Este documento analiza las proporciones geométricas que surgen al seccionar iterativamente un rectángulo conocido como el tangram mínimo de Brügner. Se demuestra que las proporciones entre los lados y segmentos del rectángulo son la raíz cuadrada y la razón áurea, respectivamente. Al trazar secciones áureas perpendiculares a los lados, se generan rectángulos similares al original cuya razón de semejanza es la razón áurea.
El documento discute la secuencia de Fibonacci, la proporción áurea y su presencia en la naturaleza y el arte. Explica que aunque estas matemáticas se usan para describir patrones naturales, no "explican" los procesos naturales directamente. También señala que algunas afirmaciones sobre su ubicuidad son exageradas.
Este documento presenta información sobre el rectángulo áureo, incluyendo su historia, definición, ejemplos de su uso en la antigüedad y actualidad, y su relación con el arte y la naturaleza. Se describe cómo los egipcios y griegos usaron proporciones áureas en sus construcciones como las pirámides y el Partenón. También se explica cómo se construye geométricamente el rectángulo áureo y cómo esto conduce a una espiral logarítmica que se encuentra en la naturaleza. Finalmente
Este documento presenta una lectura sobre geometría y diseño. Explica conceptos geométricos como la geometría sagrada, la semejanza, el rectángulo dinámico y la simetría. También describe construcciones geométricas como cuadrados, rectángulos áureos, triángulos equiláteros y sólidos platónicos utilizando regla y compás. El documento tiene el propósito de presentar estas ideas geométricas fundamentales.
El documento explica el número áureo o número de oro (fi), que tiene un valor aproximado de 1,618. Ha aparecido en la naturaleza y en obras de arte y arquitectura a lo largo de la historia. Pitágoras, Fibonacci y Luca Pacioli estudiarion este número irracional. Se puede encontrar en la proporción de partes del cuerpo humano y en estructuras como la Torre Eiffel y el Edificio de la ONU.
Este documento resume el número de oro, también conocido como la proporción áurea. Explica que es un número irracional que aparece con frecuencia en la naturaleza y el arte. Detalla la historia del número de oro desde la antigua Grecia y proporciona ejemplos de su uso en la pirámide de Keops, templos griegos y obras de arte como el Apolo de Belvedere y la pintura de Dalí Leda Atómica. También señala que el número de oro está presente en objetos cotidianos como tarjetas
Para los griegos antiguos, la belleza se basaba en la proporción matemática. Creían que detrás de toda belleza había una ley numérica o armonía. La sección áurea, representada por el número φ, se consideraba la proporción más hermosa. Los griegos aplicaron esta proporción al arte, la arquitectura y la escultura, creyendo que reflejaba la perfección divina. A lo largo de la historia, muchas obras maestras han seguido esta proporción, tanto de forma consciente como inconsciente
El documento describe la proporción áurea y su presencia en el arte, la naturaleza y la música a lo largo de la historia. Se define matemáticamente como una proporción entre dos segmentos divididos de tal forma que la relación entre los segmentos es la misma que entre sus partes. Los artistas desde la antigüedad la han utilizado intuitivamente en obras como la Venus de Milo y composiciones de Mozart y Beethoven parecen seguir esta proporción de forma no intencional.
Este documento presenta información sobre las matemáticas en la pintura. Explica conceptos como los cuadrados mágicos, la proporción áurea, la espiral de Durero, y cómo artistas como Velázquez y Leonardo da Vinci incorporaron estas ideas matemáticas en obras maestras como Las Meninas y La Gioconda. También analiza las teselaciones y figuras imposibles creadas por el artista M. C. Escher, que demuestran una comprensión profunda de conceptos geométricos.
El documento discute la secuencia de Fibonacci, la proporción áurea y su presencia en la naturaleza y el arte. Explica que aunque estas matemáticas se usan para describir patrones naturales, no "explican" los procesos naturales directamente. También señala que algunas afirmaciones sobre su ubicuidad son exageradas.
Este documento presenta información sobre el rectángulo áureo, incluyendo su historia, definición, ejemplos de su uso en la antigüedad y actualidad, y su relación con el arte y la naturaleza. Se describe cómo los egipcios y griegos usaron proporciones áureas en sus construcciones como las pirámides y el Partenón. También se explica cómo se construye geométricamente el rectángulo áureo y cómo esto conduce a una espiral logarítmica que se encuentra en la naturaleza. Finalmente
Este documento presenta una lectura sobre geometría y diseño. Explica conceptos geométricos como la geometría sagrada, la semejanza, el rectángulo dinámico y la simetría. También describe construcciones geométricas como cuadrados, rectángulos áureos, triángulos equiláteros y sólidos platónicos utilizando regla y compás. El documento tiene el propósito de presentar estas ideas geométricas fundamentales.
El documento explica el número áureo o número de oro (fi), que tiene un valor aproximado de 1,618. Ha aparecido en la naturaleza y en obras de arte y arquitectura a lo largo de la historia. Pitágoras, Fibonacci y Luca Pacioli estudiarion este número irracional. Se puede encontrar en la proporción de partes del cuerpo humano y en estructuras como la Torre Eiffel y el Edificio de la ONU.
Este documento resume el número de oro, también conocido como la proporción áurea. Explica que es un número irracional que aparece con frecuencia en la naturaleza y el arte. Detalla la historia del número de oro desde la antigua Grecia y proporciona ejemplos de su uso en la pirámide de Keops, templos griegos y obras de arte como el Apolo de Belvedere y la pintura de Dalí Leda Atómica. También señala que el número de oro está presente en objetos cotidianos como tarjetas
Para los griegos antiguos, la belleza se basaba en la proporción matemática. Creían que detrás de toda belleza había una ley numérica o armonía. La sección áurea, representada por el número φ, se consideraba la proporción más hermosa. Los griegos aplicaron esta proporción al arte, la arquitectura y la escultura, creyendo que reflejaba la perfección divina. A lo largo de la historia, muchas obras maestras han seguido esta proporción, tanto de forma consciente como inconsciente
El documento describe la proporción áurea y su presencia en el arte, la naturaleza y la música a lo largo de la historia. Se define matemáticamente como una proporción entre dos segmentos divididos de tal forma que la relación entre los segmentos es la misma que entre sus partes. Los artistas desde la antigüedad la han utilizado intuitivamente en obras como la Venus de Milo y composiciones de Mozart y Beethoven parecen seguir esta proporción de forma no intencional.
Este documento presenta información sobre las matemáticas en la pintura. Explica conceptos como los cuadrados mágicos, la proporción áurea, la espiral de Durero, y cómo artistas como Velázquez y Leonardo da Vinci incorporaron estas ideas matemáticas en obras maestras como Las Meninas y La Gioconda. También analiza las teselaciones y figuras imposibles creadas por el artista M. C. Escher, que demuestran una comprensión profunda de conceptos geométricos.
El documento habla sobre el número áureo o razón dorada, que representa la división armónica de un segmento. Tiene valor aproximado de 1,618 y se encuentra presente en la naturaleza, arquitectura y arte. La serie de Fibonacci también está relacionada con este número, y ambos tienen importancia debido a su presencia en proporciones humanas y patrones de crecimiento.
