Vectores ejercicios 2

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VE C T O RES •

C A PITUL O 2
IOR O.L E MAS
1, Sr ~ ...... n 00'> veetore!; .. y b. OeInO~lr.r q_ l . on.lgnitu,J d~ l .• :e -
Sull'"le nt ~~ s e r -.yor que .. . b n i ~no r que J b, I!f> " .......

cM Lu bar ,-:> . ·/1!r«i c. ll!~ Ind i c.n e l ". lo r absol u t o.

'-'el'lOO) que : .... ¡; .. e
l. ~ni tud 1. ¡ • ¡; eJ, _ ... b'¡ 6 le¡
l, ~it ud de .. I!~ ;1 6 •
L• .agn l tH1 da ¡ •• lb] 6 b

•
.. - b ( _ + b'1 ( .. ... b

t ( ..... b
:11 < e ... b
b ( e ... ..

1) l. '" bj " ;11 ... b es cierto, ngú n l. re lación de l tr i Sngu l Q

e e ..... lo

2} .. - b " ¡- ... b! es cierto , ya qua: .. < e + b
.. - b (' e
entonces se CUMPle,

• - b< ,; + b'¡ (' .. + b

h,) .. + b .. e '1 a ... b - e,
(b) ..... b - .. - b,
(c) .. + b e '1 .t + b' .. C; l



- 2-
•
• ) .... ¡; .. e y .... ti .. ,
Cu~ los vect ores [ 'enen l • • i ~ orlent.c l6n son p, r. le los.
~, ;.~ .. . -It
t-t40.1 .,.~tor ¡; .s 1.... 1 • cero (-.6dul o , .

d •• i . c , ,1'+,,1 .. ,1'
t . . - las wec:tores .. , i f_ un ' "gu l a re uo (jO.)

• • •
J . eo.."41resc dos • • p l.:z_i _tos . _ tle _gnl t ud J l1li. 'f o t r o de
~ltlt4 . . .. Imllor ~ puedeR ~ I n .rse eHos vector •• d. de!.
pl. ~ I .. t o ~r. obtener un 4«spl.t" ' ento reSu l l ~ n t e de m.gnl tud
t.) 7 • . • ,.) l •. , (e) S •.
Wscié;
s.an los ~tor.. ¡, i le ..,.1 , ... , • 'f 111; I.s ~b ln.clones .~
,lo.
., ¡
• • • • ... 111 .. 7 .. .
• lOo •
.,
.. • •
ki· • b - ... I • .

"
.l3


-3- •

,- " 1 es r . (ncontrll" (,, ) h It c;ompol'll!ntes de r sobre el eje de lu
k y de lu y; (b) l. _gnltud de r; y (e) el ángu lo que fa,.",. r
con el eje de I.s A.

y

o, •
).'

o

y

,,
_ p "'-_ __ ....1..'''-_ ,
.1 Del grlf lco obtene.os;
r ... + ¡- .. . (1)

doftcf. :
• • • • r. •y r
•• ,.. T • • r
... y
¡;
Ulculo de c.o.pon... te' escll la,.e, d. los voctoreS : • y

•• • <o• JO" 10CcoI )0· )

•y • • " . lO' lobCII JO·)
• '.66 } ...
.. S . OO
(.)


-4-

1
b, b <O> 13S· 10
'"' 13S· ),07 L
". (bl
b, b ". IJS " • 10 ~e" 1)S· '. 07 J
r""'ap l. z:.ndo (.) , (b) ,. (1)

, . (', ó • •, TI • (b• I • b
y T>
, . (., • b )T .. (. • b'l' )J
• y

r ... (8.6& ;. 0111 " (S + l .01) }
r" I.s9T .. n .;)1 T

'. I .S'
r n . 07
y

b) l . -.gn l tud de r ser';

, . 1 , •1 .. "
y

,
, 12:. 2

el 0.1 grif ic o :

12 . 01
... a .. ----n9
ng o. 7.6 1
u c: . caV{J · &1)
a .. 81. S·

S. D.dos dos .,actore5 ..... , - J j '1' b .. 61 .. Sj. e ncon tr a r l. di ree·
ci~ '1' "SIIlt u d de 1, de b, de a .. b. de b - 1, r de .. - b .

