Unidad ii, graficos. su importancia en fisica

GR
UES, FACULTAD DE QUIMICA Y FARMACIA. SECCION FISICA. ING.RIGOBERTO VARGAS SAAVEDRA.
GRAFICOS. SU IMPORTANCIA EN FISICA. 2014
ANÁLISIS, INTERPRETACIÓN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
MAGNITUDES FÍSICAS.
En esta parte estudiaremos la utilidad de las tablas de datos y los gráficos
para presentar la información obtenida al efectuar mediciones en el
laboratorio experimental y cómo pueden emplearse éstos para obtener las
relaciones entre las variables a estudiar. Además, se demostrará la
importancia de los gráficos para encontrar las expresiones matemáticas que
describen la relación entre dos magnitudes físicas. Estas relaciones
constituyen una ley cuantitativa entre las magnitudes involucradas, a las que
se les denomina variables. Una de estas variables se conoce como variable
independiente, la cual se escoge por facilidad de manipularla al medir,
variándola a voluntad. Y la otra es la variable dependiente, llamada así
porque su valor depende del efecto de cambio que se produce en la variable
independiente.
CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS
Para la obtención de cualquier gráfico, se acostumbra colocar la variable
independiente en el eje horizontal (eje X o eje de las abscisas) y la variable
dependiente en el eje vertical (eje Y o eje de las ordenadas); aunque en
algunos casos podría convenir lo contrario. Las escalas en cada eje se
escogen de modo que el tamaño de la gráfica permita hacer una impresión y
lectura fácil de los datos experimentales que han sido tabulados.
Dependiendo del fenómeno en particular, así debe escogerse la mínima
división de la escala. Se sugiere que al construir los gráficos la mínima
división de la escala sea múltiplo de 2, 5 ó 10, etc.
Ejemplos de gráficas:

GR
X = 4t + 2
R² = 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
POSICIONX(m)
TIEMPO t (s)
POSICIÓN CONTRA TIEMPO
V = 2.5t2
R² = 1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
VELOCIDAD(m/s)
TIEMPO t(s)
VELOCIDAD CONTRA TIEMPO

GR
PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA ENTRE LAS VARIABLES
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos magnitudes Y y X son directamente proporcionales, cuando al multiplicar
una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número.
Existen cuatro formas de representar la relación de proporcionalidad directa:
Y  X: y se lee “Y es proporcional a X”
𝒀 = 𝑲𝑿 o
𝒀
𝑿
= 𝑲, donde K es la constante de proporcionalidad entre
las variables.
𝑌1
𝑋1
=
𝑌2
𝑋2
o
𝑌1
𝑌2
=
𝑋1
𝑋2
A través de un gráfico:
Y
𝒀 ∝ 𝑿
𝒀 = 𝑲𝑿
X
Y
∆𝒀 ∝ ∆𝑿 o ∆𝒀 = 𝑲∆𝑿
𝒀 = 𝑲𝑿 + 𝒃
b
X

GR
Ejemplo: Los datos siguientes corresponden a masas y volúmenes de alcohol
etílico.
Masa: m (g) Volumen: V (cm3
)
7.60 10.0
19.0 25.0
30.4 40.0
45.6 60.0
57.0 75.0
68.4 90.0
76.0 100
Elabore un gráfico masa contra volumen y a partir de éste determine la
relación entre las magnitudes masa y volumen. R/ m = 0.760 V
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos magnitudes Y y X son inversamente proporcionales cuando al multiplicar
una de ellas por cierto número, la otra queda dividida entre ese número.
Esta relación la podemos expresar también de cuatro formas:
𝑌 ∝
1
𝑋
, y se lee: “Y es inversamente proporcional a X”
𝑌 =
𝐾
𝑋
o 𝑌 𝑋 = 𝐾.
𝑌1 𝑋1 = 𝑌2 𝑋2 o
𝑌1
𝑌2
=
𝑋2
𝑋1
.
A través de un gráfico: Y
𝒀 ∝
𝟏
𝑿
𝒀 =
𝑲
𝑿
X