Este documento describe el número áureo y la serie de Fibonacci, incluyendo sus propiedades matemáticas y cómo se manifiestan en el arte y la naturaleza. La serie de Fibonacci describe el crecimiento poblacional de conejos y sus números se relacionan con el número áureo. Artistas a través de la historia han utilizado estas proporciones en sus obras maestras como la Mona Lisa y el Partenón.
El documento describe la obra "Razón Áurea" de Salvador Dalí y cómo representa el número de oro a través de una sucesión de rectángulos áureos que conforman una espiral áurea. También explica cómo las dimensiones del cuadro están en proporción áurea y cómo el "anexo inexplicable" del título en realidad es explicable al prolongar el cuadro hacia arriba basado en esta proporción.
El documento resume las propiedades y aplicaciones del número de oro (1,618033989...) en las matemáticas y la naturaleza. Explica que el número surge de la proporción áurea en rectángulos y segmentos, y que aparece en la espiral logarítmica, las proporciones del cuerpo humano, y los números de la sucesión de Fibonacci que gobiernan el crecimiento de plantas. También señala que el número de oro se ha usado históricamente en la arquitectura para crear belleza y armonía
El rectángulo áureo es un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea, aproximadamente 1:1,618. Los griegos lo consideraban bello y lo usaron en arquitectura. Artistas como Leonardo da Vinci también han utilizado esta proporción para lograr equilibrio y belleza en sus obras.
Este documento describe las propiedades y aplicaciones del número áureo (1,618...) en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo se encuentra en la proporción de segmentos divididos de cierta manera, y que aparece en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales y en el cuerpo humano según estudios de Leonardo da Vinci. También señala que el número áureo subyace en obras de arte como la Mona Lisa y en edificios como el Partenón.
Este documento describe las propiedades y aplicaciones del número áureo (1,618...) en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo se encuentra en la proporción de segmentos divididos de cierta manera, y que aparece en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales y en el cuerpo humano según estudios de Leonardo da Vinci. También señala que el número áureo subyace en obras de arte famosas y en la arquitectura de edificios como el
El documento habla sobre el número áureo y cómo se relaciona con la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo (1.618...) surge de dividir un segmento en proporción áurea y se encuentra en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales, el cuerpo humano, obras de arte como la Mona Lisa y edificios como el Partenón.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría. Define términos como punto, recta, plano, segmento y rayo. Explica la historia de la geometría desde su origen en el antiguo Egipto hasta su desarrollo por los griegos. También clasifica ángulos y describe conceptos como puntos colineales y coplanarios. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para comprender y aplicar los conceptos geométricos.
El documento describe la historia y propiedades de la proporción áurea, también conocida como número de oro o sección divina. Ha sido utilizada por artistas y arquitectos a lo largo de la historia para crear obras armoniosas, como el Partenón. Se explica su presencia en formas matemáticas como el pentágono regular y sólidos platónicos. También se mencionan biografías de figuras históricas relacionadas con el descubrimiento y estudio de esta proporción.
El documento describe el número áureo o número de oro, representado por la letra griega φ. Es un número irracional que se encuentra en muchas figuras geométricas y en la naturaleza. Tiene propiedades matemáticas interesantes y ha sido estudiado desde la antigüedad por figuras como los pitagóricos, Euclides y Leonardo Da Vinci.
La proporción áurea Alejandra y Palomadepartdebuxo
La proporción áurea se refiere a una relación numérica encontrada en la naturaleza y el arte. Fue estudiada por figuras como Euclides, Fibonacci y Platón. Se expresa como la relación entre dos segmentos de una línea dividida de tal forma que la relación entre el mayor y el total es igual a la del mayor y el menor. Ha sido usada en obras arquitectónicas como las pirámides egipcias y el Partenón.
1) El documento habla sobre el rectángulo áureo, cuyas proporciones se consideran armoniosas y atractivas visualmente. 2) A lo largo de la historia, culturas como los egipcios, griegos y del Renacimiento han usado esta proporción en arquitectura y arte. 3) El número áureo surge de dividir un segmento en dos partes manteniendo una proporción constante y tiene aplicaciones estéticas e históricas.
El documento describe cómo construir un rectángulo áureo dibujando un cuadrado y trazando una línea desde el punto medio de la base hasta el vértice opuesto. Explica que la relación entre los lados del rectángulo da como resultado el número áureo y que este número es irracional. También habla brevemente sobre la espiral de Durero, que se construye uniendo los vértices opuestos de una sucesión de rectángulos áureos.
Tim Berners-Lee, el inventor de la World Wide Web, nació en Londres en 1955. Sus padres trabajaron en uno de los primeros ordenadores del mundo en la Universidad de Manchester. Estudió física en la Universidad de Oxford y trabajó en el CERN donde propuso un sistema basado en hipertexto para compartir información entre investigadores. En 1989, desarrolló HTTP y HTML en el CERN para unir internet y el hipertexto, creando así la World Wide Web. En 1994, fundó el W3C para estandarizar las tecnologías web.
Este documento describe la segunda versión de una competencia de creatividad rápida donde los futuros publicistas tienen 600 segundos para crear ilusiones que se rompen o renacen. Más de 300 personas se reunieron durante 3 horas para ver esta competencia con rigoroso límite de tiempo bajo la presencia de todas las sedes de DuocUC.
Aqui te comparto una informacion que te va a ayudar a descubrir la belleza de la fascinante industria de network marketing, mercadeo en red o multinivel.
Este documento describe la instalación y uso de extensiones de terceros en Joomla. Explica que las extensiones agregan nuevas funcionalidades a Joomla de forma sencilla. Provee un resumen de las categorías de extensiones disponibles y describe los procesos de instalación y desinstalación. También presenta ejemplos detallados de cómo instalar y usar dos extensiones específicas: el componente Xmap para crear mapas de sitio y el módulo RokSlideshow para mostrar galerías de imágenes.
Integrar las Tics en el proceso del Aprendizajemagyana
Este documento describe las unidades didácticas 2.0, que incorporan aplicaciones y servicios de la Web 2.0 como wikis, blogs y redes sociales para facilitar la interacción y el aprendizaje colaborativo entre estudiantes. Explica que una unidad didáctica 2.0 debe estar programada por los docentes y adaptada a los estudiantes, abarcar todas las etapas del proceso de enseñanza-aprendizaje e incluir la participación activa de los estudiantes. También proporciona ejemplos de herramientas de la Web
El documento describe los eventos y cambios recientes en el Colegio "Sebastian Barranca Lovera", incluyendo la remodelación exterior del colegio, un discurso del director en el auditorio, una escolta y profesores de educación secundaria, y dos festividades, una en la Municipalidad de Lima y otra en el propio colegio en 2007.
