Las ecuaciones de recurrencia: es una ecuación que define una secuencia recursiva; cada término de esta secuencia se encuentra definido como una función de términos anteriores. Cuando se habla de un problema combinatorio de enumeración también se tiene que hacer referencia a uno o más números naturales que pueden presentar la dimensión del problema. Las relaciones de recurrencia pueden considerarse como técnicas avanzadas de conteo. Resuelven problemas cuya solución no puede obtenerse usando variaciones, permutaciones, combinaciones o con las técnicas derivadas del principio de inclusión-exclusión. Hay tres métodos para resolver relaciones recurrentes: iteración, transformada Z y un método especial que se aplica a las relaciones de recurrencia lineales homogéneas con coeficientes constantes. El adjetivo lineal indica que cada término de la secuencia está definido como una función lineal de sus términos anteriores. El orden de una relación de recurrencia lineal es el número de términos anteriores exigidos por la definición.

1. Funciones
Generales
Matemática Discreta
Prof. Dr. Rina Familia
Grupo 13:
Leidy Massiel Gonzalez Duarte Mat. 21-0861
Morelvyn Guerrero Nova Mat.18-0950

2. Cap.4Funciones generadoras
1. Ecuaciones de recurrencia
2. Funciones generadoras
3. Ecuaciones de recurrencia lineales
4. Números combinatorios

3. Ecuaciones de
Recurrencia

4. Las ecuaciones de recurrencia:
es una ecuación que define una secuencia recursiva;
cada término de esta secuencia se encuentra definido
como una función de términos anteriores.
Cuando se habla de un problema combinatorio de
enumeración también se tiene que hacer referencia a
uno o más números naturales que pueden presentar la
dimensión del problema.
Un ejemplo seria en la enumeración de un
subconjunto de tamaño m, que proviene de un
conjunto de n tamaño; las dimensiones del problema
serían m y n. Estas expresiones son llamadas
comúnmente como ecuaciones de recurrencia.
Una relación de recurrencia
para la sucesión a0, a1,
a2,… es una an con algunos
de sus predecesores a0,
a1,… an-1.
Las condiciones iniciales
para la sucesión a0, a1,…
son valores que se dan de
forma explícita para un
número finito de términos
que provienen de la
sucesión.

5. Utilidad de las Ecuaciones Recurrentes
Una ecuación de recurrencia para una sucesión de números f(n1, n2,….nk), donde n1,…nk
son variables que mayormente son enteros positivos, es aquella expresión que da el
valor de f(n1¹, n2¹,….n¹k), en términos de f(n1, n2,….nk), para valores n¹ᵢ menor o igual que nᵢ
más pequeños de las variables y (ii) un conjunto de valores particulares suficientes de la
sucesión.
Las ecuaciones de recurrencia son muy útiles porque cuando se requiere resolver un
problema en particular, o sea, donde hay ciertos valores en concretos), ya que el cálculo
es limitado y se puede mecanizar con facilidad, se puede decir que una ecuación de
recurrencia es un algoritmo recursivo usado para hacer cálculos, donde es necesario un
punto de partida para iniciar el proceso.
Ejemplo: Calcular D(4,3)
D(4; 3) = D(3; 3) +D(3; 2) = 1 + (D(2; 2) +D(2; 1)) = 1 + (2 + 1) = 4

6. Utilidad de las Ecuaciones Recurrentes
Sin embargo, aunque son muy útiles
representan algunos inconvenientes
es que no da información sobre el
valor de las soluciones, al menos
que se calcule de manera explícita,
por tanto, hay que buscar técnicas
que hagan que se pueda reducir una
ecuación de recurrencia y esto a su
vez es llamado como solución
cerrada.
Una solución cerrada es
una expresión que se
evalúa en una cantidad
fija de operaciones
aritméticas. También se
le llama así al factorial
de un número y a veces
a expresiones con
sumatorias.

