Este documento presenta 4 ejercicios de cálculo integral para ser resueltos por un estudiante. Los ejercicios incluyen probar identidades relacionadas con integrales de funciones exponenciales, trigonométricas y complejas a lo largo de diferentes contornos en el plano complejo. El profesor instruye al estudiante a mostrar claramente los procedimientos usados para llegar a cada solución.

1. ´
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA
DE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA
GU´ DE VARIABLE COMPLEJA
IA
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Profesor: Mario J. Suazo
Intrucciones: Desarrolle los siguientes ejercicios en forma clara y ordenada, dejando en evidencia
las resoluciones. Tenga presente que respuestas sin procedimiento no tendr´n ninguna validez.
a
∞ √
2
1) Pruebe que e−x dx = π
−∞
2) Sea CR la mitad superior de |z| = R (R > 2), con orientacion positiva. Probar que:
2z 2 − 1 dz πR(2R2 + 1)
≤
CR z 4 + 5z 2 + 4 (R2 − 1)(R2 − 4)
3) Pruebe las igualdades
∞ ∞ √
2 2 π
cos x dx = sen x dx = √
0 0 2 2
2
Se llaman integrales de Fresnel, al aplicar el Teorema de Cauchy a la funcion f (z) = e−z a lo largo
π
de la frontera del sector 0 ≤ |z| ≤ R, 0 ≤ argz ≤ .
4
4) Pruebe la integral de Dirichlet
∞
sen x π
dx =
0 x 2
eiz
si integras f (z) = a los largo del conjunto r ≤ |z| ≤ R, 0 ≤ argz ≤ π.
z
Para todos los ejercicios, justifique los pasos usados para llegar a la respuesta.
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