La escuela República Dominicana fue fundada en 1936 y está ubicada en San Francisco de Dos Ríos, Costa Rica. La escuela cuenta con un patio de juegos, un laboratorio de computación con 19 estaciones, un amplio comedor, una biblioteca, aulas de apoyo limpias y frescas, un área de juego al aire libre, pasillos amplios y bonitos, y un salón multiusos para actos y reuniones.
El documento presenta información sobre el aniversario número ocho del Colegio CEIA Janequeo, incluyendo detalles sobre las actividades y competencias realizadas por los diferentes cursos. También contiene breves biografías sobre Janequeo, la persona a quien el colegio rinde homenaje, y sobre conceptos básicos de geometría como triángulos y ecuaciones de primer grado.
El documento habla sobre el número áureo o razón dorada, que representa la división armónica de un segmento. Tiene valor aproximado de 1,618 y se encuentra presente en la naturaleza, arquitectura y arte. La serie de Fibonacci también está relacionada con este número, y ambos tienen importancia debido a su presencia en proporciones humanas y patrones de crecimiento.
Este documento describe el número áureo y la serie de Fibonacci, incluyendo sus propiedades matemáticas y cómo se manifiestan en el arte y la naturaleza. La serie de Fibonacci describe el crecimiento poblacional de conejos y sus números se relacionan con el número áureo. Artistas a través de la historia han utilizado estas proporciones en sus obras maestras como la Mona Lisa y el Partenón.
El documento describe la obra "Razón Áurea" de Salvador Dalí y cómo representa el número de oro a través de una sucesión de rectángulos áureos que conforman una espiral áurea. También explica cómo las dimensiones del cuadro están en proporción áurea y cómo el "anexo inexplicable" del título en realidad es explicable al prolongar el cuadro hacia arriba basado en esta proporción.
El documento resume las propiedades y aplicaciones del número de oro (1,618033989...) en las matemáticas y la naturaleza. Explica que el número surge de la proporción áurea en rectángulos y segmentos, y que aparece en la espiral logarítmica, las proporciones del cuerpo humano, y los números de la sucesión de Fibonacci que gobiernan el crecimiento de plantas. También señala que el número de oro se ha usado históricamente en la arquitectura para crear belleza y armonía
El rectángulo áureo es un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea, aproximadamente 1:1,618. Los griegos lo consideraban bello y lo usaron en arquitectura. Artistas como Leonardo da Vinci también han utilizado esta proporción para lograr equilibrio y belleza en sus obras.
Este documento describe las propiedades y aplicaciones del número áureo (1,618...) en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo se encuentra en la proporción de segmentos divididos de cierta manera, y que aparece en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales y en el cuerpo humano según estudios de Leonardo da Vinci. También señala que el número áureo subyace en obras de arte como la Mona Lisa y en edificios como el Partenón.
Este documento describe las propiedades y aplicaciones del número áureo (1,618...) en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo se encuentra en la proporción de segmentos divididos de cierta manera, y que aparece en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales y en el cuerpo humano según estudios de Leonardo da Vinci. También señala que el número áureo subyace en obras de arte famosas y en la arquitectura de edificios como el
El documento habla sobre el número áureo y cómo se relaciona con la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo (1.618...) surge de dividir un segmento en proporción áurea y se encuentra en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales, el cuerpo humano, obras de arte como la Mona Lisa y edificios como el Partenón.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría. Define términos como punto, recta, plano, segmento y rayo. Explica la historia de la geometría desde su origen en el antiguo Egipto hasta su desarrollo por los griegos. También clasifica ángulos y describe conceptos como puntos colineales y coplanarios. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para comprender y aplicar los conceptos geométricos.
El documento describe la historia y propiedades de la proporción áurea, también conocida como número de oro o sección divina. Ha sido utilizada por artistas y arquitectos a lo largo de la historia para crear obras armoniosas, como el Partenón. Se explica su presencia en formas matemáticas como el pentágono regular y sólidos platónicos. También se mencionan biografías de figuras históricas relacionadas con el descubrimiento y estudio de esta proporción.
El documento describe el número áureo o número de oro, representado por la letra griega φ. Es un número irracional que se encuentra en muchas figuras geométricas y en la naturaleza. Tiene propiedades matemáticas interesantes y ha sido estudiado desde la antigüedad por figuras como los pitagóricos, Euclides y Leonardo Da Vinci.
La proporción áurea Alejandra y Palomadepartdebuxo
La proporción áurea se refiere a una relación numérica encontrada en la naturaleza y el arte. Fue estudiada por figuras como Euclides, Fibonacci y Platón. Se expresa como la relación entre dos segmentos de una línea dividida de tal forma que la relación entre el mayor y el total es igual a la del mayor y el menor. Ha sido usada en obras arquitectónicas como las pirámides egipcias y el Partenón.
1) El documento habla sobre el rectángulo áureo, cuyas proporciones se consideran armoniosas y atractivas visualmente. 2) A lo largo de la historia, culturas como los egipcios, griegos y del Renacimiento han usado esta proporción en arquitectura y arte. 3) El número áureo surge de dividir un segmento en dos partes manteniendo una proporción constante y tiene aplicaciones estéticas e históricas.
El documento describe cómo construir un rectángulo áureo dibujando un cuadrado y trazando una línea desde el punto medio de la base hasta el vértice opuesto. Explica que la relación entre los lados del rectángulo da como resultado el número áureo y que este número es irracional. También habla brevemente sobre la espiral de Durero, que se construye uniendo los vértices opuestos de una sucesión de rectángulos áureos.
Tim Berners-Lee, el inventor de la World Wide Web, nació en Londres en 1955. Sus padres trabajaron en uno de los primeros ordenadores del mundo en la Universidad de Manchester. Estudió física en la Universidad de Oxford y trabajó en el CERN donde propuso un sistema basado en hipertexto para compartir información entre investigadores. En 1989, desarrolló HTTP y HTML en el CERN para unir internet y el hipertexto, creando así la World Wide Web. En 1994, fundó el W3C para estandarizar las tecnologías web.
Este documento describe la segunda versión de una competencia de creatividad rápida donde los futuros publicistas tienen 600 segundos para crear ilusiones que se rompen o renacen. Más de 300 personas se reunieron durante 3 horas para ver esta competencia con rigoroso límite de tiempo bajo la presencia de todas las sedes de DuocUC.
Aqui te comparto una informacion que te va a ayudar a descubrir la belleza de la fascinante industria de network marketing, mercadeo en red o multinivel.
Este documento describe la instalación y uso de extensiones de terceros en Joomla. Explica que las extensiones agregan nuevas funcionalidades a Joomla de forma sencilla. Provee un resumen de las categorías de extensiones disponibles y describe los procesos de instalación y desinstalación. También presenta ejemplos detallados de cómo instalar y usar dos extensiones específicas: el componente Xmap para crear mapas de sitio y el módulo RokSlideshow para mostrar galerías de imágenes.
