Este documento presenta un resumen de tres capítulos sobre ecuaciones diferenciales de orden superior y su aplicación en la modelación de la deflexión de vigas. En el capítulo 1 se define una ecuación diferencial de orden superior y se explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. El capítulo 2 define la deflexión de una viga y los factores que la afectan. El capítulo 3 explica cómo usar ecuaciones diferenciales de orden superior para modelar matemáticamente la deflexión de una viga sujeta a condiciones de frontera.

1. “Año del buen servicio al ciudadano”
UNIVERSIDAD NACIONAL
“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD : CIENCIAS AGRARIAS
ESCUELA : INGENIERÍA AGRÍCOLA
TEMA :
CURSO : MATEMÁTICA IV
DOCENTE : NINAQUISPE CASTILLO MARIO
CICLO : V
INTEGRANTES:
 Atusparia Rodriguez Yury
 Mendoza Obregón María Isabel
 Milla Menacho Edson
 Rosas Chinchey Luis
 Vega Corahua Carla
HUARAZ-ANCASH-PERÚ
2017

2. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EN LA
(MODELACIÓN) DEFLEXIÓN DE VIGAS
----------------
Julio 2017.
Universidad Nacional Santiago Antúnez de Mayolo.
Ancash.
Matemática IV

3. DEDICATORIA
Este trabajo va dedicado en primer lugar a nuestros padres por apoyarnos
siempre en todos nuestros caprichos, así también a todas las personas que nos
quieren y a esas personas que cuando nos vieron caído nos dieron la mano para
poder levantarnos y así poder seguir adelante; a todos ellos ahora les dedico
este trabajo con mucho amor y cariño.

4. ÍNDICE GENERAL

5. INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y
modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una
relación válida en un cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su
resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma
ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas.
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una
función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto
a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola
variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más
de una variable se llama parcial.

6. CAPÍTULO I
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN
SUPERIOR
1. ECUACIÓN DIFERENCIAL (E.D)
1.1. DEFINICIÓN:
Es una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su
variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la
ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente,
entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O); y si
contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables
independientes, se llama ecuación en derivadas parciales(EDP).
1.2. ORDEN:
Se llama orden de la ecuación diferencial al orden de la derivada más alta
que aparece en la ecuación.
1.3. FORMA IMPLÍCITA Y EXPLÍCITA DE EXPRESAR UNA ED:
 Implícita: cuando la ecuación diferencial de orden (n) tiene la forma
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′
,… , 𝑦( 𝑛)
) = 0 .
 Explícita: cuando la ecuación diferencial de orden (n) tiene la forma
𝑦(𝑛)
= 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑦′
, …, 𝑦( 𝑛−1)
)
1.4. PROBLEMA DE VALOR INICIAL Y DE VALOR DE FRONTERA:
Son aquellos en que la ecuación diferencial se resuelve sujeta a unas
condiciones dadas que la función desconocida debe satisfacer.
 Problema de valor inicial: Es un problema que busca determinar una
solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función
desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable
independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.
 Problemas de valor frontera: Es un problema que busca determinar una
solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función
desconocida, especificadas en dos o más valores de la variable
independiente.

7. 2. ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL DE ORDEN SUPERIOR
2.1. DEFINICIÓN:
Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la siguiente forma:
Y si g(x) ≠0 se llamará ecuación diferencial ordinaria lineal de orden
superior no homogénea.
2.2. RESOLUCIÓN DE UNA EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR:
El estudio de las ecuaciones diferenciales de orden mayor que dos sigue
pautas similares al análisis realizado para ecuaciones de segundo orden.
Al igual que en este caso, restringiremos nuestro estudio a las ecuaciones
lineales, es decir, a ecuaciones de la forma.
𝑦(𝑛)
+ 𝑎 𝑛−1 (𝑥)(𝑦( 𝑛−1)
) + ⋯ + 𝑎2( 𝑥) 𝑦′′( 𝑥) + 𝑎1( 𝑥). 𝑦′
+ 𝑎0( 𝑥). 𝑦 = 𝑟(𝑥) ,
Donde:
n≥3 y 𝑎 𝑛−1 (𝑥), …, 𝑎0( 𝑥) y 𝑟(𝑥) son funciones arbitrarias. La solución general de
una ecuación lineal es de la forma:
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦 𝑝
Donde:
𝑦𝑐 : Es la solución general de la ecuación complementaria, mientras que 𝑦 𝑝 es
una solución particular de la ecuación completa. La solución general dependerá
de “n” constantes arbitrarias. Para plantear un problema de valores iniciales,
son necesarios “n” condiciones iniciales.
𝑦( 𝑥0) = 𝑦0
𝑦′( 𝑥0) = 𝑦1
𝑦′′( 𝑥0) = 𝑦2
.
.
𝑦(𝑥 𝑜)
(𝑛−1)
= 𝑦 𝑛−1
Diremos que un conjunto { 𝑦1, … , 𝑦 𝑛} de soluciones de la ecuación homogénea
es un sistema fundamental si su wronskiano no se anula en ningún punto.

