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PROBLEMAS RESUELTOS
        SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO
1. Los vectores mostrados en la figura tienen la misma magnitud (10 unidades)
   El vector (b+c) + (d+a) - 2c, es de magnitud:
                                                         c
a) 0
b) 20                                     a                     b
c) 10
d) 20 2                                                  d
e) 10 2


Solución:

 Este es un problema de aplicación del método del polígono. Proceda primeramente a
           encontrar el vector ( b + c), haga lo mismo con el vector (d + a).
                       b                                                  a


                                 c                                              d
                 b+c                                                d+a



Notará usted observando el gráfico, que el vector ( b + c) tiene la misma magnitud del
                  vector ( d + a), pero dirección contraria, por tanto:
                                   (b + c) + (d + a) = 0
      En consecuencia, el resultado de la operación (b + c) + (d + a) - 2c = -2c.
     Si el vector c tiene 10 unidades de magnitud, entonces el vector –2c tendrá

                                      20 unidades




Florencio Pinela C.
2. Si el ángulo con el que un objeto rebota es el mismo con el que incide,
con respecto a un eje perpendicular a la superficie de impacto. ¿Cuál de los
siguientes vectores representaría mejor al vector V2 - V1?, donde V2 es la
velocidad con que rebota de la superficie II.

                                                      II




                                   V1


                           I


a)                    b)                  c)               d) cero            e)




Solución:                                 V2


                                                      II




                                   V1




                           I
Para poder realizar la diferencia entre los dos vectores, necesitamos conocer la
magnitud y dirección del vector velocidad con que el objeto rebota de la segunda pared.
Tracemos entonces la trayectoria del objeto luego de rebotar de las dos superficies,
como se indica en el gráfico superior. Una vez obtenido el vector V2, la velocidad con
que rebota de la segunda pared, podemos obtener la diferencia entre ellos.
Recordemos que la diferencia de dos vectores es equivalente a la suma de uno de ellos
con el negativo del otro




Florencio Pinela C.
Al realizar la diferencia entre el vector V2 y el vector V1 por el método geométrico, tenemos:


                                      -V1

                                               V2
                      V2 + (-V1)=


                       La respuesta se aproxima a la alternativa C

3. Los vectores A, B y C se muestran en la figura, cuyas magnitudes son 10
      unidades, 15 unidades y 20 unidades respectivamente. El vector A –
      B – C es:

a)   5 unidades dirigido hacia la derecha
b)   25 unidades dirigido hacia la izquierda         C         A                    B
c)   15 unidades dirigido hacia la derecha
d)   40 unidades dirigido hacia la derecha
e)   5 unidades dirigido hacia la izquierda

Solución:

 Realicemos la operación utilizando el método del polígono, unamos el extremo de un
    vector con el origen del otro (de acuerdo a la operación que nos estén pidiendo
 realizar), el vector – C lo ubicamos ligeramente debajo para que no oculte a los otros
   vectores en el diagrama, el vector resultante es el que se dirige desde el origen del
                               primero al extremo del último

                                                    15             10

                                                    -B             A

                                                    -C

                                                         20

             Sería un vector de 5 unidades dirigido a la izquierda




Florencio Pinela C.
4. Para los vectores mostrados en la figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas
       es la correcta?

a)   j + g - c = a + 2e
b)   b+f-i=j+h-a
c)   a + b + c = 2g
d)   a+b+d+e=f+h+i
e)   b+f+i=a+j+h




Solución:

Tomemos una de las alternativas múltiples para ilustrar la aplicación del método del
polígono a este problema, escojamos la alternativa a) j + g - c = a + 2e, podemos
comenzar pasando el vector –c al lado derecho de la igualdad
                                   j + g = a + 2e + c
     Comprobemos gráficamente si el vector ( j + g) es igual al vector ( a + 2e + c)



                                                                ( a+2e+c)
                               g
              (j +g)                                                           c
                                                                a
                        j                                             2e

Como podemos observar en los gráficos estos vectores no son iguales, en consecuencia
   la alternativa a) no es correcta, a continuación mostramos el desarrollo de la
                                alternativa verdadera.


                                       c
                                                            g

 La alternativa correcta
 es la C                           b

                                                            g
                                   a

Florencio Pinela C.
PROBLEMAS PROPUESTOS
                SUMA DE VECTORES METODO GRAFICO

1. Todos los vectores que forman el cuadrado mostrado en la figura tienen una magnitud
    de 10 unidades. La resultante de la suma de los cinco vectores es:

a)   10 2
b)   20
c)   10
d)   5 2
e)   5




2. Para el conjunto de vectores mostrado en la figura, el vector D que equilibra (que al
    sumarse da una resultante nula) al conjunto de vectores es:

a)   2i – 4j                        4u
b)   2i + 4j                   A
c)   –2i + 4j
d)   –2i – 4j
e)   2i + 2j                        B                4u
                                    2u                    C


3. En el triángulo isósceles OAB, los lados OA y OB son iguales, y M es el punto medio
    del lado AB. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?

a)   m=a+b
b)   m = ½ (a + b)                       A            M
c)   m = ½ (a - b)                                                B
d)   a+b+m=0
e)   m·(b-a)=0                                  a    m        b



                                                 O
4. Para los vectores dados en la figura, la alternativa correcta es:


a)   a+e+j=c                                          a                        b

b) c + h + f = a + b
                                                                    h
c)   e+j=c+a                                c         d                   e            f

d) b + d -f -j = 0

e) c + h + f = b - a                                            j




5. Los vectores mostrados en la figura están inscritos en una circunferencia de radio R.
    La magnitud de la resultante de la suma de los cinco vectores es:

a)   R                   diámetro
b)   2R
c)   3R
d)   4R
e)   5R




6. Sean los vectores A y B; el vector A tiene 10 unidades de magnitud. El vector
 A – B es perpendicular al vector A y tiene 15 unidades de magnitud. La magnitud del vector B es

a)   18.0
b)   16.0
c)   13.0
d)   11.2
e)   8.0
PROBLEMAS RESUELTOS
 SUMA DE VECTORES METODO ANALÍTICO: LEY DEL
   SENO, LEY DEL COSENO Y DESCOMPOSICIÓN
                  VECTORIAL


     1. Dos vectores a y b tienen 10 y 15 unidades respectivamente, si la
        resultante de la suma de los vectores tiene 20 unidades, el ángulo
        entre los vectores es
a)   75,5º
b)   70,0º
c)   65,5º
d)   60,0
e)   55,5º

Solución:
 En este problema disponemos de las magnitudes de los dos vectores componentes y de
la resultante de la suma de ellos. Un problema típico de aplicación de la ley del coseno.
Recuerde que la ley del coseno relaciona las magnitudes de los vectores componentes y
     de la resultante, a sí como del ángulo formado entre los vectores componentes.
             Llamemos c al vector resultante de la suma de los vectores a y b

                                           
                                      c    a b
                                  De la ley del coseno

                                C2 = a2 + b2 + 2ab cos
      representa el ángulo formado entre los dos vectores a y b unidos por su origen.
                                          c2 a2 b2
                                 cos( )
                                               2ab

                                          20 2 10 2 15 2
                                cos( )
                                             2 *10 * 15

                                      cos( )   0.25

                                          = 75,5


Florencio Pinela C.
2. Para el paralelepípedo de la figura, determine el ángulo formado entre los
vectores a y b.
a)   45,0º
b)   48,2º
c)   50,2º
d)   53,8º
e)   55,2º                                          y



                                                                                  6

                                             a
                                                                                      x
                                                        b
                                                                           4

                                         z          5
Solución:
 Apliquemos nuevamente la ley del coseno para encontrar el ángulo entre los vectores.
 Aquí necesitamos conocer las magnitudes de los vectores a y b y de la resultante de la
suma de ellos. Con los valores de los lados del paralelepípedo obtenemos los vectores a
y b en función de sus componentes rectangulares, una vez determinados a y b pasamos
     a calcular la resultante de la suma de los dos, digamos el vector c; (c = a + b).

               a = 6j – 4k          a2 = 62 +42      a=      62    4 2 = 7,21
               b = 5i + 6j           b2 = 52 + 62    b=      52    6 2 = 7,81

       Llamamos c al vector (a + b) = 5i + 12j – 4k     c=    52    12 2       4 2 = 13,60
                              Utilizando la ley del coseno

                                C2 = a2 + b2 + 2ab cos

      Despejando el coseno de   y reemplazando los módulos de los vectores a,b y c

                              Cos   = (185-52-61)/112,62
                                     Cos = 0,64

                             Por tanto   es igual a 50,2

Florencio Pinela C.
3. Para los vectores mostrados en la figura, el vector que representa la
operación: a - b/2 es

