El documento define vectores geométrica y algebraicamente. Un vector geométricamente es un conjunto de segmentos de recta equivalentes, mientras que algebraicamente es un par ordenado de números reales. Se describen operaciones básicas con vectores como suma, resta, multiplicación por escalar, y propiedades como conmutatividad y asociatividad. También se definen conceptos como magnitud, dirección, producto interno, ángulo entre vectores, y norma.

1. Ing. Edward Ropero
Magister en Gestión,
Aplicación y Desarrollo de
Software

2. Definición Geométrica: El
conjunto de todos los segmentos
de recta dirigidos equivalentes a
un segmento de recta dirigido
dado se llama vector. Cualquier
segmento de recta en ese
conjunto se denomina una
representación del vector.
Definición Algebraica: Un vector
v en el plano xy es un par
ordenado de números reales (a,
b). Los números a y b se
denominan elementos o
componentes del vector v. El
vector cero es el vector (0, 0).

3. Para muchos propósitos, dos vectores y se definen como iguales si
tienen la misma magnitud y si apuntan en la misma dirección.
Esto es, = sólo si A = B y si y apuntan en la misma dirección a
lo largo de líneas paralelas.

4. Para sumar el vector B al vector , primero dibuje el vector A con su
magnitud representada mediante una escala de longitud conveniente, y
luego dibuje el vector B a la misma escala, con su origen iniciando
desde la punta de A . El vector resultante R = A + B es el vector que se
dibuja desde el origen de A a la punta de B

5. Ley conmutativa de la suma: Cuando
se suman dos vectores, la suma es
independiente del orden de la adición.
Ley asociativa de la suma: Cuando se suman tres o mas
vectores, su suma es independiente de la forma en la cual
se agrupan los vectores individuales

6. El negativo del vector A se define como el vector que, cuando se suma
con A , da cero para la suma vectorial. Esto es: A + ( - A) = 0. Los
vectores A y – A tienen la misma magnitud pero apuntan en
direcciones opuestas.

7. La operación de resta vectorial utiliza la definición del negativo de un
vector. Se define la operación A – B como el vector – B que se suma al
vector A :

8. Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva c, el
producto c es un vector que tiene la misma dirección que
y magnitud c

9. α 0 π6 π4 π3 π2 π 3π2 2π
tg α 0 √33 1 √3 ∞ 0 ∞ 0

10. Una recta está determinada por dos puntos. Una recta también queda
determinada por un punto y una dirección, por consiguiente por un
punto de la recta y un vector paralelo a la recta.
Consideremos una recta l en el espacio, sea un A punto de l y un
vector paralelo a l.
l
P
A

11. Un punto P ≠ A estará en la recta l si y solo si AP es paralelo a , es
decir, AP = ʎ para cualquier ʎ ≠ 0. Observe que si ʎ = 0,
entonces A = P, si colocamos un sistema coordenado de tal forma que
el origen O, coincida con el punto inicial del vector .

12. Empleando vectores coordenados, la ecuación puede escribirse como
P = ʎV + A
P-A = ʎV
La segunda ecuación se conoce con el nombre de ecuación vectorial de la
recta l que pasa por el punto A y es paralela al vector .

13. Si P = (x, y, z), A = (a1, a2, a3) y V = (v1, v2, v3), entonces
(x, y, z) = (a1, a2, a3) + ʎ (v1, v2, v3)
(x, y, z) = (a1 + ʎv1, a2 + ʎv2, a3 + ʎv3)
de la igualdad anterior se tiene que
x = a1 + ʎv1
y = a2 + ʎv2
z = a3 + ʎv3
Las ecuaciones anteriores se llaman ecuaciones paramétricas para la recta l que
pasa por el punto A y es paralela al vector . Al darle valores a ʎ obtenemos un
punto P = (x, y, z) específico.

