1. AL CÁLCULO DE PREDICADOS parte i INTRODUCCIÓN PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR SEDE IBARRA Ing. César Grijalva

2. INTRODUCCIÓN La lógica proposicional ?. La lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las conectivas lógicas son operaciones sobre dichas fórmulas, capaces de formar otras fórmulas de mayor complejidad.

3. LÓGICA DE PREDICADOS - PREÁMBULO Qué es lógica de predicados ?. La lógica de primer orden también llamada lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden.

4. CÁLCULO DE PREDICADOS - INFERENCIA La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas. Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión. Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva.

5. Inductiva:(de lo particular a lo general) . Deductiva:(de lo general a lo particular). En este caso se encuentran MPP: Modus PonendoPonens y MTT: Modus TollendoTollensque de acuerdo a la tabla de verdad de la condicional son dos formas de establecer una inferencia válida. Transductiva:(de particular a particular o de general a general). Abductiva:es semejante a la deductiva, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica. CÁLCULO DE PREDICADOS - INFERENCIA

6. El Cálculo predicados analiza la estructura interna de la lógica de proposiciones. A continuación se formaliza el ejemplo: ∀x: Todos los hombres son mortales. Hx: Sócrates es hombre. Mx:Sócrates es mortal. ∀x(H(x) ⇒Mx)Premisa H(s) Premisa ∴M(s) Conclusión donde s es una constante que representa al individuo Sócrates y los predicados H y M son definidos como: Hx: “x es un hombre” Mx: “x es mortal” Este razonamiento se traduce en la siguiente fórmula del cálculo de predicados. ∀x(H(x) ⇒Mx), Hs∴ M(S) CÁLCULO DE PREDICADOS - INFERENCIA

7. En términos de lógica hay que distinguir entre objetos y propiedades que satisfacen o no esos objetos, de tal manera que hablaríamos de propiedades como predicados y de objetos como sujetos. Ejemplos: Objetos: gente, casas, números, planetas,... Propiedades: rojo, pequeño, primo,... CÁLCULO DE PREDICADOS

8. CÁLCULO DE PREDICADOS Muchas proposiciones lógicas involucran sujetosu objetos, y su valor de verdad depende de estos. Ejemplo: Ana y María son hermanas : V Pedro y Juan son hermanos : F H(a, m) tiene 2 argumentos o es de aridad 2. H(p, j) tiene 2 argumentos o es de aridad 2. Llamamos predicadoa la propiedad que se esta considerando, ejemplo: Ser hermanos Ser numero primo A los sujetos u objetos los llamamos términos. Ejemplo: Pablo es alumno. Se simboliza de la siguiente forma, donde Pablo es el sujeto y es alumno es el predicado: A(p) tiene un argumento que es p

9. Los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, pero quizás los más estudiados y utilizados sean: CUANTIFICADOR UNIVERSAL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL LOS CUANTIFICADORES

10. LOS CUANTIFICADORES El cálculo de predicados permite también el uso de cuantificadores para referirse a colecciones de objetos. Son 2 cuantificadores: Universal o General Todos los gatos tienen cola. Existencial o Particular Existen números primos.

11. Podemos simbolizar los cuantificadores, estos pueden ser, «según el lenguaje natural». UNIVERSALES Todo, ningún o ninguno, cada, cualquiera,… la forma de simbolizar es ∧(conjunción)o también así: ∀ , si pongo ∀ x Se lee «para todo x» LOS CUANTIFICADORES

12. Podemos simbolizar los cuantificadores, estos pueden ser, según el lenguaje natural. PARTICULARES Algún, algunos, algún no, hay un, ciertos, ciertos no,… la forma de simbolizar es ∨(disyunción)o también así: ∃ , si pongo ∃ (x) Se lee «algún x» o «existe un x» LOS CUANTIFICADORES

13. Elementos sintácticos del cálculo de predicados. Incluye todos lo del cálculo de proposiciones: Constantes, variables proposicionales, conectores lógicos. Además tiene los términos, predicados y cuantificadores. El Universo del Discurso o Dominio es el conjunto de individuos considerados bajo un cierto contexto. A cada individuo se identifica por una constante única.

14. Predicados Un predicado como por ejemplo María es la madre de Juan se puede escribir. M( m, j) donde el símbolo M es el predicado “es madre de”, m,j representan los individuos considerados. Obsérvese que el orden es importante.

15. Predicados El número de argumentos se denomina la aridad del predicado. Los valores de verdad de predicados binarios se pueden dar en una tabla: filas son el 1er argumento y columnas el 2doargumento Ejemplo: El predicado mayor que '>'

16. Formulas atómicas y compuestas Un predicado seguido por su lista de argumentos es una fórmula atómica. Ej. madre(María, Juana) Las fórmulas se pueden combinar mediante conectores lógicos. Ejemplo: madre(Maria, Juana)  ~madre(Juana, Maria). gato(Tom) tieneCola(Tom).

17. Variables y Particularizaciones Muchas veces es deseable no particularizar el individuo. En ese caso se puede indicar mediante una variable, Ejemplo: x, y, z. Ejemplos: gato(x) tieneCola(x) madre(x, y)  ~madre(y,x) Así mismo, podemos dar un nombre a la expresión, ejemplo: A =gato(x) tieneCola(x)

18. Particularización Las variables pueden sustituirse por elementos del universo de discurso. Para indicar que la variable x se reemplaza por ‘Tom' se utiliza la siguiente notación Ejemplo: 𝑆𝑇𝑜𝑚𝑥 𝐴 lo cual produce… gato(Tom) tieneCola(Tom).

19. Cuantificador Universal Con frecuencia se tienen predicados que aplican a todos los individuos de un dominio. Esto se indica mediante del cuantificador universal. ∀xA ∀se lee “para todo” A se denomina el ámbito o alcance La variable xesta ligada por el cuantificador (una variable no ligada esta libre).

20. Cuantificador Particular Nos permite indicar que el predicado es verdadero para al menos un elemento del dominio. Esto se indica así. ∃xA y se lee “Existe al menos un x tal que A”

21. Cuantificadores EJEMPLOS: Nadie es perfecto. Toda persona tiene una madre. Todos los perros son mamíferos. Algunos perros son marrones.

22. Variables libres y ligadas Consideremos el siguiente ejemplo: ∀x(P(x) Q(y))∧∃yR(y) la variable y es libre en el ámbito del “para todo”, pero está ligada en el ámbito del “existe”. Al hacer una sustitución, debe tenerse cuidado de no afectar variables ligadas y prevenir colisiones de nombres, por ejemplo:

23. Variables libres y ligadas 𝑆𝑧𝑦 (∀x(P(x) Q(y))∧∃yR(y)) ∀x(P(x) Q(z))∧∃yR(y)

24. Interpretación y Validez Para poder determinar la verdad o falsedad de una expresión en cálculo de predicados es necesario tener: El universo del discurso claramente definido, una constante única asignada a cada término del universo del discurso, un término del universo del discurso asignado a cada variable libre, y una asignación para cada predicado dentro de la expresión.

25. Interpretación de los cuantificadores. Dado un universo de discurso {a1,...,an} y un predicado P(x), la interpretación de ∀xP(x) es: ∀xP(x) ≡ P(a1) ∧ P(a2) ∧…∧P(an) De forma similar, el cuantificador existencial se interpreta de la siguiente manera: ∃xP(x) ≡ P(a1) ∨ P(a2) ∧… ∨P(an)