Soluc..i6n:
O.do : .. .. liT b .. 67 + 8)


-s-

•
·-
•
Di rec cJ 6n dfl' " ,

t1I g a f
e .. are. lag ( ~o.7 5 ·)

o 323.1)° á n gulo con e l eje ")t"

b) "agn i tud d;! b;

, 10 ,
Oireccd6n de b:
,., • 8
¡;

• .-
.. ~ c. t ::tg (8)

• 5) ' li"gulo c on el e joe .... "

y

, 32) I r
s¡-

el " "gn;tud de a b:

·,
+

, lor . Sr


1-

,; . b¡ ... 11. 11 •

tat 8 - ~O

4' ...... t ud da ;- - b:
.. "- ¡.. ti - 111
1- - b) /( - 2) 1 + ( - 11 )·

,. .. bI 1Ií . 121

l. - bl .. 11. 18

.'rec.c.f6n ., .. - b:

- 11
t at 0.... :-¡-

e) .".,itud de ti - . :

¡; - ..... 21. IIJ

lb - al .. 11 . 11

,. Generalizar el -'todo ~ l f t l~o de desoo.posic i6n V súma al ,aso
~ tres o '¡S ~ctor.s .



->-
•
.. 'J'
' ,' ' • ' oo , ••
,., COIJIPone.nle:s de c ad .. uno serl" ;

" ',.
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" ¡ " gulo que: '0_ ,
a guj u del re loj ser':
• "
<M .1 eje "x" en sen tido con t r.r jo ,, ..
,
,
~

• ,
B .. a r cug I ~) ,
•
7. Un auto-óYll recorre hacia el e ste un. dlsta"ci. de SO km . • de ' -
~, ~c i . e l norte, )0 k.. Y luego en di recc ión ]0· ., el te de l
~t e . 2S ~. Tr.z.r el di.9 r ~ de YCetorel y determ i na r , 1 des-
~ 1 ., ~.ieAto total d el a u t oaó"I' ~dldo desde s u punt o de ~.rtid • .


-8-

N
Su ;, b y Z los 6esplu_ltlnt Olo
•
,e. l lz.dos por .1 .uto.6vi 1, don
."
• . SO ;
¡; •'O
, - 25 .,.
I
10'r + 25 COI
6
j ~-===t-'---- E
1 •

r .. Iso + 25 sen )0· )1 + (lO + 25 cos 10'1]
r · fo1.5 r+ 51. 65 T
Cil cul0 del mód u lo :

, - 1'2. 5 1
+ 51. 651
, 81. 08 U .
($I,u 10 de l . direcci6n:

ug ... 5 ' . 65
62.5'
51.65
• .rc . t.g(~)

• 39.S7°
8 . Un. vez que l1eg • • 1 cés ped , un jugador de golf nece~¡t. dar tres
90 1pe$ , ~u bol. par. meter la. [1 primer go l pe mueve 1. bol. ).66
.. . (12 pies) " . none , e l segundo l ........ "e 1.8] .... (6 . 0 pies ' .1
ureHe y el tercero, 0.9 1 lO. (} .O pi e s) al suroeste . ¿Que dep l,!
l~¡ en to s e hubier a neces itado par. meter la bol. al hOtO en el
pri_. golpe?

Sed a, ti y e los f!I( .... ¡"'ientos que real iza l . bo la :



, • ¡; + ~ •
p'" dato d,l

"
•
¡¡ •
L 66
1. Bl ''0 > ; .,. 1. 8] 1" J
, '"'
T - 0 . 91
0.91
'" ~5 · ~ "' I 4S'

.'o.;;,~---c.---;-.~,C,-,-,
, l.e~ (~.

t~l lc ... lo Ó... la dire c ción:

t"-9 6 •

, 1 . 72)
a r <:. t ' g ( o:6S
, 69 · ) -

"

4 S~

E (est e )
9. Un. pa r ticul. expr.rime nta tre~ de sp lal~m¡enlOS consec u t i vo§ e n un
pl.no, c.omo s igue : 11 . 0 m... 1 suroeste. 5.0 .. . ,, 1 e u e, 6 .0 m. en
u n. direcci6n a 60· .:ti norle del eue. Esc0ger el eje de las y a~

puntando.ll n(lrte y el de las ... dirigidO.Jl eHI: pa r a obtener {al



- 10-

1_ co.ponentes de c~. dc,pl.z_ient o , (b ) 1.5 c~one ntC:5 del
~Sp' az. . i Cft to re~ll~t., (e) ' a ~gnitud, d ireccíón y senti do
de' de~p ' . z _i e. l o re~ullante, y (d) el de $p l azamiento que se re
.-erfrr. pe ra regres.r l. ,.rtí eu la .1 punt o de pa rtide .