8. Dado un sistema fundamental { 𝑦1, … , 𝑦 𝑛}, la solución general de la ecuación
lineal homogénea es de la forma

9. CAPÍTULO II
LA DEFLEXIÓN DE VIGAS
1. DEFINICIÓN:
Considerando una viga horizontal AB según la figura. Se supone que la viga
es uniforme en su sección transversal y de material homogéneo. El eje de
simetría se encuentra en el plano medio indica por la zona sombreada.
Cuando está sometida a fuerzas, las cuales suponemos que están en un
plano que contiene el eje de simetría, la viga, debido a su elasticidad, puede
distorsionarse en su forma como se muestra en la siguiente figura.
Estas fuerzas pueden ser debidas al peso de la viga, a cargas aplicadas
externamente, o a una combinación de ambas. El eje de simetría
distorsionado resultante, situado en el plano medio distorsionado de la
segunda figura, se llama la curva elástica. La determinación de esta curva es
de importancia en la teoría de elasticidad.
Hay muchas maneras de apoyar vigas:
Vigas en voladizo:
Una viga en la cual el extremo A está rígidamente fijo, mientras que el
extremo B está libre, para moverse.
Viga simplemente apoyada:
La viga está apoyada en los dos extremos A y B. Hay más formas y más
condiciones para la deflexión que serán aplicadas a cada tipo de problema.

10. Así como hay diferentes maneras de apoyar vigas, también hay diferentes
maneras de aplicar fuerzas de carga externa.
Carga uniformemente distribuida sobre toda la viga:
La viga está apoyada en los extremos A y B, la carga está distribuido sobre
todo la viga.
Carga variable sobre una parte de ella:
La viga está apoyada en los extremos A Y B, la carga distribuida esta
hasta cierta distancia.
Carga puntual o concentrada:
Considere la viga horizontal OB de la figura siguiente. Colocando el eje de
simetría (línea punteada) en el eje X tomado como positivo a la derecha y
con origen en 0. Escoja el eje Y como positivo hacia abajo.
Debido a la acción de las fuerzas externas F1
y F2
(y si es apreciable el peso
de la viga) el eje de simetría se distorsiona en la curva elástica que se
muestra punteada en la figura de abajo donde hemos tomado la viga como
fija en 0. El desplazamiento y de la curva elástica desde el eje X se llama la
deflexión o flecha de la viga en la posición x. Así, si determinamos la ecuación
de la curva elástica, se conocerá la deflexión de la viga.
Para poder formular la ecuación debemos saber:
 M(x) el momento flector en una sección transversal vertical de la viga
en x.
 Este momento flector se define como la suma algebraica de los
momentos de esas fuerzas que actúan sobre un lado de x, los
momentos se toman sobre una línea horizontal en la sección
transversal en x.

11.  Al calcular los momentos adoptaremos la convención de que fuerzas
hacia arriba producen momentos negativos y fuerzas hacia abajo
producen momentos positivos, asumiendo por supuesto que el eje y
se toma hacia abajo como se mencionó antes. No importa cuál lado
de x se tome puesto que los momentos flectores calculados desde
cualquier lado son iguales.
 El momento flector en x está simplemente relacionado con el radio
de curvatura de la curva elástica en x, siendo la relación:
𝑀(𝑥) = 𝐸𝐼 .
𝑌``
[1 + (𝑌′)2]3/2
Donde:
E: es el módulo de elasticidad de Young y depende del
material usado en el diseño de la viga.
I: es el momento de inercia de la sección transversal de la
viga en x con respecto a una línea horizontal que pasa
por el centro de gravedad de esta sección transversal. El
producto EI se llama la rigidez y se considerará como una
constante.
Si asumimos que la viga se dobla sólo levemente, lo cual es válido para
muchos propósitos prácticos, la pendiente y’ de la curva elástica es tan
pequeña que su cuadrado es despreciable comparado con 1, y la ecuación
se puede remplazar por la buena aproximación:
𝑀(𝑋) = 𝐸𝐼. 𝑦′′