Integrar las Tics en el proceso del Aprendizajemagyana
Este documento describe las unidades didácticas 2.0, que incorporan aplicaciones y servicios de la Web 2.0 como wikis, blogs y redes sociales para facilitar la interacción y el aprendizaje colaborativo entre estudiantes. Explica que una unidad didáctica 2.0 debe estar programada por los docentes y adaptada a los estudiantes, abarcar todas las etapas del proceso de enseñanza-aprendizaje e incluir la participación activa de los estudiantes. También proporciona ejemplos de herramientas de la Web
El documento describe los eventos y cambios recientes en el Colegio "Sebastian Barranca Lovera", incluyendo la remodelación exterior del colegio, un discurso del director en el auditorio, una escolta y profesores de educación secundaria, y dos festividades, una en la Municipalidad de Lima y otra en el propio colegio en 2007.
La escuela República Dominicana fue fundada en 1936 y está ubicada en San Francisco de Dos Ríos, Costa Rica. La escuela cuenta con un patio de juegos, un laboratorio de computación con 19 estaciones, un amplio comedor, una biblioteca, aulas de apoyo limpias y frescas, un área de juego al aire libre, pasillos amplios y bonitos, y un salón multiusos para actos y reuniones.
El documento presenta información sobre el aniversario número ocho del Colegio CEIA Janequeo, incluyendo detalles sobre las actividades y competencias realizadas por los diferentes cursos. También contiene breves biografías sobre Janequeo, la persona a quien el colegio rinde homenaje, y sobre conceptos básicos de geometría como triángulos y ecuaciones de primer grado.
Jóvenes caminaron con Luis Iberico por las avenidas Nicolás de Piérola y los alrededores del Mercado Central, donde recibieron el afecto de los vecinos del centro de Lima.
El documento describe un proyecto de investigación sobre la gestión del patrocinio y mecenazgo en las universidades públicas valencianas como fórmula para captar recursos. Analiza los sistemas de gestión en estas universidades y propone mejoras. La metodología incluye una fase exploratoria con revisión documental y una fase de entrevistas. El objetivo es verificar la hipótesis de que no existe un sistema homogéneo de gestión en estas universidades para captar recursos a través de patrocinio y mecenazgo.
Este documento describe una variedad de talleres infantiles y juveniles que tendrán lugar en una feria, incluyendo talleres de manualidades como plastilina, circuitos de motos, pompas gigantes y árboles de cobre; talleres creativos como fotografía, DJ y baile; juegos como observación astronómica y juegos tradicionales; y concursos de breakdance y pop-rock con premios en efectivo y equipamiento musical.
El documento describe diferentes figuras literarias o retóricas como la comparación, el símil, el tropo, la metáfora, la personificación, las figuras de pensamiento como la antítesis y la enumeración, y las figuras sintácticas como la anáfora y la aliteración. Estas figuras se utilizan para dar mayor expresividad al lenguaje apartándose del modo común de hablar y crear relaciones inusuales entre ideas a través de procedimientos lingüísticos y estilísticos.
1. 8. Momentos del Colegio y la Sociedad. Capitulo I Sección VIIIMercedes González
En esta sección de la Autobiografía del Dr. y Verdadero Padre Sun Myung Moon nos relata su vida en la granja de su padre, a la edad de 10 años. su vida a los 14 años, sus estudios en el Colegio y sus grandes progresos, su discurso ante las autoridades japonesas y la reperscusión para el futuro. Otros puntos.
El documento describe las tecnologías de la información y la comunicación (TIC), incluyendo sus características, ventajas y desventajas. También discute el impacto de las TIC en la educación, como proporcionar aprendizaje informal y nuevos métodos de enseñanza. Finalmente, cubre temas como los nativos digitales, los niveles de integración de TIC en la educación y las funciones de TIC.
El documento describe los maltratos que sufren los toros en las corridas de toros, incluyendo cómo son debilitados antes de entrar a la arena, las heridas que reciben del picador y las banderillas, y cómo son torturados y finalmente asesinados por el matador. Argumenta que las corridas de toros son una tradición cruel que denigra a la humanidad y que la gente debería rechazar este espectáculo y enseñar a los niños a respetar a todos los seres vivos.
Este documento presenta información sobre varios movimientos artísticos de vanguardia como el surrealismo, dadaísmo y creacionismo. Incluye preguntas sobre conceptos y técnicas clave de estos movimientos, así como fragmentos y obras de arte representativas. El documento busca evaluar la comprensión del estudiante sobre los orígenes y características fundamentales de estas vanguardias artísticas del siglo XX.
Presentación de Juan Pablo Manazza para #AMD2011 sobre Creativos, Agencias y Clientes y la reestructuración de los paradigmas sobre la comunicación integral y 360º.
El documento presenta el plan de una clase de Ciencias Naturales sobre la erosión del suelo para estudiantes de 6° básico. La clase explicará las consecuencias de la erosión eólica e hídrica a través de la observación de imágenes, un experimento comparando suelos con y sin vegetación, y un video. Los estudiantes aprenderán que la vegetación ayuda a prevenir la erosión al afirmar el suelo.
Este documento describe las propiedades y aplicaciones del número áureo (1,618...) en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo se encuentra en la proporción de segmentos divididos de cierta manera, y que aparece en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales y en el cuerpo humano según estudios de Leonardo da Vinci. También señala que el número áureo subyace en obras de arte como la Mona Lisa y en edificios como el Partenón.
Este documento describe las propiedades y aplicaciones del número áureo (1,618...) en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo se encuentra en la proporción de segmentos divididos de cierta manera, y que aparece en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales y en el cuerpo humano según estudios de Leonardo da Vinci. También señala que el número áureo subyace en obras de arte como la Mona Lisa y en edificios como el Partenón.
El documento habla sobre el número áureo y cómo se relaciona con la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo (1.618...) surge de dividir un segmento en proporción áurea y se encuentra en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales, el cuerpo humano, obras de arte como la Mona Lisa y edificios como el Partenón.
Este documento describe las propiedades y aplicaciones del número áureo (1,618...) en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo se encuentra en la proporción de segmentos divididos de cierta manera, y que aparece en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales y en el cuerpo humano según estudios de Leonardo da Vinci. También señala que el número áureo subyace en obras de arte como la Mona Lisa y en edificios como el Partenón.
Este documento describe las propiedades y aplicaciones del número áureo (1,618...) en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo se encuentra en la proporción de segmentos divididos de cierta manera, y que aparece en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales y en el cuerpo humano según estudios de Leonardo da Vinci. También señala que el número áureo subyace en obras de arte como la Mona Lisa y en edificios como el Partenón.
Este documento habla sobre la presencia del número áureo en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo (1.618...) se encuentra en la proporción de muchos objetos biológicos como conchas, flores y el cuerpo humano. También se encuentra en obras de arte renacentistas como la Mona Lisa y en edificios griegos antiguos como el Partenón.
