Este documento presenta tres casos de modelado de ecuaciones diferenciales: 1) Un luxómetro que mide la intensidad de luz a distintas distancias, formulado como una ecuación diferencial de primer orden. 2) Un marcapasos modelado como un circuito RC, representado por una ecuación diferencial de primer orden. 3) Una viga sujeta a una carga uniforme, cuya deformación se describe mediante una ecuación diferencial de cuarto orden. En cada caso se presenta la formulación, solución y en el último caso una simulación.

1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VICTORIA
Ingeniería en Mecatrónica
ECUACIONES DIFERENCIALES
Dr. René Osorio Sánchez
QUE PRESENTA:
Perla Estefanía Berrones Rivera
Luis Ángel Rojo Martínez
Yael Sanngenis Guzmán Orozco
Ciudad Victoria, Tamaulipas, 11 de noviembre de 2013

2. Modelado de Ecuaciones Diferenciales
Índice
1. Luxómetro 2
1.1. Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Marcapasos 4
2.1. Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Vigas 6
3.1. Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Página 1

3. Modelado de Ecuaciones Diferenciales
1. Luxómetro
1.1. Proposición
Se tomaron dos medidas con el uso de un Luxómetro. La primera de ellas, se registró con 8.55 kilolux, esto
equivale al 100 % de luminosidad. La segunda medida se obtuvo a una distancia de 10 cm con respecto a la
medida Inicial, con un valor de 2.04 kilolux. Con ambas medidas y aplicando la regla de 3 simple, se obtiene que
la segunda medida equivale a 23.85 % de luminosidad respecto a la medida inicial.
1.2. Formulación
Para obtener el porcentaje de luminosidad a distintas distancias se planteo la siguiente ecuación.
dI
dt
= −kl (1)
La intensidad de luz disminuye con una rapidez proporcional a la intensidad del presente. Entonces:
k > 0; Constante de proporcionalidad T: Distancia en del medio en cm.
De tal modo que:
dI
I
= −kdt (2)
Integrando en ambos lados obtenemos:
dI
I
= −kdt
ln I = −kt + c
Como valores iniciales obtenemos:
I0 = Io, Intesidad del rayo en t = 0.
Io = ce−(0)
Io = c
Entonces:
I = Ioe−kt
(3)
Página 2

4. Modelado de Ecuaciones Diferenciales
1.3. Solución
Sustituimos valores:
I = 23,85 %, t = 10
0,2358I = Ioe−10
k = ln 0,25 − 10
k = 0,1433
Ahora la ecuación queda:
25 = Ioe−(0,1433)(25)
I = 2,78 %deIo
Página 3

5. Modelado de Ecuaciones Diferenciales
2. Marcapasos
2.1. Proposición
Un marcapasos cardiaco se puede asemejar a la estructura de un circuito eléctrico, el cual en alegoría esta-
ría formado por una batería, un capacitor y el corazón, que funciona a modo de resistor, ver figura 1. Cuando el
conmutador S está en P, el condensador se carga; cuando está en Q, se descarga y manda un estímulo eléctrico
al corazón.
Figura 1: Circuito Equivalente de un Marcapasos
2.2. Formulación
En este intervalo, el voltaje E que se aplica al corazón está determinado por:
dE
dt
= −
1
RC
E, t1 < t < t2 (4)
en donde R y C son constantes. Determine E(t), cuando E(t) = 0. Naturalmente, la abertura y cierre del
interruptor son periódicas, para estimular los latidos naturales.
Página 4

6. Modelado de Ecuaciones Diferenciales
2.3. Solución
Por Separación de Variables
dE
dt
= −
1
RC
E
dE
E
= −
1
RC
dt
dE
E
= −
1
RC
dt
dE
E
= −
1
RC
dt
ln E = −
1
RC
t + k
eln E
= e− 1
RC t+k
E = e− t
RC k1
Por Problema de Valor Inicial E(t)=0.
E(t1) = E0
E0 = e−
t1
RC k1
E0 =
k1
e
t1
RC
k1 = E0e
t1
RC
E(t) = e− t
RC (E0e
t1
RC )
E(t) = E0e−
(t−t1
RC
Página 5