12. 2. MODELACIÓN CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: PROBLEMAS DE VALORES EN LA
FRONTERA – DEFLEXIÓN DE UNAVIGA – VIGA EMPOTRADA.
Con frecuencia, la descripción matemática de un sistema físico requiere la
solución de una ecuación diferencial sujeta a condiciones en la frontera; es
decir condiciones especificadas para la función desconocida o una de sus
derivadas, e incluso para una combinación de la función desconocida y una de
sus derivadas, en dos o más puntos distintos.
Desviación de una viga
Muchas estructuras se construyen a base de vigas
que se desvían o distorsionan por su propio peso o
por la influencia de alguna fuerza externa. Pues
ahora estudiaremos esta desviación:
Consideremos dicha desviación por la misma
que está determinada por una ecuación diferencial
lineal de cuarto orden.
Asumiendo que una viga de longitud es homogénea y tiene sección
transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna,
incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones
transversales es una recta que se llama eje de simetría (Fig. 01).
Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de
simetría, sufre una distorsión y la curva que une los centroides de las secciones
transversales se llama curva de desviación, curva elástica, o simplemente
elástica. La elástica aproxima la forma de la viga.
Supongamos que el eje coincide con el eje de simetría y que la desviación
(o flecha) , medida desde el eje, es positiva si es hacia abajo. En teoría de
la elasticidad se demuestra que el momento flexionante en un punto a
( )y x
L
F
I
x
x
x
( )y x
( )M x x
EJE DE
SIMETRÍA
CURVA DE
DESVIACIÓN
𝐸𝐼
𝑑4 𝑦
𝑑𝑥4 = 𝑊(𝑥)

13. lo largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud
mediante la siguiente ecuación:
Además, el momento flexionante es proporcional a la curva, , de la
elástica:
Donde son constantes, es el módulo de Young de elasticidad del
material de la viga e es el momentode inercia de la seccióntransversal de ésta
(respecto de un eje llamado eje neutro). El producto se denomina rigidez a
la flexión de la viga.
De acuerdo al cálculo diferencial, la curvatura es:
Cuando la desviación es pequeña, la pendiente , de modo que:
Si , entonces el momento flexionante se transforma en .
La segunda derivada de esta ecuación es:
Remplazando resultado de en y vemos que la desviación
satisface la siguiente ecuación diferencial:
Las condiciones en la frontera asociados a esta ecuación dependen de la forma
en que están sostenidos los extremos de la viga.
( )w x
2
2
( )
d M
w x
dx
 1( )
( )M x 
( )M x EI
E e I E
I
EZ
3
2 2
''
1 ( ')
y
y
 
  
2( )
( )y x ' 0y 
3
2 2
1 ( ') 1y   
''y  ''M EIy
2 2 4
2 2 4
''
d M d d y
EI y EI
dx dx dx
  3( )
1( ) 3( ) ( )y x
4
4
( )
d y
EI w x
dx
 4( )

14. Una viga en voladizo (en cantiliver) está empotrada en un extremo y libre en el
otro.
El ala de un avión, un brazo extendido, las astas de banderas, los rascacielos
son ejemplos comunes de vigas en voladizo y los momentos pueden trabajar
como vigas en voladizo, ya que están empotrados en su base y sufren la fuerza
del viento, que los tiende a flexionar. Para una viga en voladizo, la desviación
debe satisfacer las dos condiciones siguientes en el extremo empotrado en
:
a) , porque no hay desviación en ese lugar
b) , porque la curva de desviación es tangente al eje (es decir, la
pendiente de la curva de desviación es cero en ese punto).
Cuando las condiciones del extremo libre son:
a) , porque el momento flexionante es cero
b) , porque la fuerza cortante es cero.
La función:
Se llama fuerza cortante. Si un extremo de una viga está simplemente
apoyado(a esto también se le llama embisagrado, articulado o empernado), se
debe cumplir que y en ese extremo.
A continuación, se muestra una tabla de las condiciones en la frontera
asociadas con la ecuación :
( )y x
0x 
(0) 0y 
'(0) 0y  x
x L
''( ) 0y L 
'''( ) 0y L 
3
3
( )
dM d y
F x EI
dx dx
  5( )
(0) 0y  ''(0) 0y 
4( )

15. Extremos de
La viga
Condiciones en
La frontera
Empotrado ,
Libre ,
Simplemente
apoyado
,
EJEMPLO- VIGA EMPOTRADA.
Una viga de longitud está empotrada en ambos extremos. Determine la
desviación de esa viga si sostiene una carga constante, , uniformemente
distribuida en su longitud; esto es , .
Solución
Según lo que acabamos de plantear; la desviación satisface a
Dado que la viga está empotrada en su extremo izquierdo ( ) y en su
extremo derecho , no hay desviación vertical y la elástica es horizontal
e esos puntos. De esta manera las condiciones en la frontera son:
(0) 0y  '(0) 0y 
''(0) 0y 
'''(0) 0y 
(0) 0y 
''(0) 0y 
L
0w
0( )w x w 0 x L 
( )y x
4
04
d y
EI w
dx
 6( )
0x 
( )x L
(0) 0, '(0) 0, ( ) 0, '( ) 0y y y L y L   

