1) El documento presenta información sobre vectores, incluyendo definiciones de magnitud de vectores, suma y resta de vectores, y cálculo de componentes.
2) Se proporcionan ejemplos numéricos de suma, resta y cálculo de componentes de vectores.
3) El documento explica cómo resolver problemas que involucran múltiples desplazamientos vectoriales.
Este documento presenta un examen sobre conceptos agropecuarios. Consiste en 14 afirmaciones sobre las cuales el estudiante debe indicar si son ciertas o falsas. Trata temas como la definición de agricultura, la importancia de la investigación agrícola, y los objetivos y métodos de la ciencia agropecuaria. El examen evalúa el conocimiento básico del estudiante sobre estos conceptos fundamentales de la agronomía.
El Ministerio de Educación Nacional emitió una resolución para otorgarle al Colegio Técnico Comercial Anfonio Ocariz el título de Bachiller Académico después de una visita de inspección al instituto que determinó que cumple con los planes y programas correspondientes.
Este documento parece ser un examen de comprensión de lectura y resolución de problemas matemáticos. Contiene 30 preguntas de opción múltiple sobre diferentes temas como parámetros, relaciones espaciales, operaciones matemáticas y comprensión de textos. El examen evalúa diferentes habilidades como razonamiento lógico, capacidad de análisis y comprensión lectora.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre vectores. Define la notación de vectores y sus propiedades como magnitud, dirección y oposición. Explica cómo calcular la suma y resta de vectores, así como la multiplicación por un escalar. También cubre conceptos geométricos como el producto escalar y vectorial entre vectores.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas para describir posiciones en una línea, superficie o espacio. Explica las coordenadas cartesianas, que usan dos ejes perpendiculares y valores numéricos para cada eje. También describe las coordenadas polares, que usan la distancia desde el origen y el ángulo respecto a un eje. Finalmente, explica cómo extender las coordenadas cartesianas a tres dimensiones usando una tercera coordenada.
Álgebra Vectorial
1. Vectores en el plano y en el espacio
1.1. Simetría de puntos en los sistemas coordenados de dos y tres dimensiones.
1.2. Vector dirigido
1.3. Componentes escalares de un vector dirigido sobre los ejes coordenados en el plano y en el espacio.
1.4. El vector como pareja y como terna ordenada de números reales.
1.5. Definición de vector de posición
1.6. Módulo de un vector como conjunto ordenado de números reales.
2 Operaciones con vectores
2.1. Igualdad de vectores
2.2. Adición de vectores en dos, tres y n dimensiones
2.3. Sustracción de vectores
2.4. Multiplicación por un escalar
2.5. Propiedades de las operaciones
2.6. Vector nulo y vector unitario
2.7. Distancia entre dos puntos como el módulo de la diferencia de dos vectores
3. Producto escalar de dos vectores
3.1. Vectores unitarios i, j, k
3.2. Forma trinómica de un vector
3.3. Definición de producto escalar
3.4 Ortogonal
3.5. Angulo entre dos vectores
3.6. Definición de componente vectorial y proyección de componente escalar de un vector sobre otro
3.7. Cosenos directores
4. Producto vectorial de dos vectores
4.1. Interpretación geométrica y propiedades
4.2. Definición de paralelismo geométrico y propiedades
4.3. Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de un paralelogramo
4.4. Definición de producto mixto
4.5. Calculo de volúmenes mediante el producto mixto.
5. Uso de software matemático como instrumento verificador de resultados y herramienta de visualización en conceptos.
Este documento presenta 6 problemas resueltos relacionados con la suma de vectores utilizando el método analítico. En el primer problema se aplica la ley del seno para encontrar el ángulo entre dos vectores dados sus magnitudes y la magnitud de su resultado. En el segundo problema también se usa la ley del coseno. El tercer problema involucra descomponer vectores en componentes rectangulares y realizar operaciones. Los últimos tres problemas usan descomposición vectorial para encontrar magnitudes y ángulos desconocidos.
Este documento presenta un examen sobre conceptos agropecuarios. Consiste en 14 afirmaciones sobre las cuales el estudiante debe indicar si son ciertas o falsas. Trata temas como la definición de agricultura, la importancia de la investigación agrícola, y los objetivos y métodos de la ciencia agropecuaria. El examen evalúa el conocimiento básico del estudiante sobre estos conceptos fundamentales de la agronomía.
El Ministerio de Educación Nacional emitió una resolución para otorgarle al Colegio Técnico Comercial Anfonio Ocariz el título de Bachiller Académico después de una visita de inspección al instituto que determinó que cumple con los planes y programas correspondientes.
Este documento parece ser un examen de comprensión de lectura y resolución de problemas matemáticos. Contiene 30 preguntas de opción múltiple sobre diferentes temas como parámetros, relaciones espaciales, operaciones matemáticas y comprensión de textos. El examen evalúa diferentes habilidades como razonamiento lógico, capacidad de análisis y comprensión lectora.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre vectores. Define la notación de vectores y sus propiedades como magnitud, dirección y oposición. Explica cómo calcular la suma y resta de vectores, así como la multiplicación por un escalar. También cubre conceptos geométricos como el producto escalar y vectorial entre vectores.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas para describir posiciones en una línea, superficie o espacio. Explica las coordenadas cartesianas, que usan dos ejes perpendiculares y valores numéricos para cada eje. También describe las coordenadas polares, que usan la distancia desde el origen y el ángulo respecto a un eje. Finalmente, explica cómo extender las coordenadas cartesianas a tres dimensiones usando una tercera coordenada.
