El documento describe el número áureo o número de oro, representado por la letra griega φ. Es un número irracional que se encuentra en muchas figuras geométricas y en la naturaleza. Tiene propiedades matemáticas interesantes y ha sido estudiado desde la antigüedad por figuras como los pitagóricos, Euclides y Leonardo Da Vinci.

1. Cecilia Boarín Patricia Ereñú María Elisa Gassmann

2. El número áureo o de oro está representado por la letra φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

3. Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una unidad sino como relación o proporción . Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

4. Desde el Antiguo Egipto, pasando por la escuela de Pitágoras (500 años a. C.), por Fidias, Euclides, Vitruvio en la Antigua Grecia; Fibonacci en la Edad Media (1200); los exponentes del Renacimiento: Pacioli, Da Vinci y Kepler y representantes del siglo XX como Ohm, Zeising, Ghyka, Le Corbusier y Dalí, todos han utilizado en sus producciones al número Phi o a elementos con el relacionados. Historia del número Phi

5. Fi (Φ φ) es la vigésimo primera letra del alfabeto griego . Los romanos al transliterar esta letra a caracteres latinos lo hicieron con el dígrafo ph, representando de esta manera el sonido de p aspirada ([pʰ]) que tenía en griego antiguo : por ejemplo, en Phidias , philosophia o Pharao (en castellano: Fidias , filosofía , faraón ). En griego moderno se pronuncia [f]. En el sistema de numeración griega tiene un valor de 500. Usos La letra minúscula φ es usada para simbolizar: El estudio de la Filosofía . La Función Fi de Euler φ ( n ) El número áureo o número de oro, que el cual tiene numerosas propiedades matemáticas además de estar presente en la naturaleza y el arte. En física y matemáticas , el valor de un ángulo . La función de trabajo . El conjunto vacío (aunque puede ser preferible el símbolo ∅). En procesamiento de señales , la fase de una señal sinusoidal . En electricidad es el ángulo de desfasamiento de la Corriente eléctrica con respecto al Voltaje La letra mayúscula Φ es usada para simbolizar: El flujo magnético

6. La sección áurea es la división armónica de un segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como éste es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea .

7. Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en él la división indicada anteriormente (1-x)/x=x/1, cuyo resultado es la sección áurea: (-1+ √5)/2

8. Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver

9. Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

10. Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1+ √5 por lo que la proporción entre los dos lados es (1+√5)/2 (nuestro número de oro). Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea

11. Φ es el único número real positivo tal que: φ² = φ +1 Φ -1 = 1/ φ Φ³ = ( φ +1)/( φ -1) De II se desprende que φ = 1 + 1/ φ Todas estas identidades se deducen a partir de la ecuación x²-x-1=o que tiene como solución el número de oro: φ²-φ-1 =0-> φ²=φ+1 Dividiendo la ecuación entre φ : ( φ²-φ-1 )/ φ =0/ φ -> φ - 1-1 / φ =0->1/ φ = φ -1

13. El número de oro también forma parte de un conjunto de números especiales llamados números metálicos. Una de las propiedades de estos números es que son todos números irracionales cuadráticos, es decir que son la solución positiva de una ecuación cuadrática (ecuación de segundo grado). Por ejemplo: La solución positiva de la ecuación x ²-x-1=0 es el número de oro . La solución positiva de la ecuación x²-2·x-1=0 es el número de plata ( σ =1+√2). La solución positiva de la ecuación x²-3·x-1=0 es el número de bronce ( σ =( 3+√ 13)/2). En general, resolviendo ecuaciones cuadráticas del tipo x²-n·x-1=0 con n εΝ , se obtienen como soluciones positivas miembros de la familia de números metálicos.

14. La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el número de oro.

15. En el primer pentágono ABCDE, trazamos una línea AD y otra BE que se cruzan en F, si BF es igual a 1, BE es igual a Phi. En el segundo pentágono ABCDE trazamos líneas desde cada esquina hasta sus dos esquinas opuestas obteniendo otro pentágono FGHIJ. Si AG es igual a 1, AB es igual a Phi y FG al inverso de Phi (1/ φ ).

16. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 … Su relación con el número φ Cociente entre un numero de la sucesión y su inmediatamente anterior Diferencia entre el cociente expuesto a la izquierda y el número áureo 1 ÷ 1 = 1 - 0,618034 2 ÷ 1 = 2 + 0,381966 3 ÷ 2 = 1,5 - 0,118034 5 ÷ 3 = 1.666667 + 0,048633 8 ÷ 5 = 1,6 - 0,018034 13 ÷ 8 = 1,625 + 0,006966 21 ÷ 13 = 1,615385 - 0,002649 34 ÷ 21 = 1,619048 + 0,001014 55 ÷ 34 = 1,617647 - 0,000387 89 ÷ 55 = 1,618182 + 0,000148 144 ÷ 89 = 1,617978 - 0,000056 233 ÷ 144 = 1,618056 + 0,000022

18. En el sistema solar

19. En las espirales del girasol En las espirales de una piña de pino

20. En las flores En la disposición de las hojas en los tallos

21. En las proporciones morfológicas de una abeja

22. En las temperaturas corporales de los animales

23. La espiral logarítmica Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente. Si a partir de estos cuadrados resultantes trazamos una curva que empieza por D hasta E con centro F, después de E con centro G hasta H, podemos seguir hasta el infinito, conseguimos una espiral logarítmica que se puede encontrar en la naturaleza, como en los nautilos.

24. Los fractales

25. Los fractales son figuras geométricas, al igual que los triángulos y rectángulos, pero con propiedades que las distinguen de éstos: son muy complejos, a cualquier tamaño. Tienen autosimilitud, es decir que pueden dividirse en partes que son copias reducidas del total. A diferencia de otras figuras geométricas, su dimensión es una fracción. Los fractales lucen como objetos de la naturaleza: muchos objetos naturales como helechos, copos de nieve, las costas de los países, rocas, tienen formas parecidas a los fractales.

26. En la relación entre las distintas partes del cuerpo

27. En la relación entre las falanges de los dedos

28. En otras partes del cuerpo humano

29. La Pirámide de Keops

30. La torre Eiffel

31. El Partenón

32. La Gioconda de Leonardo Da Vinci

34. Béla Bartók (1881-1945) compositor, pianista e investigador de música folclórica de Europa del Este. Bartók fue uno de los fundadores del campo de la etnomusicología, el estudio de la música folclórica y la música de culturas no occidentales. El método de Bartók está ligado a las leyes del número áureo: su sistema cromático se basa en la proporción áurea y especialmente en la serie numérica de Fibonacci.

35. http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero%C3%A1ureo Fecha: 21/06/2008 Hora: 20:10 http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-013.htm Fecha: 24/06/2008 Hora: 17:30 http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm Fecha: 15/07/2008 Hora:16:30 http://geocities.com/ResearchTriangle/Thinktank/4492/noticias/laproporcionaurea Fecha: 15/07/2008 Hora:16:40 http://www.goldensection.onored.com/iniciacion.html Fecha: 15/07/2008 Hora: 17:00 www.youtube.com/watch?v=bjgtA7CZ1X4 Fecha:16/07/2008 Hora: 18:00 www.castor.es/numero_phi.html Fecha: 16/07/2008 Hora: 18:10 www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/naturaleza.html Fecha: 16/07/2008 Hora: 18:25 http://www.superchicos.net/fractales.htm Fecha: 30/07/2008 Hora 15:30 www.fotolog.com.ar/bichitdeluz/photos/50535 Fecha:30/07/2008 Hora:16:00 http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%AG Fecha: 5/08/2008 Hora: 21:30