GR
Ejemplo: La relación entre la velocidad de un objeto y el tiempo que tarda en
recorrer cierta distancia es inversamente proporcional. Demuestre dicha
relación a través de un gráfico velocidad contra tiempo utilizando los datos de
la tabla siguiente,
V (m/s) t (s)
50.0 10.0
20.0 25.0
10.0 50.0
6.67 75.0
5.00 100
3.33 150
2.50 200
R/ V t = 500

GR
PENDIENTE DE UNA CURVA EN DOS DE SUS PUNTOS
Está pendiente se define como la pendiente de la recta secante que pasa
por dichos puntos. Se calcula como una pendiente media, así
𝑚 =
∆𝑌
∆𝑋
=
𝑌2 − 𝑌1
𝑋2 − 𝑋1
(Tópico suplementario)
Derivada de funciones algebraicas de una sola función.
Sea Y una variable dependiente, es decir, Y = f(X), donde X es la variable
independiente.
Sea f(X) una función continua; la derivada de esta función se denota así,
𝐷 𝑋 =
𝑑𝑌
𝑑𝑋
= 𝑓´(𝑋)
Propiedades generales de la derivada.
i) Si f(X) = C, donde C es una constante, entonces f´(X) = 0.
ii) Si f(X) = X, entonces f´(X) = 1.
iii) Si f(X) = CX, entonces f´(X) = C.
iv) Si f(X) = Xn
, entonces f´(X) = nXn – 1
.
v) Si f(X) = CXn
, entonces f´(X) = nCXn – 1
.
Y
Y2 P2
Y
Y1 P1
X
X1 X2 X

GR
PENDIENTE DE UNA CURVA EN UNO DE SUS PUNTOS
La pendiente de una curva en uno de sus puntos se define como la
pendiente de la recta tangente que pasa por dicho punto. Se calcula así,
𝑚 𝑡𝑔 =
𝑑𝑌
𝑑𝑋
Ejemplo: Y varia con X de acuerdo a la expresión Y = 2X2
+ 3X – 3.
(a) Haga una tabla de valores de Y para valores de X tales que
– 3  X  2.
(b) Haga el grafico Y contra X.
(c) Encuentre la pendiente media entre los puntos (– 1, – 4) y (1, 2).
(d)Encuentre la pendiente en el punto (– 3, 6).
PROPORCIONALIDAD DIRECTA Y  Xn
.
Esta relación se puede expresar como:
𝑌 = 𝐾 𝑋 𝑛
Donde K es la constante de proporcionalidad y n es otra constante que
representa el exponente al cual se eleva la variable independiente. Para
estas constantes, se debe determinar su valor.
Y
Recta tangente
Yo Po
X
Xo

GR
Cuando se estudia este tipo de relación es necesario diferenciar los
siguientes casos, dependiendo el valor que toma n.
DETERMINACION DE LAS CONSTANTES K Y n.
Si Y  Xn
, entonces Y = K Xn
ó
𝑌
𝑋 𝑛
= 𝐾, de tal manera que se puede
expresar:
𝑌1
𝑋1
𝑛 =
𝑌2
𝑋2
𝑛 =
𝑌3
𝑋3
𝑛 = ⋯ = 𝐾
Si tomamos esta expresión para dos puntos cualesquiera P1 (X1 , Y1) y
P2 (X2 , Y2), podemos escribir lo siguiente:
𝑌1
𝑌2
=
𝑋1
𝑛
𝑋2
𝑛
𝑌1
𝑌2
= [
𝑋1
𝑋2
]
𝑛
Aplicando logaritmos a ambos miembros de la ecuación se tiene:
𝐿𝑜𝑔 (
𝑌1
𝑌2
) = 𝐿𝑜𝑔 (
𝑋1
𝑋2
)
𝑛
𝐿𝑜𝑔 (
𝑌1
𝑌2
) = 𝑛𝐿𝑜𝑔 (
𝑋1
𝑋2
)
Por lo tanto, podemos encontrar n con la siguiente expresión:
Y Y Y
X X X
n  1 n  0 0  n  1