Álgebra Vectorial
1. Vectores en el plano y en el espacio
1.1. Simetría de puntos en los sistemas coordenados de dos y tres dimensiones.
1.2. Vector dirigido
1.3. Componentes escalares de un vector dirigido sobre los ejes coordenados en el plano y en el espacio.
1.4. El vector como pareja y como terna ordenada de números reales.
1.5. Definición de vector de posición
1.6. Módulo de un vector como conjunto ordenado de números reales.
2 Operaciones con vectores
2.1. Igualdad de vectores
2.2. Adición de vectores en dos, tres y n dimensiones
2.3. Sustracción de vectores
2.4. Multiplicación por un escalar
2.5. Propiedades de las operaciones
2.6. Vector nulo y vector unitario
2.7. Distancia entre dos puntos como el módulo de la diferencia de dos vectores
3. Producto escalar de dos vectores
3.1. Vectores unitarios i, j, k
3.2. Forma trinómica de un vector
3.3. Definición de producto escalar
3.4 Ortogonal
3.5. Angulo entre dos vectores
3.6. Definición de componente vectorial y proyección de componente escalar de un vector sobre otro
3.7. Cosenos directores
4. Producto vectorial de dos vectores
4.1. Interpretación geométrica y propiedades
4.2. Definición de paralelismo geométrico y propiedades
4.3. Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de un paralelogramo
4.4. Definición de producto mixto
4.5. Calculo de volúmenes mediante el producto mixto.
5. Uso de software matemático como instrumento verificador de resultados y herramienta de visualización en conceptos.
Este documento presenta 6 problemas resueltos relacionados con la suma de vectores utilizando el método analítico. En el primer problema se aplica la ley del seno para encontrar el ángulo entre dos vectores dados sus magnitudes y la magnitud de su resultado. En el segundo problema también se usa la ley del coseno. El tercer problema involucra descomponer vectores en componentes rectangulares y realizar operaciones. Los últimos tres problemas usan descomposición vectorial para encontrar magnitudes y ángulos desconocidos.
Este documento establece las disposiciones generales para la Convocatoria 129 de 2010 para proveer 745 puestos de Docente Orientador en 31 entidades territoriales. El proceso de selección constará de 6 etapas incluyendo la divulgación de la convocatoria, análisis de antecedentes, adopción de lista de elegibles, audiencia pública y nombramiento. Los aspirantes deberán cumplir con requisitos mínimos y serán evaluados considerando principios de igualdad, mérito y oportunidad.
El documento explica que el ser humano es un ser histórico porque cambia y se desarrolla a través del tiempo en lugar de permanecer estático. El hombre se ve influenciado por factores culturales, económicos e institucionales que cambian, y él mismo influye en el cambio a través de sus acciones. Lo histórico se refiere a aquello que está sujeto al cambio debido a la actividad humana, a diferencia de conceptos matemáticos o fenómenos naturales que no dependen de los seres humanos.
15 soluciones o disoluciones cap 15 u (nx_power_lite)Andres Phun
Este documento define soluciones y disoluciones, y describe sus componentes principales. Explica que una solución es un sistema homogéneo formado por un solvente y uno o más solutos. Define solubilidad como la cantidad máxima de un soluto que puede disolverse en un solvente a una temperatura dada. También discute factores que afectan la solubilidad como la temperatura y las interacciones entre las partículas del soluto y solvente.
Este documento presenta varias formas de medir la satisfacción del cliente. Primero, describe diferentes métodos para medir la satisfacción como encuestas, grupos de enfoque y reclamos. Luego, explica cómo analizar los resultados incluyendo el cálculo de índices de satisfacción y la detección de áreas de oportunidad. Finalmente, resalta la importancia de monitorear los resultados a lo largo del tiempo para mejorar continuamente.
El documento presenta una serie de operaciones aritméticas básicas como sumas y restas con números entre 0 y 7. Se muestran los cálculos de forma vertical u horizontal con sus respectivos resultados.
El documento presenta un diagrama abstracto compuesto de varias formas geométricas como círculos, líneas y puntos dispuestos de manera no estructurada en la página.
Este documento proporciona información sobre el diseño y configuración de subestaciones de alta y extra alta tensión. Explica consideraciones generales de diseño como definiciones, tipos de servicios, normas y recomendaciones. También cubre temas como elaboración de presupuestos, planos, configuraciones posibles de subestaciones y su selección, así como coordinación de aislamiento para garantizar niveles de tensión de soportabilidad requeridos. El objetivo es servir como guía para el diseño eficiente de subestaciones eléctricas
1) El documento presenta ecuaciones para calcular la velocidad final y desplazamiento de objetos en movimiento uniformemente acelerado en una, dos y tres dimensiones.
2) Se proporcionan fórmulas para calcular la velocidad y aceleración en función del tiempo en movimiento uniformemente variado.
3) Se describen relaciones cinemáticas para calcular desplazamiento, velocidad y aceleración a partir de datos iniciales y finales.
Este documento presenta propuestas para incrementar la productividad en la perforación de pozos petroleros en México. Propone 1) elaborar manuales de procedimientos actualizados, 2) mejorar los sistemas de computo para el seguimiento de operaciones, y 3) capacitar periódicamente al personal sobre nuevas técnicas. El objetivo es optimizar los procesos de planeación, programación y ejecución de la perforación para lograr mayores rendimientos de manera segura.
1) El documento presenta información sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo cómo resolver ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 y fórmulas para calcular las raíces.
2) También discute gráficas de funciones cuadráticas y cómo identificar el vértice y los interceptos x e y de una parábola dada su ecuación.