                                                               y
                                                           6
a) 6 i - 9 j + 12 k

b) 3 i + 12 j +6 k
c) 6i - 9j + 4 k
d) 4 i + 8 j +12 k                                         b
                                                                               4
                                                                                   x
e) 8 i + 5 j + 10 k
                                                                   a
                                                 8
                                             z
Solución:
Los vectores a y b se encuentran dentro del paralelepípedo, observando el origen y el
extremo de cada uno de ellos podemos determinar sus componentes rectangulares (las
proyecciones del vector sobre cada uno de los ejes coordenados), por ejemplo: la
componente sobre el eje “y” del vector a vale 6 y apunta en dirección negativa (-j).
Para determinar las componentes sobre los ejes “x” y “z”, proyectemos el vector sobre
el plano x-z, seguidamente podemos observar que la componente sobre el eje “x” vale 4
y apunta en la dirección +i, y la componente sobre el eje “z” vale 8 y apunta en la
dirección +k. De esta manera podemos escribir los vectores:

                                     a = 4i –6j +8k
                                     b = -4i +6j +8k

El vector b/2 lo obtenemos dividiendo cada uno de los módulos de sus componentes
para 2                         b/2 = -2i +3j +4k

                      Por tanto (a – b/2) = 4i – 6j +8k +2i – 3j – 4k

                      a – b/2 = 6i –9j +4k        la respuesta es la c

4. Para el problema anterior, el ángulo formado entre los vectores a y b es

a) 128 º
b) 84º
c) 56º
d) 48º
e) 38º

Florencio Pinela C.
Solución:
   Tomando los vectores a y b, vamos a aplicar la ley del coseno para determinar el
 ángulo entre estos vectores. Determinemos primeramente la resultante de sumar los
                                     dos vectores.
                              a = 4i –6j +8k    a2 = 116
                             b = -4i +6j +8k     b2 = 116

                            c = (a + b) = 4i – 6j + 8k -4i +6j +8k
                                 c = 0i + 0j + 16k      c = 16
                                    c2 = a2 + b2 + 2ab cos
                 Despejando el cos y reemplazando las magnitudes de a, b y c
                          Obtenemos cos = (256-116-116)/2*116
                                         cos = 0,103
                                      Por tanto = 84

5. Los vectores mostrados en la figura al sumarse dan una resultante nula. La
   magnitud y dirección del vector A es.


                                                                   y
a)   60,3   u.   ;   25,6º                                                      40 u
b)   60,3   u    ;   108,2º
                                                A
c)   47,7   u    ;   205,6º
d)   50,5   u    ;   18,2º                                             50
e)   50,5   u    ;   198,2º
                                                                                       x
                                                                       30

                                                                               20 u
Solución:

Utilizando el método de descomposición vectorial podemos obtener dos ecuaciones,
una para las componentes en “x”, y la otra para las componentes en “y”. Obtenidas las
componentes en “x” y en “y” del vector, utilizaremos el teorema de Pitágoras para
calcular la magnitud del vector A, y luego valiéndonos de una función trigonométrica
podemos determinar la dirección del vector.

Si los tres vectores al sumarse dan una resultante nula (R = 0), esto significa que sus
componentes también deben serlo, esto es:
             Rx = 0, la suma de todas las componentes en “x” deben dar cero
             Ry = 0, la suma de todas las componentes en “y” deben dar cero.

                              Rx = Ax + 40 cos50° + 20 cos(-30°) = 0
                              Ry = Ay + 40 sen50° + 20 sen(-30°) = 0
Ax + 25,71+ 17,32= 0             Ax=- 43,03
                           Ay + 30,64 - 10= 0           Ay = - 20,64

  representa el ángulo que forma el vector A con el eje positivo de las “x”.
Los ángulos son positivos cuando se miden en sentido antihorario y negativo cuando se
miden en sentido horario.

Es conveniente ubicar estas componentes sobre ejes coordenados para identificar la
dirección del vector.




                          Ax                                  25,6


                                                  Ay


                      A



Utilizando el teorema de Pitágoras determinamos la magnitud del vector A

                                     A     Ax2         Ay 2

                                              2               2
                                 A      43,03      20,64
                                         A = 47,72
La línea de acción del vector la determinamos utilizando una función trigonométrica,
por ejemplo
                             Tan = Ay/Ax= - 20,64/-43,03
                                       = Tan-1 ( 0,479)
                                           = 25,6
¡ Cuidado! La calculadora le da a usted la línea de acción del vector, la cual puede
coincidir con la dirección del vector, vea el grafico de los vectores en la parte superior.
Por tanto, la dirección será
                                       = 180 + 25,6
                                          = 205,6

Florencio Pinela C.
6. Sean los vectores A = 2i – j + 3k y B = 4i + 2j – k. El ángulo que forma
   el vector A+B con el eje positivo de las x es

a)   16,2º
b)   20,4º
c)   23,5º
d)   26,2º
e)   32,5º

Solución:
Observando los vectores nos podemos dar cuenta que estamos en presencia de vectores
en tres dimensiones, en consecuencia podemos utilizar los cosenos directores para
determinar la dirección del vector con cada uno de los ejes coordenados. Para utilizar
los cosenos directores debemos conocer las componentes ortogonales del vector, y por
su puesto su magnitud. Como solamente nos piden determinar el ángulo que forma el
vector A+B con el eje de las “x”, necesitamos conocer solamente la componente en “x”
del vector C, esto es Cx
            Determinemos primero el vector A +B, llamemos C a este vector
                     C = A + B = 6i +j + 2k      C = 36 1 4 = 6,4
                                 Cx = 6, Cy = 1, Cz = 2
 Recordando la definición de los cosenos directores, el ángulo que forma el vector C
                             con el eje positivo de las “x” es
                                                 Cx
                                       cos( )
                                                  C
                                      cos( ) = 6/6,4
                             Por tanto el ángulo es 20,4



7. Con referencia al paralelepípedo de la figura, el valor de la fuerza
   resultante, esto es F1+ F2 es:
                                                  y (m)
a)   73i + 62,9j - 100.5k   (N)
b)   123i + 63.5j - 15.5k (N)                 5
c)   123i + 63.5j - 100.5k (N)
d)   73i + 63.5j - 15.5k (N)
e)   73i - 63.5j - 100.5k (N)
                                                            F2
                                             F1                                x (m)
F2 = 2F1 = 100 N                                                         10


                                         8
                              z (m)
Florencio Pinela C.
Solución:
  Tenga cuidado con la magnitud de los vectores y las dimensiones del paralelepípedo,
las dimensiones del paralelepípedo en este problema sirven para indicar la dirección de
  los vectores. El problema sólo nos da la magnitud de los vectores fuerza, para poder
             sumarlos tenemos que expresarlos en forma vectorial, esto es:

                          F1 = F1 cos i + F1 cos j + F1 cos k
Donde: cos , cos      y cos , los cosenos directores, los podemos determinar del gráfico
                                        de arriba
                                               0
                                 cos( )                  0
                                            5 82
                                             2

                                             5
                               cos( )                  0,53
                                          52 82
                                             8
                              cos( )                  - 0,85
                                         5 82
                                          2



                        F1 = 50(0) i + 50(0,53)j + 50(-0,85)k
                                 F1 = 26,5j – 42,5k
 , , y representan los ángulos que forman cada uno de los vectores con los ejes “x”,
“y” y “z”
                       F2 = F2 cos i + F2 cos j + F2 cos k
                                           10
                          cos( )                        0,73
                                         2
                                     10      52 82
                                            5
                         cos( )                         0,36
                                     10 2 5 2 8 2
                                            8
                         cos( )                        - 0,58
                                       2
                                    10      52 82
                   F2 = 100(0,73) i + 100(0,364) j + 100(-0,58) k
                              F2 = 73 i + 36,4 j – 58 k

                Por tanto F1 + F2 = 73 i +62,9 j – 100,5k; alternativa a




Florencio Pinela C.
8. Dos cuerdas A y B halan una caja como se indica en la figura. La cuerda
   A ejerce una fuerza de (18,13 i + 8,45 j ) Newtons. Determine el valor del
   ángulo , de tal forma que la resultante de la suma de las tensiones de las
   dos cuerdas se encuentre en la dirección del eje x +, y tenga un módulo
   de 40 Newtons

a)   10º
b)   15º                                                   A
c)   21º
d)   42º
e)   69º                                                                        x


                                                             B

Solución:
De acuerdo a la información del problema, el vector A es igual a:

