El documento explica los conceptos de equilibrio estático y dinámico, así como las condiciones para que ocurra el equilibrio estático. Define el centro de gravedad y el centro de masa, y explica que coinciden cuando el campo gravitatorio es uniforme. También introduce el concepto de momento de inercia y cómo se relaciona con la resistencia a la flexión de los elementos estructurales. Finalmente, presenta fórmulas para calcular el momento de inercia de diferentes cuerpos como varillas, discos y cilindros.

1. Ecuaciones de Equilibrio
EQUILIBRIO ESTÁTICO: El concepto de equilibrio, se aplica tanto para cuerpos en
reposo respecto de un sistema de referencia o para cuerpos cuyo centro de masa
se mueve con velocidad constante, si el cuerpo está en reposo, entonces se dice
que el equilibrio es estático y si el centro de masa se mueve con velocidad
constante, se habla de un equilibrio dinámico.
CONDICIONES DE EQUILIBRIO ESTATICO:
Un cuerpo que está en reposo y permanece en ese estado se dice que se encuentra
en equilibrio estático, una condición necesaria para que se dé esta situación es
que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo sea nula, del mismo modo, el
centro de masa de un cuerpo rígido permanece en reposo si la fuerza resultante
que actúa sobre el cuerpo es cero, sin embargo, aunque su centro de masa se
encuentra en reposo, el cuerpo puede girar, si esto sucede, el cuerpo no está en
equilibrio estático, por lo tanto, para que se dé la condición de equilibrio estático,
debe cumplirse además que el momento resultante que actúa sobre el cuerpo debe
ser cero respecto de cualquier punto, por lo tanto para que el equilibrio sea estático
se debe cumplir:
La fuerza externa resultante que actúa sobre el cuerpo debe ser nula
El momento externo resultante respecto a un punto cualquiera debe ser nulo.
EQUILIBRIO
Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio estático cuando permanece en
estado de reposo ante la acción de unas fuerzas externas.
El equilibrio estático se aplica a el cuerpo en sí como a cada una de las partes.
Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio dinámico cuando responde con
un movimiento o vibración (aceleración) controlada de sus partes (deformación) mas
no de sus soportes, ante la acción de las cargas generadas por sismo, viento,
motores y en general aquellas excitaciones dinámicas producidas por la carga viva.
2.2 Ecuaciones básicas de equilibrio
Las ecuaciones que describen el equilibrio estático son planteadas en la primera
ley de Newton y controlan los movimientos del cuerpo en traslación y rotación.

2. y
Dos ecuaciones vectoriales que se convierten en seis ecuaciones escalares, tres
de traslación y tres de rotación.
, estas tres corresponden a tres posibles formas
de desplazamiento, es decir, tres grados de libertad del cuerpo y
corresponden a tres grados de libertad de
rotación.
En total representan seis formas de moverse, seis grados de libertad para todo
cuerpo en el espacio.
Para estructuras planas basta con plantear tres ecuaciones que representen los
tres grados de libertad del cuerpo, dos desplazamientos y una rotación:
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE: Procedimiento grafico que consiste en aislar un
cuerpo sobre e actúan las fuerzas externas, ocasionadas por tener contacto con
otros cuerpo o por la atracción gravitacional.
En estos diagramas, se escoge un objeto o cuerpo y se aisla, reemplazando las
cuerdas, superficies u otros elementos por fuerzas representadas por flechas que
indican sus respectivas direcciones. Por supuesto, también debe representarse la
fuerza de gravedad y las fuerzas de friccion. Si intervienen varios cuerpos, se
hace un diagrama de cada uno de ellos, por separado.
CENTRO DE GRAVEDAD: Si se considera un cuerpo dividido en muchas partes
pequeñas, que se pueden considerar como partículas, el peso de cada una de ellas
es wi y el peso total del cuerpo será 𝑤 = ∑ 𝑤𝑖𝑖 .