3) Presenta ejemplos numéricos para ilustrar los diferentes conceptos sobre ecuaciones y gráficas cuadráticas.
Sobrino, Jesucristo Liberador CAP 4_.pdfAntonio Lopez
Este documento presenta un análisis teológico de la vida de Jesús de Nazaret. Se organiza alrededor de tres realidades fundamentales: 1) La relación de Jesús con el Reino de Dios, que fue el centro de su predicación y misión. 2) Su relación con Dios Padre, que dio sentido a su vida. 3) Su muerte en la cruz. El autor examina primero la noción del Reino de Dios en Jesús y luego analizará su relación con Dios Padre y su muerte redentora.
1. El documento describe las propiedades básicas de los triángulos, incluyendo sus ángulos internos y externos, los tipos de triángulos y sus condiciones, y la suma de los ángulos internos.
2. Se explican conceptos como los ángulos inscritos, circunscritos y exteriores, así como fórmulas para calcularlos.
3. Finalmente, se introducen otros temas geométricos relacionados con triángulos como arcos, sectores y círculos circunscritos.
escaneado que contiene información que considero muy pertinente y que puede servir de provecho para el desarrollo de los temas que nos ocupan en la asignatura; los temas que podemos encontrar son los siguientes:
Media aritmética simple
Media aritmética ponderada
DESVIACIONES
Desviaciones respecto a la media aritmética
Desviaciones respecto a la media supuesta u origen de trabajo
Desviaciones respecto a un origen de trabajo tomadas en unidades de amplitud
Propiedades de la media aritmética
MEDIANA (Me)
MODA (Md)
Relaciones entre MEDIA, MEDIANA Y MODA
El documento proporciona instrucciones para calcular la media aritmética de un conjunto de valores. Explica que la media se obtiene sumando todos los valores y dividiendo el total por el número de observaciones. También describe cómo realizar este cálculo usando calculadoras CASIO, incluyendo los pasos para introducir los datos y obtener los resultados.
scaneado que contiene información que considero muy pertinente y que puede servir de provecho para el desarrollo de los temas que nos ocupan en la asignatura; los temas que podemos encontrar son los siguientes:
Media aritmética simple
Media aritmética ponderada
DESVIACIONES
Desviaciones respecto a la media aritmética
Desviaciones respecto a la media supuesta u origen de trabajo
Desviaciones respecto a un origen de trabajo tomadas en unidades de amplitud
Propiedades de la media aritmética
MEDIANA (Me)
MODA (Md)
Relaciones entre MEDIA, MEDIANA Y MODA
Este documento describe cómo calcular la media aritmética de un conjunto de datos de manera simple y ponderada. La media simple se obtiene sumando todos los valores y dividiendo por el número total de observaciones. La media ponderada multiplica cada valor por su frecuencia respectiva antes de sumarlos y dividir. El documento también explica cómo realizar estos cálculos manualmente y usando calculadoras.
El documento presenta una serie de gráficos y tablas que muestran números del 0 al 5. Incluye ilustraciones de objetos que representan los números y ejercicios de escritura y lectura de números.
El documento presenta información sobre un almacén llamado LAS 3 B.B.B. que ofrece productos de buena calidad, bonitos y baratos. También proporciona detalles sobre los horarios, la ubicación, contacto y una variedad de artículos que se venden como manualidades, decoraciones, muebles y más. Finalmente, incluye información sobre cómo contactar al distribuidor autorizado para pedidos.
1) El documento discute problemas con la implementación de un nuevo sistema de transporte público.
2) Se mencionan desafíos como la falta de acuerdos entre agencias gubernamentales, problemas técnicos y retrasos en la entrega.
3) Finalmente, el documento concluye que se necesita mejor coordinación para resolver estos problemas y garantizar que el nuevo sistema funcione según lo planeado.
Este documento propone una temporalización flexible de los contenidos y actividades didácticas para la intervención pedagógica. Presenta orientaciones que describen las características de los objetivos, contenidos, recursos, tipos de enseñanza y evaluación, con el fin de adaptar la planificación a la realidad y posibilidades de los alumnos. Incluye bibliografía, recursos didácticos y anexos para la evaluación del proyecto.
1) El documento presenta información sobre vectores, incluyendo definiciones de magnitud de vectores, suma y resta de vectores, y cálculo de componentes.
2) Se proporcionan ejemplos numéricos de suma, resta y cálculo de componentes de vectores.
3) Se explica cómo resolver problemas que involucran múltiples desplazamientos vectoriales.
Este documento contiene soluciones a varios ejercicios de álgebra lineal. Resume varias identidades y fórmulas para calcular ángulos, áreas y lados de triángulos. También presenta soluciones para encontrar vértices, áreas y diagonales de un paralelogramo, así como ecuaciones de un plano y la distancia de una recta al origen.
Este documento establece las disposiciones generales para la Convocatoria 129 de 2010 para proveer 745 puestos de Docente Orientador en 31 entidades territoriales. El proceso de selección constará de 6 etapas incluyendo la divulgación de la convocatoria, análisis de antecedentes, adopción de lista de elegibles, audiencia pública y nombramiento. Los aspirantes deberán cumplir con requisitos mínimos y serán evaluados considerando principios de igualdad, mérito y oportunidad.
El documento explica que el ser humano es un ser histórico porque cambia y se desarrolla a través del tiempo en lugar de permanecer estático. El hombre se ve influenciado por factores culturales, económicos e institucionales que cambian, y él mismo influye en el cambio a través de sus acciones. Lo histórico se refiere a aquello que está sujeto al cambio debido a la actividad humana, a diferencia de conceptos matemáticos o fenómenos naturales que no dependen de los seres humanos.
