica elemental basados en evidencia experimental: 1) la ley de paralelogramo para la adición de fuerzas, 2) el principio de transmisibilidad, y 3) las tres leyes de Newton, que describen el movimiento de los objetos y la relación entre fuerza y aceleración. También presenta la ley de gravitación universal de Newton.
El documento describe los conceptos básicos de la cinemática de los cuerpos rígidos. Explica que un cuerpo rígido mantiene fijas las distancias relativas entre sus partículas y tiene 6 grados de libertad. También define la velocidad angular de un cuerpo rígido y la relación entre la velocidad de un punto y la velocidad del centro de masas más la rotación. Por último, introduce el tensor de inercia para describir el movimiento de rotación.
En las ciencias de Ingeniería el papel de la Física es determinante en la generación y aplicación del conocimiento. Los desafíos actuales de la Ingeniería Química están íntimamente ligados al desarrollo de la ciencia básica y aplicada. La Mecánica Clásica o Mecánica de Newton como una rama de la Física tiene grandes aplicaciones en el diseño de procesos químicos así como en la comprensión de fenómenos de transporte.
El documento describe los conceptos fundamentales de la cinética de sólidos rígidos, incluyendo la segunda ley de Newton, cuerpos rígidos, centro de gravedad y ecuaciones de movimiento para traslación y rotación. Explica que la cinética de sólidos estudia las relaciones entre fuerzas, forma, masa y movimiento de un cuerpo rígido, usando las ecuaciones de la suma de fuerzas igual a la masa por aceleración y la suma de momentos igual al momento de inercia por aceleración angular. También presenta
Este documento presenta una justificación sobre el cálculo del momento de inercia y el centroide de una región plana. Explica que el momento de inercia depende de la masa, densidad y distancia al eje de giro, y cómo expresar esto en términos geométricos para resolver problemas. También deduce las fórmulas para calcular las coordenadas del centroide usando el principio de equilibrio de Arquímedes.
El documento discute los conceptos fundamentales de la teoría electromagnética en condiciones estáticas. Explica la ley de Coulomb, que cuantifica la fuerza entre cargas eléctricas puntuales. Define el campo eléctrico creado por un cuerpo cargado y presenta varios problemas para calcular fuerzas entre cargas usando la ley de Coulomb.
Este documento presenta dos ejemplos resueltos de ejercicios de dinámica que involucran fuerzas, masas y aceleraciones. El primer ejemplo determina la magnitud de la fuerza normal y la aceleración producida por una fuerza aplicada a un cuerpo colgado de una cuerda. El segundo ejemplo calcula la aceleración y tensión en una cuerda que une dos cuerdos de diferentes masas que se mueven desde el reposo. Ambos ejemplos utilizan el principio de Newton y diagrama de cuerpos libres para resolver el problema
1) Se determina la tensión de una cuerda que sostiene un bloque de 10 kg inclinado 300 sobre un plano, resolviendo las ecuaciones de la segunda ley de Newton.
2) Al romperse la cuerda, se calcula la aceleración del bloque usando también la segunda ley de Newton.
3) Se analizan cuatro figuras con masas unidas por cuerdas, resolviendo las ecuaciones para encontrar aceleraciones y tensiones.
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La estática estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a fuerzas. Para que un cuerpo esté en equilibrio, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero, al igual que la suma de todos los momentos en torno a un punto. Estas condiciones de equilibrio pueden resolverse mediante ecuaciones o gráficos.
La estática estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a fuerzas. Para que un cuerpo esté en equilibrio, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero, al igual que la suma de todos los momentos en torno a un punto. Estas condiciones se expresan mediante ecuaciones cuya resolución determina si el cuerpo está en equilibrio.
Este documento resume tres leyes de Newton y sus aplicaciones a la conservación de la cantidad de movimiento y la energía. Explica conceptos como la inercia, fuerzas, equilibrio y fricción, ilustrando estas ideas con ejemplos y ecuaciones. También incluye ejercicios resueltos sobre sumas vectoriales, diagramas de cuerpos libres y análisis de sistemas en equilibrio.
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Este documento describe los aspectos generales del movimiento periódico y oscilatorio, incluidos ejemplos comunes en la naturaleza como el movimiento de un péndulo o una masa sujeta a un resorte. Luego, se enfoca en describir el movimiento armónico simple (MAS), cuya característica fundamental es que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento. Finalmente, analiza la cinemática de un MAS, relacionando la posición, velocidad y aceleración a través de funciones coseno y seno
Este documento explica el movimiento armónico simple (MAS), que ocurre cuando un sistema en equilibrio es perturbado y oscila alrededor de su posición de equilibrio con una amplitud y frecuencia constante. Define las características del MAS como periodo, frecuencia, amplitud y ecuaciones para un muelle y péndulo. Proporciona ejemplos numéricos para calcular estas cantidades.
