Sandra Sánchez

1. ECUACIONES DIFERENCIALES
Nombre:
o SANCHEZ SANDRA
INGENIERÍA AMBIENTAL
MATEMÁTICAS

2. ÍNDICE
Ecuaciones
diferenciales
Introducción de
las ecuaciones
diferenciales
Orden
Grado
Clasificación
Clasificación de
tipo de grado
Solución
general
Solución
particular
EDO de primer
orden y
segundo orden

3. ÍNDICE

4. ÍNDICE

5. ÍNDICE
Ecuaciones
diferenciales de
orden superior
Principios de
superposición
Reducción de
orden
Método del
anulador
Coeficientes
constantes
Variación de
parámetros

6. INTRODUCCIÓN A LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
 Es una ecuación que relaciona variables dependientes ,
sus derivados y variables independientes.

7. CLASIFICACIÓN
 ORDINARIAS: Presentan una sola variable dependiente
e independiente.

8. parciales
Presenta dos o mas variables dependientes.

9. ORDEN
 Se llama orden de la ecuación al exponente de la
derivada de mayor orden. Se dice que una
ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
 Se llama orden de la ecuación al exponente de la
derivada de mayor orden. Se dice que una
ecuación es lineal si tiene la forma.

10. GRADO
 Es la potencia de la derivada de mayor orden que
aparece en la ecuación, siempre y cuando la
ecuación este en forma polifónica, de no ser así se
considera que no tiene grado.

11. Clasificación del tipo de
grado y orden
Clasificación de
tipo y orden
Es una ecuación
diferencial ordinaria
lineal de primer
orden.
Es una ecuación
diferencial ordinaria
lineal de segundo
orden.
Es una ecuación
diferencial ordinaria
lineal de segundo
orden.

12. SOLUCIÓN GENERAL
Si la solución de una ecuación diferencial de orden
tiene constantes diferentes, diremos que dicha
solución es la solución general de la ecuación
diferencial.

13. SOLUCIÓN
PARTICULAR
 Si asignamos valores a algunas o todas esas
constantes obtenemos lo que se conoce como una
solución particular .

14. ECUACIÓN DIFERENCIAL
LINEAL ORDINARIA
Es una ecuación diferencial que tiene la forma general y
comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente
forma:
O usando otra notación frecuente:

15. ECUACIÓN LINEAL DE
PRIMER ORDEN
Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se
caracterizan por ser de la forma:
Donde y son funciones continuas en un intervalo
. La solución de esta ecuación viene dada
por:

16. ECUACIONES LINEALES DE
ORDEN “N”
Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial
lineal de primer orden podemos definir una ecuación
diferencial de orden n como:
Donde la derivada mayor que aparece es de orden enésimo.

17. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
 Se dice que una ecuación es de primer grado
cuando la variable (x) no está elevada a ninguna
potencia, es decir, su exponente es 1.

18. E.D DE VARIABLES SEPARABLES
Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las
más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos
problemas de la física, biología, economía, ingeniería,
etc., conducen a problemas de valor inicial que
involucran ecuaciones de primer orden.

20. E.D FACTOR
INTEGRANTE
Las ecuaciones diferenciales exactas son
relativamente inestables, por decirlo de alguna
manera, ya que la exactitud exige un balance en la
forma de la ecuación diferencial, balance que se
destruye bajo pequeñas modificaciones, por ejemplo,
la siguiente ecuación diferencial:

22. ECUACIONES DIFERENCIALES
EXACTAS
 Una ecuación diferencial exacta es una ecuación
diferencial ordinaria de primer orden que presenta
la forma:

27. ECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO
 Una ecuación de segundo grado o ecuación
cuadrática es una ecuación polinómica donde el
mayor exponente es igual a dos.

28. VARIACIÓN DE LA CONSTANTE
Para adaptar el método de variación de parámetros a
una ecuación diferencial de segundo orden
a2(x)y”+a1(x)y’+a0(x)y= g(x)
Se empieza por escribir la ecuación en la forma
estándar
Y”+P(x)y’ + Q(x)y=f(x)

33. VARIACIÓN DE LA CONSTANTE
Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de
segundo orden de la forma y”+ P(x)y’+Q(x)y=f(x)
obtenemos una solución complementaria por el
método de coeficientes constantes.
Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de
segundo orden de la forma y”+ P(x)y’+Q(x)y=f(x)
obtenemos una solución complementaria por el
método de coeficientes constantes.

34. ECUACIONES
DIFERENCIALES
HOMOGENEASExisten algunas ecuaciones diferenciales que al hacer
un cambio de variable adecuado se reducen a
ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo
anterior.

38. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE
BERNOULLI
Ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación
diferencial ordinaria de primer orden, formulada por
Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por
Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en
1697, en una ecuación diferencial lineal de primer
orden, mediante la sustitución
que se caracteriza por adoptar la forma:

40. ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE
RICCATI
La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial
ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y
desarrollada en el siglo XVIII por el matemático
italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de
analizar la hidrodinámica.

42. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO
ORDEN
Recordemos que las ecuaciones lineales de segundo
orden tienen la siguiente forma:

43. ECUACIONES
DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE
SEGUNDO ORDEN

44. PRINCIPIO
DE SUPERPOSICIÓN

48. REDUCCIÓN DE ORDEN
En matemáticas, la reducción de orden es una técnica
utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de
segundo orden. Se utiliza cuando la primera de dos
soluciones (y1) es conocida y se busca la segunda (y2)

53. METODO DEL ANULADOR

55. Ejemplo1
Usar el método del anulador para determinar la forma de una
solución particular de
1 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑒−2𝑥 sin 𝑥
La función 𝑔 𝑥 = 𝑒−2𝑥
sin 𝑥 es anulada por el operador
𝐴 ≔ 𝐷 + 2 2 + 12 = 𝐷2 + 4𝐷 + 5
Si aplicamos 𝐴 a ambos lados de (1), obtenemos
𝐴 𝑦′′ − 𝑦 = 𝐴 𝑒−2𝑥 sin 𝑥
2 𝐷2
+ 4𝐷 + 𝐷 𝐷2
− 1 𝑦 = 0

56. Ahora, la ecuación auxiliar asociada con (2) es
𝑟2 + 4𝑟 + 5 𝑟 − 1 𝑟 + 1 = 0
Que tiene raíces 1, −1, −2 + 𝑖, −2 − 𝑖 . Por lo tanto,
una solución general de (2) es
3 𝑦 𝑥
= 𝑐1 𝑒 𝑥
+ 𝑐2 𝑒−𝑥
+ 𝑐3 𝑒−2𝑥
cos 𝑥 + 𝑐4 𝑒−2𝑥
sin 𝑥

57. Una solución general de la ecuación homogénea
correspondiente 𝑦′′
− 𝑦 = 0 es 𝑦ℎ 𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥
+ 𝑐2 𝑒−𝑥
,
de modo que una solución particular de (1) tiene la
forma
𝑦𝑝 𝑥 = 𝑐3 𝑒−2𝑥
cos 𝑥 + 𝑐4 𝑒−2𝑥
sin 𝑥

58. COEFICIENTES CONSTANTES

61. VARIACIÓN DE PARÁMETROS

62. BIBLIOGRAFIA
 Ecuaciones diferenciales de orden superior Variación de
los parámetros. Tomado el 12 de Noviembre del 2009
Disponible en:
http://ucua.ujaen.es/jquesada/Descargas/MatematicasII/
P06EDO.pdf