Guía Variable Compleja

ESIME ZACATENCO
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS DE ICE
GUÍA DE VARIABLE COMPLEJA
I Regiones del Plano Complejo
1.- Describir el siguiente lugar geométrico, diciendo si es acotado o no, abierto u
cerrado, conexo, región y/o dominio. Y graficarlo
a) Im (z) ≥ Re ( z2
)
b) Re z ≥ 3 Im z
c)  z 2
+ Im (z) ≤ 16
d) 2
1
1
Im ≤





−
+
z
z
e) 2
1
1
≥
−
+
z
z
f) 3 1 4z i< + + <
g) 1 Re 1z− < ≤
II Funciones Complejas
2.- Expresar a las funciones f(z) = w en la forma f(z) = u(x,y) + i v(x,y)
a)
1
( )f z
z
=
b)
2
( )
z i
f z
z i
−
=
−
c) ( )f z z=
d) 2
1
( )
1
f z
z
=
+
3.- Obtener la parte real e imaginaria de la siguiente función
f(z) =
2
z i+
4.- Obtener el dominio de definición de la siguiente función:
a)
2
2
( )
( )
z
f z
z i
=
+
b) f(z)=
1
z
5.- Calcular f ( 1 + 2i )
a) f(z) =
z
z z−
b) f(z) =
1
s cosen x i y+
DICIEMBRE /2008
1

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6.- Sea f (z) = z2
+ 1
Determinar
1
1
f f
i
  
  +  
7.- Sea f (z) = z2
+ 1
Determinar f ( f (i) )
8.-Expresar la siguiente función en términos de z
a) x2
+ 3y2
– i xy
b) x2
+ y2
– i ( 3x + 2y )
c) –i + x + iy
d) x2
+ y2
9.- Hallar la imagen de la región y > -1 bajo la transformación:
w = ( 1- i ) z + 2i
10.- Hallar la imagen de la región x > 2 bajo la transformación: w =
z
1
11.- Encontrar la imagen de la región y > 1 bajo la transformación
w = ( 1 - i ) z
12.- Determine la imagen en el plano w de la región
3 7
4 4
z i+ + =
bajo la transformación
1
w
z
=
13.- Hallar la imagen de la región y > -1 bajo la transformación: w =
z
1
14.- Encuentre la imagen del circulo 1 1z i− − = bajo la transformación w =
z
1
15.- Encontrar la imagen de la franja infinita
Re 1z <
3w z= +
16.- Encontrar la imagen de la franja infinita
Im / 2z π<
w = - i z
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III Límites y Continuidad
17.- Encontrar el siguiente límite:
a)
2
4
16
4z i
z
z ilím
→ −
+
+
b)
2
1
2 2
1z i
z z
z ilím
→ − +
+ +
+ −
c)
2
1
lim
z i
z
z i→ −
+
+
d)
2
lim (1 )
x
z−
→ ∞
+
e)
( )2 20
lim
z
xy
x y→
 
 
+  
18.- Analizar la continuidad de la siguiente función:
a)
( )2
2
Re
( )
z
f z
z
=
b) ( )
z
f z
z z
=
−
c) 2
Re
( )
z z
f z
z
=
d)
( )
Im
( )
1
z
f z
z
=
+
e) 2 2
Re
( )
( )
z
f z
x y z
=
− +
19.- ¿En que puntos de la función es continua?
3
2
1
, 1
1( )
3
, 1
2
z
z
zf z
z
 −
≠ ± −= 
 = ±

