Este documento presenta un trabajo grupal sobre series de Fourier. Incluye un marco teórico sobre conceptos como la segunda ley de Newton, el principio de D'Alembert, la ley de Hooke para resortes, la ley de los amortiguadores y sistemas masa-resorte-amortiguador. Luego presenta un problema para ser resuelto y comentarios finales.

1. Carrera:
Ingeniería en Mecatrónica
Materia:
Ecuaciones Diferenciales
Actividad:
Trabajo grupal
Unidad 6:
Series de Fourier.
Equipo 2:
Andrade Lira Carlos Manuel 18130971
Arreola Favela Ángel Alejandro 18130973
Govea García María Fernanda 18131009
Silva Emiliano Rodolfo Jesús 18131072
Catedrático:
J. Agustín Flores Ávila
Lugar y Fecha:
Torreón, Coahuila a 12 de junio de 2020

2. Índice
Prólogo............................................................................................................................3
Marco teórico ..................................................................................................................4
Segunda Ley de Newton..............................................................................................4
Principio de D’Alembert................................................................................................5
Ley de Hooke para resortes.........................................................................................6
Ley de los amortiguadores...........................................................................................7
Sistema masa-resorte-amortiguador ............................................................................8
Series de Fourier .........................................................................................................9
Planteamiento del problema..........................................................................................11
Problema.......................................................................................................................12
Comentarios finales.......................................................................................................21
Referencias bibliográficas .............................................................................................22

3. Prólogo
A raíz de análisis anteriores, se puede notar que la transformada de Laplace por sí sola
llega a ser ineficiente al momento de trabajar con funciones periódicas. Por lo cual, se
tienen que tomar en cuenta algunas estrategias distintas para poder dar solución a este
tipo de ejercicios.
Este trabajo presenta una de las posibles estrategias aplicables al momento de
encontrarse frente a estos problemas. A través del estudio, análisis y comprensión de la
Transformada de Laplace por sí misma (lo realizado unidad 4) es como se desarrollará
este trabajo.
Dicho documento está fundamentado en los siguientes puntos
1. Comprensión y aplicación de los conceptos matemáticos estudiados a lo largo del
curso.
2. La investigación de las bases teóricas Físicas y Matemáticas, que serán
fundamentales para resolver un problema.
3. La resolución matemática de un problema dado, además de la interpretación de
los resultados.
4. Comparar los comportamientos y, basado en esto, obtener conclusiones que nos
sean de utilidad.
A continuación, se presentará el trabajo, comenzando con las bases teóricas - Físicas y
Matemáticas - que hacen posible el desarrollo de la estrategia antes mencionada.

4. Marco teórico
Segunda Ley de Newton
La segunda ley de Newton o principio fundamental establece que la rapidez con la que
cambia el momento lineal (la intensidad de su cambio) es igual a la resultante de las
fuerzas que actúan sobre él:
Un ejemplo de aplicación de la segunda ley de Newton sería cuando empujas un objeto,
por ejemplo, una caja, aplicando una fuerza sobre él de manera sostenida, se produce
un incremento de su momento lineal. Se debe tener presente que siempre que la masa a
la que aplicas la fuerza se mantenga constante, el aumento del momento lineal se
traducirá en un incremento de su velocidad, pues p=m·v.
En la expresión anterior estamos dando por sentado que la fuerza total es constante en
el intervalo Δt. En caso de no serlo, la expresión anterior nos proporcionará una fuerza
total promedio. Por norma general, las fuerzas no suelen ser iguales durante todo el
intervalo de tiempo, por lo que nos resultará de utilidad una ecuación que nos determine
la fuerza en un instante concreto de tiempo.
Podemos obtener la fuerza instantánea total calculando la fuerza entre dos instantes de
tiempo tan próximos que su intervalo tiende a 0. Es justamente la definición de la derivada
y se trata del mismo proceso que seguíamos en el caso de la velocidad instantánea o la
aceleración instantánea:
Si un cuerpo durante una interacción no cambia el valor de su masa, se obtiene la famosa
ecuación que estudiamos en el nivel anterior: F = m · a
A la expresión anterior se la conoce como ecuación fundamental de la dinámica de
traslación.
Como información que nos será de utilidad más adelante, recordemos que la aceleración
es igual a la derivada de la velocidad con respecto al tiempo o es igual a la segunda
derivada de la posición con respecto al tiempo.

