Funciones y tipos de funciones

1. 2015
FUNCIONES

2. 2015
ÍNDICE.
Concepto de variable, función, dominio, condominio, y recorrido de una función…………
Función inyectiva, suprayectiva, y biyectiva……………………………………………….
Función real de variable real y su representación gráfica…………………………………..
Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional…………………………..
Funciones trascedentes: funciones trigonométricas, y funciones exponenciales…………..
Funciones definidas por más de una regla de correspondencia función valor absoluto……
Operaciones con funciones: adicción, multiplicación, composición……………………….
Función inversa. Funciones logarítmica. Funciones trigonométricas inversas………………
Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las
sucesiones infinitas…………………………………………………………………………..
Función implícita…………………………………………………………………………….
Conclusión………………………………………..................................................................
Fuentes de consultas………………………………………………………………………..

3. 2015
CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCIÓN, DOMINIO,
CONDOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN.
Definición de variable:
Por lo general en ciertas operaciones utilizadas como las ecuaciones algebraicas entre otras,
habrán notado la presencia de literales o letras que suplantan a un valor numérico, el valor
de estas literales puede venir predefinidos si se trata de una constante (lo contrario a las
variables) o como en este caso se le puede asignar un valor pero este debe ser posible. Las
variables puede tener números Naturales, enteros, racionales, reales o complejos.
Un pequeño ejemplo sencillo de esto sería:
Si queremos conocer el Área de un cuadrado, recurrimos a su formula de A = L*L o A
=L^2 ( Lado al cuadrado)
A= Área
L= Lado
En este ejemplo L es la variable ya que el valor que se le asigne a esta literal no es conocido
y podemos variarlo, A también es una variable ya que aun que en la forma actual solo
representa el resultado de una operación, dependiendo de los valores asignados a esa
operación dependerá a lo que equivale A.
Definición de Función:
En álgebra una función es caracterizada con el símbolo: f
Una función con una variable generalmente se representa: f(x), si llegara a ocurrir el caso
en que existan 2 cantidades las cantidades se representarían con “x”, “Y”, si lo
relacionamos con la ecuación y=x^3+4 entonces nos indica que Y esta en función de X y se
representa de la siguiente manera: y= f(x)=x^3+4.

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Esta función significa que se eleva X al cubo y se le suman 4. También podemos observar
que X es la variable independiente y Y es la variable dependiente.
Definición de Dominio:
El dominio en términos sencillos es los que puede entrar en una función
Según el Diccionario Especializado de matemáticas se define como Dominio a:
El conjunto de números o cantidades sobre las cuales se efectúa o puede efectuarse una
aplicación. En álgebra, el dominio de una función f(x) es el conjunto de valores que puede
tomar la variable independiente x. Si, por ejemplo, f(x) representa la raiz cuadrada de x,
entonces el dominio se define como todos los números racionales positivos.
Resumen: Se le define al Dominio como el conjunto de todas las entradas posibles.
Definición de Co-dominio:
El condominio también llamado Intervalo o Conjunto final se le define como el grupo de
resultados posibles de f(x) donde X puede variar en cualquier momento.
Recorrido de una función
Tal como su nombre lo indica Se le denomina rango o recorrido de una función al grupo de
valores reales que toma una variable y o f(x).
Resumen: Es el probable resultado que sale de una función.

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FUNCIÓN INYECTIVA, FUNCIÓN SOBREYECTIVA
Y FUNCIÓN BIYECTIVA
FUNCIONES
Función inyectiva
Ejemplo de función inyectiva.
En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le
corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del
conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más
elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales, dada por no es inyectiva, puesto que el
valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números
positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

6. 2015
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y, entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que
cumplen:
Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una
aplicación biyectiva entre A y B
Función biyectiva
Ejemplo de función biyectiva.
En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
Formalmente,
para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del
conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada,
que es la regla de la función inyectiva. Sumándole que cada elemento del conjunto de salida
le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que
exige la función sobreyectiva
Teorema
Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.