7. Términos Relevantes
Los Coeficientes Binomiales satisfacen un
número amplio de ecuaciones de
recurrencias. Son aquellos que son
estudiados en combinatoria que
corresponden al número de formas en que se
puede extraer subconjuntos provenientes de
un conjunto dado.
Un Desarreglo de n símbolos es una
permutación que no deja ningún símbolo en
su sitio. El número Dn de desarreglos de n
símbolos también se obtiene por una
ecuación de recurrencia.
Una de las ecuaciones de recurrencia
más relevantes es la que da lugar a la
Sucesión de Fibonacci que es uno de
los problemas que lleva a esta
sucesión es determinar el número de
secuencias de longitud n con los
símbolos 0, 1 de manera que no haya
dos ceros seguidos.
Ejemplo:
111 110 101 011 010

8. Funciones
Generales

9. Funciones Generadoras
Es una serie formal de potencias cuyos coeficientes codificación
información sobre una sucesión an cuyo índice corre sobre los
enteros que no son negativos, son expresiones cerradas en un
argumento formal x. sus tipos son:
● Funciones Generadoras Ordinarias
● Funciones Generadoras Exponenciales
● La Serie de Lambert
● La Serie de Bell
● La Serie de Dirichlet
El tipo de función generadora son series formales de potencias, por
lo que no se analiza el problema de la convergencia en todos los
valores x.

10. Funciones Generadoras
La función generadora permite trabajar con la secuencia entera almacenando en una
función. Cuando se da una secuencia de números un, n mayor o igual que 0, se conoce
como función generadora ordinaria de esta secuencia la expresión.
Miremos la siguiente expresión:
En esta expresión se refleja una serie formal y la sucesión {u0, u1, ..} es su sucesión de
coeficientes. Las series formales son una extensión de los polinomios, es más, son las
series formales con solo un número finito de elementos no nulos.

11. Función Generadora
La función generadora ordinaria de una sucesión (an)=a0, a1, a2… se define
como:
es como usar la expresión función generadora sin mayor calificativo. La
sucesión de Fibonacci definida por la recurrencia:
; es la sucesión 0,1,1,2,3,5,8,13,21
su función generadora es
puesto que el desarrollo en serie de potencias de tal función es:

12. Ecuaciones de
Recurrencia
Lineales

13. Las relaciones de recurrencia pueden considerarse como
técnicas avanzadas de conteo. Resuelven problemas cuya
solución no puede obtenerse usando variaciones,
permutaciones, combinaciones o con las técnicas derivadas del
principio de inclusión-exclusión.
Hay tres métodos para resolver relaciones recurrentes:
iteración, transformada Z y un método especial que se aplica a
las relaciones de recurrencia lineales homogéneas con
coeficientes constantes. El adjetivo lineal indica que cada
término de la secuencia está definido como una función lineal
de sus términos anteriores. El orden de una relación de
recurrencia lineal es el número de términos anteriores exigidos
por la definición.

14. Una de las aplicaciones de las funciones
generadoras es la de resolución de
ecuaciones de recurrencia. La idea básica
de esta aplicación está en el hecho que la
traslación de índice en una función
generadora se traduce simplemente en
una expresión algebraica: el producto por
una potencia de x.
Por ejemplo las series:
que corresponden a las secuencias (U0,
U1, U2 ….) y (0, U0, U1, …..)
respectivamente, están relacionadas por la
igualdad,
De manera similar, la serie que resulta de
U(x) desplazando los índices h posiciones
hacia adelante es

15. El número de oro
(1 + √5) / 2, Este número es el llamado
número de oro, que da la proporción áurea,
considerada por los antiguos griegos como la
relación perfecta entre medidas y que se
usaba tanto en las construcciones
arquitectónicas como en escultura.
Esta proporción aparece también en ciertas
manifestaciones orgánicas naturales por
ejemplo, las medidas de los huesos de los
dedos humanos siguen esta proporción).
Resulta curioso también que la combinación de
números irracionales en la ecuación:
dé siempre un número natural Fn, cosa que
sería difícil de demostrar si no dispusieramos de
una definición previa de los términos de la
sucesión. Estos hechos sorprendentes forman
parte de la popularidad de la sucesión de
Fibonacci.