Este documento describe las relaciones del número áureo (también conocido como la proporción áurea o razón áurea) que se encuentran en la naturaleza, el arte, la arquitectura y el cuerpo humano. El número áureo (1.618...) se deriva de dividir un segmento en dos partes de tal forma que la relación entre la parte mayor y la totalidad es igual a la relación entre la parte menor y la mayor. Esta proporción se observa en espirales, flores, moluscos, el cuerpo humano y obras de arte y arqu
Este documento describe las propiedades y aplicaciones del número áureo (1,618...) en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo se encuentra en la proporción de segmentos divididos de cierta manera, y que aparece en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales y en el cuerpo humano según estudios de Leonardo da Vinci. También señala que el número áureo subyace en obras de arte como la Mona Lisa y en edificios como el Partenón.
Este documento describe las propiedades y aplicaciones del número áureo (1,618...) en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Explica que el número áureo se encuentra en la proporción de segmentos divididos de forma armónica, y que aparece en espirales, moluscos, plantas, animales, objetos pentagonales y en el cuerpo humano según estudios de Leonardo da Vinci. También señala que el número áureo subyace en obras de arte como la Mona Lisa y en edificios como el Partenón.
Este documento describe las proporciones geométricas y su relación con el arte y la naturaleza. Explica conceptos como la proporción áurea y cómo se manifiesta en obras arquitectónicas como el Partenón y la Gran Pirámide, así como en el cuerpo humano y en la naturaleza en el crecimiento de plantas. También menciona a figuras como Pitágoras y cómo sus estudios de los números llevaron al descubrimiento de proporciones como la áurea.
Este documento describe la historia y aplicaciones del número áureo o sección áurea (1.6180339887...). Se presenta al número áureo como una proporción armónica encontrada en la naturaleza, el arte, la arquitectura y el cuerpo humano. Se mencionan ejemplos como la espiral de Fibonacci, el Partenón, y las proporciones descritas por Leonardo da Vinci y Vitrubio en el cuerpo humano.
Este documento describe cómo el número áureo, también conocido como la razón áurea o proporción áurea, se encuentra en la naturaleza y el arte. Se presentan ejemplos de cómo el número áureo se manifiesta en la espiral del Nautilus, las proporciones del cuerpo humano estudiadas por Leonardo da Vinci, y la arquitectura griega como el Partenón. También se discute brevemente la relación del número áureo con Pitágoras y los pitagóricos.
Este documento describe las propiedades y aplicaciones del número áureo o número de oro (1,618033988...) en diversos ámbitos como la geometría, la naturaleza, el arte, la arquitectura y la medicina. El número áureo surge de la división armónica de un segmento y se relaciona con figuras como el rectángulo y la espiral áurea. Ha estado presente en obras de arte, edificios y formas biológicas a lo largo de la historia.
Este documento describe las propiedades y aplicaciones del número áureo o número de oro (1,618033988...) en diversos ámbitos como la geometría, la naturaleza, el arte, la arquitectura y la medicina. El número áureo surge de la división armónica de un segmento y se relaciona con figuras como el rectángulo y la espiral áurea. Ha estado presente en obras de arte, edificios y formas biológicas a lo largo de la historia.
El documento resume la historia y propiedades del número áureo (1.61803398874989...), desde su estudio por Euclides hasta su presencia en obras de arte, arquitectura y la naturaleza. Explica que este número surge de dividir una línea en media y extrema razón, y que está relacionado con la serie de Fibonacci. También describe cómo artistas renacentistas como Leonardo da Vinci y Durero usaron la sección áurea en sus obras para lograr proporciones estéticamente placenteras.
Este documento trata sobre conceptos matemáticos como el número de oro, el rectángulo áureo y la sucesión de Fibonacci. Explica que el número de oro es un número irracional descubierto por los griegos asociado con la escultura griega. También describe cómo construir un rectángulo áureo y la relación entre la sucesión de Fibonacci y el número de oro. Por último, menciona cómo estas proporciones se manifiestan en obras de arte como el Hombre de Vitrubio de Da Vinci y en la naturale
El documento habla sobre la proporción áurea o número de oro, que es una proporción matemática que se encuentra en la naturaleza y que los artistas han utilizado desde la antigüedad para crear formas bellas. Los griegos desarrollaron esta proporción en una fórmula matemática y la usaron en obras maestras como el Partenón. Más tarde, artistas como Leonardo da Vinci y Salvador Dalí también se basaron en esta proporción en sus obras.
El documento habla sobre el número áureo o número de oro (Φ), que es un número irracional aproximadamente igual a 1.618. Explica que este número surge de la sección áurea en geometría y aparece con frecuencia en la naturaleza y en obras de arte como el Partenón y el Apolo de Belvedere. También menciona que la sucesión de Fibonacci converge hacia el número áureo y que la espiral logarítmica está relacionada con rectángulos áureos encajados.
El documento describe el número áureo, también conocido como número dorado o sección áurea, que representa una proporción irracional que se encuentra en la naturaleza y en obras de arte a lo largo de la historia. Esta proporción se ha utilizado en el Partenón, las pirámides de Egipto, La última cena de Leonardo da Vinci y en el cuerpo humano como en el Hombre de Vitruvio.
Este documento describe el número de oro, también conocido como la proporción áurea, que es un concepto matemático que aparece con frecuencia en la naturaleza y el arte. Se discute brevemente la historia del número de oro y su valor numérico, y luego se proporcionan ejemplos de cómo aparece el número de oro en obras arquitectónicas como la Gran Pirámide de Giza, la Torre Eiffel y el Partenón, así como en obras de arte como la Mona Lisa de Leonardo da Vinci.
1. Marzo de 2008, Número 13, páginas 61 - 74
ISSN: 1815-0640
Un rectángulo casi de oro
Inés Márquez Rodríguez
Resumen
En este trabajo se han utilizado distintas secciones del rectángulo del tangram de los tres
triángulos de Brügner para calcular proporciones entre los segmentos y áreas que se
producen. Iterando las secciones del rectángulo hasta el infinito surgen varias sucesiones de
elementos que resultan ser sucesiones de Fibonacci. Se hace una reflexión sobre la
definición matemática de los cánones de belleza, basada en la proporcionalidad, tanto entre
segmentos como entre áreas. Por último, adosando infinitos rectángulos semejantes al
original, se construyen espirales de tipo circular, ovoidal y elíptico.
Abstract
Different sections in the rectangle of the Brügner´s three-triangle-tangram are used to derive
proportions between the resulting lines and areas. Following with successive sections up to
infinity lead to sequences of elements that can be identified as Fibonacci’s successions.
Some reflections on the meaning and validity of the mathematical definition of beauty
standard based on the proportionality between either segments or areas are made. Finally,
the assembling of rectangles proportional to the original one, give rise to circular, ovoid and
elliptic spirals.
1. Introducción
Definir la belleza parece una tarea imposible. Sin embargo, a través de los
siglos ha habido un gran empeño en establecer cánones de belleza para el arte,
inspirados en buena medida en la observación de la naturaleza. Las figuras
geométricas con medidas en cierta proporción, o con algún tipo de simetría, han sido
consideradas generalmente como estéticamente bellas. Los polígonos y poliedros
regulares, la circunferencia y esfera, las espirales, son figuras largamente
estudiadas en matemáticas y también utilizadas como ornamento por su perfección.