5. Principio de D’Alembert
Este principio establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo
y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este
equilibrio se le denomina equilibrio dinámico.
Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo:
Pi. Cantidad de movimiento de la partícula i-ésima
Fi. Fuerza externa sobre la partícula i-ésima
Ri. Cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de
partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimientos existentes.
El principio de d’Alembert es realmente una generalización de la segunda ley de Newton
de una forma aplicable o sistemas con ligaduras, ya que incorpora el hecho de que las
fuerzas de ligaduras no realizan trabajo en un movimiento compatible. Por otra parte el
principio equivale a las ecuaciones de Euler-Lagrange.
En consecuencia, el principio de D’Alembert (1.94) debe considerarse como un principio
básico de la dinámica, alternativo a las leyes de Newton y a los principios de Newton-
Euler para dinámica de sistemas. Como caso particular, el Principio de D’Alembert da
lugar al Principio de los Trabajos Virtuales.
Al igual que en el principio de los trabajos virtuales, el principio de D’Alembert permite
expresar la dinámica global del sistema en forma compacta, eliminando las fuerzas de
reacción de los enlaces lisos. Cuando lo que se busca es precisamente calcular el valor
de alguna reacción, es posible realizarlo mediante trabajos virtuales empleando un truco.
Para ello, se considera este vínculo «liberado» y la fuerza de reacción como una fuerza
activa normal, que tendría el efecto precisamente del vínculo. esto nos permite tomar δri
vulnerando el vínculo. De esta manera, la reacción correspondiente sí realiza trabajo
virtual, y la expresión de los trabajos virtuales ó permite calcular al final dicha reacción.
La importancia de los métodos basados en los trabajos virtuales radica en que permiten
obtener formulaciones prácticas muy generales para la estática o la dinámica de sistemas
con varias partículas. Asimismo son la base de métodos numéricos, muy extendidos en
la práctica, para la resolución de problemas con numerosos grados de libertad, como el
método de los elementos finitos. Estos métodos son de una gran importancia en la
mecánica computacional y en el cálculo de las estructuras.

6. Ley de Hooke para resortes
Un resorte es un objeto que puede ser deformado por una fuerza y volver a su forma
original en la ausencia de esta.
En el siglo XVII, al estudiar los resortes y la elasticidad, el físico Robert Hooke observó
que para muchos materiales la curva de esfuerzo vs. deformación tiene una región lineal.
Dentro de ciertos límites, la fuerza requerida para estirar un objeto elástico, como un
resorte de metal, es directamente proporcional a la extensión del resorte. A esto se le
conoce como la ley de Hooke, y comúnmente la escribimos así:
F=−kx
Donde F es la fuerza, x la longitud de la extensión o compresión, según el caso, y k es
una constante de proporcionalidad conocida como constante de resorte, que
generalmente está en N/m.
Aunque aquí no hemos establecido explícitamente la dirección de la fuerza,
habitualmente se le pone un signo negativo. Esto es para indicar que la fuerza de
restauración debida al resorte está en dirección opuesta a la fuerza que causó el
desplazamiento. Jalar un resorte hacia abajo hará que se estire hacia abajo, lo que a su
vez resultará en una fuerza hacia arriba debida al resorte.
Al abordar problemas de mecánica que implican elasticidad, siempre es importante
asegurarnos de que la dirección de la fuerza de restauración sea consistente. En
problemas simples a menudo podemos interpretar la extensión xxx como un vector
unidimensional. En este caso, la fuerza resultante también será un vector de una
dimensión, y el signo negativo en la ley de Hooke le dará la dirección correcta.
Cuando calculemos x es importante recordar que el resorte rambien tiene una longitud
inicial Lo. La longitud total L del resorte extendido es igual a la longitud original más la
extensión, L=Lo + x. Para un resorte bajo compresión sería L=Lo-x.