.,1 I r"ieo ;

•• -
•,
.- .,.
• • ••• T ••, ,

•
.,.
~
~

2.8) o .

2 .@) o .

• .. •• 1 + •, r
,
•• o.

•, O

•< • • <,
<; ,
•

• ,.-
b

.-
< ~ l o.

<
•
, , 6.- • S. lO o.
S

,., T• r
,,~

•
, - (-l .8J+S+J)T + 1-2.81*O+S. 2);
r - S. 11 T + l . J7 J
el "'culo de l . . .gnl t ud :

, A . 17J • 2 . )1J

r S." • .
d} (ilcul o de l. dire cción :


-11-

2.31 •
la9 O
5. ' 7

10 U!.e una escilla de 2 /!l. po r centímetro y SUI.., grSficaonenu. l o !.
de!. p laz_ i enl os de l Probo 9. [keterllline de ~u gr.ifica la K"o<I I ' '¡ -

lud. dirección y sentido de la resultante .

El g rifleo es auy s iGilar .1 ~str.do anterlor-ente por lo ta n-
lO, dej....as al lector a reil l lZilrlo mlis det~nld_nle ; donlle se
o ble ndrjn:
, , ~.

b 2. 5 elll .
,•
,
J elll .
2 .85 ..
,
• " . 6)-

1' . Gene ralice el Gétodo ilnalftleo de deseQlllPOner y s~ r dos v, e t ~

res .1 eilso d, t r e s d l . .nsion e s .

Soi"Ú6t1 :

a" 'r a J , ... ,
"
c ons;
guiente ,nillleelllOs , •
"

6onde :
" ' . T.
'"
~
J ••
"
.
',. a , ,,ene w.,
a, senO se n.
'" "', (;OSe
'" K


•

- 12-

Dich.s eKpresione s se ob tienen de l 9 r ¡ r icu ~Jjunt o
•.

, ••
" • " 'l • "
, ,,•• ,, • • , ¡
!
•
scr~ :
" .06<:1 ... 10

, rr;-: , • ", ,1
•
,.)
". )0 . 9 • .Un;:. r>ersOl~ ud .. po'
"
puerta pri ''I;ip,l'
" ~u c. .t , :;. .....,. ¡ ....
( 1 ,000 p;cs ) t>cc : .. .t U e . 60';1.; m. U, OOO lI ; es ) ~ci.

roorte , , de!p<.>é~ ,- " bo l sil lo 1 1. deJ .. t !
" en un ac,nti l .do d. IS2 lo
0"" _

•
",(Id

¡seo
""
plu) de , l t "":II, Esub le(e r
"
un ¡iste~ de coord e n~d .. s y escribIr un. ",_p re s ión par • • 1 des "
pl u_l e nto de l a moneda, elllphu n dn ... cetores "ml u , jos . (b ) l ¡¡
pe ' son. r e~r e s . en seq ul d ... 1. pver t. de su ca s., sigu i e ndo un
c ~ino d i fe r e nt e en el vllje de r e torno . ¿~ujl e~ su de spl aza
.ien t o r es ul t. n te p.r. el vl.je c~l e t o de id. y vue lt .l

Consi cSerancio e l si st -.a de tr e s dimens ion e s ; con J. s i guien te di ~

,
, .. ¡ • b te
• ) O/¡ . ' ....
¡; 609 . 7 T
, 152 . '" I y

, • 609. 1T • IS 2. lok
3011 . 9T
/)0" .9 • 609 .7 • l S 2 . /¡ 1
1 1

, 1)97 .
" ".
l a INgnitud de l desplO1liilllllent o d~
,
",U("lt <ll s erá lo ",i~1IO Que a la
de ida, p ero en sen t ido contrario .