GR
𝑛 =
𝐿𝑜𝑔 (
𝑌1
𝑌2
)
𝐿𝑜𝑔 (
𝑋1
𝑋2
)
Y el valor de K lo encontramos con cualquiera de las dos expresiones
siguientes:
𝐾 =
𝑌1
𝑋1
𝑛 ó 𝐾 =
𝑌2
𝑋2
𝑛
Ejemplo: Determine la ecuación que mejor relaciona a las variables Y y X
utilizando los valores que aparecen en la tabla siguiente,
Y 0 0.300 2.40 8.10 19.2 37.5
X 0 1 2 3 4 5
Ejemplo: Determine la ecuación que mejor relaciona a las variables V y t
V 3.50 0.875 0.389 0.219 0.140 0.097
t 1 2 3 4 5 6
Ejemplo: Determine la ecuación que mejor relaciona a las variables F y t
F 0 4.00 6.73 9.12 11.3 13.4
t 0 1 2 3 4 5

GR
RELACIÓN EXPONENCIAL DEL TIPO Y = A C± X
Cuando dos magnitudes cumplen una relación del tipo Y = A C± X
, la
problemática consiste en determinar los valores de las constantes A y C.
Dichas constantes se pueden calcular gráficamente o analíticamente.
Si C  1, A  0 con X  0 entonces la función es creciente tal como se
muestra en la figura siguiente
Para el caso en que X  0 entonces la función es decreciente tal como se
muestra en la figura siguiente
Una característica de este tipo de gráficos es de que cortan al eje Y, valor
que se lee en dicho gráfico para X = 0. Este intercepto representa el valor de
A en la ecuación.
Y
Y = AC+X
A
X
Y
A Y = AC  X
X

GR
CÁLCULO ANALÍTICO DE LAS CONSTANTES A Y C.
Para determinar los valores de las constantes se plantean inicialmente las
ecuaciones:
𝑌1 = 𝐴𝐶 𝑋1
𝑌2 = 𝐴𝐶 𝑋2
Dividiendo ambas ecuaciones
𝑌1
𝑌2
=
𝐴𝐶 𝑋1
𝐴𝐶 𝑋2
𝑌1
𝑌2
=
𝐶 𝑋1
𝐶 𝑋2
= 𝐶 𝑋1 𝐶 𝑋2
𝑌1
𝑌2
= 𝐶(𝑋1 𝑋2)
Aplicando logaritmos a la expresión anterior
𝐿𝑜𝑔 (
𝑌1
𝑌2
) = 𝐿𝑜𝑔𝐶(𝑋1 𝑋2)
= (𝑋1 − 𝑋2)𝐿𝑜𝑔𝐶
De donde obtenemos
𝐿𝑜𝑔𝐶 =
𝐿𝑜𝑔 (
𝑌1
𝑌2
)
(𝑋1 − 𝑋2)
Luego para determinar C
𝐶 = 10
[
𝐿𝑜𝑔(
𝑌1
𝑌2
)
𝑋1−𝑋2
]
Conocido el valor de C, se calcula A así:
𝐴 =
𝑌1
𝐶 𝑋1
=
𝑌2
𝐶 𝑋2

GR
Son ejemplos de este tipo de relación:
(a) Exponencial creciente: Tamaño de una colonia de bacterias en función
del tiempo.
(b) Exponencial decreciente: Evaporación de una masa de agua en
función del tiempo, decaimiento de un material radiactivo, variación de
la presión atmosférica con la altitud.
Ejemplo: La siguiente tabla de valores representa el crecimiento de bacterias
en cierto cultivo en función del tiempo
t (horas) 0 1 2 3 4 5
N (número de bacterias) 1 000 2 000 4 000 8 000 16 000 32 000
(a) Determine la función N (t) que describe el crecimiento bacteriano.
(b) Calcule cuantas bacterias habrá al cabo de 25 horas.
(c) Calcule el tiempo que se necesita para lograr que la población alcance
el número de 28 000 bacterias.

GR
PAPEL LOGARÍTMICO DE 2 CICLOS X 2 CICLOS
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1
1
1
1

GR
PAPEL LOGARÍTMICO DE 3 CICLOS X 2 CICLOS
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1 1 1
1
1
1
1

GR
PAPEL SEMILOGARÍTMICO DE 2 CICLOS X ESCALA MÉTRICA
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1

GR
PAPEL SEMILOGARÍTMICO DE 3 CICLOS X ESCALA MÉTRICA
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
1

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