16. Podemos resolver determinando teniendo en cuenta que es una raíz
de multiplicidad cuatro de la ecuación auxiliar , luego determinamos una
solución particular por el método de coeficientes indeterminados. También
podemos resolver integrando cuatro la ecuación:
Se obtiene como solución general:
Usando el software Mathematica se obtendrá a través del siguiente formato:
Con las condiciones se obtiene ,
Es decir que:
cy 0m 
4
0m 
py
4
0
4
wd y
dx EI
 7( )
2 3 40
1 2 3 4( )
24
w
y x c c x c x c x x
EI
     8( )
(0) 0, '(0) 0y y  1 20 0c y c 

17. Sin embargo las otras condiciones restantes aplicados a
la ecuación:
Dan origen a:
Resolviendo el sistema se obtiene:
En consecuencia la desviación es:
Si , se obtiene la gráfica de la curva elástica.
( ) 0, '( ) 0y L y L 
2 3 40
3 4( )
24
w
y x c x c x x
EI
   9( )
2 3 40
3 4
2 30
3 4
0
24
2 3 0
6
w
c L c L L
EI
w
c L c L L
EI
  
  
10( )
10( )
2
0 0
3 4
24 12
w L w L
c y c
EI EI

  11( )
 
2
22 3 4 20 0 0 0
( )
24 12 24 24
w L w L w w
y x x x x x x L
EI EI EI EI
     12( )
0 24 1w EI L  

18. 3.1 VALORES PROPIOS Y FUNCIONES PROPIAS (EIGENVALORES Y
EIGENFUNCIONES)
En las aplicaciones existen muchos problemas, que son problemas de
valor en la frontera en dos puntos, donde interviene una ecuación
diferencial que contiene un parámetro . Se trata de hallar los valores
de para los cuales el problema de valor en la frontera tenga soluciones
no triviales.
Ejemplo: De Soluciones No TrivialesDe Un Problema De Valor En La
Frontera.
Resolver el problema de valor en la frontera
Solución.
Consideremos tres casos:
CASO I.
Si , la solución de es:
Las condiciones implican , por tanto
cuando , la única solución al problema de valor en la frontera es la
trivial .
CASO II.
Si , ,
De se obtiene y así .
La segunda condición, obliga a que . Dado
que , se debe cumplir ; por consiguiente, .
CASO III. Cuando , solución general de es:
.


'' 0, (0) 0, ( )y y y y L cl   
0, 0 0y    
0  '' 0y 
1 2y c x c 
(0) 0, ( ) 0y y L  2 10 0c y c 
0 
0y 
0  1 2y c Cosh x c Senh x    
(0) 0y  1 0c  2y c Senh x 
( ) 0y L  2 0c Senh x 
2 0c  0y 
0  '' 0y y 
1 2y c Cos x c Sen x  

19. como se obtiene , pero implica que:
.
Si , se obtiene ; empero si , entonces .
Sin
embargo la última condición indica que el argumento de la función seno
ha de ser
un múltiplo entero de :
es decir
Por lo tanto, para todo real diferente de cero, es
una solución del problema para cada . Dado que la ecuación diferencial,
es homogénea, no necesitamos escribir si así lo deseamos; es decir,
para un número dado de la sucesión
La función correspondiente en la sucesión
Es una solución no trivial del problema original.
Los números para los que el problema de
valor en la frontera del ejemplo anterior tiene soluciones no triviales se
llaman valores característicos o valores propios.
Las soluciones con respecto a esos valores de como
o simplemente se llaman
funciones características, funciones propias.
(0) 0,y  1 0c  ( ) 0,y L 
2 0c Senh x 
2 0c  0y  2 0c  0Sen x 

L n 
2 2
2
, 1,2,3,...
n
n
L

  
2c 2
n x
y c Sen
L
 
  
 
n
2c
2 2 2
2 2 2
4 9
, , ,...
L L L
  
2 3
, , ,...Sen x Sen x Sen x
L L L
  
2 2
2
, 1,2,3,...n
n
n
L

  
n
2n
n x
y c Sen
L
 
  
 
n
n x
y Sen
L
 
  
 

20. 1. Caratula/Portada,
2. Título
3. Dedicatoria o agradecimientos (opcionales),
4. Índice general/Tabla de contenidos,
5. Índice de cuadros, gráficas y figuras:
6. Prólogo (si se requiere),
7. Introducción,
8. Cuerpo del trabajo,
9. Conclusiones,
10.Apéndices o Anexos y
11.Bibliografía/Referencia Bibliografía.