15 soluciones o disoluciones cap 15 u (nx_power_lite)Andres Phun
Este documento define soluciones y disoluciones, y describe sus componentes principales. Explica que una solución es un sistema homogéneo formado por un solvente y uno o más solutos. Define solubilidad como la cantidad máxima de un soluto que puede disolverse en un solvente a una temperatura dada. También discute factores que afectan la solubilidad como la temperatura y las interacciones entre las partículas del soluto y solvente.
Este documento presenta varias formas de medir la satisfacción del cliente. Primero, describe diferentes métodos para medir la satisfacción como encuestas, grupos de enfoque y reclamos. Luego, explica cómo analizar los resultados incluyendo el cálculo de índices de satisfacción y la detección de áreas de oportunidad. Finalmente, resalta la importancia de monitorear los resultados a lo largo del tiempo para mejorar continuamente.
El documento presenta una serie de operaciones aritméticas básicas como sumas y restas con números entre 0 y 7. Se muestran los cálculos de forma vertical u horizontal con sus respectivos resultados.
El documento presenta un diagrama abstracto compuesto de varias formas geométricas como círculos, líneas y puntos dispuestos de manera no estructurada en la página.
Este documento proporciona información sobre el diseño y configuración de subestaciones de alta y extra alta tensión. Explica consideraciones generales de diseño como definiciones, tipos de servicios, normas y recomendaciones. También cubre temas como elaboración de presupuestos, planos, configuraciones posibles de subestaciones y su selección, así como coordinación de aislamiento para garantizar niveles de tensión de soportabilidad requeridos. El objetivo es servir como guía para el diseño eficiente de subestaciones eléctricas
1) El documento presenta ecuaciones para calcular la velocidad final y desplazamiento de objetos en movimiento uniformemente acelerado en una, dos y tres dimensiones.
2) Se proporcionan fórmulas para calcular la velocidad y aceleración en función del tiempo en movimiento uniformemente variado.
3) Se describen relaciones cinemáticas para calcular desplazamiento, velocidad y aceleración a partir de datos iniciales y finales.
Este documento presenta propuestas para incrementar la productividad en la perforación de pozos petroleros en México. Propone 1) elaborar manuales de procedimientos actualizados, 2) mejorar los sistemas de computo para el seguimiento de operaciones, y 3) capacitar periódicamente al personal sobre nuevas técnicas. El objetivo es optimizar los procesos de planeación, programación y ejecución de la perforación para lograr mayores rendimientos de manera segura.
1) El documento presenta información sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo cómo resolver ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 y fórmulas para calcular las raíces.
2) También discute gráficas de funciones cuadráticas y cómo identificar el vértice y los interceptos x e y de una parábola dada su ecuación.
3) Presenta ejemplos numéricos para ilustrar los diferentes conceptos sobre ecuaciones y gráficas cuadráticas.
Sobrino, Jesucristo Liberador CAP 4_.pdfAntonio Lopez
Este documento presenta un análisis teológico de la vida de Jesús de Nazaret. Se organiza alrededor de tres realidades fundamentales: 1) La relación de Jesús con el Reino de Dios, que fue el centro de su predicación y misión. 2) Su relación con Dios Padre, que dio sentido a su vida. 3) Su muerte en la cruz. El autor examina primero la noción del Reino de Dios en Jesús y luego analizará su relación con Dios Padre y su muerte redentora.
1. El documento describe las propiedades básicas de los triángulos, incluyendo sus ángulos internos y externos, los tipos de triángulos y sus condiciones, y la suma de los ángulos internos.
2. Se explican conceptos como los ángulos inscritos, circunscritos y exteriores, así como fórmulas para calcularlos.
3. Finalmente, se introducen otros temas geométricos relacionados con triángulos como arcos, sectores y círculos circunscritos.
escaneado que contiene información que considero muy pertinente y que puede servir de provecho para el desarrollo de los temas que nos ocupan en la asignatura; los temas que podemos encontrar son los siguientes:
Media aritmética simple
Media aritmética ponderada
DESVIACIONES
Desviaciones respecto a la media aritmética
Desviaciones respecto a la media supuesta u origen de trabajo
Desviaciones respecto a un origen de trabajo tomadas en unidades de amplitud
Propiedades de la media aritmética
MEDIANA (Me)
MODA (Md)
Relaciones entre MEDIA, MEDIANA Y MODA
El documento proporciona instrucciones para calcular la media aritmética de un conjunto de valores. Explica que la media se obtiene sumando todos los valores y dividiendo el total por el número de observaciones. También describe cómo realizar este cálculo usando calculadoras CASIO, incluyendo los pasos para introducir los datos y obtener los resultados.
scaneado que contiene información que considero muy pertinente y que puede servir de provecho para el desarrollo de los temas que nos ocupan en la asignatura; los temas que podemos encontrar son los siguientes:
Media aritmética simple
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DESVIACIONES
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Propiedades de la media aritmética
MEDIANA (Me)
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Relaciones entre MEDIA, MEDIANA Y MODA
Este documento describe cómo calcular la media aritmética de un conjunto de datos de manera simple y ponderada. La media simple se obtiene sumando todos los valores y dividiendo por el número total de observaciones. La media ponderada multiplica cada valor por su frecuencia respectiva antes de sumarlos y dividir. El documento también explica cómo realizar estos cálculos manualmente y usando calculadoras.
El documento presenta una serie de gráficos y tablas que muestran números del 0 al 5. Incluye ilustraciones de objetos que representan los números y ejercicios de escritura y lectura de números.