El documento describe seis principios fundamentales de la mecánica elemental basados en evidencia experimental: 1) la ley de paralelogramo para la adición de fuerzas, 2) el principio de transmisibilidad, y 3) las tres leyes de Newton, que describen el movimiento de los objetos y la relación entre fuerza y aceleración. También presenta la ley de gravitación universal de Newton.
El documento describe los conceptos básicos de la cinemática de los cuerpos rígidos. Explica que un cuerpo rígido mantiene fijas las distancias relativas entre sus partículas y tiene 6 grados de libertad. También define la velocidad angular de un cuerpo rígido y la relación entre la velocidad de un punto y la velocidad del centro de masas más la rotación. Por último, introduce el tensor de inercia para describir el movimiento de rotación.
En las ciencias de Ingeniería el papel de la Física es determinante en la generación y aplicación del conocimiento. Los desafíos actuales de la Ingeniería Química están íntimamente ligados al desarrollo de la ciencia básica y aplicada. La Mecánica Clásica o Mecánica de Newton como una rama de la Física tiene grandes aplicaciones en el diseño de procesos químicos así como en la comprensión de fenómenos de transporte.
El documento describe los conceptos fundamentales de la cinética de sólidos rígidos, incluyendo la segunda ley de Newton, cuerpos rígidos, centro de gravedad y ecuaciones de movimiento para traslación y rotación. Explica que la cinética de sólidos estudia las relaciones entre fuerzas, forma, masa y movimiento de un cuerpo rígido, usando las ecuaciones de la suma de fuerzas igual a la masa por aceleración y la suma de momentos igual al momento de inercia por aceleración angular. También presenta
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Similar a Informe_fProblama_de_tres_cuerpos.pdf (20)
Los enigmáticos priones en la naturales, características y ejemplosalexandrajunchaya3
Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
El documento publicado por el Dr. Gabriel Toro aborda los priones y las enfermedades relacionadas con estos agentes infecciosos. Los priones son proteínas mal plegadas que pueden inducir el plegamiento incorrecto de otras proteínas normales en el cerebro, llevando a enfermedades neurodegenerativas mortales. El Dr. Toro examina tanto la estructura y función de los priones como su capacidad para propagarse y causar enfermedades devastadoras como la enfermedad de Creutzfeldt-Jakob, la encefalopatía espongiforme bovina (conocida como "enfermedad de las vacas locas"), y el síndrome de Gerstmann-Sträussler-Scheinker. En el documento, se exploran los mecanismos moleculares detrás de la replicación de los priones, así como las implicaciones para la salud pública y la investigación en tratamientos potenciales. Además, el Dr. Toro analiza los desafíos y avances en el diagnóstico y manejo de estas enfermedades priónicas, destacando la necesidad de una mayor comprensión y desarrollo de terapias eficaces.
1. 1
Análisis Numérico – Catedrático Ing. Darwin Edisniel Quiroz Betanco
Investigación: Problema de los tres
Cuerpos
Kevin Pineda Pérez 20181030395, Gustavo Adolfo Midence Marcia 20111000567,
Luis Enrique Izaguirre Abrego. 20172034261, Kattia Gonzales Gálvez
20021003480
Resumen-Explicar el problema de dos cuerpos y tres cuerpos,
que tienes un sistema definido, básicamente es intentar
establecer sus trayectorias de cuerpos masivos, considere tres
partículas puntuales en el espacio que actúan sobre su propia
fuerza gravitacional de manera que 𝑀1 , 𝑀2 𝑦 𝑚 son
cuerpos no necesariamente al mismo nivel, se asume
encontrar sus trayectorias.
El uso de un modelo Matemático Numérico es una forma
práctica de visualizar los posibles escenarios que nos permitan
buscar soluciones.
Índice de Términos –Cuerpo, Sistema Ecuación
Diferencial, modelo matemático: Análisis Numérico.
I. INTRODUCCION
En la clase de Análisis numérico se brinda los conocimientos
necesarios para la construcción de modelos numéricos
matemáticos para tratar los problemas del mundo real, por
tal razón se nos asignó la investigación de los PROBLEMA
DOS CUERPOS Y DE TRES CUERPOS, para solucionar
este tipo de problemas se debe aplicar los procedimientos
matemáticos numérico adecuados que puedan dar respuesta
a la incógnita que se debe hacer cando se nos presente un
problema similar al antes mencionado.
