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ECUACIONES DIFERENCIALES
Nombre:
o SANCHEZ SANDRA
INGENIERÍA AMBIENTAL
MATEMÁTICAS
ÍNDICE
Ecuaciones
diferenciales
Introducción de
las ecuaciones
diferenciales
Orden
Grado
Clasificación
Clasificación de
tipo de grado
Solución
general
Solución
particular
EDO de primer
orden y
segundo orden
ÍNDICE
ÍNDICE
ÍNDICE
Ecuaciones
diferenciales de
orden superior
Principios de
superposición
Reducción de
orden
Método del
anulador
Coeficientes
constantes
Variación de
parámetros
INTRODUCCIÓN A LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
 Es una ecuación que relaciona variables dependientes ,
sus derivados y variables independientes.
CLASIFICACIÓN
 ORDINARIAS: Presentan una sola variable dependiente
e independiente.
parciales
Presenta dos o mas variables dependientes.
ORDEN
 Se llama orden de la ecuación al exponente de la
derivada de mayor orden. Se dice que una
ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
 Se llama orden de la ecuación al exponente de la
derivada de mayor orden. Se dice que una
ecuación es lineal si tiene la forma.
GRADO
 Es la potencia de la derivada de mayor orden que
aparece en la ecuación, siempre y cuando la
ecuación este en forma polifónica, de no ser así se
considera que no tiene grado.
Clasificación del tipo de
grado y orden
Clasificación de
tipo y orden
Es una ecuación
diferencial ordinaria
lineal de primer
orden.
Es una ecuación
diferencial ordinaria
lineal de segundo
orden.
Es una ecuación
diferencial ordinaria
lineal de segundo
orden.
SOLUCIÓN GENERAL
Si la solución de una ecuación diferencial de orden
tiene constantes diferentes, diremos que dicha
solución es la solución general de la ecuación
diferencial.
SOLUCIÓN
PARTICULAR
 Si asignamos valores a algunas o todas esas
constantes obtenemos lo que se conoce como una
solución particular .
ECUACIÓN DIFERENCIAL
LINEAL ORDINARIA
Es una ecuación diferencial que tiene la forma general y
comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente
forma:
O usando otra notación frecuente:
ECUACIÓN LINEAL DE
PRIMER ORDEN
Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se
caracterizan por ser de la forma:
Donde y son funciones continuas en un intervalo
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lineal de primer orden podemos definir una ecuación
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cuando la variable (x) no está elevada a ninguna
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más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos
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relativamente inestables, por decirlo de alguna
manera, ya que la exactitud exige un balance en la
forma de la ecuación diferencial, balance que se
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mayor exponente es igual a dos.
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Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de
segundo orden de la forma y”+ P(x)y’+Q(x)y=f(x)
obtenemos una solución complementaria por el
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Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de
segundo orden de la forma y”+ P(x)y’+Q(x)y=f(x)
obtenemos una solución complementaria por el
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ECUACIONES
DIFERENCIALES
HOMOGENEASExisten algunas ecuaciones diferenciales que al hacer
un cambio de variable adecuado se reducen a
ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo
anterior.
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE
BERNOULLI
Ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación
diferencial ordinaria de primer orden, formulada por
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forma
𝑦𝑝 𝑥 = 𝑐3 𝑒−2𝑥
cos 𝑥 + 𝑐4 𝑒−2𝑥
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COEFICIENTES CONSTANTES
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
BIBLIOGRAFIA
 Ecuaciones diferenciales de orden superior Variación de
los parámetros. Tomado el 12 de Noviembre del 2009
Disponible en:
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Ecuaciones diferenciales

  • 1. ECUACIONES DIFERENCIALES Nombre: o SANCHEZ SANDRA INGENIERÍA AMBIENTAL MATEMÁTICAS
  • 2. ÍNDICE Ecuaciones diferenciales Introducción de las ecuaciones diferenciales Orden Grado Clasificación Clasificación de tipo de grado Solución general Solución particular EDO de primer orden y segundo orden
  • 5. ÍNDICE Ecuaciones diferenciales de orden superior Principios de superposición Reducción de orden Método del anulador Coeficientes constantes Variación de parámetros
  • 6. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES  Es una ecuación que relaciona variables dependientes , sus derivados y variables independientes.
  • 7. CLASIFICACIÓN  ORDINARIAS: Presentan una sola variable dependiente e independiente.
  • 8. parciales Presenta dos o mas variables dependientes.