7. Ley de los amortiguadores
El amortiguamiento se define como la capacidad de un sistema o cuerpo para disipar
energía cinética en otro tipo de energía. Típicamente los amortiguadores disipan la
energía cinética en energía térmica y/o en energía plástica.
Un sistema mecánico que posea masa y elasticidad tendrá una frecuencia natural y
además la particularidad de llegar a vibrar; si se le proporciona energía al sistema este
tendrá que vibrar, o si una fuerza externa actúa en el sistema con cierta frecuencia, el
sistema podría entrar en un estado de resonancia y esto a su vez significaría una
condición de alta vibración y el sistema se vuelve inestable y dispuesto a fallar. En todo
esto se fundamenta la importancia del estudio del amortiguamiento, principalmente en
ingeniería.
Hay dos movimientos amortiguados, que uno es el sobre amortiguado y el otro es el
amortiguado crítico.
Fuerza de amortiguación:
Existen diversas modelizaciones de amortiguamiento, el más simple de ellos consta de
una partícula o masa concentrada, que va perdiendo velocidad bajo la acción de una
fuerza de amortiguamiento proporcional a su velocidad.
Un amortiguador es un dispositivo construido de materiales resistentes que tiene como
objetivo atenuar rápidamente las oscilaciones del vehículo, disminuyendo la variación de
carga dinámica evitando que las ruedas reboten sobre el suelo. Es decir, su función es
mantener las ruedas en contacto con el piso. Un amortiguador como tal consta de un
muelle un tubo de reserva, un tubo de presión, una válvula, un pistón y la cabeza del
pistón.

8. Sistema masa-resorte-amortiguador
Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es básicamente una expresión
matemática asociada a un problema en el que está presente el cambio y en el cual, el
grado máximo de uno de sus términos es 2, ósea la segunda derivada.
Dado el enfoque ingenieril que se ha tomado a lo largo del curso de ecuaciones
diferenciales, asociamos este tipo de ecuaciones a problemas matemáticos
traslacionales.
Posiblemente el ejemplo más característico de fenómeno físico cuya modelización
conduce a una ecuación lineal de segundo orden es el movimiento amortiguado de una
masa m debido al movimiento de un resorte y la oposición de un amortiguador. Este tipo
de sistemas es conocido como: Sistema masa-resorte-amortiguador (mkd), el cual
está definido por lo siguiente:
Para todo modelo matemático se deben tener leyes que fundamenten el análisis de dicho
modelo. En este sentido y a manera general, el sistema mkd se fundamenta en el
principio de D´ Alembert, que nos dice:
“En un sistema mecánico traslacional, la fuerza externa aplicada se distribuye entre
cada uno de sus componentes según su propia ley” por lo tanto:
𝐹𝑠 = 𝐹 𝑚+ 𝐹𝐾 + 𝐹𝐷
Que podemos entender como: “La fuerza en el sistema es igual a la suma de las fuerzas
en cada uno de sus componentes, en este caso, es igual a la suma de la fuerza en la
masa más la fuerza en el resorte más la fuerza en el amortiguador.”
Cada elemento se comporta según su propia ley, por lo tanto, podemos establecer la
fuerza que ejerce la masa en función de la segunda ley de Newton; así Fm=ma, de igual
forma con el resorte, donde la fuerza en el resorte es igual a la constante K del resorte
multiplicado por la elongación que sufre (Fk=Kx) y para el amortiguador, la ley de los
amortiguadores nos dice que la fuerza aplicada es proporcional a la velocidad con la que
se desplaza el amortiguador ( FD=Dv), por lo que obtenemos:
𝐹𝑠 = 𝑚𝑎 + 𝐷𝑣 + 𝐾𝑥
Sabemos que la aceleración es la segunda derivada de la posición y la velocidad la
primera derivada, en base a esto podemos dejar todo en función de la posición x:
𝐹𝑆 = 𝑚𝑥" + 𝐷𝑥′ + 𝐾𝑥
donde:
Fs= Fuerza total en el sistema
mx”= Masa m por la segunda derivada de la posición (masa por aceleración)
Dx’= Constante del amortiguador por la primera derivada de la posición (D por velocidad)
Kx= Constante K del resorte por la posición (K por x).