El documento presenta información sobre un almacén llamado LAS 3 B.B.B. que ofrece productos de buena calidad, bonitos y baratos. También proporciona detalles sobre los horarios, la ubicación, contacto y una variedad de artículos que se venden como manualidades, decoraciones, muebles y más. Finalmente, incluye información sobre cómo contactar al distribuidor autorizado para pedidos.
1) El documento discute problemas con la implementación de un nuevo sistema de transporte público.
2) Se mencionan desafíos como la falta de acuerdos entre agencias gubernamentales, problemas técnicos y retrasos en la entrega.
3) Finalmente, el documento concluye que se necesita mejor coordinación para resolver estos problemas y garantizar que el nuevo sistema funcione según lo planeado.
Este documento propone una temporalización flexible de los contenidos y actividades didácticas para la intervención pedagógica. Presenta orientaciones que describen las características de los objetivos, contenidos, recursos, tipos de enseñanza y evaluación, con el fin de adaptar la planificación a la realidad y posibilidades de los alumnos. Incluye bibliografía, recursos didácticos y anexos para la evaluación del proyecto.
1) El documento presenta información sobre vectores, incluyendo definiciones de magnitud de vectores, suma y resta de vectores, y cálculo de componentes.
2) Se proporcionan ejemplos numéricos de suma, resta y cálculo de componentes de vectores.
3) Se explica cómo resolver problemas que involucran múltiples desplazamientos vectoriales.
Este documento contiene soluciones a varios ejercicios de álgebra lineal. Resume varias identidades y fórmulas para calcular ángulos, áreas y lados de triángulos. También presenta soluciones para encontrar vértices, áreas y diagonales de un paralelogramo, así como ecuaciones de un plano y la distancia de una recta al origen.
Este documento introduce conceptos básicos de cálculo vectorial como magnitudes escalares y vectoriales, representación gráfica y analítica de vectores, cálculo del módulo de un vector, cosenos directores, y operaciones matemáticas con vectores como suma, resta y producto escalar. Explica estas ideas a través de ejemplos y fórmulas matemáticas para calcular vectores en el plano y el espacio.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos sobre el tema de vectores, rectas y planos en R3. Introduce los conceptos básicos de vectores como segmentos dirigidos y su representación. Explica operaciones como suma, resta y producto punto y cruz de vectores. Finalmente, cubre conceptos geométricos como rectas, planos, paralelismo, perpendicularidad y sus relaciones. El documento proporciona una introducción concisa pero completa a estos temas fundamentales de álgebra lineal.
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7. Un auto-óYll recorre hacia el e ste un. dlsta"ci. de SO km . • de ' -
~, ~c i . e l norte, )0 k.. Y luego en di recc ión ]0· ., el te de l
~t e . 2S ~. Tr.z.r el di.9 r ~ de YCetorel y determ i na r , 1 des-
~ 1 ., ~.ieAto total d el a u t oaó"I' ~dldo desde s u punt o de ~.rtid • .
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Cil cul0 del mód u lo :
, - 1'2. 5 1
+ 51. 651
, 81. 08 U .
($I,u 10 de l . direcci6n:
ug ... 5 ' . 65
62.5'
51.65
• .rc . t.g(~)
• 39.S7°
8 . Un. vez que l1eg • • 1 cés ped , un jugador de golf nece~¡t. dar tres
90 1pe$ , ~u bol. par. meter la. [1 primer go l pe mueve 1. bol. ).66
.. . (12 pies) " . none , e l segundo l ........ "e 1.8] .... (6 . 0 pies ' .1
ureHe y el tercero, 0.9 1 lO. (} .O pi e s) al suroeste . ¿Que dep l,!
l~¡ en to s e hubier a neces itado par. meter la bol. al hOtO en el
pri_. golpe?
Sed a, ti y e los f!I( .... ¡"'ientos que real iza l . bo la :
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4 S~
E (est e )
9. Un. pa r ticul. expr.rime nta tre~ de sp lal~m¡enlOS consec u t i vo§ e n un
pl.no, c.omo s igue : 11 . 0 m... 1 suroeste. 5.0 .. . ,, 1 e u e, 6 .0 m. en
u n. direcci6n a 60· .:ti norle del eue. Esc0ger el eje de las y a~
puntando.ll n(lrte y el de las ... dirigidO.Jl eHI: pa r a obtener {al
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1_ co.ponentes de c~. dc,pl.z_ient o , (b ) 1.5 c~one ntC:5 del
~Sp' az. . i Cft to re~ll~t., (e) ' a ~gnitud, d ireccíón y senti do
de' de~p ' . z _i e. l o re~ullante, y (d) el de $p l azamiento que se re
.-erfrr. pe ra regres.r l. ,.rtí eu la .1 punt o de pa rtide .
.,1 I r"ieo ;
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el "'culo de l . . .gnl t ud :
, A . 17J • 2 . )1J
r S." • .
d} (ilcul o de l. dire cción :
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2.31 •
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5. ' 7
10 U!.e una escilla de 2 /!l. po r centímetro y SUI.., grSficaonenu. l o !.
de!. p laz_ i enl os de l Probo 9. [keterllline de ~u gr.ifica la K"o<I I ' '¡ -
lud. dirección y sentido de la resultante .
El g rifleo es auy s iGilar .1 ~str.do anterlor-ente por lo ta n-
lO, dej....as al lector a reil l lZilrlo mlis det~nld_nle ; donlle se
o ble ndrjn:
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1' . Gene ralice el Gétodo ilnalftleo de deseQlllPOner y s~ r dos v, e t ~
res .1 eilso d, t r e s d l . .nsion e s .