7. Modelado de Ecuaciones Diferenciales
3. Vigas
3.1. Proposición
Supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene sección transversal uniforme en toda su
longitud. Cuando no recibe carga, incluyendo su peso, la curva que une a los centroides de las secciones trans-
versales es una recta a la cual le llamamos eje de simetría. Si a la viga se le aplica una carga que se encuentre
en el eje de simetría, sufre una distorsión y la curva de los centroides se le llama curva de desviación o curva
elástica. Esta se aproxima a la forma de la viga.
Figura 2: Deflexión de una viga homogénea
3.2. Formulación
En teoría, la elasticidad demuestra que el momento flexionante M(x) en un punto x a lo largo de la viga, se
relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación:
d2
M
dx2
= w(x) (5)
Y el momento flexionantes es igual a la curva de elasticidad:
M(x) = EIk (6)
Donde:
E = Módulo de elasticidad del material de la viga.
I = Momento de inercia en la sección transversal.
M(x)= Momento flexionante.
Página 6

8. Modelado de Ecuaciones Diferenciales
Cuando la desviación y(x) es pequeña, la pendiente es 0, y = 0. De modo que [1 + (y )2
]
3
2 ≈ 1. Si k = y , la
ecuación 6 se transforma en M = EIy . La segunda derivada de esta ecuación es:
d2
M
dx2
= EIy
d2
dx2
= EI
d4
y
dx4
(7)
Aplicamos el resultado de la ecuación 5 para reemplazar d2
M
dx2 en la ecuación 7 y vemos que la desviación y(x)
satisface a la ecuación diferencial de cuarto orden.
EI
d4
y
dx4
= w(x) (8)
Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determine la desviación de esa viga si sostiene una
carga constante, W0, uniformemente distribuida en su longitud; esto es:
W(x) = W0, 0 < x < L. (9)
3.3. Solución
Según lo que acabamos de plantear, la desviación y(x) satisface a:
EI
d4
y
dx4
= w0 (10)
Puesto que la viga está empotrada en su extremo izquierdo (X = 0) y en su extremo derecho (x = L), no hay
desviación vertical y la elástica es horizontal en esos puntos. Así, las condiciones en la frontera son: Y (0) =
0, y (0) = 0, y(L) = 0, y (L) = 0.
Podemos resolver la ecuación diferencial no homogénea, es decir, determinar yc teniendo en cuenta que
m = 0 es una raíz cuarta, m4 = 0, para después hallar una solución particular yp, ya sea por el método de
coeficientes o integrando la ecuación cuatro veces d4
y
dx4 = w0
EI . Llegamos a la solución general, que es:
y(x) = c1 + c2x + c3x2
+ c4x3
+
w0
24EI
x4
. (11)
Las condiciones iniciales de y(0) = 0 y y (0) = 0, dan como resultado cl = 0 y c2 = 0. Mientras que las otras
condiciones otorgan, y(L) = 0 y y (L) = 0, aplicadas a y(x) = c3x2
+ c4x3
+ w0
24EI x4
originan las ecuaciones:
c3L2
+ c4L3
+
w0
24EI
L4
= 0
2c3L + 3c4L2
+
w0
6EI
L3
= 0
Al resolver este sistema se obtiene c3 = w0L2
24EI y c4 = − w0L
12EI . Entonces, la desviación es:
y(x) =
w0L2
24EI
x2
−
w0L
12EI
x3
+
w0
24EI
x4
=
w0
24EI
x2
(x − L)2
. (12)
Si w0 = 24EI y L = 1, se obtiene la siguiente gráfica.
Página 7

9. Modelado de Ecuaciones Diferenciales
Figura 3: Gráfica de Elasticidad
3.4. Simulación
Las simulaciones fueron realizadas en Solidworks, en el cual se diseñó una viga a la cual posteriormente se
le aplicó una fuerza para comprobar la deformación de la viga. En la figura 4 se muestra una viga fija a ambos
lados (marcas verdes), con una fuerza distribuida aplicada en toda la viga (marcas rosas).
Figura 4: Fuerzas en viga
Página 8

10. Modelado de Ecuaciones Diferenciales
Figura 5: Desplazamiento y deformación de la viga
Página 9