14. Si en las ecuaciones anteriores despejamos el parámetro tenemos que
Por consiguiente
Las ecuaciones anteriores se conocen como ecuaciones simétricas de la recta
que pasa por el punto A y es paralela al vector .
ʎ =
𝑥 −𝑎1
𝑣1
, 𝑣1 ≠ 0
ʎ =
𝑦 −𝑎2
𝑣2
, 𝑣2 ≠ 0
ʎ =
𝑧 −𝑎3
𝑣3
, 𝑣3 ≠ 0
𝑥 − 𝑎1
𝑣1
=
𝑦 − 𝑎2
𝑣2
=
𝑧 − 𝑎3
𝑣3

15. Teorema 1. Sean u = (a1, b1) y v = (a2, b2), entonces el producto
interno de u y v es:
u•v = a1a2 + b1b2
Al producto interno también se le llama producto punto.
Recordemos que el producto interno es un número real al igual que la
magnitud de un vector.
Teorema 2. Sea v un vector de R2, entonces ||v||2 = v•v
Ejemplo: Consideremos el vector v = (3,–5), entonces:
usando el teorema anterior tenemos que

16. Teorema 3. Sean u y v dos vectores diferentes de cero. El ángulo θ
entre u y v es el ángulo no negativo más pequeño ( 0 ≤θ ≤π ) que
hay entre ellos.
Si v = αu, entonces θ = 0 si α > 0 y θ = π si α< 0

17. Teorema 4. Si u y v son dos vectores diferentes de cero y ϕ es el
ángulo entre ellos, entonces cos ϕ =
𝒖 .𝒗
𝒖 .| 𝒗 |
Ejemplo:
Sean u = (2,3) y v = (–7,1), el producto interno es
u•v = (2)(–7) + (3)(1) = –14 + 3 = –11
las magnitudes son
por lo tanto:

18. Teorema 5. Dos vectores diferentes de cero, u y v son:
a) paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π (180°)
b) ortogonales (perpendiculares) si el ángulo entre ellos es
π/2 (90°) o 3π/2 (270°).
Teorema 6. Dos vectores u y v , diferentes de cero, son ortogonales,
si y sólo si, su producto interno es cero, es decir u•v = 0.

19. Teorema 1. Sea V un espacio vectorial con producto interno definido
y u en V.
La norma de u, que se denota ||u|| está dada por ||u|| = (u.u)
Ejemplo:
Hallar la Norma del vector A = (6, -3, 1)
||A|| = 36 + 9 + 1 = 46

20. Teorema 2. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea u
un vector de V.
Decimos que u es vector unitario si ||u|| = 1
Teorema 3. Sea V un espacio vectorial con producto interno y una
norma definida.
Sea u un vector en V, entonces el vector v =
𝒖
| 𝒖 |
es un vector unitario
Ejemplo: Sea A = (3, 2, -1) hallar su norma y vector unitario
||A|| = 9 + 4 + 1 = 14
Hallando el vector unitario:
B =
𝑨
| 𝑨 |
=
𝟏
14
(3, 2, -1) = (3/ 14, 2/ 14, -1/ 14)
Hallando la norma B:
||B|| = B.B = (3/ 14)2 + (2/ 14)2 +(-1/ 14)2
= 9/14 + 4/14 + 1/14 = 𝟏𝟒/14 = 1

21. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sean u
y v elementos de V.
La distancia entre u y v se define como la norma de la diferencia de
los vectores u y v.
d (u, v) = ||u − v||
Ejemplo:
Determine la distancia entre los puntos A= (1,2) y B=(4,3)
d (A, B) = ||A − B||
A − B = (1−4 , 𝟐 − 𝟑) = (-3, -1)
||A − B|| = (-3)2 + −𝟏 𝟐 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎

22. Sean u y v dos vectores diferentes de cero en un espacio vectorial V
con producto interno. Entonces la proyección de u sobre v es un
vector denotado por proyv u que se define como proyv u =
(𝒖.𝒗)
| 𝒗 | 𝟐 v
Ejemplo:
Encontrar la proyección del vector u = (2,3) sobre el vector v = (4,–1)
(u, v) = 8–3 = 5
v2 = 16 +1 = 17 entonces
proyv u =
(𝐮.𝐯)
| 𝐯 | 𝟐 v =
𝟓
𝟏𝟕
(4, -1)
= (20/17, -5/17)