-1)-

Por lo t a nto, e l desp l az a mie n to o.: om pl e¡o ~ e''¡ ,qva l ·011 desplu!!.
mie ntO de ida má j el de spl az am i e n t o de vue l la , d~ndo c omo re~ u l

ta do cero.

1). Enc ontrar l a vm,J de lo s vec t o r e de de s p l a zam i e nt o c y d cu ya s
componentes "l> k i lÓllletrcs seg ún tres d ir e cciones p'' '''pendicul,¡¡ -
re s son:

S04 « 611:

Sea : , , , ,, ,
• • y • ,
~ ~ ,
, ,• ; • , j • ,
y , ,
r e empl a z a ndo va l or e s :

e * Sr ik"
d " 3i . 4) + 6k

/~+16+16

b km.

4. Ur. veuor d tiene una magnitud de 2.S m. f a punt.; hJc iJ ,,1 nl;"-
te. Oi<;a (Cuáles 50n la s m,)gnitud e~ y direcc iones de los "~dO •

res.
(a ) + d . (b) d l2 .0 , (e) - 2.5 d y (d ! ~.O d.

Ve"tor M gnilud
a O; re~c ión

- , 2'

- 14-

"i1Z 1.2S
6 . 2S
•
, •
2. "
••
IS . l a s d i-ens i ones ~ un
10

cu~r to
•
son 10 p ies x 12 p i e s x I~ pies . u -
" iJ -ose. ~ sa l e de un~ esqu i " a l1e9 ~ a I~ esquin a d i a 9on a l ~n

t e opueSla . (a) ¿Cuil e s l iJ -.gnit ud de su de s p l aza", ientol (b )
¿Podría se' la longitud de s u t r ayector i a ~ nor que est a dis t a n -
ci a ? ¿Podr ía sce r ...,or1 ¿Podda u r ' gua ll (e) Escoge r un ,.;u e -
. . de coorden ~s ~cu.do y c alc u l a r l as compone nt e s de l ve c to r
de desp l a ~a.iento en e s e ~ rco de refe re nc i , .

, - I r2
•
,

Según los d.atos de l pro blema :

r .. 10T .. 12)" I~k

16 . En el probl_ IS. si l . IIIOsca no vo l ar a s i no que cami nar iJ . LCuál
serfa la long itud ~ la t ra yectoria más co rta que pudiera s eg uifl

,.

- 15-

IS . fi20 S • . •
"
'c · 11 0 1 • lO' . h96 • 11 . 2041 _ ,

l . . long; t ude~ ",.. s co rtils ser' n :

•
..
28 . " ) 9' o .
10
"
• 29 .6105 o .
"
• Oc ' 9·20'7 o .
"
Por lu Id" l n I _ ,,,,, yecto"¡ • .,¡ , t ort. s c r. ;
}

r .. 28 . 11], •• .

17. Un 3"' .. d ..• ~uc lil de W shi .. g l on "
.. ~,.¡ l • . !)escribi , e ; ve(;l or .: ....
plaz.-i .. -HO. ltu,U e s S<J -..gn it ud s; l. lat i t ud " h, 10119; ' ,;10 .1e
In do~ t ;ud;!de ~ 'loon 3'· H, l r O y IS· !l. ¡ U · El

SolUCiNn: N

[1 veelO' corri miento e s el
"cetor Al! . De 1" figun (1)
ye-os Que :

". y que

A "¡ .¡",i. i'.¡"
.. Illonce s:

s

(0l<I0 ~e ve en la (;gur. (2) .

(i"' - ¡') , u U" "ce l o r
eL pl an ... e cualur al, y (8-' - A")
'"



-16-

(8' - A') $e ulc u lar. por l a ley

~ ~.l
de los cosenos. Si e ndo :

A' " 6 . " 00 cOS )9- . y 8 ' .. 6. ~ oo cos 15 · pl~
(6, " 00 u e l ra d io de l. t je rra ). a' ec;w. toria l

Se ten d r . :

ji ' A'I! " (... , ) I + ( , , ) 1 _ Z ( "") ( 8 ' )eo ~ 162 ·

6 . ~ OO (eos' ) 9 " +e o$ 2 1 5 " - 2 eos 15 · co$ 39 · c o s 1 62 " ) ' .. (2 )

PO f o tro 1a40 8" y A" so n vect o r es eo linea 1u . si e ndo :

de don de :

Ree mp l illando ( 2) y (J) en ( 1) obtenenoos la m gni t ud del vec tor
"
AB.
r --;--
1As i /í 6~OO) 1 (cos 1 ]9" . COS 1 , 5- 2eos 15· cos )9"cos 162" f

11,100 km.