                                 A = 18,13 i + 8,45 j
                                   A 18,13i 8,45 j
                                         
                                               
                                         Ax      Ay

  Si la resultante de la suma de los dos vectores se encuentra en la dirección “x” esto
significa que la componente Ay debe tener la misma magnitud que la componente By, y
                           direcciones contrarias, es decir que:
                                       By = 8,45 N
         Tomando la información de que la resultante apunta en dirección “x”
                                      Ax + Bx = 40
                                   Siendo Ax = 18,13 N
                                    Esto significa que:
                                      Bx = 21,87 N

       Conociendo las componentes ortogonales del vector B, podemos expresarlo
                                B = 21,87 i + 8,45 j

                 Observando el gráfico del problema, el ángulo      es:
                                  Tan = By/Bx
                                 = tan-1(8,45/21,87)
                                        = 21,1
PROBLEMAS PROPUESTOS
 SUMA DE VECTORES METODO ANALÍTICO: LEY DEL
   SENO, LEY DEL COSENO Y DESCOMPOSICIÓN
                  VECTORIAL

     1. La magnitud y dirección de un vector, que sumado a los vectores indicados en la
        figura dan una resultante nula es           y
                                      20 u
a) 22,4 u   ; 63.4º
b) 30,0 u   ; 63.4º                                                         10 u
c) 22,4 u   ; - 93.4º
d) 30,0 u   ; 93.4º                                 60º           30º
                                                                                       x
e) 22,4 u   ; - 86.6º


     2. El vector mostrado en la figura tiene una magnitud de 20 unidades. El ángulo que
        forma el vector con el eje y es:      y

a) 30,0º
b) 60,0º
c) 72,5º
d) 41,1º
e) 35,2º                                                                           x
                                                                        6
                                                    8
                                z


     3. Para los vectores a, b, y c indicados en el plano x-y-z. La magnitud del vector

                                    a + b – c, es

                                                                  y

a)   4
b)   6                                                            b
c)   8                                                                                     5
d)   10                                                                            a
e)   12                                                   c
                                                                                               x
                                                                                       4

                                     z                        6
4. Un avión desarrolla una velocidad máxima de 800 Km/h en ausencia de viento.
        Las velocidades del viento y del avión se encuentran en el plano x-y. Determine
        la velocidad resultante de un avión cuando el viento sopla a 200 Km/h y a 250° de
        dirección, para cuando el avión se mueve en la dirección indicada.

Magnitud (Km/h)       Dirección
a)    755             -14.4°                              y
b)    755             -22.8°
c)    888             14.4°
d)    888             -22.8°
e)    755             10.5°
                                                                                x




     5. Determine la magnitud del vector que al sumarse a los vectores a y b de la figura
        dan como resultado una resultante nula.

a)   15.1 u
b)   18.0 u
c)   19.0 u
d)   23.1 u
e)   25.2 u




   6. Para los vectores mostrados en la figura determine la magnitud y dirección del
      vector R, donde: R = 2 a – b – c/2
   Magnitud         Dirección                      y
a)    36.6          36°                                    b=15
b)    36.6          216°                           40
c)    23.8          64.3°           a=10                     x
d)    29.7          183°
                                                   c=20
e)    28.2          215°
7. Determine el vector que al sumarse a los vectores a y b den una resultante nula.

a)   i – 10j + 3k                                     y
b)   2i – 5j + 6k
c)   5j + 6k
d)   10j – 3k
e)   –10j + 3k                                            b          a
                                                                                       5


                                                                                               x
                                                                                   3

                                            z                 7

8. Para los vectores del problema anterior determine el ángulo formado entre los vectores
ay–b

a)   55°
b)   62°
c)   72°
d)   82°
e)   90°


9. Los tres vectores mostrados en la figura representan las fuerzas que actúan sobre un
cuerpo, la fuerza resultante, es decir, la suma de todas las fuerzas tendrá como magnitud
                                                                    y
a) 38 N.                                                        5

b) 42 N.                                        40N                          50N

c) 48 N.                                                             1

d) 55 N.                               -4                     -1         1                 3       x

e) 60 N.                                                           20N
10. Los vectores mostrados en la figura al sumarse dan una resultante nula, los valores de
a y son ( es el ángulo con respecto al eje x+)
                                                                   y
                                                  30
a) 20.0   ; 230º
                                                                                     20
b) 20.1   ;    -79º

c) 15.8    ;   210º
                                                          40º          60º
                                                                                          X
d) 18.7    ; -68º

e) 38.8   ; -71º

                                                         a
PROBLEMAS RESUELTOS
      PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL
     1. Dado los vectores A= 2i + aj y B= 6i, el valor de a para que la magnitud de B sea igual
        a tres veces la magnitud de AxB es:

a)   3
b)   1/3
c)   6
d)   1/6
e)   no puede determinarse

Solución:
La magnitud del vector B es 6. determinemos la magnitud del vector AxB

       i j k
AxB = 2    0 = i (0) – j (0) + k (-6 ) = -6 k
      6 0 0

La magnitud del vector AxB es 6 .
 Por tanto, el valor de para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud
                                     de AxB, es
                                     6 = 3 (6 )
                                         = 1/3

     2. Para que los vectores: a = 6 i – 3 j + 6 k y b =       i – 2 j + 3 k sean ortogonales,
        debe tomar el valor de

a)   –4
b)   4
c)   –6
d)   6
e)   –8

Solución:
De acuerdo a la definición de producto escalar, si dos vectores son ortogonales su producto
escalar es cero.
Como los vectores vienen dados en función de sus componentes ortogonales, es más práctico
utilizar la operación:
                                  a b = axbx + ayby + az bz

                                     ax = 6; ay = -3; az = 6
                                     bx = ; by = -2; bz = 3
                                    a b = 6 + 6 +18 = 0

                                              = -4                          Florencio Pinela C.
3. Sean lo vectores: a = 5i - 2j + 3k y b = 2i + 5j + 6k. La proyección del vector a
        sobre el vector b es.

a)   4.6
b)   3.2
c)   2.8
d)   2.2
e)   1.2

Solución:
 Por definición, geométricamente, el producto escalar representa el área de un rectángulo que
tiene por uno de sus lados la magnitud de uno de los vectores, y el otro lado la proyección del
segundo vector sobre el primero.


                     a                      b

                             ab

ab = proyección del vector a sobre el vector b

                         a b = ab cos = ab b = axbx + ayby + az bz

                                           a xbx   a yby   a z bz
                                    ab =
                                                    b
                                       (5)( 2) ( 2)(5) (3)( 6)
                                  ab =
                                                4 25 36
                                                   18
                                             ab =
                                                  8,06
                                              ab = 2,2


     4. Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 15 u, el ángulo formado entre los vectores A y B es
                                                     y
a)   90,0º
b)   86,4º
c)   80,4                                                      B
d)   76,4º
e)   70,4º

                                                                            5      x

                                                               A



                                                                           Florencio Pinela C.
Solución:

En este problema podemos hacer uso de la definición de producto escalar. Conocemos el
módulo de los vectores y sus componentes las podemos obtener del gráfico.

                          A B = AB cos = AxBx + AyBy + AzBz

                           De acuerdo al gráfico, Ay = 0, Bz = 0

                               Por lo tanto AB cos = AxBx

                                   Donde Ax = 5 y Bx = 5

                                                   (5)( 5)
                                      Cos    =
                                                  (10 )(15 )

                                        = cos-1(0,16666)

                                             = 80,4


    5. Los vectores A, B y C se dirigen desde el origen de un sistema de coordenadas
       rectangulares a los puntos (2, 3, 5), (4, -5, -6) y (-2, 6, -3) respectivamente. El
       resultado de la operación (A - B) · C es:

a) 4i + 48j - 33k             b) 19              c) 10         d) 9      e) 5

Solución:

Con las coordenadas del punto del extremo de cada vector, los vectores A, B y C los
expresamos como:

A = 2i + 3j + 5k
B = 4i – 5j – 6k
C = -2i + 6j – 3k

Realizamos la operación (A – B):
                                    A – B = - 2i + 8j + 11k

Luego multiplicamos escalarmente este resultado con el vector C.