9. Series de Fourier
Uno de los tipos de series utilizadas para aproximar el valor de ciertas funciones en
cualquier punto de su dominio de definición, son las llamadas Series Trigonométricas.
Como su nombre lo indica, son sumas infinitas cuyos sumandos son funciones
trigonométricas (generalmente seno y/o coseno) con frecuencia variable y que obedecen
a alguna ley de formación. La expresión general de tales series es:
Con.
Las series trigonométricas se clasifican según el procedimiento que se siga para
determinar los coeficientes.
Una clase particular de Serie Trigonométrica es la Serie de Fourier, cuyos coeficientes
se calculan mediante las expresiones:
Reciben este nombre dado en honor del célebre matemático francés Joseph Fourier
(1768-1830) que las desarrolló al estudiar el problema de la trasmisión del calor a través
de un sólido homogéneo; esta serie toma la forma:
En estas expresiones la función f(t) es una función periódica con periodo T finito definida
en todos los reales y que, como ya sabemos, satisface la condición:
𝑓( 𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑛𝑇)
Donde:
“n” es un entero positivo o negativo, (n ε Z) y
“T” es el periodo de la función.

10. Sin embargo, dado que la función mencionada arriba se satisface, y como la serie se
determina tomando el intervalo de –T/2 a T/2, es decir, en un periodo, entonces, es
posible expresar mediante tales series cualquier función siempre y cuando su intervalo
de definición sea finito, en cuyo caso, este intervalo corresponde a la “T” y la serie
converge a la función en todo punto de él.
Obtener la Serie de Fourier asociada a una función arbitraria que satisfaga los
requerimientos señalados implica la obtención de los coeficientes de Fourier, además de
aplicar el álgebra necesaria en caso de que se llegue a presentar alguna indeterminación

11. Planteamiento del problema.
Anteriormente estudiamos la respuesta de tres sistemas masa-resorte-amortiguador ante
diversas señales de entrada. Analizamos su comportamiento, y observamos un pequeño
detalle; al aplicar una señal de entrada periódica al sistema, notamos como la
transformada de Laplace se vuelve insuficiente para el análisis, pues "hacemos" que
parte de la función exista solamente en la cantidad de términos que nosotros asignamos
a la sumatoria. Esto provoca que, después de n términos, la función empiece a
comportarse de manera "extraña". En nuestro caso se dispara al infinito.
Detengámonos un momento a pensar en una señal periódica como tal; como su nombre
lo indica, esta señal se va a repetir cada periodo dado infinitamente, por lo que, por mero
razonamiento resulta ilógico que se quiera analizar una función "infinita" en sólo una parte
de ella, como se hizo en el trabajo anterior. En palabras más simples surge la pregunta,
¿Y qué pasa con todos los términos que dejamos de lado?
Podríamos ser conformistas y analizar sólo el intervalo que nosotros decidamos con los
términos, sin embargo, matemáticamente esto es "incorrecto" e insuficiente, pues sólo se
analiza "una parte" de un todo y es imposible querer proponer conclusiones a partir de
información incompleta.
Partiendo de esta premisa, es como se propone el uso de las series de Fourier para evitar
este problema.