II. DEDUCCIÓN DE ECUACIONES PARA DOS
CUERPO
LA TRAYECTORIA ENTRE CUERPOS
DEVIDA A LAS FURZAS
GRAVITACIONALES.
Dos partículas en el espacio 𝑀1 𝑦 𝑀2 tiene una relación
de fuerza que interactúan mutuamente se relaciona con la
fuerza F = m. a , de manera 𝑚 es la masa, 𝑎 es la
aceleración del cuerpo, lo importante es conocer la
posición respecto a la otra, no necesariamente del mismo
nivel, se asume encontrar su trayectoria.
Fig. 1 Diagrama de Dos cuerpos en el espacio.
Fig.2
Sea la sumatoria de fuerzas 𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 y que la
sumatorias de fuerzas es cero, y escoja los ejes X y Y como
en la figura, donde Y es la altura de 𝑀1 . X es considera
aquella parte del desplazamiento de 𝑀1 y así respectivamente
para 𝑀2 , y así determinar cualquier punto en las con
coordenadas (X, Y). Esta parte estará en equilibrio debido a
la fuerza gravitacional en 𝑀1 𝑦 𝑀2 . Sobre los cuerpos
actúan dos fuerzas: el peso de la masa 𝑀1 𝑦 𝑀2 y las
Fig.2
Fuerzas de atracción 𝑀1 𝑦 𝑀2 en los puntos de posición,
(𝑥, 𝑦) respectivamente. Si 𝐹1 es la fuerza ejercida del cuerpo
𝑀1 (expresada en masa por aceleración) y 𝑟 la longitud del
del segmento 𝑀1 𝑦 𝑀2 , entonces esa será su trayectoria. La
sumatoria de fuerzas 𝐹 se puede descomponer en las
direcciones horizontal y vertical, y las correspondientes
cantidades escalares son 𝐹1 𝑦 𝐹2 . Para el equilibrio, la suma
algebraica de las fuerzas en la dirección X (u horizontal) debe
ser igual a cero, y la suma algebraica de las fuerzas en la
dirección Y(o vertical) debe ser igual a cero. Otra manera de
2. 2 Ecuaciones diferenciales – Catedrático Ing. Darwin Edisniel Quiroz Betanco
decirlo es que la suma de las fuerzas hacia la derecha debe ser
igual a la suma de las fuerzas hacia la izquierda, y la suma de
fuerzas hacia arriba debe ser igual a la suma de las fuerzas
hacia abajo. Las fuerzas en la dirección X son 𝐹2𝑥 hacia la
izquierda y 𝐹1𝑥 hacia la derecha, mientras
que las fuerzas en la dirección Y
son hacia abajo y 𝐹1𝑦 𝑦 𝐹2𝑦 .
Utilizando la condición de equilibrio, realizamos la
sumatoria de fuerzas en la dirección horizontal y vertical
∑ 𝐹𝑥 = 0; F2x – F1x𝐶𝑜𝑠𝜃 = 0
F2x = F1x𝑐𝑜𝑠𝜃 (1)
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑑𝐹𝑣1
𝑑𝑡
∑ 𝐹𝑦 = 0; F2y𝑆𝑒𝑛𝜃 −F1y = 0
F2y𝑆𝑒𝑛𝜃 = F1y (2)
𝑆𝑒𝑛𝜃 =
𝑑𝐹𝑣2
𝑑𝑡
De manera que la fuerzas que interactúan sobre la masa
𝑀1 𝑦 𝑀2 Y utilizando la condición de equilibrio, realizamos
la sumatoria de fuerzas en la dirección horizontal y vertical.
𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 = 0 (3)
De manera que la fuerza es 𝐹 = 𝑚. 𝑎 remplazando
obtenemos.
𝐹1 =
𝑚1𝑑𝐹𝑣1
𝑑𝑡
𝑦 𝐹2 =
𝑚2𝑑𝐹𝑣2
𝑑𝑡
𝐹1
𝑚1
=
𝑑𝐹𝑣1
𝑑𝑡
,
𝐹2
𝑚2
=
𝑑𝐹𝑣2
𝑑𝑡
𝐹2
𝑚2
−
𝐹1
𝑚1
=
𝑑𝐹(𝐹𝑣1+𝐹𝑣2)
𝑑𝑡
De manera que la fuerza 𝐹𝑣1 + 𝐹𝑣2 es 𝐹12 obtenemos que
velocidad es aceleración es decir 𝐹12 lo podemos expresar
𝑎12
𝐹1
𝑚2
−
𝐹2
𝑚1
= 𝑎12
Y así mismo de la ecuación (3) es obtenemos que
𝐹2 = − 𝐹1 lo podemos expresar de la siguiente forma.