                    (A - B) · C = (- 2i + 8j + 11k) (-2i + 6j – 3k)

                                   (A - B) · C = 4 + 48 – 33

                                       (A - B) · C = 19
                                                                       Florencio Pinela C.
6. Dado los vectores A= 2i + aj y B= 6i, el valor de a para que la magnitud de B sea igual
        a tres veces la magnitud de AxB es:

f)   3
g)   1/3
h)   6
i)   1/6
j)   no puede determinarse

Solución:
La magnitud del vector B es 6. determinemos la magnitud del vector AxB

       i j k
AxB = 2    0 = i(0) – j(0) + k(-6 ) = -6 k
      6 0 0

La magnitud del vector AxB es 6 .
 Por tanto, el valor de para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud
                                     de AxB, es
                                      6 = 3(6 )
                                         = 1/3

     7. Para que los vectores: a = 6 i – 3 j + 6 k y b =       i – 2 j + 3 k sean ortogonales,
        debe tomar el valor de

f)   –4
g)   4
h)   –6
i)   6
j)   –8

Solución:
De acuerdo a la definición de producto escalar, si dos vectores son ortogonales su producto
escalar es cero.
Como los vectores vienen dados en función de sus componentes ortogonales, es más práctico
utilizar la operación:
                                  a b = axbx + ayby + az bz

                                     ax = 6; ay = -3; az = 6
                                     bx = ; by = -2; bz = 3
                                    a b = 6 + 6 +18 = 0

                                            = -4                       Florencio Pinela C.
     8. Sean lo vectores: a = 5i - 2j + 3k y b = 2i + 5j + 6k. La proyección del vector a
        sobre el vector b es.

f) 4.6
g)   3.2
h)   2.8
i)   2.2
j)   1.2

Solución:
 Por definición, geométricamente, el producto escalar representa el área de un rectángulo que
tiene por uno de sus lados la magnitud de uno de los vectores, y el otro lado la proyección del
segundo vector sobre el primero.


                    a                       b

                             ab

ab = proyección del vector a sobre el vector b

                        a b = ab cos = ab b = axbx + ayby + az bz

                                           a xbx   a yby   a z bz
                                    ab =
                                                    b
                                       (5)( 2) ( 2)(5) (3)( 6)
                                  ab =
                                                4 25 36
                                                   18
                                             ab =
                                                  8,06
                                              ab = 2,2


   9. Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 15 u, el ángulo formado entre los vectores A y B es
                                                   y
f) 90,0º
g) 86,4º
h) 80,4                                                      B
i) 76,4º
j) 70,4º

                                                                            5      x

                                                               A



                                                                           Florencio Pinela C.

Solución:

En este problema podemos hacer uso de la definición de producto escalar. Conocemos el
módulo de los vectores y sus componentes las podemos obtener del gráfico.
A B = AB cos = AxBx + AyBy + AzBz

                          De acuerdo al gráfico, Ay = 0, Bz = 0

                             Por lo tanto AB cos = AxBx

                                Donde Ax = 5 y Bx = 5

                                               (5)( 5)
                                   Cos    =
                                              (10 )(15 )

                                     = cos-1(0,16666)

                                          = 80,4

7. El trabajo se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.
Determine el trabajo que realiza una fuerza F = 10i + 20j + 30k (N) al actuar sobre un
cuerpo haciendo que éste se mueva desde un punto de coordenadas (2,10,-5) m hasta el
punto (-2,5,8) m.

a)   250 N.m
b)   330 N.m
c)   450 N.m
d)   500 N.m
e)   550 N.m

Solución:

El cuerpo se mueve desde el punto A(2, 10, -5), hasta el punto B(-2,5,8).
Representemos cada uno de estos puntos por los vectores:

A = 2i + 10j –5k
B= -2i + 5j + 8k

Al ir del punto A al punto B habrá experimentado un desplazamiento AB = B – A, esto
es:
                          AB = (-2i + 5j + 8k) – (2i + 10j – 5k)

                                  AB = -4i – 5j + 13k

                         En consecuencia el trabajo debe ser:

                      F AB = (10 i + 20j +30k) (-4i – 5j + 13k)

                          Trabajo = -40 - 100 + 390 = 250 N
8. Para el gráfico mostrado, evalúe el producto vectorial entre el vector F de 50 unidades
de magnitud y el vector posición r.

a)   -125    2i                                         m
                                                                y
b)   150    2 i + 125 2 j                                   6
c)   275    2 k
                                                                        F
d)   125    2 k                                     r
e)   150    2 i
                                                            2




                                     -5                             1           5    m

Solución:

Podríamos pensar en utilizar |Fxr| = F r sen , pero recordemos que esta expresión es
para el módulo del vector |Fxr|.

Expresemos los vectores F y r en función de sus coordenadas rectangulares.
Observe que el plano en el que están graficados los vectores, los ejes representan
unidades de longitud, el vector r se representa en su real magnitud, mientras que para
el vector F las coordenadas sirven para su dirección.

F = Fcos i + Fsen j ;       representa la dirección del vector F
r = rx i + ry j

F = 50 cos45° i + 50 sen45° j = 25 2 i + 25 2 j
r = -5i + 6j

             i        j         k

Fxr =       25 2   25 2         0         = [6(25 2 ) + 5(25 2 )]k

            -5        6         0

                                          Fxr = 275 2 k




Florencio Pinela C.
9. Sean los vectores a = ( 6i + 8k ) y b = ( 2j - 5/8 k ), el resultado de la operación:

2 ( a · b ) a, es

a)   0
b)   -100
c)   20
d)   –60 i –80 k
e)   No se puede realizar la operación.

Solución:

( a · b ) es un número, que al multiplicarlo por a debe dar un vector, de las alternativas,
sólo una da la posibilidad a que el resultado sea un vector. De todas maneras
resolvamos el problema.

( a · b ) = 6(0) + 0(2) + 8(-5/8) = -5
                                  2( a · b )a = 2(-5)( 6i + 8k)

                                   2( a · b )a = - 60 i–80 k




Florencio Pinela C.
PROBLEMAS PROPUESTOS
              PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO
                      VECTORIAL

     1. Dado los vectores A=2i + 3j + k y B=3j + 4k, la proyección del vector A sobre
        el vector B es:
a) 0
b) 1
c) 13/5
d)   14
e) 5/13


     2. Considere la línea que une los puntos extremos de los vectores A= 2i – j – k, B=
        -i +3j – k. ¿Cuál de las siguientes alternativas es verdadera?

a)   La línea es paralela al plano YZ
b)   La línea es perpendicular al plano YZ
c)   La longitud de la línea es 10
d)   La línea es paralela al plano XY
e)   Ninguna de las anteriores


     3. Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de coordenadas (4,-5,6),
        y los puntos B y C de coordenadas (2,3,5) y (5,4,2) respectivamente.¿Cuál de las
        siguientes alternativas representaría un vector perpendicular al plano formado por
        las rectas?.

a)   –23 i – 9 j – 26 k
b)   9 i – 14 j + 8 k
c)   9 i – 23 j + 26 k
d)   23 i – 9 j + 26 k
e)   –9 i + 14 j – 8 k



4. Sobre un cuerpo de masa M actúan tres fuerzas: F1 = 2i -10j + 8k (N) , F2 = 10i +2j -
3k (N) y F3 . Si el cuerpo se mueve con velocidad constante, el valor de F3 es:

a) 12i-8j+5k N
b) –2i+10j-8k N
c) –12i+8j-5k N
d) –10i-2j-3k N
e) Imposible que se mueva con velocidad constante
5. Una partícula se desplaza desde el punto p1 de coordenadas (3,-2,1)m, al punto p2 de
coordenadas (10,8,7)m. Si en el punto p1 la partícula tenía una velocidad de V = 2i + 4j
m/s. El ángulo que forma la velocidad en el punto p1 y el desplazamiento de la partícula
es:

a) 27,4º
b) 34,1º
c) 56,8º
d) 65,2º
e) 71,4º


6. Para el sistema de coordenadas mostrado en la figura, determine la magnitud de la
proyección del vector     8i – 5j + 7k sobre la recta l, la cual se encuentra en el plano x-
z.
a) 4.6
b) 6.1                                      y
c) 8.1
d) 10.3
e) 15.1
                                                               8
                                                                          x
                           4


                        z
                                                                 l



7. Una partícula describe la trayectoria mostrada en la figura. El desplazamiento de la
partícula entre los puntos p1 y p2 de coordenadas (2,-3,5) y (5,6,-4) respectivamente es:
a) 3i + 9j – 9k
b) –3i –9j + 9k                         y
c) 3i – 3j + k                                 p2
d) 3i + 9j – k
e) 3i + 3j – 9k

                                                             x
                                     p1

                        z
8. Dos vectores A y B vienen expresados por: A = 3i + 4j + k ; B = 4i - 5j + 8k. Es
        verdad que A y B:

a)   Son paralelos y apuntan en la misma dirección.
b)   Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias.
c)   Forman un ángulo de 45º entre sí.
d)   Son perpendiculares.
e)   Todas las alternativas anteriores son falsas.




