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Diseño en Bloques Completos
Aleatorizados
DBCA

Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

1
Diseño De Bloques Completos Aleatorizados

• En muchos problemas de experimentos, es necesario

hacer un diseño de tal manera que la variabilidad
proveniente de fuentes conocidas pueda ser
sistemáticamente controlada.

•

Se pretende reducir el efecto de la variabilidad
proveniente de causas propias del experimento pero
independiente del efecto que se desea estudiar.

•

Para los fines del análisis de varianza el bloqueo
introduce un efecto adicional ficticio, cuyo objetivo es
separar del error experimental, alguna fuente de
variabilidad conocida.
Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

2

Ing. Felipe Llaugel
Análisis De La Varianza:
Clasificaciones según dos Criterios
El Diseño en Bloque Completo al Azar es un plan en el
cual las unidades experimentales se asignan a grupos
homogéneos, llamados bloques, y los tratamientos son,
luego, asignados al azar dentro de los bloques.
Objetivo del agrupamiento: lograr que las unidades
dentro de un bloque sean lo más uniformes posible con
respecto a la variable dependiente, de modo que las
diferencias observadas se deban realmente a los
tratamientos. Al controlar la variación dentro de los
bloques reducimos la variabilidad del error experimental.
Completo: todos los tratamientos están incluidos en cada
bloque.
Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

3
Diseños En Bloques Aleatorizados
Cada bloque constituye una replicación.

Todos los tratamientos aparecen una sola vez en
cada bloque

Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

4
Diseño En Bloques Completos
Aleatorizados
• Se divide el material experimental en tantos
bloques como números de replicaciones a
utilizar. Cada bloque es luego dividido en tantas
UE como tratamientos haya en estudio.
• Como el DBCA especifica que todos los
tratamientos deben aparecer una vez en cada
replicación, la aleatorización se hace
separadamente en cada bloque.
• La aleatorización es similar al DCA para cada
bloque.
Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

5
Ejemplo: Para el ensamble de un artículo se considera comparar 4 máquinas
diferentes. Como la operación de las máquinas requiere cierta destreza se
anticipa que habrá una diferencia entre los operarios en cuanto a la velocidad
con la cual operen la maquinaria. Se decide que se requerirán 6 operarios
diferentes en un experimento de bloques aleatorizado para comparar las
máquinas.
Entonces, el factor de interés es uno sólo, pero se crea otro factor para
controlar la variabilidad extraña y excluirla así del error experimental.
Aleatorización: debemos asignar cada tratamiento, M1, M2, M3, y M4 a
cada bloque.
Operario 1
Bloque 2
Bloque 3
Bloque 4
Bloque 5
Bloque 6
84
75
76
22
5
16
45

31

25

51

79

44

27

70

98

10

36

29

2

86

85

78

95

14

M2
M4
M3
M1

M3
M1
M2
M4

M2
M1
M4
M3

M4
M2
M1
M3

M1
M3
M2
M4

M2
M4
M3
M1

Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

6
Ventajas
•

Puede proveer resultados más precisos que un DCA del mismo tamaño
si los agrupamientos son efectivos.

•

Sirve para cualquier nº de tratamientos y replicaciones.

•

Los tratamientos no necesitan tener tamaños de muestras iguales.
(Bloque Incompleto)

•

El análisis no se complica si se debe descartar, por alguna causa, un
tratamiento o algún bloque.

•

Se puede introducir, deliberadamente, variabilidad en las unidades
experimentales para ampliar el rango de validez de los resultados sin
sacrificar la precisión de los resultados.

Desventajas
•

Las observaciones faltantes dentro de un bloque requiere cálculos más
complejos.

•

Los grados de libertad para el error experimental no son tantos como en
el DCA.

•

Se requieran más presunciones para el modelo: no interacción entre
tratamientos y bloques, varianza constante de bloque a bloque.
Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

7
Si las máquinas no difieren en cuanto a la velocidad de
ensamblado de la pieza, tendrían igual velocidad promedio y las
curvas se superpondrían exactamente.
H0 : µ1= µ2 = µ3= µ4 ó H0 = α1=α2=α3=α4=0

µ

Pero si las máquinas difieren en cuanto a la velocidad de
ensamblado de la pieza, pensaríamos que las muestras provienen de
poblaciones diferentes, e
H1: algún promedio es
distinto de los restantes

µ1

µ2

µ3

µ4

Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

8
EL MODELO (DE EFECTOS FIJOS)
Yij = µ + αi + βj + eij
Modelo lineal aditivo: cada respuesta es la suma de los
otros términos.
Donde Y es la variable respuesta o dependiente, tiempo medido en
segundos, e Yij es la observación perteneciente al j-ésima bloque bajo
el tratamiento i; las observaciones son independientes.
µ es la media general común a todas las máquinas y a todos los
operarios.
αi es el efecto del tratamiento en el nivel i, propio de cada
máquina.
βj es el efecto del bloque en el nivel j, propio de cada operario.
eij es la variable aleatoria del error con distribución normal, con
media = 0 y varianza σ2 N (0 ; σ2 ) e independiente.
Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

9
de Velocidad
48

Medias marginales estimadas

Cuando el
modelo es
aditivo quiere
decir que la
diferencia en
respuestas
medias entre dos
operarios es la
misma para
todas las
máquinas.