Soi"Ú6t1 :
a" 'r a J , ... ,
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guiente ,nillleelllOs , •
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6onde :
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Dich.s eKpresione s se ob tienen de l 9 r ¡ r icu ~Jjunt o
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( 1 ,000 p;cs ) t>cc : .. .t U e . 60';1.; m. U, OOO lI ; es ) ~ci.
roorte , , de!p<.>é~ ,- " bo l sil lo 1 1. deJ .. t !
" en un ac,nti l .do d. IS2 lo
0"" _
•
",(Id
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plu) de , l t "":II, Esub le(e r
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un ¡iste~ de coord e n~d .. s y escribIr un. ",_p re s ión par • • 1 des "
pl u_l e nto de l a moneda, elllphu n dn ... cetores "ml u , jos . (b ) l ¡¡
pe ' son. r e~r e s . en seq ul d ... 1. pver t. de su ca s., sigu i e ndo un
c ~ino d i fe r e nt e en el vllje de r e torno . ¿~ujl e~ su de spl aza
.ien t o r es ul t. n te p.r. el vl.je c~l e t o de id. y vue lt .l
Consi cSerancio e l si st -.a de tr e s dimens ion e s ; con J. s i guien te di ~
,
, .. ¡ • b te
• ) O/¡ . ' ....
¡; 609 . 7 T
, 152 . '" I y
, • 609. 1T • IS 2. lok
3011 . 9T
/)0" .9 • 609 .7 • l S 2 . /¡ 1
1 1
, 1)97 .
" ".
l a INgnitud de l desplO1liilllllent o d~
,
",U("lt <ll s erá lo ",i~1IO Que a la
de ida, p ero en sen t ido contrario .
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-1)-
Por lo t a nto, e l desp l az a mie n to o.: om pl e¡o ~ e''¡ ,qva l ·011 desplu!!.
mie ntO de ida má j el de spl az am i e n t o de vue l la , d~ndo c omo re~ u l
ta do cero.
1). Enc ontrar l a vm,J de lo s vec t o r e de de s p l a zam i e nt o c y d cu ya s
componentes "l> k i lÓllletrcs seg ún tres d ir e cciones p'' '''pendicul,¡¡ -
re s son:
S04 « 611:
Sea : , , , ,, ,
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, ,• ; • , j • ,
y , ,
r e empl a z a ndo va l or e s :
e * Sr ik"
d " 3i . 4) + 6k
/~+16+16
b km.
4. Ur. veuor d tiene una magnitud de 2.S m. f a punt.; hJc iJ ,,1 nl;"-
te. Oi<;a (Cuáles 50n la s m,)gnitud e~ y direcc iones de los "~dO •
res.
(a ) + d . (b) d l2 .0 , (e) - 2.5 d y (d ! ~.O d.
Ve"tor M gnilud
a O; re~c ión
- , 2'
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"i1Z 1.2S
6 . 2S
•
, •
2. "
••
IS . l a s d i-ens i ones ~ un
10
cu~r to
•
son 10 p ies x 12 p i e s x I~ pies . u -
" iJ -ose. ~ sa l e de un~ esqu i " a l1e9 ~ a I~ esquin a d i a 9on a l ~n
t e opueSla . (a) ¿Cuil e s l iJ -.gnit ud de su de s p l aza", ientol (b )
¿Podría se' la longitud de s u t r ayector i a ~ nor que est a dis t a n -
ci a ? ¿Podr ía sce r ...,or1 ¿Podda u r ' gua ll (e) Escoge r un ,.;u e -
. . de coorden ~s ~cu.do y c alc u l a r l as compone nt e s de l ve c to r
de desp l a ~a.iento en e s e ~ rco de refe re nc i , .
, - I r2
•
,
Según los d.atos de l pro blema :
r .. 10T .. 12)" I~k
16 . En el probl_ IS. si l . IIIOsca no vo l ar a s i no que cami nar iJ . LCuál
serfa la long itud ~ la t ra yectoria más co rta que pudiera s eg uifl
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IS . fi20 S • . •
"
'c · 11 0 1 • lO' . h96 • 11 . 2041 _ ,
l . . long; t ude~ ",.. s co rtils ser' n :
•
..
28 . " ) 9' o .
10
"
• 29 .6105 o .
"
• Oc ' 9·20'7 o .
"
Por lu Id" l n I _ ,,,,, yecto"¡ • .,¡ , t ort. s c r. ;
}
r .. 28 . 11], •• .
17. Un 3"' .. d ..• ~uc lil de W shi .. g l on "
.. ~,.¡ l • . !)escribi , e ; ve(;l or .: ....
plaz.-i .. -HO. ltu,U e s S<J -..gn it ud s; l. lat i t ud " h, 10119; ' ,;10 .1e
In do~ t ;ud;!de ~ 'loon 3'· H, l r O y IS· !l. ¡ U · El
SolUCiNn: N
[1 veelO' corri miento e s el
"cetor Al! . De 1" figun (1)
ye-os Que :
". y que
A "¡ .¡",i. i'.¡"
.. Illonce s:
s
(0l<I0 ~e ve en la (;gur. (2) .
