Theory imparted to Leveling course at Yachay Tech University (Urcuquí, Ecuador) during semester October 2014 - March 2015.

1. UNIDAD 5
Impulso y cantidad de movimiento
Nivelación. Física
Si bien trabajar con energías ayuda a una rápida comprensión de fenómenos que serían
difíciles de resolver mediante dinámica, la naturaleza vectorial sigue siendo relevante. A
continuación se volverá sobre dos conceptos ya conocidos, la masa y la velocidad, una
escalar y la otra vector. Sin embargo, la aproximación que se desarrollará los enfocará de
otra manera.
1. Momento lineal
De una partícula se puede determinar su masa m y su velocidad v. Es conocida la
naturaleza escalar de la masa, además de la naturaleza vectorial de la velocidad. Ahora
podemos combinarlas en una nueva magnitud vectorial, denominada momento lineal:
p = mv.
Este valor p también puede ser conocido como ímpetu o cantidad de movimiento. Sus
unidades son la combinación de las de la masa y la de la velocidad, es decir, kgm/s o Ns.
Físicamente se puede entender el momento lineal como la dicultad de llevar una par-
tícula de masa m con velocidad constante v al reposo. Por ejemplo, a iguales velocidades
de dos partículas con masas diferentes, la fuerza necesaria para llevarlas al reposo en un
tiempo determinado ha de ser mayor en la partícula de mayor masa.
El concepto de cantidad de movimiento es muy importante en la Física, puesto que
con su denición pueden resolverse problemas que por otros medios tendrían una resolu-
ción trabajosa. Además, la magnitud p presenta relevantes propiedades en los sistemas y
permiten conocerlos mejor.
Para bajas velocidades con respecto a la velocidad de la luz la energía cinética se
expresaba como
Ec =
1
2
mv2
,
concepto de gran importancia en la Física. Se puede ver que es útil ayudarse de este
concepto a la hora de analizar un sistema determinado y que la energía cinética puede
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2. traer a colación el uso de los momentos lineales de este sistema:
Ec =
1
2
mv2
=
m2
v2
2m
=
p2
2m
,
donde la energía cinética sigue siendo un escalar cuyas unidades se expresan en J.
2. Impulso
Unida a la cantidad de movimiento existe otra magnitud de gran relevancia: el impulso.
Se entiende por impulso una fuerza aplicada durante solo un intervalo de tiempo:
I = F∆t.
Se tiene entonces que si una fuerza constante actúa solo un breve lapso de tiempo sobre una
partícula se tendrá su impulso I. Ejemplos de impulso pueden verse en cinemática, cuando
había una causa que lanzaba a velocidad constante una partícula, en una trayectoria
parabólica, por ejemplo. Durante la trayectoria esa fuerza no actúa, pero sí tuvo que
existir durante unos instantes para impulsar la partícula de estudio.
Atendiendo a las unidades de impulso, que son Ns, puede verse que ha de existir una
cierta relación entre esta cantidad y la magnitud momento lineal. Experimentalmente se
determina que el impulso cuantica el cambio de momento lineal de un sistema o de una
partícula en concreto:
I = ∆p.
Con estas deniciones podemos realizar diferentes combinaciones e incluso determi-
nar una fuerza media que provoque el mismo impulso que la fuerza variable que actuó
realmente en ese intervalo de tiempo. Además, es posible que determinando la distancia
recorrida por la partícula en ese ∆t se simplique dicho cálculo de la fuerza media.
3. Centro de masas
Los movimientos de objetos en el espacio pueden llegar a ser muy complicados, más aún
si dicho objeto no es una partícula. Sin embargo, es posible simplicar dicho movimiento
dividiendo este en dos grupos:
El movimiento del centro de masas
El movimiento de todas las partículas del objeto respecto tal centro de masas
Por lo tanto, el centro de masas se puede considerar como un punto que representa a todo
el sistema en su movimiento traslacional. Es decir, el centro de masas es una partícula
equivalente al objeto de estudio la cual encierra toda la masa del sistema. La posición de
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3. dicho centro de masas irá determinada por la posición de las partículas del sistema y sus
masas, siendo acorde entonces con la propia denición del concepto:
rcm
i
mi =
i
miri.
