Análisis del Error

2. MODELOS, COMPUTADORES Y ANALISIS DEL ERROR
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. MODELOS MATEMATICOS Y SOLUCION DE PROBLEMAS EN
INGENIER´IA
MODELO MATEMATICO SIMPLE
Es una formulaci´on o ecuaci´on que expresa las caracteristicas esenciales de
un sistema fisico en terminod matemativos, se representa con una relacion
funcional:
V inp = V indp, Pr, Ff (1)
Donde;
variable independiente(vinp): Refleja comportamiento (a)
Parametros(Pr): Refleja propiedades (m)
Funci´on de fuerza(Ff): Influencias externas (F)
Newton formul´o su segunda ley del movimiento,la expresi´on matem´atica, o el
modelo esta ley ecuaci´on:
F = ma (2)

4. MODELOS MATEMATICOS Y SOLUCION DE PROBLEMAS EN
INGENIER´IA
MODELO MATEMATICO SIMPLE
Escribiendola en el formato de la ecuaci´on (1)
a =
F
m
(3)
Caida libre. Un modelo para este caso,(dv
dt ). Sustituyendo la ecuaci´on (3)
tenemos:
dv
dt
=
F
m
(4)
La fuerza neta en terminos de variables es:
F = FD + Fu (5)
Para expresar la fuerza bedido a la grabedad:
FD = mg (6)

5. MODELOS MATEMATICOS Y SOLUCION DE PROBLEMAS EN
INGENIER´IA
MODELO MATEMATICO SIMPLE
La resistencia del aire se expresa:
Fu = −cv (7)
LA fuerza total es la diferencia entre las fuerzas (arriba y abajo). Por lo tanto:
dv
dt
=
mg − cv
m
(8)
o simplificando el lado derecho de la igualdad,
dv
dt
= g −
c
m
v (9)
Si antes de la caida libre el objeto esta en reposo se utiliza:
v(t) =
gm
c
1 − e−( c
m
)t
(10)

6. MODELOS MATEMATICOS Y SOLUCION DE PROBLEMAS EN
INGENIER´IA
SOLUCI ´ON MODELO MATEMATICO
EXAMPLE
1 Un paracaidista con una masa de 68,1 kg Salta de un globo aerost´atico
fijo. Aplique la ecuaci´on (10) para calcular la velocidad antes de que se
abra el paracaidas. Considere que el coeficiente de resistencia es igual a
12, 5 kg/s.

7. APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Cuando se emplea un n´umero para realizar un c´alculo, debe haber seguridad
de que pueda usarse con confianza.
EXAMPLE
Anteriormente nos muestra un veloc´ımetro y unod´ometro (contador de
kilometraje) de un automovil. Con un simple vistazo se observa que el
vehiculo viaja a una velocidad entre 48 y 49 km/h. Supongamos que se desea
obtener una cifra decimal en la estimaci´on de la velocidad, en este caso se
podrian dar diferentes persepciones. Por lo tanto, unicamente se toman con
confianza los dos primeros dig´ıtos.

8. APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Los conceptos de cifras y d´ıgitos singnificativos se han desarrollado para
designar formalmente la confiabilidad en un valor numerico.
Las Cifras Significativas de un n´umero son aquellas que pueden utilizarse en
forma confiable, Se trata del n´umero de d´ıgitos que se odrecen con certeza,
m´as uno estimado.
El concepto de cifras significativas tiene implicaciones importantes en los
metodos numericos.
1 Los metodos dan n´umeros aproximados.
2 hay ciertas cantidades que aunque representan cantidades espec´ıficas, no
se pueden expresar como un numero finito de dijitos.Por ejemplo:
π = 3,141592653589793238462643...

9. APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO
EXACTITUD Y PRECISI ´ON
Los errores en c´alculos y medidas se pueden caracterizar con respecto a su
exactitud y su precisi´on.
La exactitud se refiere a qu´e tan cercano est´a en valor calculado o
medido del valor verdadero.
La precisi´on se refiere a qu´e tan cercanos se encuentran, unos de otros,
diversos calculos o medidos.

10. APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO
EJEMPLO EXACITUD Y PRECISI ´ON
EXAMPLE
1 Un ejemplo de punter´ıa ilustra los conceptos de exactitud y precisi´on.
A Inexacto e
impreciso
B Exacto e
impreciso
C Inexacto y
preciso
D Exacto y
preciso
Los m´etodos n´umericos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para
satisfacer los requisitos de un problema particular de ingenieria.

11. APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO
DEFINICIONES DE ERROR
Los errores n´umericos surgen del uso de aproximaciones para representar
operaciones y cantidades matem´aticas exactas.
Los errores de truncamiento que resulta de aproximaciones de un
procedimiento matematico exacto
Los errores de redondeo se producen cuando se usan numeros que tiene
un l´ımite de sifras para representar n´umeros exactos.
V alorV erdadero = V aloraproximado + error (11)
εt = V alorV erdadero − valoraproximado (12)
Una manera de tomae encuenta las magnitufes de las cantidades que se
eval´uan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decir
ErrorRelativoFaccionalV erdadero =
errorverdadero
valorverdadero
(13)

12. APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO
CALCULO DE ERRORES
El error relativo se puede expresar como:
εt =
errorverdadero
valorverdadero
100 (14)
EXAMPLE
Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache,
y se obtiene 9999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son
10000 y 10 cm, Calcule.
A El error verdadero
B El error relativo % verdadero en cada caso.

13. APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO
una alternativa es normalizar el error, usando la mejor estimaci´on posible al
valor verdadero; es decir, para la aproximaci´on misma:
εa =
erroraproximado
valoraproximado
100 % (15)
El error relativo porcentual esta dato por:
εa =
aproxActual − aproxAnterior
aproxActual
100 % (16)
Aunque no importa mucho el signo del error, sino m´as bien que su valor
absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada εs.

14. APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO
DEFINICIONES DE ERROR
por lo cual es util emplearel valor absoluto de las ecuaciones (12) y (14))
hasta que:
|εa| < εs (17)
Es conveniente tambi´en relacionar estos errores con el n´umero de cifras
significativas en la aproximaci´on.
εs = 0,5x102−n
% (18)
EXAMPLE
Estimaci´on del error con metodos iterativos En matem´aticas con frecuencia
las funciones se representan mediante series infintas. Por ejemplo, la funci´on
exponencial se calcula usando ex = 1 + xx2
2! + x3
3! + . . . + xn
n!

15. ERRORES DE REDONDEO
ERRORES DE REDONDEO
Se origina debido a que la computadora emplea un n´umero determinado de
cifras significativas durante un c´alculo. como pueden ser π, e debido a que
las computadoras funcionan a base de 2 no pueden representar exactamente
numeros en base 10 a esta discrepancia se le llama Errorderedondeo
Representaci´on de n´umeros en la computadora
Revisemos unos materiales relacionados con sistemas numericos para entender
como se realiza.
Sistemas num´ericos. es simplemente una convenci´on ´ara representar
cantidades. base 10
Representaci´on entera. M´etodo de magnitud con signo

16. ERRORES DE REDONDEO
a) decimal(base10) y b) binario (base2).el numero binario 10101101 es
equivalenete decimal 173

17. ERRORES DE REDONDEO
EXAMPLE
Rango de enteros Determine el rango de enteros de base 10 que pueda
representarse en una computadora de 16 bits. Soluci´on De los 16 bits, se tiene
el primer bit para el signo. Los 15 bits restantes pueden contener los numeros
binarios de 0 a 111111111111111. El limite superior se convierte en un entero
decimal, asi
1 × 1214 + 1 × 213 + . . . + 1 × 21 + 1 × 20 = 32767
Asi, en una computadora de 16 bits una palabra puede guardar en memorioa
un enteri decimal en el rango de −32767 a 32767.

18. ERRORES DE REDONDEO
Representaci´on del punto-flotante Las cantidades fraccionarias se
representan en a computadora usando la forma de punto flotante. El
numero se expresa como una parte fraccionaria: MASISTA(m)
oSIGNIFICADO(b), y una parte entera: EXPONENTE(e) o
CARACTERISTICA
m · be

19. ERRORES DE REDONDEO
EXAMPLE
Conjunto hipotetico de n´umeros con punto flotante Determine un conjunto
hipot´etico de n´umeros con punto flotante para una m´aquina que guarda
informaci´on usando palabras de 7 bits. Emplee el primer bit para el signo del
n´umero, los siguientes tres para el sugno y la magnitud del exponente, y los
ultimos tres para la magnitud de la mantisa

20. ERRORES DE REDONDEO
Manipulaci´on aritmetica de n´umeros en la computadora
Revisemos varias manipulaciones que son especialmente propensas a errores.
Operaciones aritm´eticas comunes. suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on.
C´alculos grandes Los calculos son dependientes de los resultados
previos, por esta razon el efecto acumulativo de muchos calculos puede
ser relevante.
Suma de un n´umero grande y uno peque˜no Este tipo de error puede
ocurrir cuanso se calculan series infinitas.
Cancelaci´on por resta Se refiere al redondeo inducido cuando se restan
dos numeros de punto flotante
Productos internos Este tipo de calculos es paricular en la soluci´on de
ecuaciones sumult´aneas lineales algebraicas.
EXAMPLE
Un n´umero grande de c´alculos interdependientes Investigue el efecto del error
de redondeo e una gran 100000 veces. Sume el n´umero 1 con precisi´on
simple, y 0,00001 con precisiones simple y doble.

21. ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERUE DE TAYILOR
ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERIE DE TAYLOR
Errores de tuncamiento Son aquellos que resultan por usar una aproximaci´on
en lugar de un procedimiento matematico exacto.
dv
dt
∼=
∆v
∆t
=
v (ti+1) − v (ti)
tt+1 − ti
(19)
debe considerar una formulaci´on matem´atica que se utiliza ampliamente en los
m´etodos num´ericos para expresar funciones de manera aproximada: la serie de
Taylor.
La serie de taylor Proporciona un medio para predecur el valor de una funcion,
establece qye cualquier funci´on suave puede aproximarse a un polinomio.

22. ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERUE DE TAYILOR
TEOREMA DE TAYLOR
Si la funcion f(x) y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo
que contiene a y x, entonces el valor el x est´a dado por.
f(x) = f(a) + f (a)(x − a) +
f (a)
2!
(x − a)2
= +
f3(a)
3!
(x − a)3
+ . . .
= +
fn(a)
n!
(x − a)3
+ Rn (4,1)
Donde el residuo Rn se define como.
Rn =
x
a
(x − t)n
n!
f(n + 1)(t) dt (4,2)

23. ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERUE DE TAYILOR
PRIMER TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Si la funci´on g es continua e integrable en un intervalo de a y x, entonces existe
un punto ξ entre a y x que
x
a
g(t) dt = g(ξ)(x − a) (4,3)
El teorema establece que la integral puede representarse por un valor promedio
de la funcion g(ξ) multiplicado por la longitud del intervalo (x − a). Este
teorema es de un caso especial del segundo teorema

24. ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERUE DE TAYILOR
SEGUNDO TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Si las funciones
g y h son continuas e integrales en un intervalo de a y x, y h no cambia de signo
en el intervalo, entonces existe un punto ξ entre a y x que:
x
a
g(t)h(t) dt = g(ξ)
t
a
h(t) dt (4,4)
La ecuacion (4,3) es la ecuaci´on (4,1) con h(t) = 1
El segundo teorema se aplica a la ecuaci´on (4,1)
g(t) = f(n+1)
(t) h(t) =
(x − t)n
n!
(4,5)
Conforme t var´ıa de a a x, h(t) es continua, entonces satisface el teorema del
valor medio para integrales y
Rn =
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
(x − a)n+1
(4,6)
Esta ecuaci´on es conocida como la forma de Lagrange del residuo.

25. ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERUE DE TAYILOR
EXAMPLE
Aprximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor
Use expansiones de la serie de Taylor de las ´ordenes cero hasta cuatro para
aproximar la funci´on
f(x) = −0,1x4
− 0,15x3
− 0,5x2
− ,25x + 1,2
desde xi = 0 con h = 1. Esto es. prediga el valor de la funci´on en xi+1 = 1.

26. ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERUE DE TAYILOR
EL RESIDUO EN LA EXPANSI ´ON DE LA SERIE DE TAYLOR
Suponga que se trunca la expansi´on de la serie de Taylor
f(xi+1) = f(xi) + f (xi)h +
f (xi)
2!
h2
+
f(3)(xi)
h3
+ . . . +
f(n)(xi)
n!
hn
+ Rn
despues del termino de orden para obtener:
f(xi+1) ∼= f(xi)
El la figura se muestra una representacion de la predicci´on de orden cero. el
residuo o error de esta predicci´on, consiste de la serie infinita de t´erminos que
fueron truncados:
R0 = f (xi)h +
f (xi
2!
h2
+
f(3)(xi)
3!
h3
+ . . .
Aunque no es conveniente manipular este formato de serie infinita, se puede
obtener una simplifaci´on truncando el residuo mismo de la siguiente manera.
R0
∼= f (xi)h (4, 7)

27. ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERUE DE TAYILOR
Al utilizar este teorema como se muestra acontinuaci´on, acontinuaci´on de que
la pendiente f (ξ) es igual al cociente de la elevaci´on R0 entre el recorrido h:
f (ξ) =
R0
h
(4,8)
que se puede reordenar para obtener
R0 = f (ξ)h (4,9)

28. ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y LA SERUE DE TAYILOR
La versi´on de orden cero es
Rn =
fn+1
(n + 1)!
hn+1
la anterior ecuaci´on funciona para todas las versiones de orden superior ya que
son una extenci´on logica de esta.
La versi´on de primer orden es
R1 =
f (ξ)
2!
h2