Este documento presenta información sobre álgebra, trigonometría y geometría analítica. Explica conceptos como las razones trigonométricas, la ley del seno y coseno, identidades trigonométricas y funciones trigonométricas. También incluye ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos y calcular lados y ángulos de triángulos rectángulos y paralelogramos.
Uso de los triángulos rectángulos, sus partes, hipotenusa y catetos, como poderlos referenciar desde un ángulo dado. Asimismo, poderlos identificar y ubicar dada la gráfica del triángulo rectángulo.
Uso de los triángulos rectángulos, sus partes, hipotenusa y catetos, como poderlos referenciar desde un ángulo dado. Asimismo, poderlos identificar y ubicar dada la gráfica del triángulo rectángulo.
Definición, Elementos, Propiedad triangular, Propiedad de los ángulos interiores,ángulos exteriores, clasificación de triángulos según sus lados, sus ángulos. Ejercicios
El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB (figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones son de igual magnitud y en la misma dirección.
Definición, Elementos, Propiedad triangular, Propiedad de los ángulos interiores,ángulos exteriores, clasificación de triángulos según sus lados, sus ángulos. Ejercicios
El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB (figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones son de igual magnitud y en la misma dirección.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
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1. Paso 3-Profundizar y contextualizar
el conocimiento de la Unidad 2
Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica
Por: Levis Herney Manduca Dionisio
Ana Fabiola Cáceres Jaimes
Willian Javier Sánchez Moreno
Tutor: Karina Tello
Código: 551108_26
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Escuela Ciencias de la Educación ECEDU
3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas de un ángulo 𝛼 son las razones obtenidas entre los
tres lados de un triangulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de
sus tres lados a, b y c.
𝛼
B A
C
b
c
a
• Seno.
Seno es Cateto opuesto entre
Hipotenusa.
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑎
𝑏
• Coseno.
Coseno es cateto adyacente entre
Hipotenusa.
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐
𝑏
• Tangente.
Tangente es Cateto opuesto entre
Cateto adyacente
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑎
𝑐
4. Ley del Seno
Los lados de un triangulo son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos.
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶
• El teorema del seno se utiliza cuando
conocemos una pareja y cualquier otro dato.
• Y solamente se usan 2 letras.
5. Ley del Coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triangulo con los otros dos y el
ángulo que forman estos.
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐶
El teorema del coseno se utiliza en los
triángulos cuando se conocen.
• Dos lados y el ángulo comprendido
entre ambos lados. LAL
• Tres lados. LLL
6. Identidades trigonométricas
Ecuaciones: igualdad entre dos expresiones que contiene una o mas variables.
Identidad: es una ecuación que es valida para todos los valores de las variables.
Identidad Trigonométrica: es una identidad que contiene funciones
trigonométricas.
𝑆𝑒𝑛𝛼, 𝐶𝑜𝑠𝐴, 𝑇𝑎𝑛𝐵, 𝐶𝑜𝑡𝛳, 𝑆𝑒𝑐𝐶, 𝐶𝑠𝑐𝑋
Identidades Reciprocas.
1) 𝑠𝑒𝑛𝐴 =
1
𝑐𝑠𝑐𝐴
𝑐𝑠𝑐𝐴 =
1
𝑠𝑒𝑛𝐴
2) 𝑐𝑜𝑠𝐴 =
1
𝑠𝑒𝑐𝐴
𝑠𝑒𝑐𝐴 =
1
𝑐𝑜𝑠𝐴
3) 𝑡𝑎𝑛𝐴 =
1
𝑐𝑜𝑡𝐴
𝑐𝑜𝑡𝐴 =
1
𝑡𝑎𝑛𝐴
Razones entre Dos Funciones
1) 𝑡𝑎𝑛𝐴 =
𝑆𝑒𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑐𝑜𝑡 =
𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐴
Identidades Pitagóricas
1) 𝑠𝑒𝑛2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2𝐴 = 1
2) 𝑡𝑎𝑛2
𝐴 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝐴
3) 𝑐𝑜𝑡2
𝐴 + 1 = 𝑐𝑠𝑐2
𝐴
7. Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son funciones que podemos encontrar
describiendo la medición de ángulos de un triangulo rectángulo.