Figura 1: El centro de masas no tiene por qué coincidir con un punto material. Si las
masas no son iguales es posible que dicho centro de masas no esté en el centro geométrico.
Es necesario tener en cuenta que el centro de masas siempre estará cerca de la partícula
más masiva del sistema. Debido a que el centro de masa es una partícula con toda la
masa del sistema, son perfectamente aplicables las ecuaciones cinemáticas, dinámicas y los
conceptos de energía potencial a este centro de masa. De esta manera, se puede simplicar
el comportamiento de un sistema súmamente complejo.
De acuerdo a lo mencionado anteriormente, al centro de masas se le puede denir una
velocidad y una aceleración:
vcm
i
mi =
i
mivi
acm
i
mi =
i
miai.
Si el movimiento global del sistema puede describirse mediante el movimiento del
centro de masas podemos utilizar un sistema de referencia inercial que tenga su origen en
dicho centro de masas. Usando tal sistema de referencia todas las partículas del sistema
estarán referidas en función de dicho centro de masas, luego la transformación entre este
sistema de referencia y otro de laboratorio vendrá dado por
ri = rcm + ri.
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4. Figura 2: El movimiento de un punto del bastón lanzado es muy complejo. Sin embargo, su
descripción se simplica si consideramos que el centro de masa realiza un tiro parabólico
y el movimiento relativo del resto de partículas es un movimiento circular.
Se puede determinar que si se tiene un sistema complejo del que se obtiene su cen-
tro de masas, toda fuerza aplicada a este sistema solo alterará el valor de acm y no las
aceleraciones relativas de cada partícula componente del sistema. Esto indica que solo
las fuerzas externas afectan al sistema, ya que debido a la Tercera Ley de Newton, toda
fuerza interna entre partículas ha de ser compensada, por lo que las fuerzas internas no
afectarán al sistema global:
FN,ext
=
i
Fext
i = acm
i
mi.
Figura 3: Para sistemas más complejos se pueden calcular centros de masas parciales y
después obtener a partir de estos el centro de masas de todo el sistema.
En combinación a lo referido con anterioridad, si se conoce la velocidad del centro
de masas de un sistema complejo, se puede determinar el momento lineal total de dicho
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5. sistema:
psist = vcm
i
mi.
Finalmente, si se tiene un sistema complejo de varias partículas es posible determinar
la energía cinética total de dicho sistema. Para ello, es necesario determinar la energía
cinética del centro de masas y la energía cinética de cada una de las partículas, evidente-
mente relativas al centro de masas
Ec = Ecm
c + Erel
c =
1
2 i
miv2
cm +
1
2 i
miv2
i .
4. Leyes de Newton en función del momento lineal
Las leyes de Newton, que rigen la dinámica, pueden ser expresadas en función del
momento lineal. De esta manera, dichas leyes quedan referidas como:
Primera: si las fuerzas externas al sistema se anulan, es decir, la fuerza resultante
externa es cero, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante.
Segunda: toda fuerza externa a un sistema provoca una variación temporal del
momento lineal del sistema
F =
∆p
∆t
.
Tercera: cuando un sistema ejerce una variación temporal de momento lineal sobre
otro sistema, este otro ejerce la misma variación temporal de momento lineal sobre el
primer sistema, de tal manera que posea el mismo módulo y dirección, pero sentido
opuesto
−
∆p12
∆t
=
∆p21
∆t
.
5. Conservación del momento lineal
Ya determinadas las leyes de Newton en función del ímpetu es posible trabajar para
analizar ciertas consecuencias. De acuerdo a la primera ley de Newton, el momento lineal
de un sistema no ha de cambiar si hay ausencia de fuerzas externas
i
Fext
i = 0 ⇒ acm = 0.
Esta ley puede interpretarse de manera similar al concepto de inercia. Es decir, cuando
el sistema está aislado su cantidad de movimiento total se conserva
psist = cte ⇒ vcm = cte.
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6. Esta conclusión lleva a una importantísima ley de conservación de la Física, que cuando
no hay una fuerza resultante, la cantidad de movimiento de un sistema no cambiará a
pesar de las fuerzas internas que se puedan dar en este. Hay que tener en cuenta que
dicha conservación del momento lineal puede vericarse aun cuando otras no lo hagan.