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20.- Demuestre que las siguientes funciones son continuas para z≠0. ¿Puede definirse
la función como para hacerla continua en z0 = 0?
a)
b)
c)
IV Derivada de Funciones Complejas
21.- Determinar si la siguiente función es analítica, entera, donde es derivable, si lo es,
calcular la derivada.
a) f(z) =
z+1
1
b) f(z) = Re (z2
)
c) f(z) = |z| 2
d)
2 2
x
f(z) = (cos 2xy + i sen 2xy) e y−
e)
3 2 21
f(z) = ( 16 )
3
x xy i x y+ + +
f) ( ) yi
ezzf −
−= 2)( 2
h)
( )2
1
( )f z
senh z
=
i) ( ) cscf z h z=
22.- Derivar la siguiente función usando la definición
f(z) = z3
23.- Demostrar que la sig función es armónica y hallar la función analítica
correspondiente f(z)= u(x,y) + i v(x,y)
a) u = ex
cos y
b) v = ey
cos x
c) u = x2
- y2
d) v = -sen x senh y
e) v= 6x2
y2
- x4
- y4
+ y – x + 1
f) u = x4
– 6 x2
y2
+ y4
g) 2 2
y
u
x y
=
+
24.- Sea f(z) = x2
– y2
– 2xy – i (-x2
+ y2
– 2xy)
a) ¿Es armónica Im f (z)?
b) Existe f ‘ (z) en algún dominio
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V. Funciones Elementales
25.- Encontrar todas las raíces de la ecuación
a) cos z = 2
b) cosh z = ½
c) senh (z) = -5
d) ez
= 1 – i
e) 2zcos =
f) sen z = cosh 4
26.- Encuentre el valor numérico de la expresión
a)
b) sin(i sin i)
c)
Proponga su(s) resultado(s) en la forma estándar de los complejos.
27.- Hallar todas las raíces de la ecuación
a) tan -1
( 1+ i )
b) )1(cosh 1
−−
c) tan-1
(2i)
d) cosh -1
(-1)
e) tanh -1
0
28.- Demostrar que:
ziz
ee −=+ π
29.- Encontrar el valor principal del siguiente logaritmo:
a) ( )i−1ln
b) ln (-3+4i)
30.- Demostrar que:
ln (-1) = (2n + 1) π i
31.- Hallar el valor principal de:
a) ii
b) ( 1 - i ) 4i
32.- Expresar el siguiente en la forma a + ib
a)(1 - i)2 - 3i
b) 2 i
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VI Integral de Línea
33.- Evaluar la siguiente integral donde la trayectoria de integración es un contorno
arbitrario entre los límites que se indican
dze
i
i
z
∫
2/
π
34.- Evaluar la siguiente integral:
a) 2
1
, 2
4C
dz z i
z
− =
+∫
b) 4:,
1
=
−∫ zCdz
e
z
C
z
c) 2
, 2 2
1C
sen z
dz z i
z
− =
+∫
d)
cos
, 2 2
1C
z
dz z
z
− =
−∫
e) 2
cos
, 3
( 1)C
z
dz z
z
=
−∫
35.- Se denota por medio de C a la frontera del cuadrado cuyos lados se encuentran a
lo largo de las rectas x =± 2 y y =± 2, donde C está descrita en sentido
positivo. Hallar el valor de la integral
dz
iz
e
C
z
∫ −
−
2/π
VI I Series de Potencias
36.- Encontrar la serie de Maclaurin de la siguiente función:
a)f (z) = eZ
b)f (z) = cosh z
c) ( ) ( )f z sen zπ=
37.- Encontrar la serie de Taylor de la siguiente función:
a) f (z) = cos z alrededor del punto z0 = π.
b) f (z) = ez
alrededor del punto z0 =
2
π
c)
2
0( ) , 2z
f z e z i= =
38.- Obtener el desarrollo de la serie de Laurent para la siguiente función:
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1
( )
( 1)( 2)
f z
z z
=
− −
en torno al anillo: 2 z<
2
1
( )
(1 )
f z
z
=
−