𝐹1
𝑚2
−
(− 𝐹1 )
𝑚1
= 𝑎12
𝐹1 (
1
𝑚1
+
1
𝑚2
) = 𝑎12
𝐹1 (
𝑚2 + 𝑚1
𝑚1𝑚2
) = 𝑎12
𝐹1(𝑚2 + 𝑚1) = 𝑎12𝑚1𝑚2
𝐹1 = (
𝑎12𝑚1𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
)
De manera que la aceleración 𝑎12 es constante la
podemos expresar como aceleración gravitacional 𝑔,
De manera similar 𝑚1 corresponde a la posición y el
vector representante descrito como 𝑚1 = (𝑥, 𝑦) de tal
manera que 𝑚2 = (𝑥, 𝑦) y realizando la suma de
componente a componente se determina.
𝐹1 = (
𝑔𝑚1𝑚2
𝑥2 + 𝑦2
)
De la misma manera para 𝐹2 tenemos la misma fuerza de
atracción de 𝑚2 .
𝐹2 = (
𝑔𝑚1𝑚2
𝑥2 + 𝑦2
)
La posición de las masas mediante (𝑥, 𝑦) quedando que la
distancia es 𝑟 lo podemos expresar 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 y
podemos expresar con el vector de dirección
𝑟1 = −
𝑥
√𝑥2+𝑦2
y 𝑟2 = −
𝑦
√𝑥2+𝑦2
De tal manera que el
vector unitario representante en esta dirección es.
(−
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2
, −
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
)
Así mismo las fuerzas 𝐹1 𝑦 𝐹2 en las correspondientes
posiciones (𝑥, 𝑦) por lo tanto las fuerzas sobre las masas, en
términos de sus componentes.
(𝐹𝑥 , 𝐹𝑦) = (−
𝑔𝑚1𝑚2
𝑥2 + 𝑦2
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2
, −
𝑔𝑚1𝑚2
𝑥2 + 𝑦2
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
, )
Al sustituir estas fuerzas en la ley del movimiento de
Newton 𝐹 = 𝑚
𝑑𝒗
𝑑𝑡
= 𝑚𝑎 se obtienen, las dos ecuaciones
de segundo orden.
𝑚1𝑥′′
= − (
𝑔𝑚1𝑚2𝑥
(𝑥2 + 𝑦2)3/2
)
𝑚1𝑦′′
= − (
𝑔𝑚1𝑚2𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)3/2
)
Al sustituir un cambio de variable 𝑣𝑥 = 𝑥′
y 𝑣𝑦 = 𝑦′
y sus
derivadas 𝑣𝑥
′
= 𝑥′′
y 𝑣𝑦
′
= 𝑦′′
nos permite que las dos
ecuaciones de segundo orden, se reduzcan a un sistema de
cuatro ecuaciones de primer orden.
𝑥′
= 𝑣𝑥
𝑣𝑥
′
= − (
𝑔𝑚2𝑥
(𝑥2 + 𝑦2)3/2
)
𝑦′
= 𝑣𝑦
𝑣𝑦
′
= − (
𝑔𝑚2𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)3/2
)
Esas ecuaciones de primer orden satisfacen para un cuerpo,
por lo que el problema de tres cuerpos restringido es un
sistema de 12 ecuaciones, 4 para cada cuerpo, así que las
ecuaciones del primer cuerpo son.
3. 3 Ecuaciones diferenciales – Catedrático Ing. Darwin Edisniel Quiroz Betanco
𝑥1
′
= 𝑣1𝑥
𝑣1𝑥
′
=
𝑔𝑚2(𝑥2− 𝑥1)
((𝑥2 + 𝑥1)2 + (𝑦2 + 𝑦1)2)3/2
+
𝑔𝑚3(𝑥3 − 𝑥1)
((𝑥3 + 𝑥1)2 + (𝑦3 + 𝑦1)2)3/2
𝑦1
′
= 𝑣1𝑦
𝑣1𝑦
′
=
𝑔𝑚2(𝑦2 − 𝑦1)
((𝑥2 + 𝑥1)2 + (𝑦2 + 𝑦1)2)3/2
+
𝑔𝑚3(𝑦3 − 𝑦1)
((𝑥3 + 𝑥1)2 + (𝑦3 + 𝑦1)2)3/2
Por lo que el sistema de ecuaciones de primer orden, nos
permite, asi para poder determinar la trayectoria y así poder
determinar donde se encuentra ese cuerpo respecto a la otra.
