1. El documento presenta tres ejemplos de ecuaciones diferenciales de segundo orden que describen el movimiento de objetos sujetos a resortes. El primer ejemplo resuelve la ecuación para un peso que se suelta desde una posición estirada de un muelle. El segundo ejemplo encuentra la ecuación para el movimiento de una masa sujeta a un resorte que se suelta desde el equilibrio. El tercer ejemplo resuelve la ecuación para un peso que se suelta desde abajo de la posición de equilibrio de un resorte con una velocidad inicial hacia ar

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
1. Supóngase que un peso de 4 libras estira un muelle, desde su posición natural,
en 8 pulgadas. Si se estira el muelle hacia abajo otras 6 pulgadas y se suelta
con velocidad inicial hacia arriba de 8 pies por segundo, hallar la fórmula para la
posición del peso en función del tiempo t.
Solución:
Por la ley de Hooke:
4 = 𝑘 (
2
3
)
𝑘 = 6
Sabemos:
𝑤 = 𝑚𝑔
𝑚 = (
𝑤
𝑔
)
𝑚 = (
4
32
)
𝑚 = (
1
8
)
Por lo tanto la ecuación diferencial resultante para el movimiento no
amortiguado es:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑡2
+ 48𝑦 = 𝑜
Puesto que la ecuación característica:
𝑚2
+ 48 = 0
Tiene raíces complejas:
𝑚2
= 0 + 3𝑖√4
𝑚2
= 0 − 3𝑖√4
Si la solución general es:
𝑦 = 𝐶1 𝑒0
cos 4 3𝑡 + 𝐶2 𝑒0
𝑠𝑒𝑛4 √3𝑡
𝑦 = √𝐶1 cos4 √3𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛4 3𝑡
Usando las condiciones iniciales se tiene:

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2
1
2
= 𝐶1(1)+ 𝐶2(0)
𝑦(0) =
1
2
𝑦´( 𝑡) = 3√−4 𝐶1 √𝑠𝑒𝑛4 √3𝑡 + (4)(3) √𝐶2 cos4 3𝑡
8 = √−4
(3)(1)
2
√0 + (4)(3) 𝐶2(1)
=> √𝐶2 =
(3)(2)
2
𝑦´(0) = 8
En consecuencia, la posición en un tiempo t viene dada por
𝑦 =
1
2
𝑐𝑜𝑠√4 √3𝑡 +
2√3
3
𝑠𝑒𝑛4 (3𝑡)

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3
2. Una fuerza de 400 N estira un resorte 2 m. Una masa de 50 kg se sujeta al
extremo del resorte y se la suelta desde la posición de equilibrio con una
velocidad dirigida hacia arriba de 10 m/s. Halle la ecuación del movimiento.
Solución:
𝐹 = 400 𝑁 𝑥 = 2 𝑚 𝑚 = 50 𝑘𝑔 𝑣 = 10 𝑚/𝑠
400
2
= 𝑘
𝑘 = 200
𝜔2 = 4
𝜔 = 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
| 𝑡=0 = −10
Ecuación del movimiento
50𝑥" + 200 𝑥 = 0
𝑥" + 4𝑥 = 0
𝑥( 𝑡) = 𝑐1 cos 𝜔𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
𝑥( 𝑡) = 𝑐1 cos
1
2
𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡
𝑐1 = 2
𝑥´(0) = [−10 = −2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝑐2cos2𝑡]
𝑥´(0) = [−10 = 2𝑐2]
𝑐2 = −5
𝑥( 𝑡) = 2 cos2𝑡 − 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡

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3. Un cuerpo que pesa 2 lb. se estira un resorte 6 plg. Dicho cuerpo se suelta en
t=0 desde un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad
dirigida hacia arriba de
4
3
pie/seg. Determine la función x(t) que describe el
movimiento libre resultante.
Solución:
Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las
magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies:
6 plg =
6
12
= 1
2
pie
8 plg =
8
12
= 2
3
pie
Además, debemos convertir las unidades de peso en unidades de masa.
M = W/g
Tenemos
𝑚 =
2
32
=
1
16
𝑠𝑙𝑢𝑔
Además, por la Ley de Hooke se tiene:
2 = 𝑘 (
1
2
) 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑘 = 4 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒
Por consiguiente, las análogas de las ecuaciones (1) y (2) son, respectivamente,
1
16
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2 = −4𝑥 𝑦
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2 + 64𝑥 = 0
El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por:
𝑥(0) =
2
3
,
𝑑𝑥
𝑑𝑡
| 𝑡=0 = −
4
3
En donde el signo negativo que aparece en la última condición en consecuencia
de que a la masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es,
dirigida hacia arriba.
Ahora bien, 𝜔2 = 64, o sea 𝜔 = 8 de modo que la solución general de la ecuación
diferencial es:
𝑥( 𝑡) = 𝑐1 cos8 𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 8 𝑡
Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que:
𝑥(0) =
2
3
= 𝐶11 + 𝐶20 ( 𝑐1 =
2
3
)
Y
𝑥( 𝑡) =
2
3
cos8 𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 8 𝑡

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𝑥´( 𝑡) = −
2
3
sen 8 𝑡 + 8𝐶2 𝑐𝑜𝑠 8𝑡
𝑥´(0) = −
4
3
= −
16
3
0 + 8𝐶21, ( 𝑐2 = −
1
6
)
Luego
𝑐2 = −
1
6
Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:
𝑥( 𝑡) =
2
3
cos8 𝑡 −
1
6
𝑠𝑒𝑛 8 𝑡 (7)
Nota: desafortunadamente, es usual que no haga una distinción entre peso y
masa. Así, a menudo se habla del movimiento de una masa sujeta a un resorte
y también, del movimiento de un peso sujeto a un resorte.
Forma alternativa de x(t)
Cuando 𝑐1 ≠ 0 y 𝑐1 ≠ 0, la amplitud real A de las oscilaciones libres no se
obtiene en forma inmediata de la ecuación (5). Por ejemplo, aunque la masa del
Ejemplo 2 es inicialmente desplazada 2/3 pie fuera de la posición de equilibrio,
la amplitud de las oscilaciones es un número mayor que 2/3. Por lo tanto, a
menudo conviene transformar una solución de la forma (5) a una forma más
simple
𝑥( 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛( 𝜔𝑡+ ∅) (8)
En donde
𝐴 = √𝑐1
2+𝑐2
2
Y en donde ∅ es un ángulo de fase definido por
tan ∅ =
𝑐1
𝑐2
{
𝑠𝑒𝑛∅ =
𝑐1
𝐴
𝑐𝑜𝑠∅ =
𝑐2
𝐴
(9)
Para verificar esto, desarrollamos (8) mediante la fórmula del seno de una suma
de ángulos:
𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡cos∅ + 𝐴 cos 𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛 ∅ = ( 𝐴 𝑠𝑒𝑛 ∅) cos 𝜔𝑡 + (cos∅)𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 (10)
Se define ∅ como:
𝑠𝑒𝑛∅ =
𝑐1
√𝑐1
2+𝑐2
2
=
𝑐1
𝐴
, cos∅ =
𝑐2
√𝑐1
2+𝑐2
2
=
𝑐2
𝐴
Entonces (10) se transforma en
𝐴
𝑐1
𝐴
cos 𝜔𝑡+ A
𝑐2
𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 = 𝑐1 cos 𝜔𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 = 𝑥(𝑡)