Pero además de las figuras regulares existen otras que también se perciben
agradables a los sentidos. Esta percepción está basada en la proporción de sus
medidas.
2. Un rectángulo casi de oro
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Los egipcios usaron en la construcción de sus pirámides ciertas proporciones
entre sus lados, seguramente por razones estéticas. Posteriormente, los griegos
estudiaron matemáticamente las proporciones entre los segmentos de distintos
polígonos regulares, utilizando algunos de ellos como adornos o como anagramas
de sus asociaciones, como es el caso del pentágono regular estrellado, o
pentagrama, que fue usado por los pitagóricos como emblema de su escuela. Y
aunque tanto la arquitectura como la escultura en la antigua Grecia están plagadas
de unas determinadas proporciones, tampoco existen pruebas de que hayan sido
utilizadas conscientemente en la estética griega.
¿Cuál es la proporción perfecta entre dos segmentos de distinta longitud?
Entramos de lleno en un intento de definición matemática de la belleza basada en la
proporcionalidad. Surge de esta manera la divina proporción. Este término fue
acuñado por Fray Luca Paccioli di Borgo en su De Divina Proportione (1509), libro
ilustrado por su amigo y artista Leonardo Da Vinci. La divina proporción, o
proporción áurea, se obtiene de la división de un segmento en dos partes, de tal
manera que la longitud de la parte mayor sea medio proporcional entre la longitud de
la menor y la total. Esto conduce a la ecuación x 2 − x − 1 = 0 . La solución positiva de
1+ 5
esta ecuación es ≅ 1.618034... Este número irracional es el valor de la razón
2
áurea, también llamado el Número de Oro, y se representa por φ , en honor de
Fidias porque se supone que hizo uso de este valor en las proporciones de sus
esculturas.
La proporción áurea aparece en la naturaleza, e intencionadamente o no, en
las artes, no sólo en Egipto y Grecia sino en el resto de países del mundo. El
Hombre de Vitrubio es un ejemplo de la existencia de esta proporción en el cuerpo
humano. Y en general, la obra de Leonardo Da Vinci parece estar canonizada
estéticamente por el número de oro. Las catedrales góticas, al igual que las
pirámides egipcias y el Partenón griego, muestran secciones repetidas de
rectángulos áureos de distintas dimensiones, es decir, rectángulos con sus lados en
proporción áurea. Más modernamente el rectángulo áureo ha impuesto un estilo y se
ha usado como formato de edición de libros, fotografías, ventanas, cajas de
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cigarrillos o tarjetas de crédito, desbancando en su belleza al propio cuadrado.
También en otra de las bellas artes como es la Música, se han utilizado la divina
proporción y las secuencias de Fibonacci, tanto en las melodías y armonizaciones
como en los ritmos. Como ejemplos de músicos que las utilizaron, probablemente de
una manera inconsciente, cabe citar a Mozart, Beethoven, Schubert y Debussý, y ya
en el siglo XX, al húngaro Béla Bártok, al francés Olivier Messiaen, y al alemán
Karlheinz Stockhausen, en un paso más allá del dodecafonismo.
La raíz del número de oro, φ ≅ 1.272020... , no es tan nombrada, ni en el arte
ni en las matemáticas, puesto que es subsidiaria de la importancia del propio
número de oro. Por esta razón aparece también en las proporciones de esculturas y
monumentos arquitectónicos. Por ejemplo, si los egipcios construyeron la pirámide
de Keops con las proporciones mencionadas por el historiador Herodoto, entonces la
pirámide, de altura 146m y de lado de la base 230m, sería semejante a otra pirámide
que tuviera una medida de 2m como lado de la base y φ m como altura de una de
las caras laterales. Así, la altura de tal pirámide sería φ m. Pero también pudiera
ser, puesto que usaban ruedas para medir, que utilizaran otro número mágico pero
4
igualmente desconocido para ellos, π , para llegar a este valor, ya que ≅ φ.Y
π
como simple coincidencia, el diámetro de la Tierra es 10000 φ km; y si
multiplicamos la raíz del Número de Oro por 2 nos da la medida de la pulgada en
centímetros. Sin embargo, no nos podemos dejar seducir por la numerología,
buscando proporciones en figuras complejas para ofrecer luego visiones esotéricas
de la naturaleza o del arte, porque con total seguridad encontraríamos cualquier
razón numérica que se nos propusiera.
Por otro lado, en la naturaleza también existen variadas muestras de
sucesiones de Fibonacci, introducidas por el matemático Leonardo de Pisa
(Fibonacci) en el siglo XIII en su estudio de la reproducción de conejos a partir de
una pareja inicial. Las sucesiones de Fibonacci se definen como aquellas en las que,
conocidos los dos primeros términos, el término general se obtiene como suma de
los dos inmediatamente anteriores, es decir, a n = a n −1 + a n − 2 . En estas sucesiones se
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an
cumple que lim = φ , por lo que existe una íntima relación entre las sucesiones
n →∞ a
n −1
de Fibonacci y el Número de Oro.
1
El número de oro cumple φ = 1 + , φ 2 = φ + 1 y en general, φ n = φ n −1 + φ n − 2 , con
φ
lo cual se concluye que φ se puede expresar como una fracción continua, y además
que la sucesión 1, φ , φ 2 , φ 3 ,..., φ n ,... es de Fibonacci.
2. Un rectángulo casi de oro
Una amiga me propuso el siguiente problema en la servilleta de papel de una
tasca: ¿Cuál es la relación entre las dimensiones de un rectángulo ABCD de lados a
y b, si al trazar la perpendicular desde el vértice C a la diagonal BD, secciona a ésta
en dos segmentos b y d? Este rectángulo, mostrado en la Fig. 1, seccionado por la
diagonal BD y su perpendicular desde el vértice C, determina tres triángulos
rectángulos, ABD, BEC y CED, semejantes, y es conocido como el tangram mínimo
de Brügner (G. Brügner, 1984), un puzzle de sólo tres piezas cuyas dimensiones se
han calculado de tal manera que el número de polígonos convexos que se pueden
construir con él es máximo.
C a B
c b
b b
E
d
D a A
Fig.1. Tangram mínimo de Brügner
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2.1. Proporción entre los lados a y b
En el triángulo BCD de la Fig.1, el cateto a es medio proporcional entre la
hipotenusa y la proyección de a sobre la hipotenusa (Teorema del cateto), esto es,
a 2 = (b + d )b . Por el Teorema de Pitágoras en el mismo triángulo BCD:
a 2 + b 2 = b + d , y combinando ambas ecuaciones obtenemos a 4 − b 2 a 2 − b 4 = 0 .