Medias marginales estimadas

BLOQUE
46
1
44

2
3

42

4
40

5

38

6
1

2

3

4

Tratamiento

Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

10
Si aplicamos el Método de los Mínimos Cuadrados, para
estimar los parámetros
ˆ
µ .. = y..

=

Donde b son los bloques y t los
tratamientos

ˆ
ˆ
ˆ
α i = µ i. - µ.. = yi. - y..
ˆ
ˆ
ˆ
β j = µ. j - µ.. = y. j - y..

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
eij = yij - µ.. - α i - β j = yij - yi. - y. j + y..
Cada componente del modelo contribuye a la
variabilidad total. La partición de la Suma de
Cuadrados Total involucrará tres fuentes de variación.
Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

11
Tabla de Análisis de varianza para dos criterios
de clasificación
Fuente de

Suma de

Grados de

Cuadrados

F calculada

variación

Cuadrados

libertad

Medios

Tratamientos

SCA

t-1

CMA = SCA / t-1

CMA / CME

Bloques

SCB

b -1

CMB = SCB / b-1

CMB / CME

Error Experimental

SCE

(t - 1)(b-1)

Total

SCT

t.b -1

CME = SCE / (t-1)(b-1)

∑∑ ( yij − y..) 2 = t ∑ ( yi . − y..) 2 + b∑ ( y. j − y..) 2 + ∑∑ ( yij − yi. − y. j + y.. ) 2
i

j

i

Variación total

j

Variación debida
a los tratamientos

SCT

SCA

i

Variación debida
a los bloques
SCB

j

Variación propia de
las observaciones
SCE

Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

12
Tiempo en segundos para el ensamble del producto
 

Operario

 

 

Máquina

1

2

3

4

5

6

Total

Medias

1

42,5

39,3

39,6

39,9

42,9

43,6

247,8

41,3

2

39,8

40,1

40,5

42,3

42,5

43,1

248,3

41,4

3

40,2

40,5

41,3

43,4

44,9

45,1

255,4

42,6

4

42,3

43,2

44,5

45,2

46,9

43,3

265,4

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Total

164,8

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175,1

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Medias

41,2

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Fc = 

42,7

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Suma de Cuadrados Tratamientos =   ∑ Ti. − Fc
b i
1
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Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales

13

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UNIDAD #3 DISEÑO DE BLOQUES

  • 1. Diseño en Bloques Completos Aleatorizados DBCA Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 1
  • 2. Diseño De Bloques Completos Aleatorizados • En muchos problemas de experimentos, es necesario hacer un diseño de tal manera que la variabilidad proveniente de fuentes conocidas pueda ser sistemáticamente controlada. • Se pretende reducir el efecto de la variabilidad proveniente de causas propias del experimento pero independiente del efecto que se desea estudiar. • Para los fines del análisis de varianza el bloqueo introduce un efecto adicional ficticio, cuyo objetivo es separar del error experimental, alguna fuente de variabilidad conocida. Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 2 Ing. Felipe Llaugel
  • 3. Análisis De La Varianza: Clasificaciones según dos Criterios El Diseño en Bloque Completo al Azar es un plan en el cual las unidades experimentales se asignan a grupos homogéneos, llamados bloques, y los tratamientos son, luego, asignados al azar dentro de los bloques. Objetivo del agrupamiento: lograr que las unidades dentro de un bloque sean lo más uniformes posible con respecto a la variable dependiente, de modo que las diferencias observadas se deban realmente a los tratamientos. Al controlar la variación dentro de los bloques reducimos la variabilidad del error experimental. Completo: todos los tratamientos están incluidos en cada bloque. Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 3
  • 4. Diseños En Bloques Aleatorizados Cada bloque constituye una replicación. Todos los tratamientos aparecen una sola vez en cada bloque Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 4
  • 5. Diseño En Bloques Completos Aleatorizados • Se divide el material experimental en tantos bloques como números de replicaciones a utilizar. Cada bloque es luego dividido en tantas UE como tratamientos haya en estudio. • Como el DBCA especifica que todos los tratamientos deben aparecer una vez en cada replicación, la aleatorización se hace separadamente en cada bloque. • La aleatorización es similar al DCA para cada bloque. Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 5
  • 6. Ejemplo: Para el ensamble de un artículo se considera comparar 4 máquinas diferentes. Como la operación de las máquinas requiere cierta destreza se anticipa que habrá una diferencia entre los operarios en cuanto a la velocidad con la cual operen la maquinaria. Se decide que se requerirán 6 operarios diferentes en un experimento de bloques aleatorizado para comparar las máquinas. Entonces, el factor de interés es uno sólo, pero se crea otro factor para controlar la variabilidad extraña y excluirla así del error experimental. Aleatorización: debemos asignar cada tratamiento, M1, M2, M3, y M4 a cada bloque. Operario 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 4 Bloque 5 Bloque 6 84 75 76 22 5 16 45 31 25 51 79 44 27 70 98 10 36 29 2 86 85 78 95 14 M2 M4 M3 M1 M3 M1 M2 M4 M2 M1 M4 M3 M4 M2 M1 M3 M1 M3 M2 M4 M2 M4 M3 M1 Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 6
  • 7. Ventajas • Puede proveer resultados más precisos que un DCA del mismo tamaño si los agrupamientos son efectivos. • Sirve para cualquier nº de tratamientos y replicaciones. • Los tratamientos no necesitan tener tamaños de muestras iguales. (Bloque Incompleto) • El análisis no se complica si se debe descartar, por alguna causa, un tratamiento o algún bloque. • Se puede introducir, deliberadamente, variabilidad en las unidades experimentales para ampliar el rango de validez de los resultados sin sacrificar la precisión de los resultados. Desventajas • Las observaciones faltantes dentro de un bloque requiere cálculos más complejos. • Los grados de libertad para el error experimental no son tantos como en el DCA. • Se requieran más presunciones para el modelo: no interacción entre tratamientos y bloques, varianza constante de bloque a bloque. Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 7
  • 8. Si las máquinas no difieren en cuanto a la velocidad de ensamblado de la pieza, tendrían igual velocidad promedio y las curvas se superpondrían exactamente. H0 : µ1= µ2 = µ3= µ4 ó H0 = α1=α2=α3=α4=0 µ Pero si las máquinas difieren en cuanto a la velocidad de ensamblado de la pieza, pensaríamos que las muestras provienen de poblaciones diferentes, e H1: algún promedio es distinto de los restantes µ1 µ2 µ3 µ4 Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 8
  • 9. EL MODELO (DE EFECTOS FIJOS) Yij = µ + αi + βj + eij Modelo lineal aditivo: cada respuesta es la suma de los otros términos. Donde Y es la variable respuesta o dependiente, tiempo medido en segundos, e Yij es la observación perteneciente al j-ésima bloque bajo el tratamiento i; las observaciones son independientes. µ es la media general común a todas las máquinas y a todos los operarios. αi es el efecto del tratamiento en el nivel i, propio de cada máquina. βj es el efecto del bloque en el nivel j, propio de cada operario. eij es la variable aleatoria del error con distribución normal, con media = 0 y varianza σ2 N (0 ; σ2 ) e independiente. Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 9
  • 10. de Velocidad 48 Medias marginales estimadas Cuando el modelo es aditivo quiere decir que la diferencia en respuestas medias entre dos operarios es la misma para todas las máquinas. Medias marginales estimadas BLOQUE 46 1 44 2 3 42 4 40 5 38 6 1 2 3 4 Tratamiento Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 10
  • 11. Si aplicamos el Método de los Mínimos Cuadrados, para estimar los parámetros ˆ µ .. = y.. = Donde b son los bloques y t los tratamientos ˆ ˆ ˆ α i = µ i. - µ.. = yi. - y.. ˆ ˆ ˆ β j = µ. j - µ.. = y. j - y.. ˆ ˆ ˆ ˆ eij = yij - µ.. - α i - β j = yij - yi. - y. j + y.. Cada componente del modelo contribuye a la variabilidad total. La partición de la Suma de Cuadrados Total involucrará tres fuentes de variación. Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 11
  • 12. Tabla de Análisis de varianza para dos criterios de clasificación Fuente de Suma de Grados de Cuadrados F calculada variación Cuadrados libertad Medios Tratamientos SCA t-1 CMA = SCA / t-1 CMA / CME Bloques SCB b -1 CMB = SCB / b-1 CMB / CME Error Experimental SCE (t - 1)(b-1) Total SCT t.b -1 CME = SCE / (t-1)(b-1) ∑∑ ( yij − y..) 2 = t ∑ ( yi . − y..) 2 + b∑ ( y. j − y..) 2 + ∑∑ ( yij − yi. − y. j + y.. ) 2 i j i Variación total j Variación debida a los tratamientos SCT SCA i Variación debida a los bloques SCB j Variación propia de las observaciones SCE Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 12
  • 13. Tiempo en segundos para el ensamble del producto   Operario     Máquina 1 2 3 4 5 6 Total Medias 1 42,5 39,3 39,6 39,9 42,9 43,6 247,8 41,3 2 39,8 40,1 40,5 42,3 42,5 43,1 248,3 41,4 3 40,2 40,5 41,3 43,4 44,9 45,1 255,4 42,6 4 42,3 43,2 44,5 45,2 46,9 43,3 265,4 44,2 Total 164,8 163,1 165,9 170,8 177,2 175,1 1016,9   Medias 41,2 40,775 41,475 Fc =  42,7 44,3 43,775 254,225 42,4 ( ∑∑ Yij ) 2 Factor de Corrección =  i j b.t 1 2 Suma de Cuadrados Tratamientos =   ∑ Ti. − Fc b i 1 2 Suma de Cuadrados de Bloques = ∑ T. j − Fc t j 2 Yij − Fc ∑∑ Suma de Cuadrados Total =  i j Suma de Cuadrados del Error = SCTotal –  SCTratamiento -  SCBloque Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 13