Fundamentos matemáticos de la TCA

1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA TCA Jorge Luis Jaramillo PIET EET UTPL marzo 2010

3. Transformada y antitransformada de la Laplace

4. Integración de una ecuación diferencial

6. Linealización de sistemas Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x a través de alguna función f(x). Se dice que la relación entre las variables yyx es lineal si la función f(x) es la ecuación de la línea recta y = mx + b . Si la ecuación no cumple con la condición anterior, entonces la ecuación es no lineal. La linealización de una ecuación, alrededor de un punto, utiliza la serie de Taylor y el concepto de estados estacionarios. La serie de Taylor de una función que tiene grado de derivación f (n)y en las proximidades del punto a se define como : donde es n! es el factorial, f (n) es la enésima derivada, y, a el punto en el que se quiere calcular la serie.

7. Linealización de sistemas Linealizar una ecuación no lineal implica “reemplazarla” por una ecuación lineal. Este reemplazo es local, es decir válido en una región próxima a un punto llamado de equilibrio. Gráfico tomado de Documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003

8. Linealización de sistemas Se dice que un sistema físico está en estado estacionario cuando las características del mismo no varían con el tiempo. Desde esta perspectiva, un sistema estará en estado estacionario cuando sus variables descriptivas no cambien. Desde la perspectiva matemática, un sistema físico se encuentra en estado estacionario si las derivadas de las variables que lo describen son igual a cero.

9. Linealización de sistemas PROBLEMA PROPUESTO

10. Transformada y antitransformada de Laplace La transformada de Laplacede una función f(t), definida para todos los números reales , es la función F(s) definida por: siempre y cuando la integral esté definida. Así por ejemplo, la transformada de f(t)=e -t será:

11. Transformada y antitransformada de Laplace Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y la derivación se convierten en operaciones de multiplicación y de división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en pseudo ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

12. Transformada y antitransformada de Laplace Tabla de transformadas básicas de Laplace

13. Transformada y antitransformada de Laplace Tabla de transformadas básicas de Laplace

14. Transformada y antitransformada de Laplace Sea F(s) la transformada de Laplace de una función f (t). La transformada inversa de Laplace o antitransformada de F(s), se calcula como: Generalmente no se resuelve esta ecuación, sino que se busca la respuesta utilizando tablas y el método de las fracciones parciales.

15. Transformada y antitransformada de Laplace PROBLEMA PROPUESTO

17. Despejar la transformada de la solución, y(s) .

19. Convolución de dos funciones En matemáticas una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Se puede considerar que una convolución es un tipo muy general de promedio móvil. La convolución de f y g se denota f * g. Se define como la integral del producto de ambas funciones después desplazada una distancia τ.

20. Convolución de dos funciones Gifs tomados de wikipedia

21. DISCUSIÓN Y ANÁLISIS