IA 8 1- 11.200 km .

18 . Dos ~ec to (es de longi tude s a y b formoln un an gula u cuando se
co loc an a parti r del mismo o rige n. Tomando com ponentes seg ún 2
eje~ pe rpendlcularn . delllOHrar Que l a lon9itud del vector (e -
su1t""te '"'s :

r _ la1 + b 1 • 2.Jb cos i¡



-1"1 -

•
~ e 9,jo ,, : oJ. ;' f jco e es ,, ' f!len o r
i ngu l u u ve ~ a c en lo s ve c t o res
¡; v F.
t " '" t r , a r' J'Jlo ACO :

AC "" ¡fOl ... O)

e
;,0 .. Aa .. ::lO

i f,,;¡1 • • •• :; 0 :' , I' j ,
¡r.."1 h Sen ,
A
C - A

~r ·.' ''' '' t a l " "'>:" (~ ) ., ( 1) :
• B

" {a+b (OS e ) ' • lb "" ,j'
"
a 1+b i coste • ,.b .., • , . ,
b'se n 6

" a 1+b 1 h e n 1e • ( os 1 8 ) + l ab ( OS ,
" .' · b' • '" eo. e
, la 2 • b' • 7a b cos ,.
19 . Pa r a un vec : o r (. u"' Qu 'e r .;o il demo Sl r ar Que a a _ a ' yq ue a x

" .. O .

al S db~mo s po r la p r op;ed"d re fle x i va , que roda rec t a es p il r a l ~

1.. a s i ",;smo (i 11 al
• •
• •



-,... •
tll De ;!fU0I' ..,ciQ que e l caso anteri or.

20. Uti lícese el $i$t~ OIcoslu.br.dO (de recho ) de ejes de ,oorden&-
d,., ~. Dado ~I ~ector .. en l. 4irecci6n pOsitiv~ del eje de
1.s z. el wector b en l. direccl6n positiva del e j e de las y , y
1. c~ljdad e sc.l .r d : (., ¿CuJl e s l. direcci6n y senlido de a
Il 1:11 (b) Ltull es l. direccl6ft , sent i do de b " .1 (e.) LCu.1il es
l. dlr~j6n y sentido de bI d} (.) LeuSI es l. m.gn itud de ... b1

Del grifIOD deducl-os: z

¡jI .. II ¡; unclri l. dlrecd6n
del ej"" "lOO. s en! ido pOsl
t i yo.

1:11 D .... tendrJ l. direcci oo
del eje "lOO sentido neg.ll - t./d ti
a
}--""'-+-- - y
tivo .

¡;
el ¡ tendr¡ 1.. d irecci6n del

eje " ,", y sus sentidos se
r~:

Si el > O; sen ti do posi t ivo de: 'T'
Si el < O; sen tido nega t ivo de "y"

d) 'h que : ..

21 . Un vec t o€ .. d e diez unidades de ~¡tud y ot r o v e c t o r b de s e i s
un¡d~s de -.gnitud .punt.n en direcciones que formen un ¡ ng ul a
de 60-, [ ncontr,., (.) el p~o6ucto e~c.I . ~ de l os dos ve ' t o res y
(b) el . ~oduc to vecto~i.1 de los .Is-os.