Seno
Coseno
Tangente
H= 10cm
7cm= Co
Ca = 6cm
𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
𝐶𝑜
ℎ
=
7𝑐𝑚
10𝑐𝑚
= 0.7
𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
𝐶𝑎
ℎ
=
6𝑐𝑚
10𝑐𝑚
= 0.6
𝑇𝑎𝑛 𝛼 =
𝐶𝑜
𝐶𝑎
=
7𝑐𝑚
6𝑐𝑚
= 1.16
8. Tarea 1. Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la ley del seno y coseno, Los triángulos se deben
graficar únicamente con el uso del programa GeoGebra, en su versión online o descargar el programa:
Ejercicio e. a= 40 m B= 65° c=10 m
Aplicar la ley del coseno y encontrar el lado b.
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑏2 = 402 + 102 − 2 40 10 cos 65
𝑏 = 402 + 102 − 2 40 10 cos 65
𝑏 = 36.90
Aplicar la ley de seno para encontrar el ángulo C.
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑐
𝑠𝑒𝑛 65
36.90
=
𝑠𝑒𝑛 𝐶
10
𝑠𝑒𝑛−1
10 ∗
𝑠𝑒𝑛 65
36.90
= 𝑠𝑒𝑛−1
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑠𝑒𝑛−1 10 ∗
𝑠𝑒𝑛 65
36.90
= 𝐶
13.12° = 𝐶
9. Restar 180° con los ángulos encontrados B y C, para encontrar el ángulo A.
A=180°-65°-13.12°
A=101.88°
10. Tarea 2. Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos agudos
(A y B) de cada triángulo rectángulo que aparecen abajo.
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
cos 𝖺 = Cos 𝖺 = = 𝐶𝑜𝑠−1Cos 𝖺 = 𝐶𝑜𝑠−1
4.5𝑐𝑚
4𝑐𝑚 4𝑐𝑚
4.5𝑐𝑚
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠
𝑎
𝖺 𝐸𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛽 𝑒𝑠 = 180 − 90 − 27 = 63°
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠
𝑎
4.5 𝑐𝑚
Tangente 𝖺 = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡
𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡
𝑒
Tan 27° =
2
= 0,5
4
LADO A 𝑆𝐸𝑁𝑂 𝖺
=
2
4,5
=0,4 Cos 𝖺 =
4
4,5
0,8 tag 𝖺 =
2
4
= 0,5
LADO B 𝑆𝐸𝑁𝑂 𝖺
=
4
4,5
=0,8 Cos 𝖺 =
2
4,5
0,4 tag 𝖺 = 4
2
= 2
4𝑐𝑚
𝖺 = 𝐶𝑜𝑠−1
.5𝑐𝑚
𝖺 = 27°
Establecer el valor del cateto opuesto 𝑆𝐸𝑁 𝖺 = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑆𝐸𝑁 27° = 𝑥
4.5cm ∗ 𝑆𝐸𝑁 27° = 𝑥 2𝑐𝑚 = 𝑥 𝐶𝑂
11. TAREA 3. REALIZAR LAS SIGUIENTES
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Primero deben identificar como se puede remplazar las identidades
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
1
1 𝐶𝑜𝑡 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
Remplazamos los valores
1
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
Simplificamos los valores
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
=
𝑐𝑜𝑠𝑥
Expresión simplificada
El enunciado es verdadero para cualquier valor de (X) ya que ambos miembros son idénticos
14. AB =13cm
El valor de DC no es necesario
El valor de CA no es necesario
hallar el valor ya que es igual a asignado a AB Es decir 13cm
hallar el valor ya que es igual a asignado a BD Es decir 6 cm
15. Referencias Bibliográficas
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica.
Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas
237 - 265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para
estudiantes de ciencias. Bogotá, CO: Universidad del Norte. Páginas
153 – 171. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69943?page=159
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_senos
https://www.neurochispas.com/wiki/identidades-trigonometricas-
fundamentales/