7. 2015
Función sobreyectiva
Ejemplo de función sobreyectiva.
En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o
exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en
palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un
elemento de "X".

8. 2015
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Y SU
REPRESENTACIÓN GRÁFICA.
Cualquier función cuyo rango de conjunto incluya sólo números reales es llamada una
función valorada real o simplemente una función real.
Especialmente estudiada bajo el cálculo, una función valorada real se centra en las
integrales, las desigualdades en general y sus derivadas.
Una función racional, por ejemplo, cae bajo la categoría de una función valorada real.
Al igual que en cualquier otra función, también una función real pueden realizársele las
operaciones básicas, tales como suma, resta, multiplicación, etc.
Aunque el denominador no sea igual a cero, la operación de división se puede realizar en
tales funciones.
El resultado de estas operaciones es otra función, que puede no ser una función real en
algunos casos.
Si hablamos en términos matemáticos, una definición formal de una función valorada real
sería “Una función f: X → Y se llama una función valorada real si asocia un único
elemento del conjunto Y a cada elemento del conjunto X, donde X e Y son subconjuntos
del conjunto R (conjunto de todos los números reales)”.
En términos simples se puede decir que una función que tiene el dominio y co-dominio de
su conjunto, como subconjunto de R se llama una función real.
Un conjunto de todos los posibles pares ordenados (x, f (x)) se le llama gráfico de una
función.
En caso que el conjunto que contiene x sea un conjunto de números reales; la gráfica se
llamará gráfica de la función valorada real.

9. 2015
Generalmente el gráfico de tal función es una superficie, donde la entrada de la función es
un par ordenado de números reales (x1, x2) y la salida, es decir, el gráfico formado es un
triplete (x1, x2, f(x1, x2).
Algunas de las funciones valoradas reales y sus gráficos se analizan a continuación:
1. Función Constante y Gráfico: Una función constante es una función f: X → Y, donde X
e Y son subconjuntos de R y existe k como un elemento de Y tal que f(x) = k.
El gráfico formado para esta función es una línea recta paralela al eje X.
Si tenemos que k> 0 la línea estará por encima del eje x, sino la línea se formará por debajo
del eje-x.
En el caso que k sea igual a cero la línea se superpone al eje-x.
Ejemplo, y = 12, en este caso una línea paralela al eje x que pasa por el 12vo punto formará
la gráfica.
2. Función Identidad y Gráfico: Una función identidad es una función f: X → Y que tiene la
propiedad f(x) = x se mantiene cierta a los elementos de X.

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La gráfica de esta función es una línea recta que se traza en un ángulo de cuarenta y cinco
grados con el eje x y se extiende en ambos planos negativos y positivos.
Tal función toma un elemento para sí mismo y nunca cambia su dominio. Ejemplo, f (x) =
x, en este caso una línea en un ángulo de cuarenta y cinco grados pasa el eje x a través del
origen y formará la gráfica.
3. Función Módulo y Gráfico: Una función módulo o una función valorada absoluta es una
de la siguiente manera, f(x) = x, f(x) = {x >= 0, -x <= 0}

11. 2015
4. Función Recíproca y Grafico: Una función recíproca es una como la que sigue, f(x) =
1/x, donde x <> 0

12. 2015
FUNCIONES ALGEBRAICAS, FUNCIONES
POLINOMIALES,
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES.
Función polinomial:
Una función polinomial es una función en que f(x) es un polinomio en x.
Una función polinomial de grado n es escrita como
Las funciones polinomiales están definidas y son continuas en todos los números reales.
POLINOMIALES DE GRADO BAJO
NOMBRE FORMA GRADO
Función constante f(x) = a 0
Función lineal f(x) = ax + b, a ≠ 0 1
Función cuadrática f(x) = ax2
+ bx + c, a ≠ 0 2
Función cúbica f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d, a ≠ 0 3
Función cuártica f(x) = ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + e, a ≠ 0 4
Función racional:
En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser
expresada de la forma:
donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las