-19-
•

a 10 uni d a d e~

b .. 6 unida df: S

a) 3 . b .. ab cos &0· ]0 unidades :. cuadrado (es un escalar).

b) , • b ~ ab sen &0· - 51. 9& unidades a l cuadr a do per pe nd i cu lar
al pl a no fo r..ado por a y ¡; (e '! un vec t or).
22 . {n el s isteRa de coo r denadas de la (i9. 2-6b demost ra r que :

k .k .. 1 ,
¡.j j .k k. i o

$abe<Jlos q ue: los vec t o r es un i ur l os TTy r t i enen por .... gní t ud
l . un i dad .

a ) De l a fi gura o bt e nemos :
T T .. cos O· .. I

j T ·J J . ,
<o. O'
r •· • • <o. O'

T T• . .k . r .
j j

b) T T
· j <"' OO' . O
k
T r · • oo' •
j <• • O ,.
· . ..,' .
¡
r T • <o. O j

; jk.r T j . O
x


-20-

2) (1'1 e l .. ,st~ d er e cho de coo r de n .. d . .. de 1.. fig. 2;6~ delllOu r .. , q '

x j X j

x j k; k X j; j X k

De ~. n e r. 5i~ j l a .. 4ue . 1 prob lema an t erior :

.) ; X O' O
.,
~'!n

jx ,
.- X
j
r
j
k k
j .~

s, .. "
~.

¡xi .. Txj .. (xi( O

TX j
'" '0· •
b) j

" Xk
J
,, XI
j k
'" ,,' •
k
'" ,,'
2~ (.) Hemos vis t o q ue l . l e y c~ t ali v. no se a plica. los p rodu~

tes vectoriales , e sto e~ ... X b 00 es '9u. 1 • b X ,l . O~ .. t r .rQ·
l. iey coomuta t iv Ol sr pued.. a.p li carse • los p rod uctos eHa la res,
c HO es, Que a . b " b . Ot, (t.) Oenoour .r Que 1. l e l jiHribut ' -
~a se a pl ica tanto a 105 prQdu ct<,s e s c ala res ")f,1O • lo~ v. c t ed a
les, e st o es,

.. (b. c) " • . b + a .e y que .. X lb . ,) .. " X b • • X t.

(e ) LSe puede apli t .r l. ley nocial;". iI los prod ... ct o~ .... etorl.
les , esto es, ;1 X (b X el es igual a la X DI )( c? !Tiene ,) 'gú n
se ntido habl . .. de una le y . .. oc ;. t; ". para pr oduct~s 1I:5,.lares1

Gel gr áfico obtenemos:

al ;- . b" ab cos O ... (1)


- 21-

b a .. a b cos El . .. ( 2 ) •
CQlN) ab " ha ; ; gl.la la n do (1) ( 2)

b)
b I } !k:most r a reaos que : a. {i;.. C)
Del grU i c o :

a. (b"+c) .. e(b"cl c os ~ .. a (OR) . .. ( 1)

.. ,
a.h " ab c o s 9 .. a (OP")

a c cos B .. a(PíO
(2 )

(J)

OP+ P1i"
l'Iul t i p l i c a ndo pO r " . "

a foiO .. a (O'P..m •
de (1) (2) y ('n

b.1) De "'<lnera s ¡ mi 1a r ,,. l. p.-.rte h. I}

Oe lT"(.l ~tr . f en>OS :
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( 1) (J)

•, {b+cl •, b
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el No. no

2 S. El prod u<; t o e~~.L <lr e n f>o t .a<;i ón de L ve c t o r uni t ario . Re p re~en le-


- 12-
•
-os lotos vect o r e s en ( unel&' de sus coo r de nada s u f :

• . l.• • j . , • k • ,
,
• - ¡ b• • J••, • k b,
De-ost ,.ar ana l l ti ~n t e q ue :

~~dos I~~ vec to r es :

• . ••• al+ ••
,
T

•
,
,.
b . b Y +
• •.,:r • •, •
"-strOl rt:lllO S :

;.1) .. (a i +aJ1ali].(bT+bJ+ b f) ..• (1)
~ y l • Y l

T.T .. J.T" k.k-
I.T .. T.r .. T.¡"
1

O
1 (2)

,p I fcando (2) e n (1)

a . b .. (T.TI a b + {T.na b + (T.k} a b f
~ ~ Il Y • 1

1. (T.ila b + (r.)) a b + (j.k} a b ..
y. yy yl

(k.TI a b f (Ir. . j) a" f {k.k} a b
.lo .. Z y 1. 1

a . b-ab + a b la"
JI"" " I.l

2& . Apl ¡cando la def in ic i6n de producto esca lar a . b" ab CO$ ~ y
el hecho de que a . b _ a b t a b • a b (véas e e l probo 25),
.. ~ ,y II


- 23-
o btene r e l 'ngulo entre lo s d05 ve c:: t o r es daodo s por, ;1 .. Ji + ]j .
]11 Y b - 2 1 + j + ]11 .