     9. Encontrar el valor de x para que los vectores A (5, 1, -2) y B (2, x, 6) sean
        perpendiculares.

a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
e) 0


     10. Sean tres vectores:

A = 3i + 2j - k
B = i - j + 2k
C=j+k

Si M = A- B y N = C x A, el ángulo formado entre los vectores M y N es

a)   60,5º
b)   41,2º
c)   51,2º
d)   68,5º
e)   72,1º

     11. El vector de módulo 6 y que es perpendicular al plano formado por los vectores

A = 2 i + j -2 k y B = - 3 i - j + k es

a) 3/ 26      i + 4/ 26    j     + 1/   26 k
b) 18 / 26    i + 24/ 26   j    + 6/    26 k
c) -2/ 2     i + 8/ 2       j   + 2/    2    k
d) -6/ 2     i + 24/ 2     j    + 6/    2    k
e) 1/ 2       i + 2/ 2     j     + 3/    2   k
12. Sean los vectores a, b, c, d y e, evalúe la siguiente operación

                                       (a+c+d+e).b

a) 500                                                  e =10                 c =30
b) 799
c) 890                                                                 30º                   b=50
d) 1299                                  a =10
e) 23

                                                                 d = 20



     13. Sean los vectores a = 2 i – j + 2 k y b = 2 i – 3 j – k, evalúe la siguiente
         operación:

                                          (a – b ) a

a)   4
b)   –4
c)   6
d)   8
e)   -8

14. Sean los vectores A = 3 i – j + 2 k y B = -2 i – 2 j – 4 k, el vector unitario perpendicular al
 plano formado por los vectores A y B es

a) 0 i + 8/ 128 j - 8/ 128 k
b) 8/ 192 i + 8/ 192 j - 8/ 192 k
c) –1/ 186 i - 11/ 186 j - 8/ 186 k
d) 8/ 192 i - 8/ 192 j + 8/ 192 k
e) 8/ 384 i + 16/ 384 j - 8/ 384 k




     15. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa un vector perpendicular al plano
         sombreado de la figura.                          y
                                                         6
a)   24i + 20j + 30k
b)   –5i + 6j + 8k
c)   –12i – 10j + 15k                                                   5         x
d)   12i – 10j –15k
e)   24i + 20j+ 15k                           4
16. Dados los vectores A, B y C siendo m un escalar, ¿cuál proposición no se
         cumple?

a)   A·B=B·A
b)   A–B B–A
c)   m(A x B) = (m A) x B
d)   Ax B = B xA
e)   Todas se cumplen.

