Ejercicios

1. Pr´actico de Latex
Johana Reinoso
Ejercicio 1. Calcular los siguientes l´ımites:
1. l´ım
n→∞
(1 + 1
n )n
2. l´ım
n→∞
(2 + 2
n )n2
3. l´ım
n→∞
2n+3n2
+4n3
n4−2n
Ejercicio 2. Calcular los siguientes limites
(i) l´ım
x→1
f(x), si f(x) =



x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1
2
√
x2 − 4x + 4 si x > 1
ii) l´ım
x→1
g(x), si g(x) =



x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1
2
√
x2 − 4x + 4 si x > 1
1. Continuidad de funciones
Definici´on 1 Sea la funci´on f : A → R, A ⊆ R y sea xo ∈ A, se dice que f es continua en xo, si para
cada E(f(xo), ) dado, existe un entorno E(xo, δ) tal que si x ∈ E(xo, δ) entonces f(x) ∈ E(f(xo), ε)
Teorema 1 Sea f : A → R, A ⊆ R una funci´on, entonces las dos condiciones siguientes son
equivalentes:
1. f es continua en a
2. f verifica
(a) f(a) ∈ A, es decir, existe f(a)
(b) Existe l´ım
x→a
f(x) = L
(c) f(a) = L
1

2. Ejercicio2:Escribir los enunciados de los siguientes ejercicios y resuelvalos:
1. Sea P (x) = x3
− 3x5
+ 2x y Q(x) = x4
− 5x3
− 2x + 3 efectuar las siguientes operaciones entre
polinomios
(a) P (x) + Q(x) = x3
− 3x5
+ 2x + x4
− 5x3
− 2x + 3 = −4x3
− 3x5
+ x4
+ 3
(b) P (x) − Q(x) = x3
− 3x5
+ 2x − x4
− 5x3
− 2x + 3 = −4x3
− 3x5
− x4
+ 3
(c) P (x)Q(x)
= x3
− 3x5
+ 2xx4
−5x3
−2x+3
: x3
− 3x5
+ 2xx4
−5x3
−2x+3
2. Calcular los siguientes l´ımites:
(a) l´ım
x→∞
n
√
n3 + 3n : (n3
+ 3n)
1
n
(b) l´ım
n→∞
n√
n3+3n
2n−3n observe la diferencia l´ım
n→∞
n√
n3+3n
2n−3n3 = 0
(c) l´ım
n→∞
(n3
+ 3n)
n
= ∞
3. Analizar la convergencia de las siguientes series:
(a)
∞
n=1
n 3n−54
2n2 − 5n3 =
∞
n=1
(1
2
3n−625
n2 − 5n3
)
1
n
(b)
∞
n=1
( n 3n−54
2n2 − 5n3)
n
=
∞
n=1
((1
4
(3n−625)2
n2 − 5n3
)
1
n )n
(c)
∞
n=1
en
+e−n
2
= ∞
(d)
∞
n=1
1√
sen2−cos2x
:
∞
n=1
1√
(sen2−cos2x)
Ejercicio3: Calcular los siguientes l´ımites de funciones:
(a) l´ım
x→0
sinax
x = a
(b) l´ım
x→0
sin7x
3x : 7
3
(c) l´ım
x→0
2x
−3x
x = ln2 − ln3
(d) l´ım
x→0
x−1
cotx = 1
2

3. Ejercicio4: Graficar las siguientes c´onicas, teniendo en cuenta el tipo de coordenadas
mas adecuado.
(a) x2
+ y2
= 9
(b) x2
9 + y2
4 = 1
(c) x2
5 − y2
3 = 1
(d) −2x + 3x − 1 = 0
Observando las gr´aficas obtenidas indicar los elementos notables de cada una de ellas.
Ejercicio 5: Graficar las siguientes cu´adricas, teniendo en cuenta el tipo de coorde-
nadas m´as adecuado.
(a) x2
+ y2
+ z2
= 9
(b) x2
5 − y2
3 = 2z
(c) −2x2
+ 3x − z(cilindricas)
Ejercicio 6: Graficar la funci´on f(x) = ex
x2+1 , indicar la posible ecuaci´on de una as´ıntota
oblicua observando el gr´afico.
Ejercicio 7: Obtener las ra´ıces de las siguientes ecuaciones:
(a) 3x2
− 2x + 1 = 0, verificar el valor obtenido observando la gr´afica correspondiente.
(b) x3
− 3x2
+ 2x − 6 = 0
(c) x4
− x3
− 7x2
+ x + 6 = 0
Ejercicio 8: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones anal´ıtica y graficamente:
(a)
x − 3y = 2
2x − 6y = 4
(b)
−2x + 3y = −1
x − 2y = 0
3