Esta última relación es una ecuación bicuadrada en a, con lo que fácilmente
llegamos a:
a2 1+ 5
= = φ . Por tanto la proporción buscada entre los lados de este rectángulo
b2 2
es la raíz cuadrada del número de oro, es decir;
a
= φ ≅ 1.272020...
b
Los ángulos agudos de cada uno de los tres triángulos valen
1
arctan φ ≅ 51.8273 o y arctan ≅ 38.1727 o
φ
2.2. Proporción entre los segmentos b y d de la diagonal
En el triángulo BCD la altura c es medio proporcional entre los segmentos b y d
que determina sobre la hipotenusa, y utilizando el teorema de Pitágoras en el
triángulo CED:
c 2 = bd = b 2 − d 2 ⇒ b 2 − db − d 2 = 0
1+ 5
Si despejamos b en esta ecuación de 2º grado se obtiene: b = d ⋅ , o sea
2
b
=φ
d
Luego, el punto E divide a la diagonal en la proporción áurea, o sea, b y d
están en divina proporción.
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2.3. El punto E y las secciones áureas del rectángulo
Sobre el punto E se puede decir todavía más. Debido a la semejanza de los
triángulos EMB y DPE de la Fig. 2, divide a las paralelas a los lados del rectángulo
m h b
que pasan por E en la razón áurea: = = =φ.
n p d
E divide en la misma proporción a cualquier otro segmento que pase por E y
tenga sus extremos, V y W, en lados opuestos del rectángulo, debido a la semejanza
de los triángulos EHV y EPW.
Si trazamos la perpendicular a la diagonal BD desde el punto A se obtiene un
punto E’ que tiene las mismas propiedades que E. Las rectas verticales y
horizontales por E y E’ se llaman secciones áureas del rectángulo porque lo dividen
en áreas cuya razón es φ .
Las secciones áureas definen un rectángulo central, EE’E’’E’’’ semejante al
ABCD. Los puntos E’’ y E’’’ obtenidos al cortarse las secciones áureas coinciden con
los construidos sobre la otra diagonal AC del rectángulo de una manera similar a E y
E’.
Fig.2 Fig.3
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2.4. Rectángulos semejantes al tangram
Las secciones áureas del rectángulo que pasan por E determinan puntos
áureos sobre los segmentos a y b, respectivamente, y por tanto se tiene:
a = mφ , b = hφ , a = nφ 2 y b = pφ 2 .
Esto significa que los rectángulos MBHE y PEND de la Fig.2 son semejantes al
original ABCD, y las razones de semejanza son φ y φ 2 , respectivamente. Y
utilizando las semejanzas de varias figuras es fácil encontrar la secuencia de
rectángulos semejantes EE’E’’E’’’, EPQE’’, DPEN, NEHC, EMBH, PABH y ABCD. La
razón de semejanza, de mayor a menor, es φ , y la de áreas φ . Así, las secciones
áureas que pasan por el punto E determinan cuatro rectángulos semejantes al
tangram inicial (DPEN, NEHC, EMBH y PABH)
Se cumple además la igualdad entre los siguientes segmentos h = d , n = q, m = c .
2.5. La clase de los triángulos semejantes a los tres del tangram
Los antiguos egipcios usaban para dibujar dos líneas perpendiculares un
triángulo rectángulo de dimensiones 3, 4 y 5. Cualquier otro triángulo rectángulo
hubiese servido para esa tarea, pero posiblemente no conocían otro con
dimensiones diferentes y no proporcionales a aquellas.
De una manera similar a como se define la divina proporción en un segmento,
podríamos definir la proporción ideal entre los tres lados de un triángulo rectángulo
como aquella en que el cateto mayor a, sea medio proporcional entre el cateto
f a
menor, b, y la hipotenusa f, esto es: =
a b
Usando el teorema de Pitágoras tendríamos a 2 = b a 2 + b 2 , y resolviendo la
a
ecuación bicuadrada que se obtiene al elevar al cuadrado, se deduce que = φ.
b
Es decir, entre todas las clases de triángulos rectángulos, la clase mejor
proporcionada es la que tiene sus tres lados, de mayor a menor, en proporción φ,
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como ocurre con los tres triángulos del tangram. Por ejemplo, 1, φ y φ sería una
terna representativa de este tipo de triángulos rectángulos.
ab
La razón de áreas de los triángulos BCD y BEC en la Fig.4 es = φ y la de
bc
bc
los triángulos BEC y CED es = φ . Por tanto, la altura del triángulo BCD produce
dc
una sección áurea del triángulo, en el sentido de que las relaciones de áreas del
triángulo total frente a la del mayor es igual a la del mayor frente a la del menor, es
decir:
Area(total ) Area(mayor )
= =φ
Area(mayor ) Area(menor )
Así, podríamos concluir que esta clase de triángulos rectángulos son los más
bellos, o mejor proporcionados, puesto que las dos áreas determinadas por su altura
están en la proporción divina. Esta podría ser una definición de canon de belleza
para las áreas de dos figuras, similar a la dada para longitudes.
Lo mismo sucede entre los triángulos más pequeños CNE y END, entre ELN y
NLD, entre NRL y LRD, etc.
S
Fig. 4
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Así pues, si formamos la sucesión de semiáreas de los triángulos LRD, NRL,
NLD, ELN, END, CNE, CED, BEC, BCD,..., (Fig. 4) se tiene:
ab ab ab ab ab ab ab ab
, 7, 6, 5, 4, 3, 2, , ab, ....
φ8
φ φ φ φ φ φ φ
que es una progresión geométrica de razón φ , y una sucesión de Fibonacci, pues la
suma de dos términos consecutivos da el siguiente.
También es una sucesión de Fibonacci la sucesión de longitudes de los
a a a a a
segmentos de la línea quebrada SRLNECB (Fig. 4) , , , , , a, ....
φ 5
φ 4
φ 3
φ 2
φ1
Prolongando ahora hacia el exterior los lados y la diagonal del tangram,
construimos otro rectángulo semejante A’B’C’D trazando una paralela a la altura c
por el vértice B. La razón de semejanza es φ 2 . En efecto, pues el punto C divide al
lado vertical DC’ en la proporción áurea, y el punto A hace lo mismo sobre el lado
horizontal DA’. Prolongando a su vez este rectángulo obtendríamos uno semejante,
A’’B’’C’’D, otra vez de razón de semejanza φ 2 frente al anterior. Repitiendo
indefinidamente este proceso tendríamos una sucesión de rectángulos tangrams
homotéticos en progresión geométrica de razón φ 2 . En la Tabla 1 figuran las
sucesiones de los parámetros del tangram expresados todos en función del lado b.
Se observa en las columnas que todos los segmentos crecen en un factor φ 2 .
Cateto Cateto Proyección Proyección Altura
Triángulo Hipotenusa Área
menor mayor menor (d) mayor (b) (c)
b b φ b 1b φ
2
b b b
END
φ2 φ2 φ 2 φ4 φ 3
φ 2
φφ 2
1 2 b b
BCD b b φ bφ b φ b
2 φ φ
1 2
b φφ 4 b
φ2
B’C’D bφ 2 b φφ 2 bφ 3 2 bφ bφ 2
φ
1 2 b
B’’C’’D bφ 4 b φφ 4
bφ 5 b φφ 8 bφ 3 bφ 4 φ4
2 φ
Tabla 1. Valores de los segmentos del tangram
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Además, hay varias sucesiones de puntos de oro, por ejemplo: sobre la
diagonal, cada punto L, E, B B’..., es de oro entre el origen D y su siguiente. Sus
b b
distancias al origen son , , b φ , b φ 3 ,... y las distancias entre dos consecutivos
φ 3
φ
b
son , b , b φ 2 ,...