De igual manera los cuerpos Segundo y Tercero, en
(𝑥2 , 𝑦2) y (𝑥3 , 𝑦3) respectivamente, satisfacen las
Ecuaciones similares.
III. PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
MODELADOS DE TRAYECTORIAS CON
SISTEMA DE ECUACIONES
Las trayectorias de los dos cuerpos las cuales pueden ser:
circular, elíptica, parabólica, hiperbólica, y así poder
determinar donde se encuentra ese cuerpo respecto a la otra.
Fig. 3 Diagrama de trayectorias de Dos cuerpos.
4. 4 Ecuaciones diferenciales – Catedrático Ing. Darwin Edisniel Quiroz Betanco
IV. EXPERIMENTOS
I. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS.
A este problema también cele conoce como el problema de
Kepler en astronomía, siendo en esencia un problema de
mecánica celeste que busca, conocer las trayectorias de las
orbitas de dos objetos astronómicos, como estrellas,
planetas, hasta galaxias.
Para resolver este problema de dos cuerpos establecemos
las posiciones de ambos cuerpos, respectivamente sus
masas, y condiciones iniciales:
Cuerpo uno con una masa 𝑚1 = 0.3 y así mismo 𝑚2 = 0.3
Del cuerpo dos, de tal manera que la posición del cuerpo
uno es (𝑥1 , 𝑦1) = (2,2) y su condición inicial
(𝑥1
′
, 𝑦1
′) = (0 . 2, −0 . 2), y respectivamente las
componentes del cuerpo dos es (𝑥2 , 𝑦2) = (0,0) y su
condición inicial (𝑥2
′
, 𝑦2
′ ) = (−0 . 01 , 0 .01), de tal
manera lo resolvemos construyendo un programa que
obtengamos el resultado y grafique las trayectorias con las
respectivas condiciones dadas. Y así determinar su
trayectoria.
𝑚1(2,2)
(0 . 2, −0 . 2)
𝑚2(0,0)
(−0 . 01 , 0 . 01)
Fig. 4 Diagrama de sus componentes (𝑥, 𝑦) Dos cuerpos.
El programa que diseñamos calcula lo que se llama
Solución Numérica al problema, es decir una aproximación
de la realidad. Resultado del Problema de Dos Cuerpos.
Al compilar este programa en Octave GNU se obtuvo.
Fig. 5 Grafica. Para las condiciones iniciales de este
problema las masa 𝑚1 𝑦 𝑚2, En este problema se dice que
el sistema es estable.
II. PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS.
En esencia la pregunta tratar de responder el problema de los tres
cuerpos, de la misma, se quiere conocer la trayectoria de tres cuerpos
masivos que interactúan a través de la fuerza de gravedad lo que hace
interesante es que este problema no tiene solución analítica, es es decir
dadas cualquier condiciones iniciales no existe una ecuación implícita
que nos permita predecir las trayectorias que van a seguir los cuerpos.
Al añadir alguna condición adicional al problema se puede obtener
soluciones, implícitas para las trayectorias.
Este problema de tres cuerpos básicamente tiene un comportamiento
caótico, lo que quiere decir que es altamente sensible a las condiciones
iniciales.
Para resolver el problema de tres cuerpos, establecemos, las posiciones
de los cuerpos con condiciones iniciales y sus respectivas masas, asi
mismo el cuerpo uno con masa 𝑚1 = 0.3 y el cuerpo dos, tres con
masas iguales 𝑚2 = 𝑚3 = 0.03, de tal manera que la posición del
cuerpo uno es (𝑥1 , 𝑦1) = (2,2) con su velocidad inicial
(𝑥1
′
, 𝑦1
′) = (0 . 2, −0 . 2), respectivamente el cuerpo dos con
posición (𝑥2 , 𝑦2) = (0,0) y su velocidad inicial
(𝑥2
′
, 𝑦2
′ ) = ( 0 , 0 ), y el cuerpo tres con su posición (𝑥3 , 𝑦3) =
(−2, −2) su velocidad inicial (𝑥3
′
, 𝑦3
′ ) = (−0 . 2 , 0 .2), de la
misma forma es construir un programa que calcula la solución
numérica al problema y que obtenga el resultado y grafique las
trayectorias con condiciones iniciales.