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Vectores Problemas Nivel 0B

  • 1. PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrados en la figura tienen la misma magnitud (10 unidades) El vector (b+c) + (d+a) - 2c, es de magnitud: c a) 0 b) 20 a b c) 10 d) 20 2 d e) 10 2 Solución: Este es un problema de aplicación del método del polígono. Proceda primeramente a encontrar el vector ( b + c), haga lo mismo con el vector (d + a). b a c d b+c d+a Notará usted observando el gráfico, que el vector ( b + c) tiene la misma magnitud del vector ( d + a), pero dirección contraria, por tanto: (b + c) + (d + a) = 0 En consecuencia, el resultado de la operación (b + c) + (d + a) - 2c = -2c. Si el vector c tiene 10 unidades de magnitud, entonces el vector –2c tendrá 20 unidades Florencio Pinela C.
  • 2. 2. Si el ángulo con el que un objeto rebota es el mismo con el que incide, con respecto a un eje perpendicular a la superficie de impacto. ¿Cuál de los siguientes vectores representaría mejor al vector V2 - V1?, donde V2 es la velocidad con que rebota de la superficie II. II V1 I a) b) c) d) cero e) Solución: V2 II V1 I Para poder realizar la diferencia entre los dos vectores, necesitamos conocer la magnitud y dirección del vector velocidad con que el objeto rebota de la segunda pared. Tracemos entonces la trayectoria del objeto luego de rebotar de las dos superficies, como se indica en el gráfico superior. Una vez obtenido el vector V2, la velocidad con que rebota de la segunda pared, podemos obtener la diferencia entre ellos. Recordemos que la diferencia de dos vectores es equivalente a la suma de uno de ellos con el negativo del otro Florencio Pinela C.
  • 3. Al realizar la diferencia entre el vector V2 y el vector V1 por el método geométrico, tenemos: -V1 V2 V2 + (-V1)= La respuesta se aproxima a la alternativa C 3. Los vectores A, B y C se muestran en la figura, cuyas magnitudes son 10 unidades, 15 unidades y 20 unidades respectivamente. El vector A – B – C es: a) 5 unidades dirigido hacia la derecha b) 25 unidades dirigido hacia la izquierda C A B c) 15 unidades dirigido hacia la derecha d) 40 unidades dirigido hacia la derecha e) 5 unidades dirigido hacia la izquierda Solución: Realicemos la operación utilizando el método del polígono, unamos el extremo de un vector con el origen del otro (de acuerdo a la operación que nos estén pidiendo realizar), el vector – C lo ubicamos ligeramente debajo para que no oculte a los otros vectores en el diagrama, el vector resultante es el que se dirige desde el origen del primero al extremo del último 15 10 -B A -C 20 Sería un vector de 5 unidades dirigido a la izquierda Florencio Pinela C.
  • 4. 4. Para los vectores mostrados en la figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la correcta? a) j + g - c = a + 2e b) b+f-i=j+h-a c) a + b + c = 2g d) a+b+d+e=f+h+i e) b+f+i=a+j+h Solución: Tomemos una de las alternativas múltiples para ilustrar la aplicación del método del polígono a este problema, escojamos la alternativa a) j + g - c = a + 2e, podemos comenzar pasando el vector –c al lado derecho de la igualdad j + g = a + 2e + c Comprobemos gráficamente si el vector ( j + g) es igual al vector ( a + 2e + c) ( a+2e+c) g (j +g) c a j 2e Como podemos observar en los gráficos estos vectores no son iguales, en consecuencia la alternativa a) no es correcta, a continuación mostramos el desarrollo de la alternativa verdadera. c g La alternativa correcta es la C b g a Florencio Pinela C.
  • 5. PROBLEMAS PROPUESTOS SUMA DE VECTORES METODO GRAFICO 1. Todos los vectores que forman el cuadrado mostrado en la figura tienen una magnitud de 10 unidades. La resultante de la suma de los cinco vectores es: a) 10 2 b) 20 c) 10 d) 5 2 e) 5 2. Para el conjunto de vectores mostrado en la figura, el vector D que equilibra (que al sumarse da una resultante nula) al conjunto de vectores es: a) 2i – 4j 4u b) 2i + 4j A c) –2i + 4j d) –2i – 4j e) 2i + 2j B 4u 2u C 3. En el triángulo isósceles OAB, los lados OA y OB son iguales, y M es el punto medio del lado AB. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta? a) m=a+b b) m = ½ (a + b) A M c) m = ½ (a - b) B d) a+b+m=0 e) m·(b-a)=0 a m b O
  • 6. 4. Para los vectores dados en la figura, la alternativa correcta es: a) a+e+j=c a b b) c + h + f = a + b h c) e+j=c+a c d e f d) b + d -f -j = 0 e) c + h + f = b - a j 5. Los vectores mostrados en la figura están inscritos en una circunferencia de radio R. La magnitud de la resultante de la suma de los cinco vectores es: a) R diámetro b) 2R c) 3R d) 4R e) 5R 6. Sean los vectores A y B; el vector A tiene 10 unidades de magnitud. El vector A – B es perpendicular al vector A y tiene 15 unidades de magnitud. La magnitud del vector B es a) 18.0 b) 16.0 c) 13.0 d) 11.2 e) 8.0
  • 7. PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO ANALÍTICO: LEY DEL SENO, LEY DEL COSENO Y DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. Dos vectores a y b tienen 10 y 15 unidades respectivamente, si la resultante de la suma de los vectores tiene 20 unidades, el ángulo entre los vectores es a) 75,5º b) 70,0º c) 65,5º d) 60,0 e) 55,5º Solución: En este problema disponemos de las magnitudes de los dos vectores componentes y de la resultante de la suma de ellos. Un problema típico de aplicación de la ley del coseno. Recuerde que la ley del coseno relaciona las magnitudes de los vectores componentes y de la resultante, a sí como del ángulo formado entre los vectores componentes. Llamemos c al vector resultante de la suma de los vectores a y b    c a b De la ley del coseno C2 = a2 + b2 + 2ab cos representa el ángulo formado entre los dos vectores a y b unidos por su origen. c2 a2 b2 cos( ) 2ab 20 2 10 2 15 2 cos( ) 2 *10 * 15 cos( ) 0.25 = 75,5 Florencio Pinela C.
  • 8. 2. Para el paralelepípedo de la figura, determine el ángulo formado entre los vectores a y b. a) 45,0º b) 48,2º c) 50,2º d) 53,8º e) 55,2º y 6 a x b 4 z 5 Solución: Apliquemos nuevamente la ley del coseno para encontrar el ángulo entre los vectores. Aquí necesitamos conocer las magnitudes de los vectores a y b y de la resultante de la suma de ellos. Con los valores de los lados del paralelepípedo obtenemos los vectores a y b en función de sus componentes rectangulares, una vez determinados a y b pasamos a calcular la resultante de la suma de los dos, digamos el vector c; (c = a + b). a = 6j – 4k a2 = 62 +42 a= 62 4 2 = 7,21 b = 5i + 6j b2 = 52 + 62 b= 52 6 2 = 7,81 Llamamos c al vector (a + b) = 5i + 12j – 4k c= 52 12 2 4 2 = 13,60 Utilizando la ley del coseno C2 = a2 + b2 + 2ab cos Despejando el coseno de y reemplazando los módulos de los vectores a,b y c Cos = (185-52-61)/112,62 Cos = 0,64 Por tanto es igual a 50,2 Florencio Pinela C.
  • 9. 3. Para los vectores mostrados en la figura, el vector que representa la operación: a - b/2 es y 6 a) 6 i - 9 j + 12 k b) 3 i + 12 j +6 k c) 6i - 9j + 4 k d) 4 i + 8 j +12 k b 4 x e) 8 i + 5 j + 10 k a 8 z Solución: Los vectores a y b se encuentran dentro del paralelepípedo, observando el origen y el extremo de cada uno de ellos podemos determinar sus componentes rectangulares (las proyecciones del vector sobre cada uno de los ejes coordenados), por ejemplo: la componente sobre el eje “y” del vector a vale 6 y apunta en dirección negativa (-j). Para determinar las componentes sobre los ejes “x” y “z”, proyectemos el vector sobre el plano x-z, seguidamente podemos observar que la componente sobre el eje “x” vale 4 y apunta en la dirección +i, y la componente sobre el eje “z” vale 8 y apunta en la dirección +k. De esta manera podemos escribir los vectores: a = 4i –6j +8k b = -4i +6j +8k El vector b/2 lo obtenemos dividiendo cada uno de los módulos de sus componentes para 2 b/2 = -2i +3j +4k Por tanto (a – b/2) = 4i – 6j +8k +2i – 3j – 4k a – b/2 = 6i –9j +4k  la respuesta es la c 4. Para el problema anterior, el ángulo formado entre los vectores a y b es a) 128 º b) 84º c) 56º d) 48º e) 38º Florencio Pinela C.
  • 10. Solución: Tomando los vectores a y b, vamos a aplicar la ley del coseno para determinar el ángulo entre estos vectores. Determinemos primeramente la resultante de sumar los dos vectores. a = 4i –6j +8k a2 = 116 b = -4i +6j +8k b2 = 116 c = (a + b) = 4i – 6j + 8k -4i +6j +8k c = 0i + 0j + 16k c = 16 c2 = a2 + b2 + 2ab cos Despejando el cos y reemplazando las magnitudes de a, b y c Obtenemos cos = (256-116-116)/2*116 cos = 0,103 Por tanto = 84 5. Los vectores mostrados en la figura al sumarse dan una resultante nula. La magnitud y dirección del vector A es. y a) 60,3 u. ; 25,6º 40 u b) 60,3 u ; 108,2º A c) 47,7 u ; 205,6º d) 50,5 u ; 18,2º 50 e) 50,5 u ; 198,2º x 30 20 u Solución: Utilizando el método de descomposición vectorial podemos obtener dos ecuaciones, una para las componentes en “x”, y la otra para las componentes en “y”. Obtenidas las componentes en “x” y en “y” del vector, utilizaremos el teorema de Pitágoras para calcular la magnitud del vector A, y luego valiéndonos de una función trigonométrica podemos determinar la dirección del vector. Si los tres vectores al sumarse dan una resultante nula (R = 0), esto significa que sus componentes también deben serlo, esto es: Rx = 0, la suma de todas las componentes en “x” deben dar cero Ry = 0, la suma de todas las componentes en “y” deben dar cero. Rx = Ax + 40 cos50° + 20 cos(-30°) = 0 Ry = Ay + 40 sen50° + 20 sen(-30°) = 0
