Este documento describe la conversión entre modelos de espacio de estados y funciones de transferencia para sistemas de control. Explica que un modelo de espacio de estados representa un sistema físico mediante ecuaciones diferenciales de estado que relacionan las entradas, salidas y variables de estado. Luego, detalla cómo obtener la función de transferencia aplicando la transformada de Laplace al modelo de estado. Finalmente, concluye que ambas representaciones mantienen una relación recíproca y describen el mismo sistema aunque de forma diferente, lo cual puede ser útil para simplificar la visual

1. UPEMOR – Electrónica y Telecomunicaciones – IET 6° A
EP12. Reporte de
investigación 5 Conversión de
modelado de espacio de
estados a función de
transferencia
Ingeniería de control – Dr. Cornelio Morales Morales
Fermin Alejandro Flores Reyes – FRFO131254
15/06/2015

2. 1
Objetivo:
Investigar la conversión de modelo de espacio de estados a función de
transferencia y viceversa. Y que el alumno sea capas de implementar ese
conocimiento.
Introducción:
Una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un
sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de
estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se
combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir
del número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como
vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial, esto último
siempre cuando el sistema dinámico sea lineal e invariante en el tiempo. La
representación de espacios de estado, también conocida como aproximación en el
dominio del tiempo, provee un modo compacto y conveniente de modelar y
analizar sistemas con múltiples entradas y salidas.
Marco Teórico:
De modelado en espacio de estados a función de transferencia.
La función de transferencia de un modelo en espacio de estados continuo e
invariante en el tiempo puede ser obtenida de la siguiente manera:
Tomando la transformada de Laplace de:
Se obtiene:
Se divide entre :
(Con I la matriz identidad del tamaño de
A)
Sustituyendo por en la ecuación de salida:
, queda

3. 2
Como la función de transferencia está definida como la relación de salida sobre la
entrada de un sistema, se toma:
Y se sustituyen las expresiones previas por con respecto a ,
quedando
Claramente debe tener q por p dimensiones, así como un total de qp
elementos. Entonces para cada entrada hay q funciones de transferencias con uno
por cada salida. Esta es la razón por la cual la representación de espacios de
estados puede fácilmente ser la elección preferida para sistemas de múltiples
entradas, múltiples salidas (MIMO, por sus siglas en inglés: Multiple-Input
(Multiples entradas), Multiple-Output (Multiples salidas))
Obtención de la función de transferencia a partir del modelo de estado
Realizados los ejemplos volvamos pues con el objeto de esta sección: obtener la
función de transferencia de un sistema de una única entrada y una única salida
(SISO) definido por su modelo de estado. Sea éste:
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación de estado y a la ecuación de
salida anteriores, se tiene que
Donde B es una matriz de orden nx1 debido a que el sistema tiene una única
entrada u. Obsérvese que no se tienen en cuenta las condiciones iniciales, ya que
lo que se busca es una función de transferencia. Reordenando la ecuación de
estado anterior se obtiene que

4. 3
Asumiendo la invariabilidad de la matriz de orden , y
denominando su inversa como , se tiene
Sustituyendo ahora el valor de X(s) obtenido en la ecuación de salida (2.53), se
obtiene
Por consiguiente, la función de transferencia del
sistema es
Puesto que
Queda claro que el polinomio denominador de la función de transferencia es
. Esto es, los polos del sistema coinciden con los valores propios o
auto valores de la matriz A, ya que se obtienen a partir de su ecuación
característica o polinomio característico
Mapa conceptual.

5. 4
Conclusión.
El cambio de una representación a otra puede ser muy útil para simplificar, la
visualización de los procesos, así mismo mantienen una relación reciproca entre
cada una de las representación, esto quiere decir que no importa como este
representado sigue siendo el mismo.
Bibliografía
[1] K. Ogata, Ingeniería de control moderna, Pearson Educación, 2003.
[2] «Glosario Instrumentación de medición y control,» [En línea]. Available:
http://glosarios.servidor-alicante.com/instrumentacion. [Último acceso: 2015 Mayo 05].
[3] J. A. Sánchez, Control Avanzadoo de Procesos: Teoría y Práctica, Díaz de Santos, 2003.