16. Números
Combinatorios

17. Desarreglos
Ecuación:
para el número de desarreglos de n símbolos, Dn.
De manera similar a la manera como se ha
obtenido la función generadora de los coeficientes
de una ecuación de recurrencia lineal, esta
recurrencia conduce a una ecuación en D(x).
Ejemplo: Sea D(x) la función generadora (ordinaria)
de la sucesión {Dn} nEN del número de desarreglos
de n símbolos. Multiplicando por X^n la igualdad y
sumando para n >=2, demostrar que D(x) satisface
la ecuación:
Aquí, sin embargo, el uso de la función generadora
exponencial resulta más efectivo. Por ello,
observemos que el número total de permutaciones
de n símbolos es n!, y que cualquier permutación
deja algún número k de elementos fijados, k = 0, 1,
…. n.

18. Números de Catalan
Los números de Catalan satisfacen la
ecuación de recurrencia:
La forma de esta recurrencia recuerda la
del producto de dos series formales.
Llamamos a la función generadora de los
números de Catalan. Observemos que el
coeficiente Un-1 producto C(x)*C(x)
coincide, de acuerdo con la relación con
Cn, de manera que la sucesión de
coeficientes de (C(x))2 es la sucesión de
números de Catalan trasladada una
unidad.
Obtención de la función generadora de los
números Catalanes:
1ro tenemos la relación:
2do ecuación de 2do grado con incognita C(x):
3ro resolver como ecuación de 2do grado:
4to obtención de función generadora de los
números Catalanes:

19. Particiones
El tipo de funciones generadoras que dan las
particiones de un entero son similares a las que dan
las combinaciones con repetición de más abajo:
Al hacer el producto se obtiene xn cada vez que n
se puede expresar como Identificamos esta
descomposición de n con la partición que tiene n1
‘1’s, n2 ‘2’s, n3 ‘3’s,: : : , nk ‘k’s.
Por ejemplo: Las funciones generadoras del
número de particiones de n en partes pares
(respectivamente, impares) más pequeñas que 2k
(respectivamente, 2k -1) son:
Haciendo extensivo el razonamiento sin limitar el
tamaño de las partes, obtenemos la función
generadora de las particiones de un entero:
La de las particiones de un entero en partes pares:
y la de particiones en partes impares:
Un argumento similar, aún, proporciona el número
de particiones de n en partes diferentes, de P
diferente de n:

20. Números de Stirling y de Bell
Los números de Stirling tienen un cierto
parentesco con los coeficientes binomiales.
En particular, satisfacen una ecuación de
recurrencia.
Relacionado con el problema de las
particiones de un entero positivo, otro
problema clásico es el de calcular el número
de particiones de un conjunto. Una partición
de un conjunto de n elementos X = {1, 2, ……
n} es una descomposición de X en unión
disyunta de subconjuntos.
Por ejemplo, las particiones de X = {1, 2, 3} son:
{1} {1, 2}; {1, 2} {3}; {1, 3} {2}; {1} {2}{3};
{1, 2, 3}
El número de particiones de un conjunto de n
elementos en k subconjuntos no vacios se llama número
de Stirling de segundo tipo y se denota de {n a k }.
Por ejemplo, para cualquier n, {n a 1} = 1 (la única
partición en un solo conjunto es X mismo) y {n a n} = 1
(todos los conjuntos de la partición tienen un solo
elemento). Por convenio, tomaremos el valor de {n a 0}
= 0 si n > 0 y {n a k} = 0 si k >n.

21. Gracias!!!

22. Referencias
● Comellas, F., Fàbrega, J., Sànchez, A., & Serra, O. (Eds.). (2001). Matemática
discreta para Informáticos (Primera edicióN). EDICIONS UPC.
● R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik. Concrete Mathematics, Addison Wesley,
1991.
● H. Childs. A Concrete Introduction to Higher Algebra, UTM, Springer Verlag, 1979.
● P. A. MacMahon. Combinatory Analysis, Chelsea Publishing Company, NY, 1960.
● H. S. Wilf. Generatingfunctionology, Academic Press, 1990.
Páginas web consultadas:
● http://verso.mat.uam.es/~pablo.fernandez/cap6-recurrencias.pdf
● https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_recurrencia#Ecuaci%C3%B3n_
de_Recurrencia_lineal_homog%C3%A9nea_con_coeficientes_constantes
● http://www.kramirez.net/Discretas/Material/Presentaciones/Ecuaciones_de_rec
urrencia_02-03.pdf
● http://www.dma.fi.upm.es/docencia/grado_ii/matematica_discreta_1/resumen/
recurrencias_lineales.pdf