  • 11. Ax + 25,71+ 17,32= 0 Ax=- 43,03 Ay + 30,64 - 10= 0 Ay = - 20,64 representa el ángulo que forma el vector A con el eje positivo de las “x”. Los ángulos son positivos cuando se miden en sentido antihorario y negativo cuando se miden en sentido horario. Es conveniente ubicar estas componentes sobre ejes coordenados para identificar la dirección del vector. Ax 25,6 Ay A Utilizando el teorema de Pitágoras determinamos la magnitud del vector A A Ax2 Ay 2 2 2 A 43,03 20,64 A = 47,72 La línea de acción del vector la determinamos utilizando una función trigonométrica, por ejemplo Tan = Ay/Ax= - 20,64/-43,03 = Tan-1 ( 0,479) = 25,6 ¡ Cuidado! La calculadora le da a usted la línea de acción del vector, la cual puede coincidir con la dirección del vector, vea el grafico de los vectores en la parte superior. Por tanto, la dirección será = 180 + 25,6 = 205,6 Florencio Pinela C.
  • 12. 6. Sean los vectores A = 2i – j + 3k y B = 4i + 2j – k. El ángulo que forma el vector A+B con el eje positivo de las x es a) 16,2º b) 20,4º c) 23,5º d) 26,2º e) 32,5º Solución: Observando los vectores nos podemos dar cuenta que estamos en presencia de vectores en tres dimensiones, en consecuencia podemos utilizar los cosenos directores para determinar la dirección del vector con cada uno de los ejes coordenados. Para utilizar los cosenos directores debemos conocer las componentes ortogonales del vector, y por su puesto su magnitud. Como solamente nos piden determinar el ángulo que forma el vector A+B con el eje de las “x”, necesitamos conocer solamente la componente en “x” del vector C, esto es Cx Determinemos primero el vector A +B, llamemos C a este vector C = A + B = 6i +j + 2k C = 36 1 4 = 6,4 Cx = 6, Cy = 1, Cz = 2 Recordando la definición de los cosenos directores, el ángulo que forma el vector C con el eje positivo de las “x” es Cx cos( ) C cos( ) = 6/6,4 Por tanto el ángulo es 20,4 7. Con referencia al paralelepípedo de la figura, el valor de la fuerza resultante, esto es F1+ F2 es: y (m) a) 73i + 62,9j - 100.5k (N) b) 123i + 63.5j - 15.5k (N) 5 c) 123i + 63.5j - 100.5k (N) d) 73i + 63.5j - 15.5k (N) e) 73i - 63.5j - 100.5k (N) F2 F1 x (m) F2 = 2F1 = 100 N 10 8 z (m) Florencio Pinela C.
  • 13. Solución: Tenga cuidado con la magnitud de los vectores y las dimensiones del paralelepípedo, las dimensiones del paralelepípedo en este problema sirven para indicar la dirección de los vectores. El problema sólo nos da la magnitud de los vectores fuerza, para poder sumarlos tenemos que expresarlos en forma vectorial, esto es: F1 = F1 cos i + F1 cos j + F1 cos k Donde: cos , cos y cos , los cosenos directores, los podemos determinar del gráfico de arriba 0 cos( ) 0 5 82 2 5 cos( ) 0,53 52 82 8 cos( ) - 0,85 5 82 2 F1 = 50(0) i + 50(0,53)j + 50(-0,85)k F1 = 26,5j – 42,5k , , y representan los ángulos que forman cada uno de los vectores con los ejes “x”, “y” y “z” F2 = F2 cos i + F2 cos j + F2 cos k 10 cos( ) 0,73 2 10 52 82 5 cos( ) 0,36 10 2 5 2 8 2 8 cos( ) - 0,58 2 10 52 82 F2 = 100(0,73) i + 100(0,364) j + 100(-0,58) k F2 = 73 i + 36,4 j – 58 k Por tanto F1 + F2 = 73 i +62,9 j – 100,5k; alternativa a Florencio Pinela C.
  • 14. 8. Dos cuerdas A y B halan una caja como se indica en la figura. La cuerda A ejerce una fuerza de (18,13 i + 8,45 j ) Newtons. Determine el valor del ángulo , de tal forma que la resultante de la suma de las tensiones de las dos cuerdas se encuentre en la dirección del eje x +, y tenga un módulo de 40 Newtons a) 10º b) 15º A c) 21º d) 42º e) 69º x B Solución: De acuerdo a la información del problema, el vector A es igual a: A = 18,13 i + 8,45 j A 18,13i 8,45 j      Ax Ay Si la resultante de la suma de los dos vectores se encuentra en la dirección “x” esto significa que la componente Ay debe tener la misma magnitud que la componente By, y direcciones contrarias, es decir que: By = 8,45 N Tomando la información de que la resultante apunta en dirección “x” Ax + Bx = 40 Siendo Ax = 18,13 N Esto significa que: Bx = 21,87 N Conociendo las componentes ortogonales del vector B, podemos expresarlo B = 21,87 i + 8,45 j Observando el gráfico del problema, el ángulo es: Tan = By/Bx = tan-1(8,45/21,87) = 21,1
  • 15. PROBLEMAS PROPUESTOS SUMA DE VECTORES METODO ANALÍTICO: LEY DEL SENO, LEY DEL COSENO Y DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. La magnitud y dirección de un vector, que sumado a los vectores indicados en la figura dan una resultante nula es y 20 u a) 22,4 u ; 63.4º b) 30,0 u ; 63.4º 10 u c) 22,4 u ; - 93.4º d) 30,0 u ; 93.4º 60º 30º x e) 22,4 u ; - 86.6º 2. El vector mostrado en la figura tiene una magnitud de 20 unidades. El ángulo que forma el vector con el eje y es: y a) 30,0º b) 60,0º c) 72,5º d) 41,1º e) 35,2º x 6 8 z 3. Para los vectores a, b, y c indicados en el plano x-y-z. La magnitud del vector a + b – c, es y a) 4 b) 6 b c) 8 5 d) 10 a e) 12 c x 4 z 6
  • 16. 4. Un avión desarrolla una velocidad máxima de 800 Km/h en ausencia de viento. Las velocidades del viento y del avión se encuentran en el plano x-y. Determine la velocidad resultante de un avión cuando el viento sopla a 200 Km/h y a 250° de dirección, para cuando el avión se mueve en la dirección indicada. Magnitud (Km/h) Dirección a) 755 -14.4° y b) 755 -22.8° c) 888 14.4° d) 888 -22.8° e) 755 10.5° x 5. Determine la magnitud del vector que al sumarse a los vectores a y b de la figura dan como resultado una resultante nula. a) 15.1 u b) 18.0 u c) 19.0 u d) 23.1 u e) 25.2 u 6. Para los vectores mostrados en la figura determine la magnitud y dirección del vector R, donde: R = 2 a – b – c/2 Magnitud Dirección y a) 36.6 36° b=15 b) 36.6 216° 40 c) 23.8 64.3° a=10 x d) 29.7 183° c=20 e) 28.2 215°
  • 17. 7. Determine el vector que al sumarse a los vectores a y b den una resultante nula. a) i – 10j + 3k y b) 2i – 5j + 6k c) 5j + 6k d) 10j – 3k e) –10j + 3k b a 5 x 3 z 7 8. Para los vectores del problema anterior determine el ángulo formado entre los vectores ay–b a) 55° b) 62° c) 72° d) 82° e) 90° 9. Los tres vectores mostrados en la figura representan las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, la fuerza resultante, es decir, la suma de todas las fuerzas tendrá como magnitud y a) 38 N. 5 b) 42 N. 40N 50N c) 48 N. 1 d) 55 N. -4 -1 1 3 x e) 60 N. 20N
  • 18. 10. Los vectores mostrados en la figura al sumarse dan una resultante nula, los valores de a y son ( es el ángulo con respecto al eje x+) y 30 a) 20.0 ; 230º 20 b) 20.1 ; -79º c) 15.8 ; 210º 40º 60º X d) 18.7 ; -68º e) 38.8 ; -71º a
  • 19. PROBLEMAS RESUELTOS PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL 1. Dado los vectores A= 2i + aj y B= 6i, el valor de a para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de AxB es: a) 3 b) 1/3 c) 6 d) 1/6 e) no puede determinarse Solución: La magnitud del vector B es 6. determinemos la magnitud del vector AxB i j k AxB = 2 0 = i (0) – j (0) + k (-6 ) = -6 k 6 0 0 La magnitud del vector AxB es 6 . Por tanto, el valor de para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de AxB, es 6 = 3 (6 ) = 1/3 2. Para que los vectores: a = 6 i – 3 j + 6 k y b = i – 2 j + 3 k sean ortogonales, debe tomar el valor de a) –4 b) 4 c) –6 d) 6 e) –8 Solución: De acuerdo a la definición de producto escalar, si dos vectores son ortogonales su producto escalar es cero. Como los vectores vienen dados en función de sus componentes ortogonales, es más práctico utilizar la operación: a b = axbx + ayby + az bz ax = 6; ay = -3; az = 6 bx = ; by = -2; bz = 3 a b = 6 + 6 +18 = 0 = -4 Florencio Pinela C.
  • 20. 3. Sean lo vectores: a = 5i - 2j + 3k y b = 2i + 5j + 6k. La proyección del vector a sobre el vector b es. a) 4.6 b) 3.2 c) 2.8 d) 2.2 e) 1.2 Solución: Por definición, geométricamente, el producto escalar representa el área de un rectángulo que tiene por uno de sus lados la magnitud de uno de los vectores, y el otro lado la proyección del segundo vector sobre el primero. a b ab ab = proyección del vector a sobre el vector b a b = ab cos = ab b = axbx + ayby + az bz a xbx a yby a z bz ab = b (5)( 2) ( 2)(5) (3)( 6) ab = 4 25 36 18 ab = 8,06 ab = 2,2 4. Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 15 u, el ángulo formado entre los vectores A y B es y a) 90,0º b) 86,4º c) 80,4 B d) 76,4º e) 70,4º 5 x A Florencio Pinela C.