12. Problema.
Función periódica f(t) utilizando series de Fourier
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
Con:
Función periódica con T = 2
Según las leyes vistas anteriormente, observamos que se trata de un sistema Masa-
Resorte-Amortiguador, con m=1, D= 5 y k=4, cuya señal de entrada está dada por la
función periódica f(t). Las condiciones iniciales nos indican que parte desde el reposo
desde el punto de equilibrio.
Al tratarse de una función periódica, en esta ocasión haremos uso de la estrategia que
ha sido mencionada con anterioridad; la serie de Fourier. Esta será la manera en la que
se podrá resolver la ecuación diferencial dada.
Las fórmulas utilizadas para obtener la serie de Fourier son las siguientes:
𝑓( 𝑡) =
𝐴0
2
+ ∑(𝐴 𝑛 ∗ cos( 𝑛𝜔0 𝑡) + 𝐵𝑛 ∗ sin( 𝑛𝜔0 𝑡))
∞
𝑛=1
𝐴0 =
2
𝑇
∗ ∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
0
𝐴 𝑛 =
2
𝑇
∗ ∫ 𝑓( 𝑡) ∗ cos( 𝑛𝜔0 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
0
𝐵𝑛 =
2
𝑇
∗ ∫ 𝑓( 𝑡)sin⁡( 𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
𝜔0 = 2𝜋𝑓
f t( ) t 0 t 2if
f t T( ) t 2if


13. 𝑓 =
1
𝑇
Nota: Los límites de las integrales se establecen en base a donde está definida la función
Comenzaremos con obtener el valor del coeficiente A0:
Calculamos el valor de 𝜔0:
Por lo tanto:
Obtenemos el valor del coeficiente An con el valor de ω0 =π:
Se puede observar que, recordando las identidades trigonométricas 𝑠𝑒𝑛( 𝜋𝑛) = 0 y
𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑛) = 1,
Observando con detenimiento esta igualdad, nos podemos dar cuenta que para todo n ≥
1, dada las identidades trigonométricas
𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑛) = 1 (1)
y que
𝑠𝑒𝑛( 𝜋𝑛) = 0 (2)
siempre se tendría
Lo cual, nos daría un 0 en el numerador y, por lo tanto, un valor de 𝐴 𝑛 = 0.
Continuamos obteniendo el valor de coeficiente Bn con el valor de ω0 = π:
An
2
2 0
2
tt cos n  t( )( )



d
cos 2  n( ) 2  n sin 2  n( ) 1

2
n
2

Bn
2
2 0
2
tt sin n  t( )( )



d
sin 2  n( ) 2  n cos 2  n( )

2
n
2


14. Si se hace el mismo análisis que en el coeficiente An nos daremos cuenta que para todo
n ≥ 1, utilizando la identidad trigonométrica (1), tenemos que Cos(2πn) siempre será 1,
y, utilizando la identidad trigonométrica (2), Sen(2πn ) siempre será igual a 0, por lo tanto,
el valor del coeficiente Bn está dado por:
Con estos valores, utilizando las formulas mencionadas anteriormente, ya podemos
obtener la serie de Fourier de nuestra función f(t):
Para comprobar que esta función se aproxima a la inicial, compararemos la función f(t)
(la original) mediante su gráfica, superponiéndola con fs(t) obtenida mediante la serie de
Fourier. Primeramente, graficando con 10 términos.
Bn
0 2  n

2
n
2

2
 n


15. Graficando los primeros 20 términos de la serie:
Graficando los primeros 30 términos de la serie:
Conforme se vaya incrementando el número de términos asociados a la serie, nuestra
función se aproximará más a la función original. Entonces, con un número “infinito” de
términos, tendremos exactamente la misma gráfica. Por lo tanto, con las gráficas
anteriores nos podemos dar cuenta que nuestra función fs(t) es correcta y la podemos
utilizar para estudiar nuestro sistema.

16. Resolviendo la ecuación diferencial
Una vez llegados a este punto, nos dedicaremos a resolver la ecuación diferencial con
f(t) representada con la serie de Fourier fs(t):
Calculamos la transformada de Laplace aplicándola en ambos lados de la igualdad:
Factorizamos y despejamos X(s):
Aplicamos la transformada inversa de Laplace para obtener nuestra x(t) buscada:
Con la finalidad de simplificar el proceso de escritura, representaremos mediante una
nueva función a la transformada inversa de Laplace de los términos presentes en muestra
función X(s):
Primero obtenemos la transformada inversa de Laplace del término que se
encuentra fuera de la sumatoria:
𝑥1( 𝑡) = 𝐿−1 {
1
𝑠 ∗ ( 𝑠2 + 5𝑠 + 4)
} = (
𝑒−4𝑡
12
−
𝑒−𝑡
3
+
1
4
) ∗ u(t)
La transformada inversa de Laplace del término que se encuentra dentro de la
sumatoria es:
𝑥2( 𝑡, 𝑛) = 𝐿−1 {
𝜋𝑛
( 𝜋2 𝑛2 + 𝑠2)( 𝑠2 + 5𝑠 + 4)
}