Por ejemplo, las fuerzas internas de un sistema son por lo general no conservativas, luego
su trabajo alterará la energía mecánica del sistema. Así, aunque en estos procesos la
energía mecánica no se conserve, sí lo hará la cantidad de movimiento
p0 = pf ⇒
i
miv0
i =
i
mivf
i .
Sin embargo, es necesario llevar a cabo un cuidadoso análisis, ya que es posible que
según el sistema considerado y sus interacciones, el momento lineal solo se conserve en
una de las direcciones.
6. Choques elásticos e inelásticos
Existen procesos en ciertos sistemas en los que su estudio es muy complicado debido a
la existencia de fuerzas muy intensas y breves. Un ejemplo de ello son las colisiones. Estas
son interacciones muy intensas entre partículas que son muy breves en su duración, de tal
manera que toda la fuerza que se genera durante la colisión apantalla al resto de fuerzas
externas, por lo que no es necesario considerarlas durante el proceso de colisión. Como en
este punto solo intervienen de manera relevante las fuerzas internas se puede concluir que
la cantidad de movimiento total del sistema se conserva.
Existen tres tipos de colisión:
Elástica: la energía cinética total del sistema se conserva, o sea, antes y después de
la colisión la suma de energía cinética para cada partícula es la misma.
Inelástica: la energía cinética total no se conserva, ya que después de la colisión
su valor cambia debido a que algo de energía puede emplearse en generar otros
procesos: térmicos, excitación, químicos, etc.
Perfectamente inelástica: es un caso particular del anterior caso. En estos tipos
de colisiones la energía cinética del sistema se pierde en gran manera, provocando
una transferencia de energía hacia efectos térmicos o alterando la energía interna del
sistema. Es normal que tras una colisión de este tipo las partículas queden fundidas
en una sola masa.
Hay casos particulares de colisión que pueden ser bien comprendidos y pueden involu-
crar alguno de los tipos de colisión previamente descritos. En el caso de colisiones frontales
todo el sistema se puede describir unidimensionalmente. Es necesario tener en cuenta que
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7. tras la colisión, al conservarse el momento lineal, la velocidad de las partículas podrían
ser positivas o negativas. Si la colisión se da en un plano, la ley de conservación ha de ser
cumplida en cada uno de los ejes.
Figura 4: Hay que analizar la conservación del momento angular en cada uno de los ejes
para choques en el plano.
Un caso más complicado es cuando la colisión se lleva a cabo en el espacio. Su estudio
se vuelve bastante complicado. La cantidad de variables a considerar aumenta considera-
blemente. Una de ellas es el tipo de fuerza de interacción que provocó la colisión y otra
es la distancia vertical entre los centros de las partículas que van a colisionar, magnitud
llamada parámetro de impacto, b. Sin embargo, puede vericarse experimentalmente que
todo el proceso (es decir, los vectores de velocidad) queda congurado en un plano. Tam-
bién se puede dar el caso en que si en el espacio colisionan dos partículas de igual masa y
una de ellas está en reposo, toda colisión elástica con un b = 0, hará que las velocidades
nales conguren un ángulo recto.
Figura 5: Descripción de un choque en el espacio.
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8. Figura 6: Caso especial en el que las velocidades conguran un triángulo rectángulo.
Recordemos que en las colisiones elásticas la energía cinética se conservaba, por lo que
analizar la conservación de momento lineal y energía cinética determina todo el sistema.
Se tiene que para una colisión frontal entre dos partículas, las velocidades verican la
siguiente ecuación:
vf
2 − vf
1 = −(v0
2 − v0
1).
Figura 7: Ejemplo de una colisión elástica. Sus velocidades están relacionadas.
Para el caso de una colisión perfectamente inelástica, las velocidades nales de las
partículas son iguales, vcm, ya que conguran una misma masa. La masa de esta partícula
nal es la suma de las masas de todas las partículas que la conguran y colisionaron entre
sí:
mT =
i
mi.
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9. Figura 8: La colisión entre automóviles es perfectamente inelástica. Parte de la energía
cinética se emplea en deformar la carrocería.
Es más, la energía cinética inicial y nal no será el mismo valor, lo que quiere decir
que una evaluación de esto puede ayudarnos a simplicar la resolución del análisis del
sistema.
Figura 9: En el espacio, por la falta de rozamiento, es más fácilmente detectable la con-
servación del momento lineal.
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