3. Se puede imaginar este peso total concentrado en un solo punto del cuerpo, tal que
si se soportara en ese punto, se encontraría en equilibrio estático, ese punto se
denomina centro de gravedad, definido de modo que el momento producido por w
respecto a cualquier punto es lo mismo que el producido por el peso de todas las
partículas que constituyen dicho cuerpo, por lo tanto:
𝑋 𝐶𝑔 𝑤 = ∑ 𝑤𝑖 𝑥𝑖
𝑖
donde X Cg es la coordenada x del centro de gravedad relativa a cualquier origen
O. Si la aceleración de gravedad no varía en los distintos puntos del cuerpo (como
ocurre casi siempre, el centro de gravedad coincide con el centro de masa, es decir,
cuando el campo gravitatorio es uniforme, entonces el centro de gravedad coincide
con el centro de masa.
CENTRODE MASA: Es un punto que se comporta como si toda la masa del sistema
estuviese concentrada en él y las fuerzas externas que actúan sobre el sistema se
aplicaran exclusivamente sobre dicho punto.
- La posición del centro de masa de un conjunto de partículas i m ubicadas en
posiciones i r� , se
define como:
Definición Ampliada
El Momento de Inercia también denominado Segundo Momento de Área;
Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad
geométrica de la sección transversal de los elementos estructurales.
Inercia
La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su
movimiento, ya sea en dirección o velocidad.
Esta propiedad se describe claramente en la Primera Ley del Movimiento de
Newton, que postula:
“Un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento
tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una
fuerza externa”.
Inercia a la Rotación

4. Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la
rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección
de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su
Momento de Inercia, siendo ésta ‘’la resistencia que un cuerpo en rotación opone
al cambio de su velocidad de giro’’.
Momento de Inercia. Ejemplo-
El momento de inercia realiza en la rotación un papel similar al de la masa en el
movimiento lineal. Por ejemplo, si con una honda se lanza una piedra pequeña y
una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará
mucho más que la grande.
El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que es aplicable
a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto
a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en linea recta a la misma
velocidad.
La inercia puede interpretarse como una nueva definición de masa. El momento de
inercia es, pues, masa rotacional y depende de la distribución de masa en un objeto.
Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor es el
momento de inercia.
El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas
producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este
valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto
con las propiedades de dicho material.
Se calcula:
Momento de inercia de una distribución de masas puntuales
Tenemos que calcular la cantidad
donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5
masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los
extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje
perpendicular a la varilla que pasa a través de

5.  Un extremo
 De la segunda masa
 Del centro de masa
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular
a la varilla y que pasa por la primera partícula es
IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular
a la varilla y que pasa por la segunda partícula es
IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular
a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de
masas) es
IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2
En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos
de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular
IA e IB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.
La fórmula que tenemos que aplicar es
I=IC+Md2
 IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el
centro de masa
 I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior
 M es la masa total del sistema
 d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.
IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
Momento de inercia de una distribución continua de masa
Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de
masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

6. dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías
 Aplicación directa del concepto de momento de inercia
 Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido
Momento de inercia de una varilla
Vamos a calcular el momento de inercia de
una varilla de masa M y longitud L respecto de
un eje perpendicular a la varilla que pasa por
el centro de masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es
El momento de inercia de la varilla es
Aplicando el teorema de Steiner, podemos
calcular el momento de inercia de la varilla
respecto de un eje perpendicular a la misma que
pasa por uno de sus extremos.
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto
de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

7. Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un
anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se
x y anchura dx, cuya masa es
El momento de inercia del disco es
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud
L respecto de su eje.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una
capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se
muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

8. El momento de inercia del cilindro e
Momento de inercia de una placa rectangular
Vamos a calcular el momento de inercia de una placa
rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del
eje que pasa por la placa.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de
rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de
anchura dx. La masa de este rectángulo es
El momento de inercia de la placa rectangular es