Contuinidad uniforme

1. Tipos de discontinuidad
Sea 𝑓 una función real definida sobreun intervalo (𝑎, 𝑏).Supogamos que
𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏).Si 𝑓( 𝑥) → 𝐴 cuando 𝑥 → 𝑐 con valores mayores que 𝑐 ,
diremos que 𝐴 es el limite lateral por la derecha de 𝑓 en 𝑐 y lo
indicaremos, escribiendo
lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝐴
El limite lateral por la derecha sedesigna también por medio de 𝑓(𝑐+).En
la terminología ℰ, 𝛿 significa que para todo ℰ > 0 existe un 𝛿 > 0 tal que
| 𝑓( 𝑥) − 𝑓(𝑐+)| < ℰ siempre que 𝑐 < 𝑥 < 𝑐 + 𝛿 < 𝑏.
Notese que f no necesita estar definida en el punto c. Si f esta definida en
c y es 𝑓( 𝑐 +) = 𝑓(𝑐),diremos que 𝑓 es continua por la derecha en 𝑐.
Los limites laterales por la izquierda y la continuidad por la izquierda en c
se definen análogamente si 𝑐 𝜖 (𝑎, 𝑏].
si 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 , entonces f es una discontinuidad de f, si f no es continua en
c.En este caso debera cumplirse alguna de estas condiciones:
a) O no existe 𝑓( 𝑐 +) o no existe 𝑓( 𝑐 −).
b) Tanto 𝑓( 𝑐 +) como 𝑓( 𝑐 −) existen pero son diferentes
c) Tanto 𝑓( 𝑐 +) como 𝑓( 𝑐 −) existen y 𝑓( 𝑐 +) = 𝑓(𝑐−) ≠ 𝑓(𝑐).
En el caso (c) sedice que el punto c es una discontinuidad evitable, ya que
la discontinuidad podría evitarse volviendo a definir f en c talque el valor
de f en c fuese 𝑓( 𝑐 +) = 𝑓(𝑐−). En los casos (a) y (b), se dice que c es una
discontinuidad inevitable dado que la discontinuidad semantendría
aunque volvamos a definir f en c.
Definición . Sea f una función definida sobreun intervalo cerrado[𝐚, 𝐛].
Si 𝑓( 𝑐 +) 𝑦 𝑓(𝑐−) existen en un punto interior c, entonces :
a) 𝑓( 𝑐) − 𝑓(𝑐−) se llama el salto de f a la izquierda de c.
b) 𝑓( 𝑐 +) − 𝑓(𝑐) se llama el salto de f a la derecha de c.
c) 𝑓( 𝑐 +) − 𝑓(𝑐−) se llama el salto de f en c.
*) Si alguno de ellos es distinto de 0, entonces se dice que f tiene una
discontinuidad de salto en c.

2. **)en los puntos extremos a y b solo consideraremos unos de los saltos
laterales, el salto a la derecha en a, 𝑓( 𝑎 +) − 𝑓(𝑎), y el salto a la izquierda
en b, 𝑓( 𝑏) − 𝑓(𝑏−).
Ejemplos.
1) 𝑓: ℝ − {0} → ℝ definida mediante 𝑓( 𝑥) =
𝑥
| 𝑥|
, si 𝑥 ≠ 0 , 𝑓(0) = 𝐴,
tiene una discontinuidad de salto en 0, independientemente del
valor de 𝐴. Aquí 𝑓(0 +) = 1 y 𝑓(0 −) = −1.
Continuidad Uniforme
Sea 𝑓: 𝑋 → 𝑌 continua. Dado ℰ > 0 ,para cada 𝑥 ∈ 𝑋 sepuede encontrar
𝛿 > 0 talque 𝑦 ∈ 𝑋, | 𝑥 − 𝑦| < 𝛿 implican | 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| < ℰ .El numero
positivo 𝛿 depende no solo del ℰ > 0 dado sino tambien del punto 𝑥
donde se examina la continuidad .Dado ℰ > 0 no es siempreposible
encontrar un 𝛿 > 0 que sirva para todos los puntos 𝑥 ∈ 𝑋 (inclusive
cuando 𝑓 es continua en todos estos puntos)
Ejemplos.
1) 𝑓: ℝ − {0} → ℝ definida mediante 𝑓( 𝑥) =
𝑥
| 𝑥|
,luego 𝑓( 𝑥) = 1, si
𝑥 > 0 y 𝑓( 𝑥) = −1 para 𝑥 < 0. Esta función es continua en ℝ − {0}
pues es constante en torno de cada punto 𝑥 ≠ 0.No obstante si
tomamos ℰ < 2,∀𝛿 > 0 escogido,siempreexistirán puntos
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ − {0}tales que | 𝑦 − 𝑥| < 𝛿 y | 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≥ ℰ.solo
tomaríamos 𝑥 =
𝛿
3
e 𝑦 =
𝛿
3
.

3. Una función 𝑓: 𝑋 → ℝ sedice uniformemente continua en el conjunto X
cuando, para todo ℰ > 0 dado, se puede obtener 𝛿 > 0 talque
𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, | 𝑦 − 𝑥| < 𝛿 implican | 𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑥)| < ℰ.
Una función uniformemente continua 𝑓: 𝑋 → ℝ es continua en todos los
puntos del conjunto X.
Teorema
Para que 𝑓: 𝑋 → ℝ sea uniformemente continua es necesario y suficiente
que,para todo par de sucesiones ( 𝑥 𝑛), (𝑦𝑛) en X tales que
lim
𝑛→∞
( 𝑦𝑛 − 𝑥 𝑛) = 0 , se tenga lim
𝑛→∞
( 𝑓(𝑦𝑛) − 𝑓(𝑥 𝑛)) = 0
Teorema
Sea 𝑋 ⊂ ℝ compacto .Toda función continua 𝑓: 𝑋 → ℝ es
uniformemente continua.