𝑚1(2,2)
(0 . 2, −0 . 2)
𝑚2(0,0)
(0 , 0 )
𝑚3(−2, −2)
(−0 . 2 , 0 . 2)
Fig. 6 Diagrama de sus componentes (𝑥, 𝑦) Tres cuerpos.
El programa que diseñamos calcula lo que se llama Solución
Numérica al problema, es decir una aproximación de la realidad.
Resultado del Problema de Tres Cuerpos.
5. 5 Ecuaciones diferenciales – Catedrático Ing. Darwin Edisniel Quiroz Betanco
Al compilar este programa en Octave GNU se obtuvo.
Fig. 7 Grafica. Para las condiciones iniciales de este
problema las masa 𝑚3 se comporta como un cometa
alrededor de las masas 𝑚1 𝑦 𝑚2, En este problema se dice
que el sistema es estable.
Fig. 8 Grafica. Para este ejemplo, se utilizó la posición
(32,0.5) y la velocidad inicial(−0.35,1.4) y un paso
ℎ = 0.05..
Comparando la Fig(7) y Fig(8) las trayectorias resultantes, es un
claro ejemplo visual de la dependencia sensible de las condiciones
iniciales.
III. COMPARACION ENTRE LOS DOS PROBLEMAS.
Veamos que el problema de los dos cuerpos y tres cuerpos difieren
en dos puntos importantes.
1. EL problema de los dos cuerpos tiene una solución analítica,
explicita que sirve en todos los casos y es estable, mientras que
el problema de tres cuerpos no tiene y por ello tenemos que
recurrir a casos especiales propuestos por Euler y Lagrange
Que son los casos que tiene una misma línea o ayudarnos con
herramientas computacionales. Comparación entre los dos
problemas
2. El problema de los tres cuerpos es caótico las trayectorias de
los cuerpos varían considerable, dependiendo de sus
condiciones iniciales y posición iniciales.
VI. CONCLUSIONES
1) Las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento
de la 𝑚3, conforma un sistema el cual se conserva la energía, es
decir es un sistema conservativo.
2) El comportamiento de los dos cuerpos tiene solución
analítica, que sirve para en todos los casos, además puede modelarse
fácilmente con sistemas ecuaciones diferenciales, lineales o no
lineales, así como la mayoría de los problemas de la física.
3) La aproximación numérica del Método de Runge Kutta es
suficiente para lograr un desarrollo de las trayectorias que no
difieran, considerablemente de las trayectorias reales.
4) Los métodos numéricos resultan ser muy útiles para la
resolución de sistemas ecuaciones diferenciales cuando lo que se
busca es analizar paso a paso lo que sucede con el problema
planteado.
5) El manejo de software matemático para visualizar los
distintos escenarios ha demostrado ser esencial en la vida de un
estudiante de ingeniería.
VII. ANEXOS
SOLUCION NUMERICA PROBLEMA DE DOS CUERPOS.
# valores de referencia en el programa Octave GNU.
h=0.05;x0=11.6; y0=0.5; u0=-0.8; v0=0.9;
m2=2.8985e+015; m1=2.2489e+015; a=20; t0=0; t=t0+h;
hold on;
%h=0.05; x0=11.4; y0=1.4; u0=-1.2; v0=-1.2;
%h=0.05; x0=11.4; y0=1.4; u0=-0.5 v0=-1.2;
%h=0.005; x0=32; y0=0.5; u0=-1.6; v0=0.6; %resulta un movimiento de
%cuasicometa
%h=0.05; x0=32; y0=0.5; u0=-1.67; v0=0.6;
%h=0.05; x0=-20; y0=0.5; u0=0.0; v0=1.4;
%h=0.5; x0=-20; y0=0.5; u0=0.0; v0=1.55; %resulta un movimiento de
cometa
%h=0.05; x0=32; y0=0.5; u0=-1.4; v0=1.2;
%h=0.05; x0=32; y0=0.5; u0=-1.35; v0=1.4;
%h=0.05; x0=32; y0=0.5; u0=-1.53; v0=1.4;
%h=0.05; x0=32; y0=0.5; u0=-1.6; v0=1.4;
plot(0,0,'*r'); plot(20,0,'*r'); plot(x0,y0,'+g');
for i=1:100000,
t=t+h;
k1=h*campovectorial(x0,y0,u0,v0,m1,m2,a);
k2=h*campovectorial(x0+k1(1)/2,y0+k1(2)/2,u0+k1(3)/2,v0+k1(4)/2,m1,
m2,
a);
k3=h*campovectorial(x0+k2(1)/2,y0+k2(2)/2,u0+k2(3)/2,v0+k2(4)/2,m1,
m2,
a);
k4=h*campovectorial(x0+k3(1),y0+k3(2),u0+k3(3),v0+k3(4),m1,m2,a);
x0=x0+(k1(1)+2*k2(1)+2*k3(1)+k4(1))/6;
y0=y0+(k1(2)+2*k2(2)+2*k3(2)+k4(2))/6;
u0=u0+(k1(3)+2*k2(3)+2*k3(3)+k4(3))/6;
v0=v0+(k1(4)+2*k2(4)+2*k3(4)+k4(4))/6;
plot(x0,y0,'.b');
6. 6 Ecuaciones diferenciales – Catedrático Ing. Darwin Edisniel Quiroz Betanco
end
Función de las Ecuaciones de 2 cuerpos.