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funciones racionales están definidas o tienen sudominio de definición en todos los valores
de x que no anulen el denominador. Obviamente esta definición puede extenderse a un
número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables
Función irracional:
Una función irracional es una función en cuya expresión analítica la variable
dependiente x aparece debajo del símbolo de raíz.
En este apartado consideraremos únicamente funciones irracionales del tipo
f(x)=g(x)−−−−√n
con g(x) una función racional.
 Si el índice n de la raíz es impar, es posible calcular la imagen de cualquier número
real, siempre y cuando la expresión g(x) sea un número real, es decir, Dom(f)=Dom(g).
 Si el índice n de la raíz es par, para poder calcular imágenes necesitamos
que g(x) sea positiva o cero, ya que las raíces pares de un número negativo no son números
reales. Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuación g(x)≥0. En otras
palabras, Dom(f)={x∈R∣g(x)≥0}.
Estudiemos ahora el caso más simple de función irracional: la función raíz
cuadrada f(x)=x√.
Se trata de una función en que el índice de la raíz es 2. Por tanto, su dominio es el conjunto
de soluciones de la inecuación x≥0. Así tenemos Dom(f)=[0,+∞) La imagen de la función
raíz cuadrada es, como en el caso del dominio, el conjunto de los reales mayores o igual
que cero, Im(f)=[0,+∞)

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FUNCIONES TRASCENDENTALES, FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones trascendentes
Estas funciones no son algebraicas. El conjunto de funciones trascendentes incluye la
trigonométrica, la trigonomètrica inversa, exponencial y logarítmica, además comprende un
buen número de otras funciones que nunca han recibido nombre.
Ejemplo 1 - Funciones trascendentes
Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos
de funciones trascendentes
f(x)=5x , es una función exponencial (La x es la
exponente).
g(x)=x50 , es una función potencia (la x es la base$.
Podrìa considerar un polinomio de grado 5.
h(x)=1+x1−x√ , es una función algebraica.
u(t)=1−t+5t4 , es un polinomio de grado 4.
Funciones trigonométricas
En el cálculo la covención es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando
se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando se usa la función f(x)=sinx, se supone

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que sinxsignifica el seno del ángulo cuya medida en radianes es x. Por consiguiente, las
gráficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 1.
Observe que tanto para la función seno como coseno el dominio es (−∞,∞) y el alcance es el
intervalo [−1,1]. En estos términos, para todos los valores de x, se tiene
−1≤sinx≤1
−1≤cosx≤1
o, en términos de valores absolutos,
|sinx|≤1
|cosx|≤1
Además, los ceros de las funciones seno surgen en múltiplos enteros de π; es
decir, sinx=0 donde x=nπ y n es un número positivo.
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones periódicas y
tienen periodos 2π. Esto significa que para todas las funciones de x
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
La naturaleza periódica las hace adecuadas para modelar fenomenos como por ejemplo las
mareas, los resortes vibratorios y las ondas sonoras.
La función tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuación
tanx=sinxcosx

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y su gráfica .Es indefinida siempre que cosx=0, es decir, cuando x=±π/2,±3π/2,.... Su
intervalo es (−∞,∞). Observe que la función tangente tiene períodos π.
tan(x+π)=tanx para toda x
Las tres funciones trigonométricas restantes (cosecante, secante y cotangente) son recíprocas
de las funciones seno, coseno y tangente.
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma f(x)=ax, donde la base a es una
constante positiva. En la figura 3 se muestran gráficas de y=2x y y=(0.5)x. En ambos casos
el dominio es (−∞,∞) y (0,∞) es el intervalo.
La función f(x)=2x se denomina función exponencial porque la variable, x, es el exponente.
No debe confundirse con la función potencia g(x)=x2 en la cual la variable es la base.
En general, una función exponencial es una función de la forma
f(x)=ax
donde x es una constante positiva. Cabe recordar qué significa esto.
Si x=n, un número positivo, entonces
an=a⋅a⋅a⋯⋅a n factores
Si x=0, en tal caso a0=1, y si x=−n donde n es un entero positivo entonces
a−n=1an
si x es un número racional, x=p/q, donde p y q son enteros positivos y q>0, por lo tanto

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ax=ap/q=(a√q)p
FUNCION DEFINIDA POR MÁS DE UNA REGLA DE
CORRESPONDENCIA. FUNCION VALOR
ABSOLUTO
La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias;
por lo tanto, siempre será positiva o nula.
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo
del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o
trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de
x).
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada
intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x
es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.