Sc!u.ci6" :
G.lodo : 11 .. )T t ]T - j i(
b .. 2T t T+ ]k

;1 ) iI .b .. ] x 2 t ] x 1 + (. ] x ] )

'i". h -6 + ] 9

¡.h O

•

c:: ) Det e,~in;lc::i6n del ingul o q ue fo , ..o :

; .b .. IIb c:: o s ~
C::0ffI0 a. b - O
. . c::o s ~ O
• OO·
27. [ 1 p r oduc::to vec::tor i al en not ac;: l6n ~~ I vec::t o r u n i ( ;lrio. Oemo s t r.
IIlICI l i t ic::amenteque;lltb- i l.b 'II~J + j(lIb ·;lb) +
y 1: t y I X X l

11 (. b -;1 b). (S ugerenc::ill el Probo 2 j) .
x y y X

Solu.WII :

Da dos los vec::tores :

.,,
~streremo s que :

'i""b - Tia b -a b )+T(a b -a b ) +k(. b -a b )
y l Z y I " XI lI y yx


- 24-

SilbemoS :
•
T;w:.
;;w:.b -
j

(1, T + .. r + .. k)
lo; Y
K (b
k· i

T+b r
K
l·
'1
~ bk }
(11

.
1 1

,llo; b .. (¡xna b
••• ., • (Txk) a , •
(Tx})" b b

(TKT).. ,b • . , , • (Jxk) . ,b' •
(¡-X)) . b

T) .
(kK ,l , b • (kxj). , , • Ckxk). , b,b

ut i I i la ndo (1) . o b t e nemo s :

"xb .. k. x b y -T. x b z - ka )' b x +T. )'Z + Z b l + I b X -Ta Ib
b r. Ta y

axb .. T(. b - a b 1+) (. b -. b )+k( . b - a b )
y z l y ZXX Z x y )' x

28 . Oe mos t r .r q ue l. Magnitud de u n pr od uc t o ve c t or i a l d" numé r i e. -
,...,n te . 1 S~ .;O d. 1 p .. ~ .. lelogr....., for .... do po r lo~ du~ vectores c OI!
ponen t n c omo lad os ( véase l . F ig . 2- 15). LS ug iere esto la i de a
de cómo re p re se ntar medi a nte un ve c t o r u n elemen t o de j rea o rien
lado e n e l espa ciol

•
;iol.uc.i6n :

Sabernos que el j( e a de u n p"ra l e l~

gramo, en el <jJr j( ico est j
ah. donde:
h -bsen $
d.dO _ ;
"'''L b :t.sen,;.
/
~
' :.,
alo;b . .. bs en40- ah



2 ~. Demostrar que el ¡¡'ea del triángulo conten id o en tr e los vec t or e :
•

lo r es abso lutos i vt; .. se l . Fi g. 2-15).

SotucWJl:

DelllOsl rar<!'llOS o.,,.:

Sabemos que al área de un tri ángu lo f o r~ado po r a y b es l a mi
Iilld de la de un paril.le t og r aoKl ( ve r 9ráf ¡ ,o de l p r o b l ema 26 )

oh 1 (a x b ) oh
A .- 2 ,
2
" 2
30 . Demostrar que a. (b x el es numéricamen t e i gua l a l volumen del
paralelepípedo formado sob re 105 tres vect o re s a, b y c.

De l gráf ico ob tenemos:

b x e .. be sen e• á rea del pa r a le logramo (OPQR)

Se .. : d . , b < perpendicu1.11r .1 y
,
pl .." o rorlRado po' b <. S

• , . ;¡ -• . d(a <0' .) T ,,
j
don de :

a<:o$41 . ",
h paralelogramo
,
(O RST) . O 5 p

¡. (b"C) ..a-.d- d. ; - d{acost ) ,
d{aco s 4l) .. (Ar e a deIO.oPQR)n
que e~ el volumen del paralelepípedo de aristas b, e y a .


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