function a = campovectorial (x,y,u,v,m1,m2,d)
G=0.00000000000000667;
f1=u;
f2=v;
f3=G*(-(m1*x)/((x^2+y^2)^(3/2))+(m2*(d-x))/(((d-
x)^2+y^2)^(3/2)));
f4=-G*((m1*y)/((x^2+y^2)^(3/2))+(m2*y)/(((d-x)^2+y^2)^(3/2)));
a=[f1,f2,f3,f4];
endfunction
Funciones en componente vectorial.
# valores de referencia.
#Problema de los dos cuerpos
# con las condiciones iniciales siguientes
clear all ##para que selinpie la pantalla y las variables ##
global g m1 m2 d
g=1;#gravedad#
m1=0.3;#masa1= cuerpo 1#
m2=0.03;#masa2=cuerpo 2#
d=20.0;
x1=2;y1=2;#posicion inicial del cuerpo 1#
x2=0;y2=0;#posicion inicial del cuerpo 2#
u1=0.2; v1=-0.2;#velocidad o condicion inicial cuerpo 1#
u2=-0.01;v2=0.01;#velocidad o condicion inicial cuerpo 1#
a=0.0;b=100.0;N=100; # a <=t<= b; N=numero de iteraciones #
ya=[x1,y1,x2,y2,u1,v1,u2,v2];
f=@(t,y) F2_cuerpos (t,y );
[vt,mw]= RK4_sistema_para_2_cuerpos(a,b,N,ya,f);
%prompt=' t_i , w_1, w_2, w_3, w_4, w_5, w_6, w_7,
w_8 ';
%input(prompt);
[vt,mw]
plot(x1,y1,'*r'); plot(20,0,'*r'); plot(x2,y2,'+g')
plot(vt,mw,'.b');
%plot3(mw(:,1),mw(:,2),mw(:,3),mw(:,4),mw(:,5),mw(:,6),mw(:,7),
mw(:,8))
Función de Ecuaciones Diferenciales.
#Funcion#
#Sistema de Ecuaciones Diferenciales#
function e = F2_cuerpos (t, w)
global g m1 m2 d
e=[w(5),...
w(6),...
((-g).*m1.*(w(1)))/(((w(1)).^2+(w(2)).^2).^(3.0/2.0))+(m2.(d-
w(1)))/(((d-w(1)).^(2)+(w(2)).^(2)).^(3.0/2.0)),...
((-
g).*m1.*(w(2)))/(((w(1)).^2+(w(2)).^2).^(3.0/2.0))+(m2.(w(2)))/(((
d-w(1)).^(2)+(w(2)).^(2)).^(3.0/2.0)) ];
endfunction
Función del Método Runge Kutta.
#Funcion de Metodo Runge-Kutta orden 4 Para #
# El Sistema de Ecuaciones Diferenciales #
function [vt,mw]= RK4_sistema_para_2_cuerpos (a,b,N,ya,Fv)
h=(b - a)/N;
nvar=length(ya);
vt=zeros(N+1,1);%% vector es vt = vector t_i%%
mw=zeros(N+1,nvar);%% vector es vw = vector w_i%%
vt(1)=a; %% es t=a en la picicion 1 del vector%%
mw(1,:)=ya;%% es w=ya(es la condicion inicial) en la pocicion 1 %%
for i=1:1:N
k1=h*Fv(vt(i),mw(i,:));
k2=h*Fv(vt(i)+(h/2.0),mw(i,:)+(k1/2.0));
k3=h*Fv(vt(i)+(h/2.0),mw(i,:)+(k2/2.0));
k4=h*Fv(vt(i)+h,mw(i,:)+k3);
mw(i+1,:)= mw(i,:)+(k1+2*(k2)+2*(k3)+k4)*(1/6);
vt(i+1)=a+i*h;
endfor
endfunction
SOLUCION NUMERICA PROBLEMA DE TRES CUERPOS.