17. Con esto, nuestra función en el tiempo x(t) queda expresada de la siguiente manera:
Expresión en la que incluimos el escalón unitario para indicar que está definida solo en
R+.
Para comprobar que esta función se puede utilizar como resultado de nuestra ecuación
diferencial, la compararemos con el resultado obtenido en el trabajo grupal del tema 4 en
donde se tiene la respuesta ante la misma señal periódica de entrada, el cual lo
llamaremos z(t) simplemente para no confundirse con nuestra x(t) obtenida en este
documento, dicha función es la siguiente:
x t( ) x1 t( )
1
30
n
2
 n






x2 t n( )
















 t( )
z t( )  t( )
t
4
e
t
3

e
4 t
48

5
16








1

n
e
4 t 2 n( )
6
2 e
t 2 n( )

3

1
2







 t 2 n( )










18. Ahora se compararán las gráficas de las funciones soluciones de estos dos métodos,
comenzaremos graficando los primeros tomando los primeros 10 términos de cada una
de las sumatorias:
x t( ) x1 t( )
1
10
n
2
 n






x2 t n( )
















 t( )
z t( )  t( )
t
4
e
t
3

e
4 t
48

5
16








1
10
n
e
4 t 2 n( )
6
2 e
t 2 n( )

3

1
2







 t 2 n( )










19. Ahora con los primeros 20 números de las respectivas series:
Con los primeros 30 números de la serie:
z t( )  t( )
t
4
e
t
3

e
4 t
48

5
16








1
20
n
e
4 t 2 n( )
6
2 e
t 2 n( )

3

1
2







 t 2 n( )









x t( ) x1 t( )
1
20
n
2
 n






x2 t n( )
















 t( )
z t( )  t( )
t
4
e
t
3

e
4 t
48

5
16








1
30
n
e
4 t 2 n( )
6
2 e
t 2 n( )

3

1
2







 t 2 n( )









x t( ) x1 t( )
1
30
n
2
 n






x2 t n( )
















 t( )

20. Dado que la ecuación diferencial modela un sistema masa-resorte-amortiguador sobre-
amortiguado (raíces reales y diferentes) y como la señal de excitación es una función
periódica, entonces, la respuesta debe tener un comportamiento regular en el sentido que
debe ser una señal sobre-amortiguada que se repite en su forma y valor cada cierto
tiempo, condición que se aprecia en la gráfica y que nos muestra el movimiento de la
masa. Es de notar que si analizamos la gráfica podemos extraer información general
de cómo se mueve la masa del sistema: Es un movimiento “oscilatorio”, sin ser
cosenoidal, desplazándose desde un máximo de 0.29838 hasta un mínimo de 0.2171
unidades de longitud con un período de t = 2.0 segundos (los cuales son los mismos
valores obtenidos en el trabajo grupal del tema 4). Sin embargo, esto no quiere decir que
sea una función oscilatoria que entre en resonancia, puesto que la ecuación diferencial
cuenta con raíces reales y diferentes. Más bien, esto sería la respuesta que tiene una
ecuación diferencial donde el comportamiento es sobre-amortiguado (según sus raíces)
ante la aplicación de una señal periódica, en este caso, la f(t) mostrada al comienzo.
Analizando la gráfica, tenemos que inicialmente, va incrementando la posición, hasta que
se llega al tiempo 2, donde comienza a disminuir. Posteriormente, esta gráfica vuelve a
subir y bajar, y esto sigue realizándose hasta un tiempo “infinito”. Es decir, realmente no
tiende a “estabilizarse” en ningún punto.
Se observa que, a diferencia del método estudiado en el tema 4, se obtiene una respuesta
que no se “corta” según los valores asignados a la sumatoria, sino que continua
periódicamente hasta un tiempo t “infinito”. Por lo tanto, se puede tener un análisis
completo ya que en este punto se estaría analizando toda la información que ofrece la
utilización de las series de Fourier.