  • 21. Solución: En este problema podemos hacer uso de la definición de producto escalar. Conocemos el módulo de los vectores y sus componentes las podemos obtener del gráfico. A B = AB cos = AxBx + AyBy + AzBz De acuerdo al gráfico, Ay = 0, Bz = 0 Por lo tanto AB cos = AxBx Donde Ax = 5 y Bx = 5 (5)( 5) Cos = (10 )(15 ) = cos-1(0,16666) = 80,4 5. Los vectores A, B y C se dirigen desde el origen de un sistema de coordenadas rectangulares a los puntos (2, 3, 5), (4, -5, -6) y (-2, 6, -3) respectivamente. El resultado de la operación (A - B) · C es: a) 4i + 48j - 33k b) 19 c) 10 d) 9 e) 5 Solución: Con las coordenadas del punto del extremo de cada vector, los vectores A, B y C los expresamos como: A = 2i + 3j + 5k B = 4i – 5j – 6k C = -2i + 6j – 3k Realizamos la operación (A – B): A – B = - 2i + 8j + 11k Luego multiplicamos escalarmente este resultado con el vector C. (A - B) · C = (- 2i + 8j + 11k) (-2i + 6j – 3k) (A - B) · C = 4 + 48 – 33 (A - B) · C = 19 Florencio Pinela C.
  • 22. 6. Dado los vectores A= 2i + aj y B= 6i, el valor de a para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de AxB es: f) 3 g) 1/3 h) 6 i) 1/6 j) no puede determinarse Solución: La magnitud del vector B es 6. determinemos la magnitud del vector AxB i j k AxB = 2 0 = i(0) – j(0) + k(-6 ) = -6 k 6 0 0 La magnitud del vector AxB es 6 . Por tanto, el valor de para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud de AxB, es 6 = 3(6 ) = 1/3 7. Para que los vectores: a = 6 i – 3 j + 6 k y b = i – 2 j + 3 k sean ortogonales, debe tomar el valor de f) –4 g) 4 h) –6 i) 6 j) –8 Solución: De acuerdo a la definición de producto escalar, si dos vectores son ortogonales su producto escalar es cero. Como los vectores vienen dados en función de sus componentes ortogonales, es más práctico utilizar la operación: a b = axbx + ayby + az bz ax = 6; ay = -3; az = 6 bx = ; by = -2; bz = 3 a b = 6 + 6 +18 = 0 = -4 Florencio Pinela C. 8. Sean lo vectores: a = 5i - 2j + 3k y b = 2i + 5j + 6k. La proyección del vector a sobre el vector b es. f) 4.6
  • 23. g) 3.2 h) 2.8 i) 2.2 j) 1.2 Solución: Por definición, geométricamente, el producto escalar representa el área de un rectángulo que tiene por uno de sus lados la magnitud de uno de los vectores, y el otro lado la proyección del segundo vector sobre el primero. a b ab ab = proyección del vector a sobre el vector b a b = ab cos = ab b = axbx + ayby + az bz a xbx a yby a z bz ab = b (5)( 2) ( 2)(5) (3)( 6) ab = 4 25 36 18 ab = 8,06 ab = 2,2 9. Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 15 u, el ángulo formado entre los vectores A y B es y f) 90,0º g) 86,4º h) 80,4 B i) 76,4º j) 70,4º 5 x A Florencio Pinela C. Solución: En este problema podemos hacer uso de la definición de producto escalar. Conocemos el módulo de los vectores y sus componentes las podemos obtener del gráfico.
  • 24. A B = AB cos = AxBx + AyBy + AzBz De acuerdo al gráfico, Ay = 0, Bz = 0 Por lo tanto AB cos = AxBx Donde Ax = 5 y Bx = 5 (5)( 5) Cos = (10 )(15 ) = cos-1(0,16666) = 80,4 7. El trabajo se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. Determine el trabajo que realiza una fuerza F = 10i + 20j + 30k (N) al actuar sobre un cuerpo haciendo que éste se mueva desde un punto de coordenadas (2,10,-5) m hasta el punto (-2,5,8) m. a) 250 N.m b) 330 N.m c) 450 N.m d) 500 N.m e) 550 N.m Solución: El cuerpo se mueve desde el punto A(2, 10, -5), hasta el punto B(-2,5,8). Representemos cada uno de estos puntos por los vectores: A = 2i + 10j –5k B= -2i + 5j + 8k Al ir del punto A al punto B habrá experimentado un desplazamiento AB = B – A, esto es: AB = (-2i + 5j + 8k) – (2i + 10j – 5k) AB = -4i – 5j + 13k En consecuencia el trabajo debe ser: F AB = (10 i + 20j +30k) (-4i – 5j + 13k) Trabajo = -40 - 100 + 390 = 250 N
  • 25. 8. Para el gráfico mostrado, evalúe el producto vectorial entre el vector F de 50 unidades de magnitud y el vector posición r. a) -125 2i m y b) 150 2 i + 125 2 j 6 c) 275 2 k F d) 125 2 k r e) 150 2 i 2 -5 1 5 m Solución: Podríamos pensar en utilizar |Fxr| = F r sen , pero recordemos que esta expresión es para el módulo del vector |Fxr|. Expresemos los vectores F y r en función de sus coordenadas rectangulares. Observe que el plano en el que están graficados los vectores, los ejes representan unidades de longitud, el vector r se representa en su real magnitud, mientras que para el vector F las coordenadas sirven para su dirección. F = Fcos i + Fsen j ; representa la dirección del vector F r = rx i + ry j F = 50 cos45° i + 50 sen45° j = 25 2 i + 25 2 j r = -5i + 6j i j k Fxr = 25 2 25 2 0 = [6(25 2 ) + 5(25 2 )]k -5 6 0 Fxr = 275 2 k Florencio Pinela C.
  • 26. 9. Sean los vectores a = ( 6i + 8k ) y b = ( 2j - 5/8 k ), el resultado de la operación: 2 ( a · b ) a, es a) 0 b) -100 c) 20 d) –60 i –80 k e) No se puede realizar la operación. Solución: ( a · b ) es un número, que al multiplicarlo por a debe dar un vector, de las alternativas, sólo una da la posibilidad a que el resultado sea un vector. De todas maneras resolvamos el problema. ( a · b ) = 6(0) + 0(2) + 8(-5/8) = -5 2( a · b )a = 2(-5)( 6i + 8k) 2( a · b )a = - 60 i–80 k Florencio Pinela C.
  • 27. PROBLEMAS PROPUESTOS PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL 1. Dado los vectores A=2i + 3j + k y B=3j + 4k, la proyección del vector A sobre el vector B es: a) 0 b) 1 c) 13/5 d) 14 e) 5/13 2. Considere la línea que une los puntos extremos de los vectores A= 2i – j – k, B= -i +3j – k. ¿Cuál de las siguientes alternativas es verdadera? a) La línea es paralela al plano YZ b) La línea es perpendicular al plano YZ c) La longitud de la línea es 10 d) La línea es paralela al plano XY e) Ninguna de las anteriores 3. Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de coordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas (2,3,5) y (5,4,2) respectivamente.¿Cuál de las siguientes alternativas representaría un vector perpendicular al plano formado por las rectas?. a) –23 i – 9 j – 26 k b) 9 i – 14 j + 8 k c) 9 i – 23 j + 26 k d) 23 i – 9 j + 26 k e) –9 i + 14 j – 8 k 4. Sobre un cuerpo de masa M actúan tres fuerzas: F1 = 2i -10j + 8k (N) , F2 = 10i +2j - 3k (N) y F3 . Si el cuerpo se mueve con velocidad constante, el valor de F3 es: a) 12i-8j+5k N b) –2i+10j-8k N c) –12i+8j-5k N d) –10i-2j-3k N e) Imposible que se mueva con velocidad constante
  • 28. 5. Una partícula se desplaza desde el punto p1 de coordenadas (3,-2,1)m, al punto p2 de coordenadas (10,8,7)m. Si en el punto p1 la partícula tenía una velocidad de V = 2i + 4j m/s. El ángulo que forma la velocidad en el punto p1 y el desplazamiento de la partícula es: a) 27,4º b) 34,1º c) 56,8º d) 65,2º e) 71,4º 6. Para el sistema de coordenadas mostrado en la figura, determine la magnitud de la proyección del vector 8i – 5j + 7k sobre la recta l, la cual se encuentra en el plano x- z. a) 4.6 b) 6.1 y c) 8.1 d) 10.3 e) 15.1 8 x 4 z l 7. Una partícula describe la trayectoria mostrada en la figura. El desplazamiento de la partícula entre los puntos p1 y p2 de coordenadas (2,-3,5) y (5,6,-4) respectivamente es: a) 3i + 9j – 9k b) –3i –9j + 9k y c) 3i – 3j + k p2 d) 3i + 9j – k e) 3i + 3j – 9k x p1 z
  • 29. 8. Dos vectores A y B vienen expresados por: A = 3i + 4j + k ; B = 4i - 5j + 8k. Es verdad que A y B: a) Son paralelos y apuntan en la misma dirección. b) Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias. c) Forman un ángulo de 45º entre sí. d) Son perpendiculares. e) Todas las alternativas anteriores son falsas. 9. Encontrar el valor de x para que los vectores A (5, 1, -2) y B (2, x, 6) sean perpendiculares. a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 0 10. Sean tres vectores: A = 3i + 2j - k B = i - j + 2k C=j+k Si M = A- B y N = C x A, el ángulo formado entre los vectores M y N es a) 60,5º b) 41,2º c) 51,2º d) 68,5º e) 72,1º 11. El vector de módulo 6 y que es perpendicular al plano formado por los vectores A = 2 i + j -2 k y B = - 3 i - j + k es a) 3/ 26 i + 4/ 26 j + 1/ 26 k b) 18 / 26 i + 24/ 26 j + 6/ 26 k c) -2/ 2 i + 8/ 2 j + 2/ 2 k d) -6/ 2 i + 24/ 2 j + 6/ 2 k e) 1/ 2 i + 2/ 2 j + 3/ 2 k
  • 30. 12. Sean los vectores a, b, c, d y e, evalúe la siguiente operación (a+c+d+e).b a) 500 e =10 c =30 b) 799 c) 890 30º b=50 d) 1299 a =10 e) 23 d = 20 13. Sean los vectores a = 2 i – j + 2 k y b = 2 i – 3 j – k, evalúe la siguiente operación: (a – b ) a a) 4 b) –4 c) 6 d) 8 e) -8 14. Sean los vectores A = 3 i – j + 2 k y B = -2 i – 2 j – 4 k, el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A y B es a) 0 i + 8/ 128 j - 8/ 128 k b) 8/ 192 i + 8/ 192 j - 8/ 192 k c) –1/ 186 i - 11/ 186 j - 8/ 186 k d) 8/ 192 i - 8/ 192 j + 8/ 192 k e) 8/ 384 i + 16/ 384 j - 8/ 384 k 15. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa un vector perpendicular al plano sombreado de la figura. y 6 a) 24i + 20j + 30k b) –5i + 6j + 8k c) –12i – 10j + 15k 5 x d) 12i – 10j –15k e) 24i + 20j+ 15k 4
  • 31. 16. Dados los vectores A, B y C siendo m un escalar, ¿cuál proposición no se cumple? a) A·B=B·A b) A–B B–A c) m(A x B) = (m A) x B d) Ax B = B xA e) Todas se cumplen.