Herramientas Matemáticas necesarias para el curso de Física de 2º BT. Cálculo vectorial 3D; cálculo diferencial y cálculo integral.

1. Tema 1:

3. Vector equipolente: vectores con igual dirección sentido y módulo. A (a x , a y , a z ) B (b x , b y , b z ) Vector libre: Conjunto de infinitos vectores equipolentes a uno dado. Vector: Par ordenado AB

6. PROPIEDADES DEL MÓDULO Es definido positivo 2 Escalar con unidades iguales a las del vector 1 El vector elemento neutro tiene módulo neutro 3

7. Definición: Es un vector de módulo 1 Utilidad: En Física se utilizan para marcar direcciones sin afectar al módulo r x y z Cálculo de unitario:

8. Ejemplo: Halla el vector unitario que define la dirección del vector v = (-3,0, 4) En primer lugar se calcula el módulo de v x y z r Cálculo de unitario:

10. Definición: Sean los vectores a =(a x , a y , a z ) y b =(b x , b y , b z ) Regla del paralelogramo El vector suma (o resultante) a+b =(a x +b x , a y +b y , a z +b z )

11. PROPIEDADES DE LA SUMA VECTORIAL Propiedad conmutativa 1 El módulo de la suma no es igual a la suma de los módulos 3 Elemento neutro 2

14. PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN ESCALAR cambia el sentido 2 La dirección del vector resultante no cambia 1 El módulo también se multiplica k veces 3

15. Definición: Conjunto de 3 vectores unitarios i , j , k , ortogonales entre sí, a partir de los cuales, puede escribirse cualquier vector como una combinación lineal de ellos.

16. Definición: Sean los vectores a =(a x , a y , a z ) y b =(b x , b y , b z ) Vectores perpendiculares , producto escalar nulo Interpretación geométrica Proyección de a sobre b Permite calcular la componente de un vector en una dirección El producto escalar:

17. PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR Propiedad conmutativa 1 Propiedad distributiva 2 Propiedad distributiva (escalar) 3 4

18. TEOREMA DEL PRODUCTO ESCALAR DEMOSTRACIÓN ( líneas maestras )

19. APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL PRODUCTO ESCALAR Calcular el ángulo que forman dos vectores entre sí Ejemplo: Calcula el ángulo que forman los vectores v = (-3, 2, -1) y w = (2, 2, -2)

21. Definición: Sean los vectores u =(u x , u y , u z ) y v =(v x , v y , v z ) Dirección: Perpendicular al plano que forman u y v Sentido: Queda determinado por la regla de la mano izquierda El vector producto vectorial tiene las siguientes características Módulo:

22. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL Propiedad anticonmutativa 1 Propiedad distributiva 2 Propiedad distributiva (escalar) 3 Vectores paralelos 4

23. TEOREMA DEL PRODUCTO VECTORIAL DEMOSTRACIÓN (líneas maestras) ¡¡Necesitamos una regla de cálculo! !

24. REGLA DE CÁLCULO DEL PRODUCTO VECTORIAL

25. Paso 1: Se duplican las dos primeras filas

26. Paso 2: Los factores de estas diagonales son positivos

27. Paso 2: Los factores de estas diagonales son negativos

28. Paso 3: Se suman los factores comunes ¡¡No hace falta aprender la fórmula de memoria, solo calcular! !

29. EJERCICIO DE CÁLCULO PRODUCTO VECTORIAL

32. Tasa de Variación Media ( TVM ) Nos indica cambios de funciones

33. Derivada: Nos indica cambios instantáneos de funciones

34. Derivada: Nos indica cambios instantáneos de funciones

35. Derivada: Nos indica cambios instantáneos de funciones

36. Derivada: Nos indica cambios instantáneos de funciones

37. Tabla de derivadas necesaria para Física de 2ºBT

38. PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS Derivada de la suma 1 Derivada del producto de una k por una función 2 Derivada de la función producto 3 Derivada de la función cociente 4 Regla de la cadena 5

39. La derivada de un vector es la derivada de una suma, por lo que se deriva componente a componente

41. F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple que: Un ejemplo: Encuentra la primitiva de la función f(x)=2x-5x 2

42. Al conjunto de todas las primitivas de una función f(x) se le llama integral indefinida Derivación Integración

43. Tabla de integrales necesaria para Física de 2ºBT

44. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES La integral de la suma es la suma de integrales 2 La integral de C veces la función es C veces la integral 1

45. TEOREMA DE BARROW

46. TEOREMA DE BARROW

47. TEOREMA DE BARROW

48. TEOREMA DE BARROW

49. TEOREMA DE BARROW

50. TEOREMA DE BARROW

51. TEOREMA DE BARROW

52. TEOREMA DE BARROW

53. Un ejemplo: Encuentra la integral de la función f(x)=2x-5x 2 entre los límites x=3 y x=5

54. La integral de un vector es la integral de una suma, por lo que se integra componente a componente