21. Comentarios finales
Comparando las dos técnicas utilizadas para resolver la ecuación diferencial cuando se
le aplica una señal de entrada periódica, es posible remarcar dos puntos específicos y
muy importantes, los cuales encontramos como piedra angular del desarrollo de este
trabajo. Recordando un poco, ¿Por qué no funcionó Laplace en el trabajo anterior? La
respuesta correcta de este cuestionamiento es que, Laplace SÍ funciona, el
inconveniente es que, está representado como una sumatoria infinita, y es imposible
representar el infinito.
Podemos tomar la acepción manejada hasta el momento del infinito, la cual dice que es
un número muy grande, tan grande como se quiera. Si hacemos uso del infinito con esta
definición, notamos a través de la gráfica que, en efecto funciona, pero tiene un fallo
abrupto después de los términos asignados. Si hacemos crecer el número de términos
(recordar que puede ser tan grande como se quiera), logramos que la gráfica “funcione”
por más tiempo (recordar que la función solución queda expresada en el dominio del
dominio del tiempo), sin embargo, vuelve a fallar después de n términos.
De lo anterior podemos concluir que el método de transformar una función periódica
directamente por Laplace se vuelve ineficiente en el sentido que necesitaríamos
implementar un número muy muy grande a la sumatoria e incorrecto en el sentido que,
como lo mencionamos en la presentación del problema, no hace justicia el analizar sólo
una porción de un todo para poder concluir un resultado.
El segundo punto que sale a relucir es la razón del, ¿Por qué ocurre esto? La respuesta
es relativamente sencilla de explicar y parte de la misma naturaleza de la transformada
de Laplace.
Para que una función sea Laplace-transformable, es necesario que sea continua y
derivable en todo su dominio. Observemos la gráfica de la función periódica. En ella se
ve claramente que posee discontinuidades cada que “comienza” de nuevo la gráfica, es
decir cada periodo ocurre una discontinuidad. Esta es la respuesta matemática del
porqué no podemos transformar la función directamente por Laplace para obtener la
respuesta a la ecuación diferencial.
Aquí es donde entran las Series de Fourier. Al expresar la función original a través de las
series de Fourier, estamos transformando una función discontinua en una función
senoidal y cosenoidal, las cuales SÍ son continuas en todo su dominio. De esta
manera, evitamos el problema generado por las discontinuidades y es posible transformar
la función del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia mediante Laplace.
En conclusión, para poder aplicar Laplace, la función debe ser continua y derivable en
todo su dominio; por lo tanto, es necesario el uso de estrategias matemáticas como la
presentada en este documento como expresar la misma función de maneras distintas (en
este caso mediante las series de Fourier) para garantizar que la transformada de Laplace
exista.

22. Referencias bibliográficas
Flores Ávila, J. (2018). Ecuaciones diferenciales ordinarias (1st ed.). Región lagunera,
Durango.
¿Qué es la ley de Hooke? (artículo) | Khan Academy. Recuperado el 26 de mayo del
2020 desde: https://es.khanacademy.org/science/physics/work-and-energy/hookes-
law/a/what-is-hookes-law
Principio de D’Alembert. Fisica.cab Recuperado el 26 de mayo del 2020 desde:
https://fisica.cab.cnea.gov.ar/colisiones/staff/barra/otros/mecanica/apuntes/apunte015.p
df
Fernández, J., & Coronado, G. Segunda Ley de Newton. Recuperado el 26 de mayo del
2020 desde: https://www.fisicalab.com/apartado/principio-fundamental
Amortiguamiento de materiales | Técnica de Excitación por Impulso. Recuperado el 26
de mayo del 2020 desde:
https://www.sonelastic.com/es/fundamentos/bases/amortiguamiento.html