φ 2
Análogamente sobre los lados horizontal, a, y vertical, b, las proyecciones de L,
E, B,... son puntos de oro entre el origen D y su siguiente.
3. Espirales
Las espirales son abundantes en la naturaleza y se usan frecuentemente como
elementos decorativos. Son conocidas matemáticamente, entre otras, la espiral de
Arquímedes, de ecuación ρ = a + bθ en coordenadas polares, cuya distancia entre
sus brazos es constante; la espiral logarítmica o equiangular de ecuación ρ = abθ ; la
espiral doble de Fermat, o parabólica, de ecuación ρ = θ 1 / 2 ; y algunas pseudo-
espirales como la espiral de Durero o de Oro, muy parecida a la logarítmica y
construida a partir de los rectángulos de oro, y la espiral de Fibonacci, basada en
cuartos de círculos inscritos en cuadrados cuyos lados son los términos de la
sucesión de Fibonacci cuyos dos primeros valores son 1 y 1.
Inspirada en la espiral de oro (cuya proporción entre los lados es φ ), se puede
construir una espiral basada en un primer cuadrado correspondiente al lado menor,
b, del rectángulo del tangram de Brügner (cuya proporción entre los lados es φ ), un
segundo cuadrado adosado al anterior y de lado b φ , un tercer cuadrado adosado al
anterior y de lado la suma de los lados de los dos cuadrados anteriores, y así
sucesivamente. En la Fig.7 hemos construido una espiral con b = 1 .
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11. Un rectángulo casi de oro
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Fig. 7.
Los lados de los cuadrados forman la sucesión:
1, φ , φ + 1, 2 φ + 1, 3 φ + 2, 5 φ + 3, 8 φ + 5, 13 φ + 8, ...
Esta es una sucesión de Fibonacci, pues se cumple: a n = a n−1 + a n−2 , y por tanto
an
lim = φ . Como conclusión, la sucesión de los rectángulos en los que se haya
n→∞ a
n −1
inscrita la espiral, tienden al rectángulo de oro, y por tanto las áreas de los
cuadrados de las ramas de la espiral están en proporción de φ 2 . Sin embargo, esto
no es un resultado inesperado pues se cumpliría para cualquier cuadrado de lado x
adosado al primero de lado 1.
La siguiente espiral ovoidal, Fig.8, está construida a base de cuartas partes de
elipses verticales u horizontales de centro E e inscritas en los rectángulos
semejantes DPEN, NEHC, EMBH, PABH, ABCD,... de la Fig.2, de tal manera que el
semieje mayor de cada una de las elipses es el semieje menor de la siguiente cuyos
lados están en proporción φ , y por tanto la proporción de áreas de los rectángulos
es φ .
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E
Fig. 8. Espiral ovoidal
El punto E es un punto de oro entre los vértices de las sucesivas diagonales de
los rectángulos que se van formando en la espiral, todos ellos semejantes al original
del tangram. Esta espiral es parecida a las usadas frecuentemente como elemento
decorativo, como anagrama de empresas, en algunas páginas webs (ver por
ejemplo http://www.splorp.com/critique/ ), etc.
La siguiente espiral elíptica está construida a base de cuartas partes de elipses
cuyos diámetros son los rectángulos DPEN, EMBH, ABCD,... de la Fig.2, y cuyos
lados son (1, φ ), (φ , φ φ ), (φ 2 , φ 2 φ ), (φ 3 , φ 3 φ ), ... , que están en proporción φ . Por tanto,
la proporción de áreas de los sucesivos rectángulos es φ 2 .
Fig. 9. Espiral elíptica
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13. Un rectángulo casi de oro
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4. Conclusiones
Una vez calculada la proporción φ entre los lados del tangram, el problema
propuesto inicialmente queda resuelto. Pero el tangram da mucho más de sí, pues
sus tres triángulos tienen sus lados en proporción φ , y sus alturas constituyen
secciones de oro de cada uno de ellos, con lo que se ha podido definir una clase de
triángulos rectángulos “bien proporcionados”. También se han podido construir
diferentes sucesiones de Fibonacci con segmentos específicos dentro del tangram,
con sus subdivisiones y sus prolongaciones, o con áreas de triángulos semejantes a
los tres del tangram. Además, se han ideado y dibujado distintas espirales basadas
en el rectángulo del tangram, una de tipo circular, otra ovoidal y otra elíptica.
Empezamos hablando de la definición matemática de la belleza de las
proporciones. El rectángulo de oro tiene sus lados en proporción φ ≈ 1.62 , y el
tangram en φ ≈ 1.27 , y si suponemos que el lado menor en ambos rectángulos es
la unidad, las áreas respectivas son φ y φ , y las diagonales 1+φ 2 y φ,
respectivamente. Es difícil decir cuál de los dos rectángulos es más bonito, porque
en ambos las proporciones están relacionadas con el número áureo. Si dividiéramos
cada uno de ellos en dos triángulos, en un caso los lados están en divina proporción,
y en el otro los triángulos resultan ser rectángulos de la clase definida en el apartado
2.5 como armoniosa. Es decir, lo que uno tiene bien proporcionado no lo tiene el
otro, y recíprocamente. En cualquier caso, el deseo de definir la belleza mediante
números o fórmulas matemáticas no deja de ser un intento de generalizar el sentido
de la estética de cada uno en particular, y eso resulta sumamente difícil porque este
sentido es muy dispar y subjetivo, como bien reconoce el refranero popular español.
Bibliografía
COMAP, 1992, Las Matemáticas de la vida cotidiana. Ed. Addison-Wesley /
Universidad Autónoma de Madrid
Georg Brügner, 1984, Three-triangle-tangram, BIT Numerical Mathematics, Volume
24, Number 3, Ed. Springer Netherlands.
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14. Un rectángulo casi de oro
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Ghyka, Matila C., 1992, Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes.
Ed. Poseidón. Barcelona.
Ghyka, Matila C., 1992, El número de oro, I Los ritmos, II Los ritos. Ed. Poseidón.
Barcelona.
Paccioli di Borgo, Fray Luca, 1509, De Divina Proportione. Venecia.
http://es.wikipedia.org/
http://www.piramides.org/
Inés Márquez Rodríguez, es Profesora Titular del Departamento de Análisis
Matemático de la Universidad de La Laguna, en Tenerife (España). Es Colaboradora de
Investigación del Instituto de Astrofísica de Canarias, y desarrolla sus líneas de
investigación en Alta Resolución en Física Solar. Ha presentado varios trabajos en
congresos y publicado numerosos artículos en revistas nacionales e internacionales.
Tiene gran interés en la Docencia Universitaria y en la Divulgación Científica. Además
de su dedicación a las labores de docencia e investigación, es muy aficionada a la
Música, al Dibujo y a la Pintura.
e-mail: imarquez@ull.es
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