(i"' - ¡') , u U" "ce l o r
eL pl an ... e cualur al, y (8-' - A")
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(8' - A') $e ulc u lar. por l a ley
~ ~.l
de los cosenos. Si e ndo :
A' " 6 . " 00 cOS )9- . y 8 ' .. 6. ~ oo cos 15 · pl~
(6, " 00 u e l ra d io de l. t je rra ). a' ec;w. toria l
Se ten d r . :
ji ' A'I! " (... , ) I + ( , , ) 1 _ Z ( "") ( 8 ' )eo ~ 162 ·
6 . ~ OO (eos' ) 9 " +e o$ 2 1 5 " - 2 eos 15 · co$ 39 · c o s 1 62 " ) ' .. (2 )
PO f o tro 1a40 8" y A" so n vect o r es eo linea 1u . si e ndo :
de don de :
Ree mp l illando ( 2) y (J) en ( 1) obtenenoos la m gni t ud del vec tor
"
AB.
r --;--
1As i /í 6~OO) 1 (cos 1 ]9" . COS 1 , 5- 2eos 15· cos )9"cos 162" f
11,100 km.
IA 8 1- 11.200 km .
18 . Dos ~ec to (es de longi tude s a y b formoln un an gula u cuando se
co loc an a parti r del mismo o rige n. Tomando com ponentes seg ún 2
eje~ pe rpendlcularn . delllOHrar Que l a lon9itud del vector (e -
su1t""te '"'s :
r _ la1 + b 1 • 2.Jb cos i¡
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~ e 9,jo ,, : oJ. ;' f jco e es ,, ' f!len o r
i ngu l u u ve ~ a c en lo s ve c t o res
¡; v F.
t " '" t r , a r' J'Jlo ACO :
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i f,,;¡1 • • •• :; 0 :' , I' j ,
¡r.."1 h Sen ,
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~r ·.' ''' '' t a l " "'>:" (~ ) ., ( 1) :
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" {a+b (OS e ) ' • lb "" ,j'
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a 1+b i coste • ,.b .., • , . ,
b'se n 6
" a 1+b 1 h e n 1e • ( os 1 8 ) + l ab ( OS ,
" .' · b' • '" eo. e
, la 2 • b' • 7a b cos ,.
19 . Pa r a un vec : o r (. u"' Qu 'e r .;o il demo Sl r ar Que a a _ a ' yq ue a x
" .. O .
al S db~mo s po r la p r op;ed"d re fle x i va , que roda rec t a es p il r a l ~
1.. a s i ",;smo (i 11 al
• •
• •
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-,... •
tll De ;!fU0I' ..,ciQ que e l caso anteri or.
20. Uti lícese el $i$t~ OIcoslu.br.dO (de recho ) de ejes de ,oorden&-
d,., ~. Dado ~I ~ector .. en l. 4irecci6n pOsitiv~ del eje de
1.s z. el wector b en l. direccl6n positiva del e j e de las y , y
1. c~ljdad e sc.l .r d : (., ¿CuJl e s l. direcci6n y senlido de a
Il 1:11 (b) Ltull es l. direccl6ft , sent i do de b " .1 (e.) LCu.1il es
l. dlr~j6n y sentido de bI d} (.) LeuSI es l. m.gn itud de ... b1
Del grifIOD deducl-os: z
¡jI .. II ¡; unclri l. dlrecd6n
del ej"" "lOO. s en! ido pOsl
t i yo.
1:11 D .... tendrJ l. direcci oo
del eje "lOO sentido neg.ll - t./d ti
a
}--""'-+-- - y
tivo .
¡;
el ¡ tendr¡ 1.. d irecci6n del
eje " ,", y sus sentidos se
r~:
Si el > O; sen ti do posi t ivo de: 'T'
Si el < O; sen tido nega t ivo de "y"
d) 'h que : ..
21 . Un vec t o€ .. d e diez unidades de ~¡tud y ot r o v e c t o r b de s e i s
un¡d~s de -.gnitud .punt.n en direcciones que formen un ¡ ng ul a
de 60-, [ ncontr,., (.) el p~o6ucto e~c.I . ~ de l os dos ve ' t o res y
(b) el . ~oduc to vecto~i.1 de los .Is-os.
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•
a 10 uni d a d e~
b .. 6 unida df: S
a) 3 . b .. ab cos &0· ]0 unidades :. cuadrado (es un escalar).
b) , • b ~ ab sen &0· - 51. 9& unidades a l cuadr a do per pe nd i cu lar
al pl a no fo r..ado por a y ¡; (e '! un vec t or).
22 . {n el s isteRa de coo r denadas de la (i9. 2-6b demost ra r que :
k .k .. 1 ,
¡.j j .k k. i o
$abe<Jlos q ue: los vec t o r es un i ur l os TTy r t i enen por .... gní t ud
l . un i dad .
a ) De l a fi gura o bt e nemos :
T T .. cos O· .. I
j T ·J J . ,
<o. O'
r •· • • <o. O'
T T• . .k . r .
j j
b) T T
· j <"' OO' . O
k
T r · • oo' •
j <• • O ,.
· . ..,' .
¡
r T • <o. O j
; jk.r T j . O
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2) (1'1 e l .. ,st~ d er e cho de coo r de n .. d . .. de 1.. fig. 2;6~ delllOu r .. , q '
x j X j
x j k; k X j; j X k
De ~. n e r. 5i~ j l a .. 4ue . 1 prob lema an t erior :
.) ; X O' O
.,
~'!n
jx ,
.- X
j
r
j
k k
j .~
s, .. "
~.