en torno al anillo: 0 1 2z< − <
1
( )
( 1)( 2)
f z
z z
=
− −
en torno al anillo: 2 z<
41.- Sea
( )
2 2
1
( )
3
f z
z z
=
−
Hallar la serie de Laurent de la función alrededor de |z| = 3
42.- Hállense todas las series de Taylor y de Laurent con centro en a, y determínese las
regiones precisas de convergencia.
a)
1
, 1
3
a
z
=
+
b)
1
, 1
3
a
z
= −
−
43.- Sea
2
3
7 9 18
( )
9
z z
f z
z z
+ −
=
−
Obtener la serie de Laurent de la función en el anillo 0 < | z | <3
44.- Desarrollar
2
( )
( 1)
z
f z
z z
+
=
+
en una expansión en serie de Laurent válida para la región 0 < | z + 1 | < 1
45.- Sea la función
( ) ( )
2
( )
1 1
z
f z
z z
=
− +
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Calcular su serie de Laurent en el dominio anular 1 < | z - 2 | < 3. Graficar la región y
las singularidades.
46.- Evalúese la siguiente integral:
a) 2
1
C
dz
z sen z∫ , si C es el círculo 2z =
b)
3
4 7
cos( )C
z z
dz
z
+
∫ , si C es el círculo 1 1z + =
c)
3
2
4C
z
dz
z π
+
+∫ , si C es el círculo unitario
d) 2
z
C
e
dz
z
−
∫ , si C es el círculo 2z =
VIII Polos y Residuos
47.- Por el Teorema de Residuos calcular la siguiente integral en el contorno indicado
(tomado en sentido positivo). Y graficar el contorno y las singularidades.
a)
( )2
1
2C
z
dz
z z
+
−∫ en | z | = 4
b)
( )2
4C
dz
z z+
∫ en |z| = 3
c)
( )2
4C
dz
z z+
∫ en | z - i | = 2
d) 2
8
2 1C
i z
dz
z z
−
+ +∫ en | z | = 2
48.- Evaluar la siguiente integral impropia y graficar el contorno C
a) 2 3
(1 )
dx
x
∞
− ∞
+∫
b) 2 2
cos(2 )
( 4)
x
dx
x
∞
− ∞
+∫
c) 2 2
( 1)( 9)
dx
x x
∞
− ∞
+ +∫
d) 20 1
x senx dx
x
∞
+∫
e)
( )
22
2 2
xdx
x x
∞
− ∞
+ +
∫
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f) 2
2
dx
x x
∞
− ∞ + +∫
49.- Evaluar la siguiente integral real definida
a)
2
0
(5 3 )
d
sen
π
θ
θ−∫
b)
2
0
(13 5 )
d
sin
π
θ
θ−∫
c)
2
0
(5 4 )
d
sin
π
θ
θ+∫
d)
2
0
cos
(3 2cos )
d
π
θ
θ
θ+∫
50.- Clasificar el tipo de singularidad de la siguiente serie y justificar la respuesta:
a)
2
2 3 3
2 ( 2)
2 2
z z
z
z z
− +
= + − +
− −
b)
3
4 3
1 1 1 1 1
...
3! 5! 7!
senh z
z z
zz z
= + + + +
c)
1
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1
1 ...
2! 3! 4!
z
e
z z z z
= + + + + +
d)
2
1
( ) 1 ...
2! 3!
z
e z z
f z
z
−
= = + + +
Elaboraron los profesores:
Mónica Sedeño Juárez
Gloria Juárez Villarreal
Juan J. Ponce Cortés
Miguel Pimentel León
Patricia Camarena Gallardo
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BIBLIOGRAFÍA
VARIABLE COMPLEJA Y APLICACIONES
Churchill, Ruel
Mc Graw Hill
7a
edición, 2004
VARIABLE COMPLEJA CON APLICACIONES
Wunsch, David
Pearson Educación
2a
edición, 1999
VARIABLE COMPLEJA
Polya y Latta
Limusa
MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA
James, Glyn
Prentice Hall
2a
edición, pags. 2-84
O’ Neil, Peter
Thomson
5a
Kreyszig, Erwin
Limusa Wiley
3a
edición, vol. II, pags. 171-334
MATEMÁTICAS SUPERIORES PARA INGENIERÍA
Wylie, Ray
Mc Graw Hill
4a
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