  • 9. ORDEN  Se llama orden de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:  Se llama orden de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma.
  • 10. GRADO  Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polifónica, de no ser así se considera que no tiene grado.
  • 11. Clasificación del tipo de grado y orden Clasificación de tipo y orden Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden. Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden. Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.
  • 12. SOLUCIÓN GENERAL Si la solución de una ecuación diferencial de orden tiene constantes diferentes, diremos que dicha solución es la solución general de la ecuación diferencial.
  • 13. SOLUCIÓN PARTICULAR  Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular .
  • 14. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL ORDINARIA Es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma: O usando otra notación frecuente:
  • 15. ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma: Donde y son funciones continuas en un intervalo . La solución de esta ecuación viene dada por:
  • 16. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN “N” Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer orden podemos definir una ecuación diferencial de orden n como: Donde la derivada mayor que aparece es de orden enésimo.
  • 17. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO  Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.
  • 18. E.D DE VARIABLES SEPARABLES Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología, economía, ingeniería, etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden.
  • 19.
  • 20. E.D FACTOR INTEGRANTE Las ecuaciones diferenciales exactas son relativamente inestables, por decirlo de alguna manera, ya que la exactitud exige un balance en la forma de la ecuación diferencial, balance que se destruye bajo pequeñas modificaciones, por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial:
  • 21.
  • 22. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS  Una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:
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  • 24.
  • 25.
  • 26.
  • 27. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO  Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos.
  • 28. VARIACIÓN DE LA CONSTANTE Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden a2(x)y”+a1(x)y’+a0(x)y= g(x) Se empieza por escribir la ecuación en la forma estándar Y”+P(x)y’ + Q(x)y=f(x)
  • 29.
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  • 32.
  • 33. VARIACIÓN DE LA CONSTANTE Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden de la forma y”+ P(x)y’+Q(x)y=f(x) obtenemos una solución complementaria por el método de coeficientes constantes. Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden de la forma y”+ P(x)y’+Q(x)y=f(x) obtenemos una solución complementaria por el método de coeficientes constantes.
  • 34. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEASExisten algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.
  • 35.
  • 36.
  • 37.
  • 38. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI Ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución que se caracteriza por adoptar la forma:
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  • 40. ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE RICCATI La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.
  • 41.
  • 42. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Recordemos que las ecuaciones lineales de segundo orden tienen la siguiente forma:
  • 45.
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  • 47.
  • 48. REDUCCIÓN DE ORDEN En matemáticas, la reducción de orden es una técnica utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Se utiliza cuando la primera de dos soluciones (y1) es conocida y se busca la segunda (y2)
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  • 55. Ejemplo1 Usar el método del anulador para determinar la forma de una solución particular de 1 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑒−2𝑥 sin 𝑥 La función 𝑔 𝑥 = 𝑒−2𝑥 sin 𝑥 es anulada por el operador 𝐴 ≔ 𝐷 + 2 2 + 12 = 𝐷2 + 4𝐷 + 5 Si aplicamos 𝐴 a ambos lados de (1), obtenemos 𝐴 𝑦′′ − 𝑦 = 𝐴 𝑒−2𝑥 sin 𝑥 2 𝐷2 + 4𝐷 + 𝐷 𝐷2 − 1 𝑦 = 0
  • 56. Ahora, la ecuación auxiliar asociada con (2) es 𝑟2 + 4𝑟 + 5 𝑟 − 1 𝑟 + 1 = 0 Que tiene raíces 1, −1, −2 + 𝑖, −2 − 𝑖 . Por lo tanto, una solución general de (2) es 3 𝑦 𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥 + 𝑐3 𝑒−2𝑥 cos 𝑥 + 𝑐4 𝑒−2𝑥 sin 𝑥
  • 57. Una solución general de la ecuación homogénea correspondiente 𝑦′′ − 𝑦 = 0 es 𝑦ℎ 𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥 , de modo que una solución particular de (1) tiene la forma 𝑦𝑝 𝑥 = 𝑐3 𝑒−2𝑥 cos 𝑥 + 𝑐4 𝑒−2𝑥 sin 𝑥
  • 59.
  • 60.
  • 62. BIBLIOGRAFIA  Ecuaciones diferenciales de orden superior Variación de los parámetros. Tomado el 12 de Noviembre del 2009 Disponible en: http://ucua.ujaen.es/jquesada/Descargas/MatematicasII/ P06EDO.pdf