# valores de referencia.
#Problema de los tres cuerpos
# con las condiciones iniciales siguientes
clear all ##para que selinpie la pantalla y las variables ##
global g m1 m2 m3 p
m1=0.3;#masa1= cuerpo 1#
m2=0.03;#masa1= cuerpo 2#
m3=0.03;#masa1= cuerpo 3#
x1=11.6;y1=0.5;#posicion inicial del cuerpo 1#
u1=-0.8; v1=0.9;#velocidad o condicion inicial cuerpo 1#
x2=0;y2=0;#posicion inicial del cuerpo 2#
%u2=0;v2=0;#velocidad o condicion inicial cuerpo 2#
%x3=-2;y3=-2;#posicion inicial del cuerpo 3#
%u3=-0.2;v3=0.2;#velocidad o condicion inicial cuerpo 3#
g=0.00000000000000667;#gravedad#
p=20;
a=0.0;b=100.0;N=100; # a <=t<= b; N=numero de iteraciones #
ya=[x1,y1,u1,v1];
f=@(t,y) F3_cuerpos(t,y) ;
[vt,mw]= RK4_sistema(a,b,N,ya,f);
[vt,mw]
%plot3(mw(:,1),mw(:,2),mw(:,3),mw(:,4),mw(:,5),mw(:,6),mw(:,7),mw(:,
8),mw(:,9),mw(:,10),mw(:,11),mw(:,12))
#title('ploblema Tres cuerpos . experimento a) 3d')
%[vt,mw]
plot(x1,y1,'*r'); plot(20,0,'*r'); plot(x2,y2,'+g')
plot(vt,mw,'.b');
%xlabel('t')
7. 7 Ecuaciones diferenciales – Catedrático Ing. Darwin Edisniel Quiroz Betanco
%ylabel('x')
Función Ecuaciones Diferenciales.
#Funcion#
#Sistema de Ecuaciones Diferenciales#
function e = F3_cuerpos (t, w)
global g m1 m2 m3 p
e=[w(3),...
w(4),...
(-g.*m1.*(w(1)))/((w(1)).^2+(w(2)).^2).^(3.0/2.0)+(m2.*(p-
w(1)))/((p-w(1)).^2+(w(2)).^2).^(3.0/2.0),...
(-
g.*m1.*(w(2)))/((w(1)).^2+(w(2)).^2).^(3.0/2.0)+(m2.*(w(2)))/((p-
w(1)).^2+(w(2)).^2).^(3.0/2.0)];
endfunction
Función del Método Runge Kutta.
#Funcion de Metodo Runge-Kutta orden 4 Para #
# El Sistema de Ecuaciones Diferenciales #
function [vt,mw]= RK4_sistema (a,b,N,ya,Fv)
h=(b - a)/N;
nvar=length(ya);
vt=zeros(N+1,1);%% vector es vt = vector t_i%%
mw=zeros(N+1,nvar);%% vector es vw = vector w_i%%
vt(1)=a; %% es t=a en la picicion 1 del vector%%
mw(1,:)=ya;%% es w=ya(es la condicion inicial) en la pocicion 1
%%
for i=1:1:N
k1=h*Fv(vt(i),mw(i,:));
k2=h*Fv(vt(i)+(h/2.0),mw(i,:)+(k1/2.0));
k3=h*Fv(vt(i)+(h/2.0),mw(i,:)+(k2/2.0));
k4=h*Fv(vt(i)+h,mw(i,:)+k3);
mw(i+1,:)= mw(i,:)+(k1+2*(k2)+2*(k3)+k4)*(1/6);
vt(i+1)=a+i*h;
endfor
endfunction
VIII. REFERENCIAS
[1] Ecuciones Diferenciales con aplicaciones de modelado
[Libro] / aut. Zill Dennis y Wright Warren / - [s.2.] :
Referencia: Sauer, T. (2013) An´alisis num´erico (2da.
Edici´on), M´exico: Pearson Educaci´on, p´agina 309. Learning,
2009. - Novena Edicion : pág. 650.[2] Ingenieria Mecanica [Libro]
/ aut. Hibbeler R.C. / ed. Cruz. - [s.l.] : PEARSON EDUCACION,:
pág. 672. - Seccion 7.4 ,pag. 368-375. - Estatica. años. Ing
Estática, 1a., 2009, pp. 59-61. el 2018, a la carrera de matemáticas