¡xi .. Txj .. (xi( O
TX j
'" '0· •
b) j
" Xk
J
,, XI
j k
'" ,,' •
k
'" ,,'
2~ (.) Hemos vis t o q ue l . l e y c~ t ali v. no se a plica. los p rodu~
tes vectoriales , e sto e~ ... X b 00 es '9u. 1 • b X ,l . O~ .. t r .rQ·
l. iey coomuta t iv Ol sr pued.. a.p li carse • los p rod uctos eHa la res,
c HO es, Que a . b " b . Ot, (t.) Oenoour .r Que 1. l e l jiHribut ' -
~a se a pl ica tanto a 105 prQdu ct<,s e s c ala res ")f,1O • lo~ v. c t ed a
les, e st o es,
.. (b. c) " • . b + a .e y que .. X lb . ,) .. " X b • • X t.
(e ) LSe puede apli t .r l. ley nocial;". iI los prod ... ct o~ .... etorl.
les , esto es, ;1 X (b X el es igual a la X DI )( c? !Tiene ,) 'gú n
se ntido habl . .. de una le y . .. oc ;. t; ". para pr oduct~s 1I:5,.lares1
Gel gr áfico obtenemos:
al ;- . b" ab cos O ... (1)
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b a .. a b cos El . .. ( 2 ) •
CQlN) ab " ha ; ; gl.la la n do (1) ( 2)
b)
b I } !k:most r a reaos que : a. {i;.. C)
Del grU i c o :
a. (b"+c) .. e(b"cl c os ~ .. a (OR) . .. ( 1)
.. ,
a.h " ab c o s 9 .. a (OP")
a c cos B .. a(PíO
(2 )
(J)
OP+ P1i"
l'Iul t i p l i c a ndo pO r " . "
a foiO .. a (O'P..m •
de (1) (2) y ('n
b.1) De "'<lnera s ¡ mi 1a r ,,. l. p.-.rte h. I}
Oe lT"(.l ~tr . f en>OS :
•, tb";:) •, ;; • •, ,
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•• ••, . aa¡p • 'PR"¡ .. a (OP) . . . (J)
( 1) (J)
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el No. no
2 S. El prod u<; t o e~~.L <lr e n f>o t .a<;i ón de L ve c t o r uni t ario . Re p re~en le-
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•
-os lotos vect o r e s en ( unel&' de sus coo r de nada s u f :
• . l.• • j . , • k • ,
,
• - ¡ b• • J••, • k b,
De-ost ,.ar ana l l ti ~n t e q ue :
~~dos I~~ vec to r es :
• . ••• al+ ••
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b . b Y +
• •.,:r • •, •
"-strOl rt:lllO S :
;.1) .. (a i +aJ1ali].(bT+bJ+ b f) ..• (1)
~ y l • Y l
T.T .. J.T" k.k-
I.T .. T.r .. T.¡"
1
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1 (2)
,p I fcando (2) e n (1)
a . b .. (T.TI a b + {T.na b + (T.k} a b f
~ ~ Il Y • 1
1. (T.ila b + (r.)) a b + (j.k} a b ..
y. yy yl
(k.TI a b f (Ir. . j) a" f {k.k} a b
.lo .. Z y 1. 1
a . b-ab + a b la"
JI"" " I.l
2& . Apl ¡cando la def in ic i6n de producto esca lar a . b" ab CO$ ~ y
el hecho de que a . b _ a b t a b • a b (véas e e l probo 25),
.. ~ ,y II
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o btene r e l 'ngulo entre lo s d05 ve c:: t o r es daodo s por, ;1 .. Ji + ]j .
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27. [ 1 p r oduc::to vec::tor i al en not ac;: l6n ~~ I vec::t o r u n i ( ;lrio. Oemo s t r.
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b r. Ta y
axb .. T(. b - a b 1+) (. b -. b )+k( . b - a b )
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28 . Oe mos t r .r q ue l. Magnitud de u n pr od uc t o ve c t or i a l d" numé r i e. -
,...,n te . 1 S~ .;O d. 1 p .. ~ .. lelogr....., for .... do po r lo~ du~ vectores c OI!
ponen t n c omo lad os ( véase l . F ig . 2- 15). LS ug iere esto la i de a
de cómo re p re se ntar medi a nte un ve c t o r u n elemen t o de j rea o rien
lado e n e l espa ciol
•
;iol.uc.i6n :
Sabernos que el j( e a de u n p"ra l e l~
gramo, en el <jJr j( ico est j
ah. donde:
h -bsen $
d.dO _ ;
"'''L b :t.sen,;.
/
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alo;b . .. bs en40- ah
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2 ~. Demostrar que el ¡¡'ea del triángulo conten id o en tr e los vec t or e :
•
lo r es abso lutos i vt; .. se l . Fi g. 2-15).
SotucWJl:
DelllOsl rar<!'llOS o.,,.:
Sabemos que al área de un tri ángu lo f o r~ado po r a y b es l a mi
Iilld de la de un paril.le t og r aoKl ( ve r 9ráf ¡ ,o de l p r o b l ema 26 )
oh 1 (a x b ) oh
A .- 2 ,
2
" 2
30 . Demostrar que a. (b x el es numéricamen t e i gua l a l volumen del
paralelepípedo formado sob re 105 tres vect o re s a, b y c.
De l gráf ico ob tenemos:
b x e .. be sen e• á rea del pa r a le logramo (OPQR)
Se .. : d . , b < perpendicu1.11r .1 y
,
pl .." o rorlRado po' b <. S
• , . ;¡ -• . d(a <0' .) T ,,
j
don de :
a<:o$41 . ",
h paralelogramo
,
(O RST) . O 5 p
¡. (b"C) ..a-.d- d. ; - d{acost ) ,
d{aco s 4l) .. (Ar e a deIO.oPQR)n
que e~ el volumen del paralelepípedo de aristas b, e y a .
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