18. 2015
OPERACIONES CON FUNCIONES: ADICION,
MULTIPLICACION, COMPOSICION.
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los números: sumar, restar,
multiplicar, dividir, elevar a una potencia, sacar raíz o se puede hacer combinaciones.
Composicion De Funciones
Dos funciones se combinan para producir un resultado. Por ejemplo: f actua sobre “x” para
producir f(x) y luego g actua sobre f(x) o tambien llamada funcion composicion que se
representa g(f(x))
Definición.
Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes
operaciones: i. SUMA: ii. DIFERENCIA: iii. PRODUCTO: iv. COCIENTE

19. 2015
Composición de funciones:
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva
función llamada la “compuesta de f y g”.
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la
primera.

20. 2015
FUNCION INVERSA. FUNCION LOGARITMICA
FUNCION TRIGONOMNETRICAS INVERSAS.
Función inversa:
Son dos funciones tales que a todo punto de la gráfica
de la primera función corresponde un punto de la gráfica de la segunda, de tal manera que
la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de
la otra y viceversa; es decir, a todo punto de la primera curva corresponde, en la segunda,
otro punto simétrico con respecto a la bisectriz del ángulo XOY
Función logarítmica:
Es aquella que está afectada por un logaritmo; como: log10 x Puede decirse también que la
función logarítmica es la inversa de la función exponencial. y=a^x y y=loga x
Funciones trigonométricas inversas:
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad
expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco,
y= sen x, y es igual al seno de x, la función inversa x= arc sen y, es el arco
cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

21. 2015
FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NÚMEROS
NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NÚMEROS
REALES LAS SUCESIONES INFINITAS.
Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los números
naturales y cuyo recorrido está incluido en el conjunto de los números reales.
En símbolos:
s: lN ® lR / " n Î lN: s(n) = an
Es decir que:
- a1 es la imagen del número natural 1 por medio de la sucesión
1 ® s(1) = a1
- a2 es la imagen del número natural 2 por medio de la sucesión
2 ® s(2) = a2
3 ® s(3) = a3
De acuerdo con esta definición, cada elemento de una sucesión puede representarse como
un par ordenado (n, s(n)) o bien (n, an). Por consiguiente, toda sucesión puede representarse
gráficamente mediante un diagrama cartesiano.
FUNCIÓN IMPLÍCITA
En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple
sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x - y - 2 = 0
Derivada implícita

22. 2015
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y.
Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y
teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Ejemplos

23. 2015
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para
facilitar el cálculo:

24. 2015
CONCLUSION
Tras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir en que son muy
importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas
de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de
astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto
de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber
cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en
una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y". Además a
través de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de
ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función. Creemos que
el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la
consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos
será útil en la práctica.

25. 2015
BIBLIOGRAFIAS
http://mitecnologico.com/igestion/Main/ConceptoDeVariableFuncionDominioCodominioYRecorri
doDeUnaFuncion
http://mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionInyectiva
https://matesandreu.files.wordpress.com/2011/02/funciones-matematicas.pdf
http://www.prepa5.unam.mx/wwwP5/profesor/publicacionMate/05II.pdf
http://www.ingenieria.unam.mx/~colomepg/CAPITULO_I_FUNCIONES_III.pdf
http://eisc.univalle.edu.co/~oscarbed/MD/04-Funciones.pdf
http://www.ciencias.ula.ve/matematica/estudiantes/pdf/tesis_anteriores/Tesis_LeonEleazar.pdf