El documento explica el Teorema del Binomio, el cual expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. Se describen las características del desarrollo del binomio (a+b)n, incluyendo que el número de términos es n+1 y que los exponentes de a y b suman n en cada término. También se explica cómo calcular el r-ésimo término y cómo el teorema se puede expresar a través de combinaciones. Finalmente, se indica que la fórmula también es aplicable

1. TEOREMA DEL
INTEGRANTEBS: INOMIO
- BARRIOS ROJAS GETSEMANI
- MORENO DE LA ROSA JESUS MARTIN
- VALDEZ MONTELONGO ADAN R.
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA, 14:00 – 15:00 HRS., PROFESOR: JOSÉ LUIS
ÁLVAREZ HERRERA

2. CONCEPTO DEL TEOREMA DEL
BINOMIO
El teorema del binomio, también llamado binomio de
Newton, ex-presa la enésima potencia de un binomio
como un polinomio. El desarrollo del binomio (a+b)n
posee singular importancia ya que aparece con mucha
frecuencia en Matemáticas y posee diversas
aplicaciones en otras áreas del conocimiento.

3. Para formarnos una idea de la estructura del
desarrollo de (a+b)n: por multiplicación directa
podemos obtener:

4. De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar
una idea acerca de la ley que siguen en su formación:
1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos
en el desarrollo.
2. Para cada valor de n, el desarrollo de (a + b )n
empieza con an y termina con bn. En cada término los
exponentes de a y b suman n.

5. 3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar
de cada término al siguiente. La b aparece por
primera vez en el segundo término con exponente 1
que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre
es una unidad menor que el número de orden del
término.
4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier
otro término se obtiene multiplicando en el término
anterior su coeficiente por el exponente de a y
dividiendo ese producto entre el número de
términos anteriores al que se trata de formar.

6. Cierta simetría constituye una característica del
desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar
al disponer los coeficientes en el siguiente orden que
se conoce como Triángulo de Pascal , para valores
enteros no negativos de n en el desarrollo de (a+b)n.

7. Ejemplo:
Desarrollar por el teorema del binomio (a+2b)4.
Solución:
Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes
binomiales con las potencias correspondientes para
cada término del desarrollo. Es decir:

8. , efectuando las potencias, se tiene:
, efectuando los productos se obtiene:

9. A estos números se les llama coeficientes binomiales
o binómicos, dado que cada renglón se observa que
el primer y último elemento es 1 porque los
coeficientes del primer y último término son iguales a
1.
Cada elemento se puede obtener como la suma de
los dos que se encuentra a su izquierda y derecha en
el renglón superior. Así, para n=6, el segundo
coeficiente 6 es la suma de los elementos 1 y 5 que se
encuentran a su izquierda y derecha en el renglón
superior

10. EL R-ÉSIMO TERMINO DEL
DESARROLLO BINOMIAL
En el desarrollo binomial:
si se decide llamar a un termino cualquiera del
desarrollo como r-ésimo termino. Para encontrar el r-ésimo
término del desarrollo se aplica la siguiente
expresión:

11. Ejemplo:
Obtener el cuarto término de la expresión (x-y)20.
Solución.
Sustituyendo n = 20, r = 4 :

12. TEOREMA DEL BINOMIO
EXPRESADO A TRAVÉS DE
COMBINACIONES
El desarrollo de la expresión (a+b)n también se puede
obtener aplicado la teoría del análisis combinatorio.
Si n es un número entero positivo, entonces,

13. Demostración:
Observemos lo siguiente:
donde hemos multiplicado el primer sumando (la a)
del primer factor (a+b) por los dos del segundo y
luego el segundo sumando (la b) del primer factor por
los dos del segundo. De esta forma vemos que en
cada uno de los cuatro sumandos que configuran el
resultado figura uno, y sólo un elemento de cada
factor.

14. El siguiente diagrama resume la situación:

15. De acuerdo a lo anterior, se puede llegar a una
generalización del desarrollo del binomio:

16. TEOREMA DEL BINOMIO CON
EXPONENTES NEGATIVOS O
FRACCIONARIOS
La fórmula general para desarrollar el binomio (a+b)n
también es aplicable en el caso de que el exponente sea
fraccionario o negativo, siempre que se cumpla que a >
b y a >0.

17. Para el caso de que el exponente sea fraccionario, el
desarrollo presenta la siguiente forma:
Por su parte, si el exponente es negativo, el desarrollo
posee la siguiente forma:

18. Ejemplo.
Obtener los siete primeros términos del desarrollo
.

19. Nótese como en este caso, los signos de los términos se
alternan.
Se aprecia como para ambos casos, el desarrollo posee un
número infinito de términos.
Ejemplo.
Obtener los seis primeros términos del desarrollo (x+y)2/5.
Solución:

20. (*) FUENTES DE INFORMACIÓN:
 Escuela Preparatoria Gral. Lázaro Cárdenas, Universidad Michoacana de San
Nicolás de Hidalgo:
<http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_5_5_teo_
bin.htm>
 Facultad de Contaduría y Administración, Universidad Nacional Autónoma
de México:
<http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/38.%20Teorema%20del%20
Binomio.pdf>
 Escuela Superior de Ingeniería, Universidad de Cádiz, España:
<http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711003/Apuntes/Leccion5.pdf>
 Imagen en portada:
<http://3.bp.blogspot.com/_TFc5DGTn3BE/TNk7VDz7dZI/AAAAAAAAEDs/UH7cZk
G2dao/s1600/binewton.jpg>
(*): Consultado el 02 de Diciembre del 2014.